2022年高中数学示范教案新人教A版必修4.docx

《2022年高中数学示范教案新人教A版必修4.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学示范教案新人教A版必修4.docx（21页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质整体设计教学分析对于函数性质的争论 , 在高一必修中已经争论了幂函数、指数函数、 对数函数的图象与性质 .因此作为高中最终一个基本初等函数的性质的争论 , 同学已经有些体会了 . 其中 , 通过观看函数的图象 , 从图象的特点获得函数的性质是一个基本方法 , 这也是数形结合思想方法的应用 . 由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型, 这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方 , 而且对于周期函数 , 我们只要熟识清晰它在一个周期区间上的性质 , 那么就完全清晰它在整个定义域内的性质 . 正弦、余弦

2、函数性质的难点 , 在于对函数周期性的正确懂得与运用 , 以下的奇偶性 , 无论是由图象观看 , 仍是由诱导公式进行证明 , 都很简洁 . 单调性只要求由图象观看 , 不要求证明 , 而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论 行正确归纳即可 . 三维目标, 只要留意引导同学利用周期进1. 通过创设情境 , 如单摆运动、波浪、四季变化等 , 让同学感知周期现象 ; 懂得周期函数的概念; 能娴熟地求出简洁三角函数的周期 , 并能依据周期函数的定义进行简洁的拓展运用 . 2. 通过本节的学习 , 使同学们对周期现象有一个初步的熟识 , 感受生活中到处有数学 , 从而激发同学的学习积极

3、性 , 培育同学学好数学的信心 , 学会运用联系的观点熟识事物 . 重点难点教学重点 : 正弦、余弦、正切函数的主要性质 包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域 ;深化争论函数性质的思想方法 . 教学难点 : 正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换 , 以及周期函数概念的懂得 , 最小正周期的意义及简洁的应用 . 课时支配2 课时教学过程第 1 课时导入新课思路 1. 人的心情、体力、智力都有周期性的变化现象 , 在日常生活和工作中 , 人们经常有这样的自我感觉 , 有的时候体力充足 , 心情开心 , 思维灵敏 ; 有的时候却疲惫乏力 , 心灰意冷 , 反应迟钝 ; 也有的时候思绪不稳 ,

4、喜怒无常 , 烦躁担心 , 糊涂健忘 , 这些感觉呈周期性发生 , 贯穿人的一生 , 这就是人体节律 . 这种有规律性的重复 , 我们称之为周期性现象 . 请同学们举诞生活中存在周期现象的例子 , 在同学热闹的争辩中引入新课 . 思路 2. 取出一个钟表 , 实际操作 , 我们发觉钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复 ,这是一种周期现象 . 我们这节课要争论的主要内容就是周期现象与周期函数 . 那么我们怎样从数学的角度争论周期现象呢 .在图形上让同学观看正弦线“ 周而复始” 的变化规律 , 在代数式上让同学摸索诱导公式 :sinx+2k =sinx 又是怎样反映函数值的“ 周而复始” 的

5、变化规律的 . 要求同学用日常语言表达这个公式 , 通过对图象、函数解析式的特点的描述 , 使学生建立在比较坚固的懂得周期性的认知基础上 , 来懂得“ 周而复始” 变化的代数刻画 , 由此引出周期函数的概念 . 推动新课新知探究提出问题名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 问题正弦函数、余弦函数是周期函数吗.假如是 , 又是怎样周期性变化的. 问题阅读教材并摸索: 怎样从代数的角度定义周期函数. 活动 : 老师可先引导同学查阅摸索上节学过的正弦函数图象, 让同学观看正弦线的变化规律 , 有什么新的发觉 .再让同学描述这

6、种规律是如何表达在正弦函数的图象上的 , 即描述正弦函数图象是如何表达“ 周而复始” 的变化规律的 . 通过争论图象 , 同学很简洁看出正弦函数、余弦函数是周期函数 . 怎样变化呢 .从图 1 中也能看出是每隔 2 就重复一次 . 对问题 , 同学对正弦函数是周期函数是没有疑问的 , 至于怎样描述 , 同学一时很难回答 . 教师可引导同学摸索争论 , 正弦函数图象是怎样重复显现的 .对于回答对的同学赐予确定 , 勉励连续探究 . 对于找不到思路的同学赐予提示 , 指导其正确的探究思路 . 图 1 问题 , 从图象上能够看出 , 但关键是怎样对“ 周而复始” 的变化规律作出代数描述 , 这对学生

7、有肯定的难度 . 在引入正式定义之前 , 可以引导同学先从不同角度进行描述 . 例如 : 对于函数 fx 自变量每增加或削减一个定值 这样的定值可以有许多个 , 函数值就重复显现 , 那么这个函数就叫做周期函数 . 老师也可以引导点拨同学从诱导公式进行描述 . 例如 : sin +2k =sin ,cos +2k =cos ,k Z. 这说明 , 正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加k0 时 或削减 k0,x R 的周期为T=2可以依据如下的方法求它的周期: - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y=Asin x+ +2 =Asin x+2 + =As

8、in x+ . 于是有 fx+2 =fx, 所以其周期为 2 . 例如 , 在第 3 小题 ,y=2sin 1 x-,x R中 , = 1 , 所以其周期是 4 .2 6 2由上述解法可以看到 , 摸索的基本依据仍是 y=sinx 的周期为 2 . 依据这个结论 , 我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期 . 如例 3 中的第 3 小题:T=2 =4 . 这是求简洁三角函数周期的最基本方法 , 即公式法 . 变式训练1. 已知 fx 是周期为 5 的周期函数 , 且 f1=2 007, 求 f11. 解: 由于 5 是函数 fx 在 R上的周期 , 所以 f11=f6+5 =f6=f1+

9、5=f1=2 007. 2. 已知奇函数 fx 是 R上的函数 , 且 f1=2,fx+3=fx, 求 f8. 解: 由题意知 ,3 是函数 fx 的周期 , 且 f-x=-fx, 所以 f8=f2+2 3=f2=f-1+3=f-1=-f1=-2. 思路 2例 1 判定函数 fx=2sin 2x+ cosx,x R 的周期性 . 假如是周期函数 , 最小正周期是多少 . 活动 : 本例的难度较大 , 老师可引导同学从定义动身 , 结合诱导公式 , 寻求使 fx+T=fx成立的 T 的值 . 同学可能会很简洁找出 4 ,2 , 这的确是原函数的周期 , 但是不是最小正周期呢 .老师引导同学选其他

10、几个值试试 . 假如同学很快求出 , 老师赐予夸奖勉励 ; 假如同学做不出 , 老师点拨同学的探究思路 , 主要让同学自己争论解决 . 解: 由于 fx+ =2sin 2x+ + cosx+ =2sin 2x+cosx=fx. 所以原函数是周期函数 , 最小正周期是 . 点评 : 此题能很简洁判定是周期函数 , 但要求的是“ 最小正周期”, 那就要多加当心了 . 虽然将 4 ,2 带入公式后也符合要求 , 但仍必需进一步变形 , 即 fx 中的 x 以 x+ 代替后看看函数值变不变 . 为此需将 , 等都代入试一试 . 实际上 , 在 fx=2sin 2x+cosx ,x R中,2同学应看到平

11、方与确定值的作用是一样的 , 与负号没有关系 . 因而 确定是原函数的一个周期. 变式训练名师归纳总结 1. 求函数 y=2sin1 -x 的周期 . 32 . 第 4 页,共 13 页解: 由于 y=2sin1 -x 3=-2sin1 x-33, 所以周期 T=6 . 2. 证明正弦、余弦函数的最小正周期是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明 : 反证法 先证正弦函数的最小正周期是 2 . 由于 2是它的一个周期, . , 都有 sinx+T=sinx. 所以只需证明任意一个小于2 的正数都不是它的周期假设 T 是正弦函数的周期, 且 0T2 ,

12、那么依据周期函数的定义, 当 x 取定义域内的每一个值时令 x=2, 代入上式 , 得 sin2+T=sin2=1, 但 sin2+T=cosT, 于是有 cosT=1. 依据余弦函数的定义, 当 T0,2 时,cosT0的周期. 并摸索总结本节都用了哪些数学方法 . 观看与归纳 , 特殊到一般 , 定义法 , 数形结合 , 辩证的观点 作业1. 课本习题 A 组 3,B 组 3. 2. 预习正弦函数、余弦函数的奇偶性 . 设计感想名师归纳总结 1. 本节课的设计思想是: 在同学的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点.第 5 页,共 13 页因此一开头要让同学从图形、代数两方面深化

13、探究, 不要让开头的探究成为一种摆设. 假如学生一开头没有很好的懂得, 那么 , 以后有些题就会很难做. 通过探究让同学找出周期这个规律性的东西 , 并明确学问依附于问题而存在, 方法为解决问题的需要而产生. 将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去, 由此把同学的思维推到更高的广度. 2. 本节设计的特点是从形到数、由特殊到一般、 由易到难 , 这符合同学的认知规律. 让同学在探究中积存学问, 进展才能 , 对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导. 但由于同学学问水平的限制, 本节不能扩展太多, 建议让学有余力的同学连续探讨函数的周期性的- - - - - - -精选学习资料

14、 - - - - - - - - - 规律及一般三角函数的周期的求法 . 3. 依据本节课的特点可考虑分层推动、照料全体 . 对优等生 , 重在引导他们进行一题多解 , 多题合一 , 变式摸索的训练 , 培育他们求同思维、求异思维才能 , 以及思维的敏捷性、深刻性与制造性 , 勉励他们独立摸索 , 勇于探究 , 敢于创新 , 对正确的要予以确定 , 对暴露出来的问题要准时引导、剖析订正 , 使课堂学习成为再发觉再制造的过程 . 设计者 : 郑吉星 第 2 课时导入新课思路 1. 类比导入 我们在争论一个函数的性质时 , 如幂函数、指数函数、对数函数的性质 ,往往通过它们的图象来争论 . 先让同

15、学画出正弦函数、余弦函数的图象 , 从同学画图象、 观看图象入手 , 由此绽开正弦函数、余弦函数性质的探究 . 思路 2. 直接导入 争论函数就是要争论函数的一些性质 ,y=sinx,y=cosx 是函数 , 我们当然也要探讨它们的一些性质 . 本节课 , 我们就来争论正弦函数、余弦函数最基本的几条性质 . 请同学们回想一下 , 一般来说 , 我们是从哪些方面去争论一个函数的性质的呢 定义域、值域、奇偶性、单调性、最值 . 然后逐一进行探究 . 推动新课新知探究提出问题回忆并画出正弦曲线和余弦曲线, 观看它们的外形及在坐标系中的位置; ; 观看正弦曲线和余弦曲线, 说出正弦函数、余弦函数的定义

16、域各是什么; 观看正弦曲线和余弦曲线, 说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么由值域又能得到什么; 观看正弦曲线和余弦曲线, 函数值的变化有什么特点. 观看正弦曲线和余弦曲线, 它们都有哪些对称. 1 2 图 2 活动 : 先让同学充分摸索、争论后再回答 . 对回答正确的同学 , 老师可勉励他们按自己的思路连续探究 , 对找不到摸索方向的同学 , 老师可参加到他们中去 , 并适时的赐予点拨、 指导 . 在上一节中 , 要求同学不仅会画图 , 仍要识图 , 这也是同学必需娴熟把握的基本功 . 因此 , 在研究正弦、余弦函数性质时 , 老师要引导同学充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线

17、, 当然用多媒体课件来争论三角函数性质是最抱负的, 由于单位圆中的三角函数线更名师归纳总结 直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系, 是争论三角函数性质的好工具. 用第 6 页,共 13 页三角函数线争论三角函数的性质, 表达了数形结合的思想方法, 有利于我们从整体上把握有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 关性质 . 对问题 , 同学不肯定画精确, 老师要求同学尽量画精确, 能画出它们的变化趋势. 对问题 , 同学很简洁看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R或 - ,+ . 对问题 , 同学很简洁观看出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界 ,

18、得出正弦函数、 余弦函数的值域都是 -1,1. 老师要引导同学从代数的角度摸索并给出证明 . 正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度 , sinx 1, cosx1, 即 - 1sinx 1, - 1cosx1.也就是说 , 正弦函数、余弦函数的值域都是-1,1 . 对于正弦函数y=sinxx R, 1 当且仅当 x=2+2k ,k Z 时 , 取得最大值1. 2 当且仅当 x=-2+2k ,k Z 时, 取得最小值 -1. 对于余弦函数y=cosxx R, 1 当且仅当 x=2k ,k Z 时, 取得最大值1. 2 当且仅当 x=2k+1 ,k Z 时, 取得最小值 -1. 对问题

19、 , 老师可引导、 点拨同学先截取一段来看, 选哪一段呢 .如图 3, 通过同学充分争论后确定 , 选图象上的 -2,3 如图 4 这段 . 老师仍要强调为什么选这段, 而不选 0,2 的2道理 , 其他类似 . 图 3 图 4 名师归纳总结 这个变化情形也可从下表中显示出来: 第 7 页,共 13 页x -20 232sinx -1 0 1 0 -1 就是说 , 函数 y=sinx,x -2,3 . 2当 x -2,2时 , 曲线逐步上升 , 是增函数 ,sinx的值由 -1 增大到 1; 当 x2,3时 , 曲线逐步下降 , 是减函数 ,sinx的值由 1 减小到 -1. 2类似地 , 同

20、样可得y=cosx,x - , 的单调变化情形. 老师要适时点拨、引导同学先如何- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 恰当地选取余弦曲线的一段来争论引导同学列出下表 : , 如图 5, 为什么选 - , , 而不是选 0,2 . 图 5 x - -0 2 2cosx -1 0 1 0 -1 结合正弦函数、余弦函数的周期性可知 : 正弦函数在每一个闭区间-+2k , +2k k Z 上都是增函数 , 其值从 -1 增大到 1;2 2在每一个闭区间+2k , 3 +2k k Z 上都是减函数 , 其值从 1 减小到 -1. 2 2余弦函数在每一个闭区间2k-1

21、 ,2k k Z 上都是增函数 , 其值从 -1 增加到 1; 在每一个闭区间 2k ,2k+1 k Z上都是减函数 , 其值从 1 减小到 -1. 对问题 , 同学能直观地得出 : 正弦曲线关于原点 O 对称 , 余弦曲线关于 y 轴对称 . 在 R上,y=sinx 为奇函数 ,y=cosx 为偶函数 . 老师要恰时恰点地引导 , 怎样用学过的学问方法赐予证明 . 由诱导公式 : sin-x=-sinx,cos-x=cosx, y=sinx 为奇函数 ,y=cosx 为偶函数 . 至此 , 一部分同学已经看出来了 , 在正弦曲线、余弦曲线上仍有其他的对称点和对称轴 , 如正弦曲线仍关于直线

22、x= 对称 , 余弦曲线仍关于点 ,0 对称 , 等等 , 这是由它的周期性而来2 2的. 老师可就此引导同学进一步探讨 , 为今后的学习打下伏笔 . 争论结果 : 略 .定义域为R. 最大值都是1, 最小值都是 -1. 值域为 -1,1,单调性 略 . 奇偶性 略 . 当我们认真对比正弦函数、余弦函数性质后 , 会发觉它们有许多共同之处 . 我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉 , 会发觉它们其实都是同样外形的曲线 , 所以它们的定义域相同 , 都为 R, 值域也相同 , 都是-1,1 , 最大值都是 1, 最小值都是 -1, 只不过由于 y 轴放置的位置不同, 使取得最大 或最小 值的时

23、刻不同 ; 它们的周期相同 , 最小正周期都是 2 ; 它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形 , 且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心 , 以过最值点且垂直于 x 轴的直线为对称轴 . 但是由于 y 轴的位置不同 , 对称中心及对称轴与 x 轴交点的横坐标也不同 . 它们都不具备单调性 , 但都有单调区间 , 且都是增、减区间间隔显现 , 也是由于 y 轴的位置转变 , 使增减区间的位置有所不同 , 也使奇偶性发生了转变 . 应用示例思路 1 名师归纳总结 例 1 数有最大值、最小值吗.假如有 , 请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合 , 并说出第 8 页,共 13 页- -

24、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 最大值、最小值分别是什么 . 1y=cosx+1,x R;2y=-3sin2x,x R. 活动 : 通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质. 简洁知道 , 这两个函数都有最大值、最小值 . 课堂上可放手让同学自己去探究 , 老师适时的指导、点拨、纠错 , 并体会对应取得最大 小 值的自变量为什么会有无穷多个 . 解: 1 使函数 y=cosx+1,x R取得最大值的 x 的集合 , 就是使函数 y=cosx,x R 取得最大值的 x 的集合 x|x=2k ,k Z; 使函数 y=cosx+1,x R取得最小值的 x 的集合

25、 , 就是使函数 y=cosx,x R取得最小值的 x 的集合 x|x=2k+1 ,k Z. 函数 y=cosx+1,x R的最大值是 1+1=2, 最小值是 -1+1=0. 2 令 Z=2x, 使函数 y=-3sin Z, ZR 取得最大值的 Z 的集合是 Z| Z=-+2k ,k Z, 2由 2x=Z=-+2k , 得 x=-+k . 2 4因此使函数 y=- 3sin2x,x R取得最大值的 x 的集合是 x|x=-+k ,k Z. 4同理 , 使函数 y=- 3sin2x,x R取得最小值的 x 的集合是 x|x= +k ,k Z. 4函数 y=- 3sin2x,x R 的最大值是 3

26、, 最小值是 -3. 点评 : 以前我们求过最值 , 本例也是求最值 , 但对应的自变量 x 的值却不唯独 , 这从正弦函数的周期性简洁得到说明 . 求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大 小 值的性质 ,对于形如 y=Asin x+ +B 的函数 , 一般通过变量代换 如设 Z= x+ 化归为 y=Asin Z+B的形式 , 然后进行求解 . 这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用. 名师归纳总结 例 2 函数的单调性 , 比较以下各组数的大小: 第 9 页,共 13 页1sin-18 与 sin-10;2cos23 与 cos17. 54活动 : 同学很简洁回忆

27、起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较, 充分利用同学的学问迁移, 有利于同学才能的快速提高. 本例的两组都是正弦或余弦, 只需将角化为同一个单调区间内, 然后依据单调性比较大小即可. 课堂上老师要让同学自己独立地去操作, 教师适时地点拨、纠错, 对摸索方法不对的同学赐予帮忙指导. 解 : 1 由于21018sin10. 2cos23=cos23=cos3,cos17=cos17=cos4. 55544由于 043cos3, 即 cos230,cos30, 明显大小立判 . . . 老师要引导同学的摸索方5例 3 函数 y=sin1 x+ 23,x -2 ,2 的单调递增区间活动 :

28、 可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间向: 把 1 x+ 看成 Z, 这样问题就转化为求 y=sin Z 的单调区间问题 , 而这就简洁多了 . 2 3解: 令 Z= 1 x+ . 函数 y=sin Z 的单调递增区间是2 3+2k , +2k . 2 2由-+2k 1 x+2k , 得 5+4k x+4k ,k Z. 2 2 3 2 3 3由 x-2 ,2 可知 ,-2 5+4k 且 +4k 2 , 于是 1 k5 , 由于 k Z,3 3 12 12所以 k=0, 即 5 x, 而5,-2 ,2 , 3 3 3 3因此 , 函数 y=sin x + ,x -2 ,2 的单调递增区

29、间是5, . 2 3 3 3点评 : 本例的求解是转化与化归思想的运用 , 即利用正弦函数的单调性 , 将问题转化为一个关于 x 的不等式问题 . 然后通过解不等式得到所求的单调区间数学思想方法 , 善于将复杂的问题简洁化 . 思路 2例 1 求以下函数的定义域 : 1y= 1;2y= cosx . 1 sin x活动 : 同学摸索操作 , 老师提示同学充分利用函数图象拨, 订正显现的一些错误或书写不规范等 . , 要让同学熟识并敏捷运用这一, 依据实际情形进行适当的指导点名师归纳总结 解: 1 由 1+sinx 0, 得 sinx -1, 即 x3+2k k Z. . 本例分作两步 ,第 10 页,共 13 页2原函数的定义域为x x3+2k ,k Z. 22 由 cosx0, 得2+2k x2+2k k Z. 原函数的定义域为2+2k ,2+2k k Z. 点评 : 本例实际上是解三角不等式, 可依据正弦曲线、 余弦曲线直接写出结果第一步转化 , 其次步利用三角函数曲线写出解集. 例 2 在以下区间中 , 函数 y=sinx+4 4 的单调增区间是 A.2, B.0,4 C.- ,0 D.