2022年最新小学奥数知识点归纳总结 .docx

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1、精品_精品资料_学校奥数学问点归纳和总结二年级奥数学问点分类：一、运算符号类二、规律填数 类三、规律画图类四、年龄问题 类五、间隔问题 类（含植树问题及智力计数） 六、周期问题 类七、有序摸索 类八、时钟问题类九、推理及思维训练 类（包含算式类） 十、和差问题类十一、和倍问题类十二、差倍问题类十三、一笔画类 十四、移动变换类十五、智力趣味类（包含巧切西瓜）十六、鸡兔同笼类十七、盈亏问题类十八、应用类（含数量关系、重叠问题、）三年级奥数学问点分类：一、 运算类运算是数学学习的基本学问,也是学好奥数的基础.能否又快又准的算出答案,是历年数学竞赛考察的一个基本点.三年级的运算包括：速算与巧算、数列规

2、律、数列求和、等差数列的和等.二、应用题类从三年级起,大量的奥数专题学问都是全部年级全部竞赛考试中必考的重点学问.同学们肯定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础.1和倍、差倍问题：用线段标识等方法揭示这两类问题中各种数量关系,和倍问题：小数 =和 倍数 +1.三、 差倍问题：小数 =差 倍数 -12年龄问题：教授解决年龄问题的主要方法：和倍、差倍方法;画图线段标示法.3盈亏问题：介绍盈亏问题的主要形式双盈、双亏、一盈一亏 安排总人数 =盈亏总额两次安排数之差.4植树问题：总长、株距、棵树三要素之间的数量关系：总长 =株距段数, 封闭图形：棵数 =段数 不封闭图形：可编辑资料 - - -

3、欢迎下载精品_精品资料_两头都栽：棵数 =段数 +1两头都不栽：棵数=段数 -1一头栽一头不栽：棵数=段数5鸡兔同笼问题：介绍鸡兔同笼问题的由来和主要形式,揭示鸡兔同笼问题中的数量关系,假设法6行程问题：相遇问题、追及问题等,相遇时间 =总路程速度和,追准时间 =距离速度差.7周期问题8仍原问题9归一问题10体育竞赛中的数学、趣题巧解几何类三年级学校的学习中就会涉及到一些简洁的图形求周长和面积了,那么在奥数中图形问题涉及到的是巧求周长、巧求矩形面积数论类现在三年级也开头涉及到了数论了,是比较简洁的能被2、3、5 整除的性质、奇数和偶数、余数与周期问题.四年级奥数学问点分类：1. 圆周率常取数据

4、3.14 1 3.14 3.14 2 6.28 3.14 3 9.42 3.14 4 12.56 3.14 5 15.7 3.15 6 18.84 3.14 7 21.98 3.14 8 25.12 3.14 9 28.262. 常用特殊数的乘积125 8 1000 254 100 125 3 375 625 16 10000 711 131001 258 200 125 4 500 373=1113.100 内质数：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 974. 单位换算：1 米=3 尺=3.2

5、808 英尺=1.0926 码1 公里=1000 米=2 里1 码=3 英尺 =36 英 寸1 海里=1852 米=3.704 里=1.15 英里1 平方公里 =1000000 平方米 =100 公顷 =4 平方里 =0.3861 平方英里1 平方米 =100 平方分米 =10000 平方厘米可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 公顷=100 公亩=15 亩=2.4711 英亩1 立方 米=1000 立方分米 =1000000 立方厘米1 立方米 =27 立方尺 =1.308 立方码 =35.3147 立方英尺1 吨=1000 公斤=1000 千 克1 公斤=1000 克=2 斤

6、（市制） =2.2046 磅5. 加减法运算性质：同级运算时,假如交换数的位置,应留意符号搬家.加、去括号时要留意以下几点： 括号前面是加号,去掉括号不变号.加号后面添括号,括号里面不变号.括号前面是减号,去掉括号要变号.减号后面添括号,括号里面要变号.6. 乘除法运算性质乘法中性质： （ 1）乘法交换律（ 2）乘法结合律 （3）乘法安排律 （ 4）乘法性质（ 5） 积的变化规律：一扩一缩法.除法中性质：当被除数为几个数字之和或者差时才可以用除法安排律积的变化规律： 同扩同缩法.同级运算时,假如有交换数的位置,应当留意符号搬家.加、去括号时留意以下几点：括号前面是乘号,去掉或加上括号不变号.括

7、号前面是除号,去掉或加上括号要变号.7. 等差数列数列是指按肯定规律次序排列成一列数.假如一个数列中从其次个数开头, 相邻两个数的差都相等, 我们就把这样的一列数叫做等差数列,等差数列中的每一个数都叫做项,第一个数叫第一项,通常也叫“首项”,其次个数叫其次项,第三个数叫第三项最终一项叫做“末项” .等差数列中相邻两项的差叫做“公差” ,等差数列中项的个数叫做 “项数” .公式： 和=（首项 +末项）项数 2 项数 =（末项 - 首项）公差 +1 第 n 项=首项 +（n-1 ）公差8. 和倍问题己知几个数的和及这几个数之间的倍数关系,求这几个数的应用题叫和倍问题. 解答和倍问题, 一般是先确定

8、较小的数为标准数（或称一倍数）,再依据其他几个数与较小数的 倍数关系,确定总和相当于标准数的多少倍,然后用除法求出标准数,再求出其他各数, 最好采纳画线段图的方法.和倍公式：和（倍数1） =小数9. 差倍问题己知两个数的差及它们之间的倍数关系,求这两个数的应用题叫差倍问题. 解答差倍问题,一般以较小数作为标准数（一倍数）,再依据大小两数之间的倍数关系,确定差是标准数的多少倍,然后用除法先求出较小数,再求出较大数.解答这类问题,先画线段图, 帮忙分析数量关系.差倍公式：差（倍数1） =小数10. 和差问题和差问题是依据大小两个数的和与两个数的差求大小两个数各是多少的应用题. 解答和差问题的基本公

9、式是：（和差）2=较小数（和差） 2=较大数九、11. 年龄问题己知两个人或几个人的年龄,求他们年龄之间的某种数量关系.或己 知某些人年龄之间的数量关系, 求他们的年龄等,这种题称为年龄问题.年龄问题的特点是：一般用和差或者和倍问题的方法解答.（1）两人的年龄之差是不变的,称为定差.（ 2）两个人的年龄同时都增加同样的数量. （ 3）两个年龄之间的倍数关系,随着年龄的增长,也在发生变化.年龄问题的解题方法是：几年后= 大小年龄之差倍数差小年龄几年前=小年龄大小年龄差倍数差12. 平均数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求平均数必需知道总数和份数,常用公式： 平均数 =总数份数 总

10、数 =平均数份数份数=总数平均数相遇问题行程问题又分为相遇问题、13. 相遇与追及问题路程=速度时间时间=路程速度速度 =路程时间.相遇问题它的特点是两个运动物体或人,同时或不同时从两的相向而行, 或同时同的相背而行,要解答相遇问题,把握以下数量关系：速度和相遇时间=路程路程速度和 =相遇时间速度相遇时间 =速度和追及问题运动的物体或人同向而不同时动身,后动身的速度快, 经过 一段时间追上先动身的, 这样的问题叫做追及问题,解答追及问题的基本条件是“追及路程” 和“速度差” .追及问题的基本数量关系是：追准时间 =追及路程速度差追及路程 =速度差追准时间速度差 =追及路程追准时间14. 行船问

11、题船在江河里航行,前进的速度与水流淌的速度有关系.船在流水中行程问题,叫做行船问题（也叫流水问题） ,船顺流而下的速度和逆流而上的速度与船速、水速的关系是：顺水速度 =船速水速逆水速度 =船速水速由于顺水速度 是船速与水速的和,逆水速度是船速与水速的差,因此行船问题就是和差问题,所以解答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系.船速 =（顺水速度逆水速度） 2 水速 =（顺水速度逆水速度）2由于行船问题也是行程问题,所以在行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系.顺水路程 =顺水速度时间逆水路程=逆水速 度时间15. 过桥问题过桥问题的一般数量关系是：路程 =桥长车长车速=（桥长车 长

12、）通过时间通过时间 =（桥长车长） 车速车长 =车速通过时间桥长桥长=车速通过时间车长16. 植树问题在首尾不相接的路线上植树,段数与棵数关系可分为三类：（1）两 端都种树段数 =棵数 1 （2 ）一端种一端不种段数 =棵数（ 3）两端都不种段数 =棵数 1 （ 4） 在首尾相接的路线上种树（如圆、正方形、闭合曲线等）段数 =棵数17. 仍原问题仍原问题又叫逆推问题.己知一个数的结果,再经过逆运算反求原 数,叫做仍原问题.解决这类题要从结果动身, 逐步向前一步一步推理, 每一步运算都是原先运算的逆运算 （即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘） .18. 方阵问题很多的人或物按肯定条件排成正

13、方形（简称方阵）,再依据己知条件求总人数,这类题叫方阵问题. 在解决方阵问题时, 要搞清方阵中一些量 （如层数, 最外层人数, 最里层人数, 总人数）之间的关系.方阵问题的基本特点是：（1）方阵不管在哪一层,每边的人数都相同,每向里面一层,每边上的人数削减2, 每一层就少 8.（ 2）每层人数 =（每边人数 1） 4（ 3）每边人数 =每层人数 4 1（ 4）实心方阵人数 =每边人数每边人数19. 幻方与数阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等.这相相等的和叫“幻和” .两种方法：奇阶： 1、九子排列法 2、罗伯法, 3

14、、巴舍法.偶阶： 1、对称交换法 2、圆心方阵法.数阵有三种基本类型：（1） 封闭型,（ 2）辐射型（ 3）综合型解数阵问题一般思路是从和相等入手,确定重处长使用的中心数,是解答解数阵类型题的解题关键.一般答案不唯独.20. 奇数与偶数加法：偶数偶数=偶数奇数奇数 =偶数偶数奇数 =奇数减法： 偶数偶数 =偶数奇数奇数 =偶数偶数奇数 =奇数乘法：偶数偶数=偶数奇数奇数 =奇数偶数奇数 =偶数盈亏问题解21. 盈亏问题通常是比较法和对应法结合使用.公式是：（同盈同亏用减法,一亏一盈用加法）即： 两次安排结果差两次安排数差=人数22. 牛吃草问题牛吃草问题涉及三种数量：A.原有的草. B.新长出

15、的草.C.牛 吃掉的草.牛吃草问题解法一般分为三步：一、求每天新生的草量.二、求原有草量.三、求出最终的问题.（类似于行程问题中的追及问题）23. 仍原问题解题关键：在从后往前推算的过程中,每一步都是做同原先相反的运算,原先加的, 运算时用减.原先减的,运算时用加.原先乘的,运算时用除.原先除的,运算时用乘.24. 假设问题假设法是解答应用题时常常用到的一种方法.所谓“假设法”就是依据题目中的己知条件或结论作出某种设想,然后依据己知条件进行推算,依据数量上显现的冲突, 再适当调整,从而找到正确答案.25. 余数问题一个带余数除法算式包含4 个数：被除数除数 =商, 余数.它们 的关系也可表示为

16、： 被除数 =除数商余数,或（被除数余数）除数=商.26. 一笔画和多笔画（1） 凡是由偶点组成的连通图,肯定可以一笔画成.画时可以任一偶点为起点,最终能以这个点为终点画完此图.（2） 凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图,肯定可以一笔画完.画时必需以一个奇点为起点,另 一个奇点为终点.（3） 多 笔画定理 有 2n（n 1）个奇点的连通图形,可以用n 笔画完（彼此无公共线） ,而且至少要 n 次画完 .27. 抽屉原理抽屉原就一： 把 n+1（或更多） 个苹果放到 n 个抽屉里, 那么至少 有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.抽屉原就二： 把（ m n+1）个（或更多个） 苹果放进 n

17、个抽屉里, 必需一个抽屉里有 （ m+1） 个（或 更多的）苹果.说明：应用 抽屉原就解题,要从最坏的情形去摸索28. 分解因式把一个合数写成几个质数相乘的形式,叫做分解质因数.一个自然数的约数的个数, 恰为各个质因数的指数加1 后的乘积.一个数的完全平方数,各个质因数的个数,恰可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_好是平方前这个数各个质因数个数的2 倍.一个完全平方数各个质因数的个数都是偶数.29. 最大公约数与最小公倍数求两个数的最大公约数一般有三种方法：（ 1）分解质因数法（2） 短除法（ 3）辗转相除法30. 分数的比较分母相同的分数比较大小,分子大的分数比较大.分子相同的分

18、数比较大小,分母大的分数反而小. 分子和分母都不相同的分数比较大小,可以把它们转化成分母相同的分数比较大 小.也可以把它们转化成分子相同的分数比较大小.性质：1. 一个真分数的分子和分母都加上同一个自然数,所得的新分数比原分数大.2. 一个真分数的分子、分母都减去同一个自然数（这个自然数小于真分数的分子）,所得的新分数比原分数小.3. 一个假分数的分子、分母都减去同一个自然数（这个自然数小于假分数分母）,所得的新分数比原分数大.4. 一个假分数的分子、分母都加上同一个自然数,所得的新分数比原分数小.31. 剪纸问题公式： 2 对折后剪的次数 +1=段数.32. 最大最小1、解答最大最小的问题,

19、可以进行枚举比较.在有限的情形下,通过运算,将全部情形的结果列举出来, 然后比较出最大值或最小值.2、运用规律.（ 1）两个数的和肯定,就它们的差越接近,乘积越大.当它们相等（差为0） 时,乘积最大.3、考虑极 端情形.如“连接两点间的线段最短”、“作对称点” 、“联系实际考虑问题”等.33. 比较大小估算最常用的技巧是“放大缩小” ,即先对某个数或算式进行适当的 “放大”或“缩小” , 确定它的取值范畴, 再依据其他条件得出结果,调整放缩幅度的方法有两条：一是分组 （分段）,并尽可能使每组所对应的标准相同.另一种 方法是按近似数乘除法运算法就,比要求的精确度多保留一位,进行运算.34. 钟表

20、问题解答钟表问题,我们第一想方法把有些能转化成相遇或追及问题的转化为相遇或追及问题 来解答.需记住以下常用数据：钟表上有12 大格, 60 小格,每大格 30 度,每小格 6 度.,分针每分钟走： 6 度.时针每分钟走： 0.5 度. 速度差： 5.5 度 2 解答钟表上的时间快慢问题, 关键是抓住单位时间内的误差, 然后依据某一时间段内含多少个单位时间, 就可以求出这一时间段内的误差.35. 分数应用题的运算解答较复杂的分数应用题,肯定要找准单位“1”,假如单位“ 1” 的量是变化的,就要从题 目中找出不变的量, 把不变的量看作单位“1”,将己知条件进行转化, 找出所求数量相当于 单位“ 1

21、”的几分之几,再列式解答.2 仍可以借助线段图来帮忙懂得题意,列式解答.3对较复杂的分数应用题,仍可以列方程来解答.36. 利润问题解答利润问题你必需懂得以下的关系式.（1）利润 =卖价成本（2）利润的百分数 =（卖价成本）成本100（ 3）卖价 =成本（ 1利润率）（4）成本 =卖价（ 1利润率）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5） 折扣实际售价原售价100%折扣 1（6） 利息本金利率时间（7） 税后利息本金利率时间1 20%37. 浓度问题溶质的重量溶剂的重量溶液的重量溶质的重量溶液的重量 100%浓度 溶液的重量浓度溶质的重量五年级奥数学问点分类：1. 和差倍问题和差

22、问题和倍问题 差倍问题已知条件：几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范畴：已知两个数的和,差,倍数关系公式：（和 - 差） 2=较小数较小数 +差=较大数和- 较小数 =较大数（和 +差） 2=较大数较大数 - 差=较小数和- 较大数 =较小数和（倍数 +1） =小数小数倍数 =大数和- 小数 =大数差（倍数 -1 ） =小数小数倍数 =大数小数 +差=大数关键问题：求出同一条件下的和与差和与倍数 差与倍数2. 年龄问题的三个基本特点：两个人的年龄差是不变的;两个人的年龄是同时增加或者同时削减的;两个人的年龄的倍数是发生变化的;3. 归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量,

23、一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度”等词语来表示.关键问题：依据题目中的条件确定并求出单一量;4. 植树问题基本类型： 在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树封闭曲线上植树基本公式：棵数 =段数+1棵距段数 =总长 棵数 =段数 -1 棵距段数 =总长 棵数 =段数棵距段数 =总长关键问题：确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系5. 鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;基本思路：假设,即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后,发生

24、了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;每个事物造成的差是固定的,从而找出显现这个差的缘由;再依据这两个差作适当的调整,消去显现的差.基本公式：把全部鸡假设成兔子：鸡数=（兔脚数总头数- 总脚数）（兔脚数 - 鸡脚数）把全部兔子假设成鸡：兔数 =（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关键问题：找出总量的差与单位量的差.6. 盈亏问题基本概念：肯定量的对象,依据某种标准分组,产生一种结果：依据另一种标准分组,又产生一种结果, 由于分组的标准不同, 造成结果的差异, 由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.基本思路： 先将两种安排方案进行比较,

25、分析由于标准的差异造成结果的变化,依据这个关系求出参与安排的总份数,然后依据题意求出对象的总量.基此题型：一次有余数,另一次不足;基本公式：总份数=（余数 +不足数）两次每份数的差当两次都有余数;基本公式：总份数=（较大余数一较小余数）两次每份数的差当两次都不足 ;基本公式：总份数=（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的.关键问题：确定对象总量和总的组数.7. 牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份,依据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差; 再找出造成这种差异的缘由,即可确定草的生长速度和总草量.基本特点：原草量和新草生长速度是不变的;关键问

26、题：确定两个不变的量.基本公式：生长量 =（较长时间长时间牛头数- 较短时间短时间牛头数）（长时间- 短时间） ;总草量 =较长时间长时间牛头数- 较长时间生长量 ;8. 周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中,某些特点有规律循环显现.周期：我们把连续两次显现所经过的时间叫周期.关键问题：确定循环周期.闰 年：一年有 366 天;年份能被 4 整除; 假如年份能被 100 整除,就年份必需能被400 整除;平 年：一年有 365 天.年份不能被 4 整除 ; 假如年份能被 100 整除,但不能被 400 整除 ;基本公式：平均数 =总数量总份数总数量 =平均数总份数 总份数 =总数

27、量平均数平均数 =基准数 +每一个数与基准数差的和总份数基本算法：求出总数量以及总份数,利用基本公式进行运算.基准数法： 依据给出的数之间的关系,确定一个基准数; 一般选与全部数比较接近的数或者中间数为基准数; 以基准数为标准, 求全部给出数与基准数的差; 再求出全部差的和; 再求出这些差的平均数; 最终求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数, 详细关系见基本公式.10. 抽屉原理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抽屉原就一：假如把（n+1）个物体放在n 个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2 个物体.例：把 4 个物体放在3 个抽屉里,也就是把4 分解成三个整数的和,那

28、么就有以下四种情形： 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1观看上面四种放物体的方式,我们会发觉一个共同特点： 总有那么一个抽屉里有2个或多于 2 个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2 个物体.抽屉原就二：假如把n 个物体放在 m个抽屉里,其中 nm,那么必有一个抽屉至少有： k=n/m +1 个物体：当 n 不能被 m整除时. k=n/m 个物体：当 n 能被 m整除时.懂得学问点： X表示不超过X 的最大整数.例 4.351 =4; 0.321 =0; 2.9999 =2;关键问题： 构造物体和抽屉. 也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原就进行运算11.

29、 定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算.基本思路： 严格依据新定义的运算规章,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后依据基本运算过程、规律进行运算.关键问题：正确懂得定义的运算符号的意义.留意事项：新的运算不肯定符合运算规律,特殊留意运算次序. 个新定义的运算符号只能在此题中使用.12. 等差数列：在一列数中,任意相邻两个数的差是肯定的,这样的一列数,就叫做等差数列.基本概念：首项：等差数列的第一个数,一般用a1 表示 ;项数：等差数列的全部数的个数,一般用n 表示 ;公差：数列中任意相邻两个数的差,一般用d 表示 ; 通项：表示数列中每一个

30、数的公式,一般用an 表示; 数列的和：这一数列全部数字的和,一般用Sn 表示.基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 , an, d , n , sn ,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个; 求和公式中涉及四个量,假如己知其中三个,就可以求这第四个.基本公式：通项公式：an = a1+ （ n-1 ） d;通项 =首项 +（项数一 1） 公差 ;数列和公式： sn, = （ a1+ an ） n2;数列和 =（首项 +末项）项数 2;项数公式： n= （ an+ a1 ） d+1;项数 =（末项 - 首项）公差 +1;公差公式： d = （ an-a1 ）（ n-1 ） ;

31、公差 =（末项 - 首项）（项数 -1 ） ;关键问题：确定已知量和未知量,确定使用的公式;13. 二进制及其应用十进制： 用 0 9 十个数字表示, 逢 10 进 1; 不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的 2表示 20,百位上的 2 表示 200.所以 234=200+30+4=2 102+3 10+4.=An 10n-1+An-1 10n-2+An-2 10n-3+An-3 10n-4+An-4 10n-5+An-6 10n-7+ +A3 102+A2 101+A1 100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意： N0=1;N1=N（其中 N是任意自然数）二进制：用 0

32、 1 两个数字表示,逢2 进 1; 不同数位上的数字表示不同的含义.（ 2） = An 2n-1+An-1 2n-2+An-2 2n-3+An-3 2n-4+An-4 2n-5+An-6 2n-7+ +A3 22+A2 21+A1 20留意： An 不是 0 就是 1.十进制化成二进制：依据二进制满 2 进 1 的特点, 用 2 连续去除这个数, 直到商为 0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可.先找出不大于该数的2 的 n 次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2 的 n次方,依此方法始终找到差为0,依据二进制绽开式特点即可写出.14. 加法乘法原理和几何计数加法原理：假如完成一件任

33、务有n 类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在其次类方 法中有 m2种不同方法, 在第 n 类方法中有 mn种不同方法, 那么完成这件任务共有：m1+ m2. . +mn种不同的方法.关键问题：确定工作的分类方法.基本特点：每一种方法都可完成任务.乘法原理：假如完成一件任务需要分成 n 个步骤进行,做第 1 步有 m1种方法,不管第 1 步用哪一种方法, 第 2 步总有 m2种方法不管前面 n-1 步用哪种方法, 第 n 步总有 mn种方法,那么完成这件任务共有： m1 m2. . mn种不同的方法.关键问题：确定工作的完成步骤.基本特点：每一步只能完成任务的一部分.直线：一点在直线或空间

34、沿肯定方向或相反方向运动,形成的轨迹.直线特点：没有端点,没有长度.线段：直线上任意两点间的距离.这两点叫端点.线段特点：有两个端点,有长度.射线：把直线的一端无限延长.射线特点：只有一个端点; 没有长度.数线段规律：总数 =1+2+3+ +（点数一 1） ;数角规律 =1+2+3+ +（射线数一 1） ;数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数：数长方形规律：个数=11+2 2+3 3+ +行数列数15. 质数与合数质数：一个数除了1 和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数.合数：一个数除了1 和它本身之外,仍有别的约数,这个数叫做合数.质因数：假如某个质数是某个数的约数,那

35、么这个质数叫做这个数的质因数.分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.通常用短除法分解质因数.任何一个合数分解质因数的结果是唯独的.分解质因数的标准表示形式：N=,其中 a1、a2、 a3 an 都是合数 N 的质因数, 且 a1 p 求约数个数的公式： P=（r1+1 ）（ r2+1 ）（ r3+1 ）（ rn+1 ） 互质数：假如两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数.16. 约数与倍数约数和倍数：如整数a 能够被 b 整除, a 叫做 b 的倍数, b 就叫做 a 的约数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公约数：几个数公有的约数,叫做这几个数的公

36、约数; 其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数.最大公约数的性质：1、 几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数.2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数.3、 几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数.4、 几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m.例如： 12 的约数有 1、2、3、4、6、12; 18 的约数有： 1、2、3、6、9、18;那么 12 和 18 的公约数有： 1、2、3、6;那么 12 和 18 最大的公约数是：6,记作（ 12, 18） =6;求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数

37、连乘起来.2、短除法：先找公有的约数,然后相乘.3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数.公倍数：几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数; 其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数.12 的倍数有： 12、24、36、48 ;18 的倍数有： 18、36、54、72 ;那么 12 和 18 的公倍数有： 36、72、108 ;那么 12 和 18 最小的公倍数是 36,记作 12, 18 =36;最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积.求最小公倍数基本方法：1、短除法求

38、最小公倍数;2 、分解质因数的方法17. 数的整除一、基本概念和符号：1、整除： 假如一个整数a,除以一个自然数 b,得到一个整数商 c,而且没有余数, 那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a,记作 b|a .2、常用符号：整除符号“| ”,不能整除符号“” ; 由于符号“”,所以的符号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“” ;二、整除判定方法：1. 能被 2、5 整除：末位上的数字能被2、5 整除.2. 能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能被4、25 整除.3. 能被 8、125 整除：末三位的数字所组成的数能被8、125 整除.4. 能被 3、9 整除：各个

39、数位上数字的和能被3、9 整除.5. 能被 7 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7 整除.逐次去掉最终一位数字并减去末位数字的2 倍后能被 7 整除.6. 能被 11 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11 整除.奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11 整除.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_逐次去掉最终一位数字并减去末位数字后能被11 整除.7. 能被 13 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13 整除.逐次去掉最终一位数字并减去末位数字的9 倍后能被 13 整除.三、整除的性质：

40、1. 假如 a、b 能被 c 整除,那么（ a+b）与（ a-b ）也能被 c 整除.2. 假如 a 能被 b 整除, c 是整数,那么 a 乘以 c 也能被 b 整除.3. 假如 a 能被 b 整除, b 又能被 c 整除,那么 a 也能被 c 整除.4. 假如 a 能被 b、c 整除,那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除.18. 余数及其应用基本概念：对任意自然数a、b、 q、r ,假如使得 a b=q r ,且 0 p 余数的性质：余数小于除数.如 a、 b 除以 c 的余数相同,就 c|a-b或 c|b-a . a 与 b 的和除以 c 的余数等于a 除以 c 的余数加上 b

41、 除以 c 的余数的和除以 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的余数.数. a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以 c 的余可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19. 余数、同余与周期一、同余的定义：如两个整数 a、b 除以 m的余数相同,就称a、 b 对于模 m同余.已知三个整数 a、b、m,假如 m|a-b ,就称 a、b 对于模 m同余,记作 ab（ mod m）,读作 a 同余于 b 模 m.二、同余的性质：自身性： a a（ mod m） ;对称性：如 a b（ mod m）,就 b a（ mod m）

42、;传递性：如 a b（ mod m）, bc（ mod m）,就 a c （ mod m） ;和差性：如 a b（ modm）, cd（ modm）,就 a+c b+d（ modm）, a-c b-d（mod m） ;相乘性：如 a b （ mod m）, cd（ mod m）,就 ac b d（ mod m） ;乘方性：如 a b（ mod m）,就 an bn（mod m） ;同倍性：如 a b （ mod m）,整数 c,就 a c b c（ mod m c） ;三、关于乘方的预备学问：如 A=a b,就 MA=Ma b=（ Ma）b如 B=c+d 就 MB=Mc+d=Mc Md四、被

43、3、9、11 除后的余数特点：一个自然数 M,n 表示 M的各个数位上数字的和,就Mn（ mod9）或（ mod3）;一个自然数 M, X 表示 M的各个奇数位上数字的和,Y 表示 M的各个偶数数位上数字的和,就M Y-X 或 M 11- （ X-Y）（ mod 11） ;五、费尔马小定理：假如p 是质数（素数）, a 是自然数,且a 不能被 p 整除,就ap-1 1（ mod p）.20. 分数与百分数的应用基本概念与性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不变.分数：把单位“ 1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数.分数的性质： 分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（

44、0 除外） ,分数的大小分数单位：把单位“ 1”平均分成几份,表示这样一份的数.百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数.常用方法：逆向思维方法：从题目供应条件的反方向（或结果）进行摸索.对应思维方法：找出题目中详细的量与它所占的率的直接对应关系.转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答.最常见的是转换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成比例和转换成倍数关系; 把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率.常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量.假设思维方法：为明白题的便利,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情形成立,运算出相应的结果,然后再进行调整,求出最终结果.量不变思维方法：在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的.有以下三种情形：A、重量发生变化,总量不变.B