2022年第五章平行四边形.docx

《2022年第五章平行四边形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第五章平行四边形.docx（35页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料 欢迎下载5.1 多边形（ 1）学习目标：1. 明白四边形的概念；2. 懂得四边形的内角和定理,会利用内角和定理进行运算；3. 懂得四边形的外角和定理,会利用外角和定理进行运算；凸四边形： 把四边形的任何一边向两方延长,假如其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫凸四边形；如图（1）是凸四边形,下图（2）不是凸四边形；图（ 1）图（ 2）我们只争论凸四边形和凸多边形；3.多边形的对角线,四边形有两条对角线；如图, 四边形ABCD 中, AC ,BD 是它的两条对角线；类似地我们可以给出多边形对角线的概念,如图,五边形ABCDE

2、中, AC ,AD ,BD,BE,CE 是它的五条对角线；即 =5（条）；同样,我们可以运算出六边形有=9（条）对角线（请同学们自己动手画图） ；我们可以得出n 边形的对角线有条（ n 为正整数）；4.四边形内角和定理：四边形内角和等于360 ,（一条对角线将四边形分成两个三角形,由此推出四边形内角和为 2180=360 ）；类似地我们可以得出五边形内角和为 3180=540 ,n 边形内角和等于 n-2 180（即多边形内角和定理）；四边形外角和等于360 ,任意多边形的外角和也是360（多边形内角和定理的推论）；二、留意问题1、关于四边形的概念,可以仿照三角形,通过类比的分法来建立,但要留

3、意的是,名师归纳总结 三角形的三个顶点确定一个平面,所以三顶点总是共面的,也就是说三角形肯定是平面第 1 页,共 24 页图形, 但四边形就不是这样,它的四个顶点有不共面的情形,又限于我们现在争论的是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料 欢迎下载平面图形,所以在四边形的定义加上“ 在同一平面内 ” 这个条件；2、三角形的三边确定后,三角形的外形就确定了,而四边形的四条边长确定后,不能确定它的外形,它的各个角的大小可以转变,四边形转变外形时,只转变某些角的大小,它的边长不变,周长不变,这正是四边形的不稳固性,但它仍是四边形,所以它 的内角和不变；三

4、、例题分析：例 1、四边形最多有几个钝角？几个直角？几个锐角,最少有几个钝角？几个锐 角？分析：依据内角和定理来列举；解：四边形中最多有三个钝角,四个直角、三个锐角,可以没有钝角和锐角；假设有四个钝角,就它的内角和就大于360,这和四边形内角和为360冲突,所以它最多有三个钝角,假设有四个锐角,就它的内角和又小于360,故此也是错误的,最多只能有三个锐角；当然可以有四个直角,此时它是矩形（长方形）,此时即没有钝 角也没有锐角；例 2、已知四边形各内角之比为 3:3:5:4,求四个内角；分析：由四边形内角和定理知,四边形内角和为360 ；依条件可设其内角为3x,3x,5x,4x, 依据题意得：

5、3x+3x+5x+4x=360,解这个一元方程即可；解：设四个内角分别为 3x,3x,5x,4x ,就 3x+3x+5x+4x=360 ,x=24 , 3x=72 ,5x=120 ,4x=96 , 四边形各内角分别为 72,72,120, 96；例 3.四边形 ABCD 中, A= B=C, D 的外角度数是 75,求 A？解：由已知 D 的外角为 75 D=180 -75 =105又 A+ B+C+ D=360 （四边形内角和为 360） A= B=C 3A+105 =360 A=85答： A=85 ；例 4、已知如图,在四边形 ABCD 中, B 和 C 的平分线相交于点 O,求证：BOC

6、= A+ D）分析：此题综合运用了三角形内角和定理,四边形内角和定理及角平分线等学问,通过等量代换及和,差运算证得结果；名师归纳总结 证明： A+D+ DCB+ CBA=360（四边形内角和定理）第 2 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料欢迎下载CBA DCB+ CBA=360-A+ D）又 1=DCB , 2= 1+ 2= DCB+ CBA=360 -（ A+ D）=180- A+D）又 BOC+ 1+2=180 BOC=180-1+2=180-180 -（ A+ D=A+ D）即： BOC=A+ D；5.1 多边形（ 2）1

7、多边形及其内角和：（1）n 边形的内角和：（2）多边形的外角和等于 360 （3）多边形的对角线：从 n 边形的一个顶点作对角线有：（n-3 ）条；n 边形共有：条对角线；（4）正多边形：各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形；例 1.一个多边形除一个内角外,其余各角和为 形的边数；2210,求这个内角的度数及多边分析：考虑多边形的内角和与边数的关系,可以利用方程的思想来解决；解：设这个多边形的边数为n,这个内角的度数为x依题意得 n-2 180=x +2210名师归纳总结 又 0x1802210 n-2 180 2210 +180第 3 页,共 24 页- - - - - - -精选

8、学习资料 - - - - - - - - - 12n-213优质资料nEC, 当 AED= EAC 且 ED=AC 时, 可证 AEC EADSAS, 可得 D= C,从而有 D= B,DE=AB, 但 BE AD,四边形 ABED 不是平行四边形；5.3 平行四边形的性质（1）一平行四边形的性质定理 1 定理：平行四边形的两组对边分别相等；二平行四边形的性质定理 1 的两个推论 : 1.推论 1：夹在两条平行线间的平行线段相等；2.推论 2：夹在两条平行线间的垂线段相等例 1.一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； 分析 :是错误的；反例 ,如图 ,AO=CO, 但 BO DO,

9、四边形 ABCD 不是平行四边形；例 2.填空题 : 1. 平行四边形ABCD 中,AB AC, B=60 ,AC=2,就平行四边形ABCD 的周长是_；分析 :依据题意正确画出图形；关键是要求出 AB 和 BC 的长 ,Rt ABC 中,B=60 , 所以 ACB=30, AB= BC, 由勾股定理得 AB 2+AC 2=BC 2,又知 AC=2 , 有 AB2+2 2=2AB 2,可以求得 AB=2,BC=4, AB=CD,AD=BC, 平行四边形 ABCD 的周长为 12；在这里我们用到了直角三角形的学问；名师归纳总结 2.平行四边形的两边长为3cm 和 6cm,夹角为 60,就平行四边

10、形的面积为_cm ；第 9 页,共 24 页分析 :依题意画出图形, 平行四边形ABCD 中, A=60 ,AD=3cm,AB=6cm, 平行四边形的面积为其一边与这边上的高的积,因此我们作DEAB 于 E,只需求出DE 的长；Rt ADE 中, A=60 , ADE=30, AE=AD=cm； 由勾股定理得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - DE=优质资料=cm, 欢迎下载因此我们可以运算出平行四边形的面积=ABDE=6=9cm2；在这里我们复习了平行四边形的面积的求法 ,并且利用了直角三角形的学问；3.在平行四边形 ABCD 中,假如一边长 6cm,

11、一条对角线长是 8cm,就另一条对角线 x 的取值范畴是 _ ；分析 :由于平行四边形的对角线相互平分 ,如图 ,在平行四边形 ABCD 中,AC,BD 交于 O,假如 BC=6cm, AC=8cm, BD=x, 就有 BO= , OC= AC=4cm, 在 OBC 中由于三角形两边之和大于第三边 ,两边的差小于第三边 ,所以有 BC-OCOBBC+OC, 即2cm 10cm, 4cmx20cm ；在这里我们用到了三角形三边之间的关系；5.3 平行四边形的性质（2）平行四边形的性质定理 2：平行四边形的对角线相互平分；平行四边形的性质定理 2 在证明中的应用：一般地, 当题目中显现平行四边形的

12、对角线时,可以优先考虑“ 平行四边形的对角线相互平分” 这个定理；例 1.已知 ： 如图, AB/CD ,AD=BC ,求证 ：OD=OC ；分析 ：要证明 OD=OC ,依据图形特点,只需证D= C,证明角等的方法可以通过全等、等边、平行等得到；条件 AD=BC 的应用是此题的关键,所给的图形使此条件无法直接应用,需构造三角形或四边形,使其成为三角形或四边形中完整的边；证明 ：过 B 作 EB/AD ,交 CD 的延长线于 E AB/CD 四边形 ADEB 为平行四边形 AD=BE 又AD=BC ,BE=BC C=E 名师归纳总结 EB/AD ADC= E 第 10 页,共 24 页 C=A

13、DC ,OD=OC - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料 欢迎下载例 2 求证：平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等 已知 :如图：平行四边形 ABCD 中对角线 AC 、BD 相交于 O,OEAB 于 E,OFCD 于 F,求证 ：OE=OF ；分析 ：明显是通过证明两个三角形全等得到此结论,但是垂线的构成是由对角线的交点向一组对边引的两条垂线,在没有证明 等作为全等三角形判定的条件；证明： 平行四边形 ABCD , AO=CO , AB/CD CAB= ACD E、O、F 三点共线的情形下,切不行用对顶角相又OEAB 于 E,OF CD

14、 于 F AEO= OFC=90在 AOE 和 COF中CAB= ACDAEO= OFCAO=CO AOE COF, OE=OF 例 3 已知 ： 如图, E、 F 分别为平行四边形 点 O,求证： AO=CO ；ABCD 中 AB 、CD 的中点, EF 与 AC 交于分析 ：证明线段相等的问题可以利用平行四边形的对角线的性质,但明显证明AC 、BD交于 O 是涉及到三线共点的问题,是比较困难的；所以不妨仍然通过三角形的全等来查找 相等的线段；证明 ： ABCD 为平行四边形 AB=CD , AB/CD 又E、F 分别为 AB 、CD 的中点 CF=AE AB/CD CAE= ACFAEF=

15、 EFC AOE COF, AO=CO ；例 4. 已知 ：如图,在平行四边形 ABCD 中, E、 F 分别在 AB 、BC 上,且 EF/AC ,求证： AED 与 DCF 面积相等；分析 ：证明三角形面积相等有几种常见的方法：（1）全等三角形面积相等（2）等底（同底）等高三角形面积相等；从 图形中观看, AED 与 DCF 明显不全等；只有找等底 等高,而相等的高往往通过平行线找到； AED 与 DCF这两个三角形的底与高并无直线 相等关系,这就需要借助于中间图形,构造面积相等的帮助三角形；证明 ：连结 AF 、EC ABCD 为平行四边形, AB/CD , AED 与 AEC 等积 A

16、D/BC DCF 与 AFC等积 EF/AC AEC 与 AFC等积 AED 与 DFC等积；例 5如图,将 ABCD 沿 AC 折叠,点 B 落在 B处, AB 交 DC 于点 M 求证：折叠名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料 欢迎下载后重合的部分（即 MAC）是等腰三角形评析：该题是等腰三角形、轴对称图形、平行四边形性质的综合由于沿 AC 折叠,所以 AC 所在直线是四边形 ABCB 的对称轴,由轴对称的性质可以判定4=5依据平 行四边形的性质：对边平行,易知3=4,所以 3= 5,可知 MA=MC

17、,ADM CBM ,也可得到 MA=MC MAC 是等腰三角形得证另外证明证法 1： 四边形 ABCD 是平行四边形, AD=BC , D= B；, B= B ,由题意得 BC=CB AD=CB, D= B 又1=2 ADM CB M, MA=MC 即 MAC 是等腰三角形 证法 2： 四边形 ABCD 是平行四边形, AB CD , 4=3 又 ACB , ACB关于直线AC 对称, 4=5, 3=5 MA=MC ,即MAC 是等腰三角形5.4 中心对称一、学问点：（一）中心对称 把一个图形围着某一个点旋转 180 ,假如它能够与另一个图形重合,就称这两个图形 关于这个点对称或中心对称,这个

18、点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心 的对称点（二）中心对称的特点：1.关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平 分；2.关于中心对称的两个图形是全等图形；（三）中心对称图形：中心对称图形是一种特别的旋转对称图形一个图形围着某一点旋转 180后,假如旋 转后的图形能够与原先的图形重合,就这种图形叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心二、典型例题：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料 欢迎下载（一）基础题型：1.以下说法中,不正确选项（）A.轴对称图形的对称轴是对称点

19、连线的垂直平分线 B.中心对称图形的对称中心是对称点连线的中点 C.成轴对称的两个图形中,对应线段相等 D.成中心对称的两个图形中,对应线段平行且相等解析： 选 D；成中心对称的两个图形中,对应线段相等,有可能平行,仍有可能在同 始终线上；2.在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等边三角形中,既是轴对称 图形,又是中心对称图形的图形有（）A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个解析： 选 B；线段、矩形、菱形、正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形；等腰梯 形、等边三角形是轴对称图形；平行四边形是中心对称图形；3.选出以下图形中的中心对称图形（）A.B.C.D.解析： 选

20、B ；依据定义,一个图形围着某一点旋转 原先的图形重合,就这种图形叫做中心对称图形；180 后,假如旋转后的图形能够与4.在等腰三角形、等边三角形、菱形、等腰梯形中是轴对称图形,但不是中心对称图形个数是 B. 2 个C. 3 个D. 4 个A. 1 个解析： 选 C；等腰三角形、等边三角形、等腰梯形是轴对称图形,不是中心对称图形；菱形就既是轴对称图形,又是中心对称图形；5.以下图形中,不是中心对称图形的是（）A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等边三角形解析： 选 D；等边三角形是轴对称图形；6.以下图形绕某点旋转180 后,不能与原先图形重合的是（）A. B. C. D. 名师归纳总

21、结 - - - - - - -第 13 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料 欢迎下载解析： 选 B ；只有 B 不是中心对称图形；7.以下说法正确选项 A.两个会重合的三角形肯定成轴对称B.两个会重合的三角形肯定成中心对称C.成轴对称的两个图形中,对称线段平行且相等D.成中心对称的两个图形中,对称线段平行（或在同一条直线上）且相等解析： 选 D；8.以下正方体的平面绽开图中,既不是轴对称图形,也不是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 解析： 选 A ；（二）提高题型：例 1. 如下列图,观看图中的“ 风车 ”的平面图案,其中是中心对称图形的有（）

22、A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个分析： 抓住图形特点,观看图形绕中心点旋转 180 后能否与自身重合,就第 2 个、第 4个是,共有 2 个,选 B；例 2. 如下列图,已知ABC 与 CDA 关于点 O 对称,过 O 任作直线 EF 分别交 AD 、BC 于点 E、F,下面的结论：（1）点 E 和点 F；点 B 和点 D 是关于中心 O 的对称点； （2）直线 BD 必经过点 O；（ 3）四边形 ABCD 是中心对称图形；（4）四边形 DEOC 与四边形BFOA 的面积必相等；（5） AOE 与 COF 成中心对称,其中正确的个数为（）A. 1 个 B. 2 个 C.

23、3 个 D. 5 个名师归纳总结 分析： ABC 与 CDA 关于点 O 对称是两个图形的关系,但我们将这两个图形看成一第 14 页,共 24 页个整体,那么它就是一个关于O 点的中心对称图形,故（3）正确； B 与 D 关于 O 对称,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料 欢迎下载图形上的两点的连线如经过中心,这两点就是对称点,同时对称点的连线必经过对称中心,所以（ 1）（ 2）都正确；从中心对称图形的性质得知,四边形 DEOC 与四边形 BFOA 是四 对对称点所围成的图形,AOE 与 COF 也是对称点所围成的图形,所以它们分别成中心 对称

24、,故（ 4）和（ 5）都正确；选 D 例 3.某同学学习了几何中的对称后,突然想起了过去做过一道题：有一组数排成方阵,如下列图,试运算这组数的和；这个同学想,方阵就象正方形,正方形是轴对称图形,也 是中心对称图形,能不能利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的运算问题吗？这个同 学试了试,竟得到了特别奇妙的方法,你也能试试看吗？下面将这位同学的想法告知大家,我们一起来体验一下；从方阵中的数看出,一条对角线上的数都是 5,如把这条对角线当作轴,把正方形翻折 一下,对称位置的两数之和都是 10,这样方阵中数的和即可求；也可考虑：把方阵绕中心 旋转 180 ,就得到另一方阵,再加到原先的方阵上去,就得

25、到全部的数都是10 的方阵,这一方阵数的和亦可求；解法一：解法二：此题仍可引伸成解决其它数学问题；当在求一组有规律的数的和时,常常会用到对称思想；如：考虑：名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料 欢迎下载所以因此,数形结合是学习数学的一种重要思想方法；例 4. 一块方角形钢板（如下列图）,如何用一条直线将其分为面积相等的两部分；解析： 第一考虑分形（分成 n 个规章图形）；（1）该钢板可看成由上下两个矩形构成（如下列图）,矩形是中心对称图形,过对称中心的任始终线把矩形分成全等的两部分,自然平分其面积,而矩形的

26、对称中心是两条对角线的交点,因此,先作出两矩形的对称中心 A 、B,直线 AB 即为所求；（2）该钢板同样可看成左右两矩形构成（如下列图）,作出两矩形对称中心 C, D,直线 CD 也符合要求；（3）将钢板补成一个完整矩形（如下列图）,作出大矩形对称中心 E 和补上一块矩形名师归纳总结 的对称中心F,直线 EF 既平分大矩形,又平分补充矩形的面积,于是EF 平分原钢板面积；第 16 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料 欢迎下载5.5 平行四边形的判定（1）平行四边形的判定：1.利用定义判定：两组对边分别平行2.两组对边分别相等的

27、四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；例 1. 已知 ：如图,在平行四边形 ABCD 中, K、L 、M 、N 分别为 AB 、BC 、CD、AD上的点,且满意 AK=CM , BL=DN ,求证 ：四边形 KLMN 为平行四边形；分析 ：证明四边形是平行四边形的方法有很多,第一要明确证明的方向,依据题目所给的条件及图形特点发觉,图形中角等的条件比较少,所以通过角等或对边平行可能会比较困难,通过两组对边分别相等应是此题的证明方向；证明： ABCD 是平行四边形, C=A ,AD=BC ,又BL=DN , AD-DN=BC-BL

28、,即 AN=CL AK=CM , ANK CLM ,KN=ML ,同理：DMN BKL ,MN=KL 四边形 KLMN 为平行四边形；例 2.已知 ：如图,平行四边形 ABCD 中, E、F 分别为 AB 、 CD 中点,分别延长 BA 、DC 至 G、M ,使 AG=CM ,求证 ：EM/GF ；分析 ：要证明 EM/GF ,或是通过证明角等,或是证明 EM 与 GF 所在的四边形是平行四边形,通过平行四边形的性质得到平行关系；图中给出了平行四边形 ABCD 的条件,也就意味着 EG 与 MF 平行, 只需证明 EG 与 MF 相等, 即可得到四边形 EMFG 为平行四边形的结论；而找线段相

29、等在此题中是较简洁的；证明： ABCD 是平行四边形, AB/CD ,AB=CD 又E、F 分别为 AB 、CD 的中点 AE= AB= CD=CF AG=CM AG+AE=CM+CF 即 EG=FM 在四边形 EMFG 中, EG/MF ,EG=FM 四边形 EMFG 是平行四边形 EM/GF 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优质资料 欢迎下载5.5 平行四边形的判定（2）平行四边形的判定：1.对角线相互平分的四边形是平行四边形；1、已知,如图, ABC中,D为 AB的中点,E 是 AC上的一点, EF/BD,DF/BE,就 DF与 AE间的关系 是_【考查内容 】平行四边形的性质与判定解：连结 AF、DE EF/BD ,DF/BE 四边形 BDFE为平行四边形EF=BD D为 AB的中点, AD=BD EF=AD EF/AD 四边形 ADEF为平行四边形DF与 AE相互平分2、如图,已知 ABCD中, M是 BC的中点,且 边形的面积【考查内容 】平行四边形的面积的求法；解：过点 D作 DE/AM,交 BC延长线于点 E,过点 D作 DFBE于 FAM=9,BD=12,AD=10,求该平行四在 ABCD中, AD/BC,四边形 ADEM为平行四边形