电子课本苏教版数学必修第二册【高清教材】.pdf

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1、ISBN 978-7-5499-8666-89 787549 986668定价：16.63元书 书 书主编单墫李善良副 主 编葛军徐稼红石志群本册主编徐稼红编写人员陈光立樊亚东李善良徐稼红石志群葛军孙旭东张松年仇炳生于明单墫责任编辑田鹏 大自然这本书是用数学语言写成的 伽利略一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步 马克思致同学亲爱的同学，高中阶段的数学学习生活有趣吗？我们知道，数学是高中阶段的重要学科，不仅是学习物理、化学等学科的基础，而且可以帮助我们认识世界，改造世界，创造新的生活，对我们的终身发展有较大的影响怎样学习数学？第一，要学会发现问题、提出问题面对各种情境（生活的、数学

2、的、科学的），我们需要学会观察、实验、归纳，学会从特殊到一般、从具体到抽象、从模糊到清晰，大胆地提出数学问题第二，要尝试分析并解决所提出的问题通过抽象、推理、建模、运算等多种活动，建立数学理论，并运用这些数学理论去解决问题 第三，要学会回顾反思在解决完问题之后，要思考：我们是如何解决这个问题的，从中可以得到哪些启发，还能提出哪些问题在数学学习过程中，我们要主动地学习数学基础知识、基本技能，自觉地感悟基本数学思想，不断积累数学活动经验，提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养，并逐步学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界通过数学学习，我们会

3、发现数学非常奇妙，非常有趣数学将给我们以新奇和动力，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会得到发展我们将快乐地成长 考虑广大同学的不同需要，本书提供了较大的选择空间书中的引言、正文、练习、习题中的“感受理解”部分、阅读、本章回顾、本章测试等内容构成一个完整的体系它体现了教科书的基本要求，是所有学生应当掌握的内容，相信你一定能学好这部分内容本书还设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接、问题与探究、应用与建模，以及习题中的“思考运用”“探究拓展”等在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，相信你会更加喜欢数学书 书 书 目录第章平面向量 向量概念 向量运算 向量基本定理及坐标

4、表示 向量应用 问题与探究由平面向量到空间向量的推广 阅读向量源自力学 第 章三角恒等变换 两角和与差的三角函数 二倍角的三角函数 几个三角恒等式 问题与探究正弦函数与余弦函数的叠加 阅读弦表与托勒密定理 第 章解三角形 余弦定理 正弦定理 余弦定理、正弦定理的应用 问题与探究海伦 秦九韶公式 阅读流星不是地球蒸发物 第 章复数 复数的概念 复数的运算 复数的几何意义 复数的三角形式 问题与探究复数的开方 阅读复数系是怎样建立的？第 章立体几何初步 基本立体图形 基本图形位置关系 空间图形的表面积和体积 应用与建模拟柱体体积公式 阅读几何学的发展 第 章统计 获取数据的基本途径及相关概念 抽样

5、 统计图表 用样本估计总体 应用与建模阶梯电价的设计 阅读恩格尔系数 第 章概率 随机事件和样本空间 随机事件的概率 互斥事件和独立事件 问题与探究确定公平的规则 阅读制作杨辉三角形 专题数学建模与数学探究案例分析 课题研究 附录随机数表（部分）书 书 书本书部分常用符号犪向量犪 犃犅向量 犃犅犪向量犪的模（或长度）犃犅向量 犃犅的模（或长度）零向量犪犫向量犪与向量犫平行（共线）犪犫向量犪与向量犫垂直犪犫向量犪与犫的和犪犫向量犪与犫的差犪实数与向量犪的积犪犫向量犪与犫的数量积虚数单位，犆复数集狕复数狕的共轭复数狘狕狘，狘犪犫狘复数狕的模，犪犫的模犃犪点犃在直线犪上犃犪点犃不在直线犪上犃点犃在平

6、面内犃点犃在平面外犪平面和平面的交线是犪犪直线犪在平面内犪直线犪不在平面内犪犫犃直线犪和直线犫相交于点犃犪犃直线犪和平面相交于点犃犪直线犪平行于平面平面和平面互相平行犪直线犪垂直于平面 犃犅（或犾）棱为犃犅，面为，的二面角（或棱为犾，面为，的二面角）平面和平面互相垂直狓样本平均数狀犻犪犻狀个实数犪，犪，犪狀的和犘（犃）事件犃的概率犃事件犃的对立事件第章平 面 向 量 深入地探索和研究自然界，乃是数学发展的最为丰富的源泉，也是数学发现的最有成效的一种方法 傅里叶冬天到了，大雪过后，白雪皑皑如果你穿上滑雪板，站在被雪覆盖的、平滑的斜坡上，你会感到有一个力拉着你向下滑行，而且斜坡越陡，这个力就越大，

7、下滑的加速度也越大同样地，把木块放置在光滑的斜面上，木块将向下滑动斜面的坡度越大，木块下滑的加速度也越大这些运动中含有哪些物理量？用怎样的数学模型刻画这些物理量？怎样运用这样的数学模型去解决问题？书 书 书 向量概念 图 把木块放置在光滑的斜面上，根据物理学知识知道，斜面上的木块受到两个力的影响：重力犌与斜面的支持力犖重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直（图 ）木块在重力与支持力的合力作用下，会沿斜面向下运动，其运动的加速度为正，下滑的速度越来越快木块滑动后就会产生位置的变化，物理上用“位移”来刻画这种变化力、速度、加速度、位移这些量有什么共同特征？在现实生活中，有些量（如距离、身高、质

8、量等）只有大小，而另外一些量（如力、速度、加速度、位移等）既有大小又有方向我们把既有大小又有方向的量叫作向量（）用小写字母犪表示向量时，印刷用粗体犪，书写用犪向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向以犃为起点、犅为终点的向量记为 犃犅向量也可用小写字母犪，犫，犮来表示（图 ）图 向量 犃犅的大小称为向量的长度（或称为模），记作 犃犅我们规定，长度为的向量称为零向量（），记作，零向量的方向是任意的长度等于个单位长度的向量，叫作单位向量（）思考平面上起点在定点犗的单位向量，其终点的集合是什么图形？方向相同或相反的非零向量叫作平行向量（）在图 中，向量犪

9、，犫，犮是一组平行向量向量犪与向量犫平行，记作犪犫我们规定零向量与任一向量平行所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，而不管它们的起点位置如何向量犪与犫是相同的向量，也称犪与犫相等，记作犪犫如图 ，在犃犅犆犇中，向量 犃犅和 犇犆长度相等且方向必修第二册数学 相同，所以 犃犅 犇犆图 图 本章学习的向量都是平面内的自由向量它们仅由方向和大小确定，而与起点位置无关由此可知，将一个向量平移后所得的向量与原向量是相同的向量图 中，向量犪，犫，犮两两平行，可以通过平移使得犪，犫，犮落在同一直线上，所以，任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上因此平行向量又称为共线向量（）图 图 对于两个非零向量

10、犪和犫，在平面内任取一点犗，作 犗犃犪，犗犅犫，犃犗犅（）叫作向量犪与犫的夹角（图 ）当 时，犪与犫同向；当 时，犪与犫反向；当 时，则称向量犪与犫垂直，记作犪犫例已知犗为正六边形犃犅犆犇犈犉的中心，在图 所标出的向量中：图 （）试找出与 犉犈共线的向量；（）确定与 犉犈相等的向量；（）犗犃与 犅犆相等吗？解（）与 犉犈共线的向量有 犅犆和 犗犃（）犅犆与 犉犈长度相等且方向相同，则 犅犆 犉犈（）虽然 犗犃 犅犆，且狘 犗犃狘狘 犅犆狘，但它们方向相反，所以这两个向量并不相等我们把与向量犪长度相等，方向相反的向量叫作犪的相反向量，记作犪，犪与犪互为相反向量并且规定零向量的相反向量仍是零向量于

11、是，对任意一个向量犪，总有（犪）犪例在图 （）中的方格纸中有一个向量 犃犅，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与 犃犅相等的向量有多少平面向量第章 个？与 犃犅长度相等的共线向量有多少个（犃犅除外）？图 分析与 犃犅相等的向量应当满足“等长且同向”，首先要确定这些向量的起点在方格纸的格点中，除去点犃外，符合题意的起点还有个（图 （）与 犃犅长度相等的共线向量除了与 犃犅方向相同的向量外，还有与 犃犅方向相反的向量解当向量 犆犇的起点犆是图 （）中所圈的格点时，可以作出与 犃犅相等的向量这样的格点共有个，除去点犃外，还有个，所以共有个向量与 犃犅相等与 犃犅长度相等的共线向量（除 犃犅外）

12、共有（个）练习在下列命题中，哪些是正确的？（）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（）模相等的两个平行向量是相同的向量；（）若犪和犫都是单位向量，则犪犫；（）两个相同的向量的模相等；（）若犪犫，则犪与犫的夹角是 设点犗是正三角形犃犅犆的中心，则向量 犃犗，犅犗，犆犗是（）相同的向量模相等的向量共线向量共起点的向量写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为）（第题）（第题）（第题）如图，在直线犾上，找出与 犃犅平行的向量如图，四边形犃犅犆犇是正方形，找出与 犃犅垂直的向量必修第二册数学 习题 感受理解已知点犗是正方形犃犅犆犇的两条对角线的交点，在以点犗，犃，犅，犆，犇这点中任意一点为起点

13、，另一点为终点的所有向量中，写出：（）与 犅犆相等的向量；（）与 犗犅长度相等的向量；（）与 犇犃共线的向量长度相等的向量是相同的向量吗？相同的向量是共线向量吗？平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量吗？请举例说明（第题）如图，点犗为正方形犃犅犆犇的两条对角线的交点，四边形犗犃犈犇，犗犆犉犅都是正方形在图中所示的向量中：（）分别写出与 犃犗，犅犗相等的向量；（）写出与 犃犗共线的向量；（）写出与 犃犗的模相等的向量；（）判断向量 犃犗与 犆犗是否相等；（）写出与 犃犗垂直的向量（第题）如图，四边形犃犅犆犇与四边形犃犅犇犈都是平行四边形试回答下列问题：（）与 犃犅相等的向量是；（）若狘 犃犅狘

14、，则狘 犈犆狘下列命题中，正确的是（填序号）若狘犪狘狘犫狘，则犪犫；若狘犪狘狘犫狘，则犪犫；若犪犫，则犪犫；若狘犪狘，则犪判断下列说法是否正确：（）若犪犫，犫犮，则犪犮；（）单位向量均相等；（）任一向量与它的相反向量不相等思考运用（第题）在如图所示的向量犪，犫，犮，犱，犲中（小正方形的边长为），是否存在：（）共线向量？（）相反向量？（）相同的向量？（）模相等的向量？若存在，分别写出这些向量在四边形犃犅犆犇中，已知 犃犅 犇犆，求证：四边形犃犅犆犇为平行四边形探究拓展如图，以方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？（第题）向量运算 把木块放置在光滑的

15、斜面上，重力犌与斜面的支持力犖的合力是一个沿斜面向下的力，因而，木块向下滑动（图 （）如果斜面并不光滑，斜面就对木块产生摩擦力犳这时，木块的运动状态就取决于犌，犖，犳的合力（图 （）图 从运算角度看，求几个力的合力就可以看作是对几个向量实施某种运算的结果换句话说，向量与实数一样也能进行运算那么，向量如何进行运算呢？向量的加减法类比实数的加法，我们联想到，物理中位移的合成，以及速度的合成和力的合成，都可以看成向量的加法已知向量犪和犫（图 ），在平面内任取一点犗，作 犗犃犪，犃犅犫，则向量 犗犅叫作犪与犫的和，记作犪犫即犪犫 犗犃 犃犅 犗犅求两个向量和的运算叫作向量的加法图 如果犪犫，怎样作出犪

16、犫呢？根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则任一向量与其相反向量的和是零向量，即必修第二册数学 犪（犪）（犪）犪对于零向量和任一向量犪，我们规定犪犪犪向量的加法满足交换律、结合律，即犪犫犫犪，（犪犫）犮犪（犫犮）下面我们通过作图方式加以验证如图，作犗犃犅犆，使 犗犃犪，犗犆犫，则 犆犅 犗犃犪，犃犅 犗犆犫因为 犗犅 犗犃 犃犅犪犫，犗犅 犗犆 犆犅犫犪，所以犪犫犫犪图 图 图 还表明，对于任意两个不共线的非零向量犪，犫，我们还可以通过作平行四边形来求这两个向量的和分别作 犗 犃犪，犗犆犫，以犗 犃，犗犆为邻边作犗犃犅犆，则以犗为起点的对角线表示的向量 犗 犅就是向量

17、犪与犫的和我们把这种方法叫作向量加法的平行四边形法则同样，根据图 可以验证，向量的加法也满足结合律思考如果平面内有狀个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，这狀个向量的和是什么？图 例如图 ，犗为正六边形犃犅犆犇犈犉的中心，作出下列向量：（）犗犃 犗犆；（）犅犆 犉犈；（）犗犃 犉犈解（）因为四边形犗犃犅犆是以犗犃，犗犆为邻边的平行四边形，犗犅为其对角线，所以 犗犃 犗犆 犗犅（）因为 犅犆与 犉犈方向相同且长度相等，所以 犅犆与 犉犈是相同的向量，从而 犅犆 犉犈与 犅犆方向相同，长度为 犅犆长度的倍，因此，犅犆 犉犈可用 犃犇表示，即 犅犆 犉犈 犃犇（）因为 犗犃与 犉犈是一对相反向量，所以

18、 犗犃 犉犈平面向量第章 例在长江南岸某渡口处，江水以 的速度向东流，渡船在静水中的速度为 渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？分析如图 ，渡船的实际速度 犃犆、船的静水速度 犃犇与水速 犃犅应满足 犃犅 犃犇 犃犆图 解如图 ，设 犃犅表示水流的速度，犃犇表示渡船在静水中的速度，犃犆表示渡船实际垂直过江的速度因为 犃犅 犃犇 犃犆，所以四边形犃犅犆犇为平行四边形在 犃犆犇中，因为犃犆犇 ，狘 犇犆狘狘 犃犅狘 ，狘 犃犇狘，所以犆犃犇 答渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西 练习如图，已知向量犪，犫，求作向量犪犫（第题）如图，已知向量犪，犫，求作向量犪犫（第题）已知点犗是犃犅犆犇的两条

19、对角线的交点，则下面结论中正确的是（）犃犅 犆犅 犃犆 犃犅 犃犇 犃犆 犃犇 犆犇 犅犇 犃犗 犆犗 犗犅 犗犇化简下列各式：（）犃犅 犅犆 犆犇 犇犃；（）犃犅 犇犉 犆犇 犅犆 犉犃；（）（犃犅 犕犅）（犅犗 犅犆）犗犕在犃犅犆中，求证：犃犅 犅犆 犃犆判断下列说法是否正确：（）设点犗为四边形犃犅犆犇所在平面内一点，若 犃犗 犗犇 犅犗 犗犆，则必修第二册数学 四边形犃犅犆犇为平行四边形；（）（）在矩形犃犅犆犇中，犃犅 犅犆 犃犇 犅犃（）与实数的减法类似，我们定义，向量的减法是向量加法的逆运算若犫狓犪，则向量狓叫作犪与犫的差，记为犪犫求两个向量差的运算，叫作向量的减法根据向量减法的定义

20、和向量加法的三角形法则，我们可以得到向量犪犫的作图方法例如图 （），已知向量犪，犫不共线，求作向量犪犫如果犪犫，怎样作出犪犫呢？图 作法如图 （），在平面内任取一点犗，作 犗犃犪，犗犅犫因为 犗犅 犅犃 犗犃，即犫 犅犃犪，所以 犅犃犪犫这就是说，当向量犪，犫起点相同时，从犫的终点指向犪的终点的向量就是犪犫由向量加法的结合律可知，这里，我们用到了向量减法的定义犪（犫）犫犪（犫）犫犪，所以犪犫犪（犫）这表明：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量思考你能画图说明犪犫犪（犫）吗？图 例如图 ，点犗是犃犅犆犇的两条对角线的交点，犃犅犪，犇犃犫，犗犆犮，求证：犫犮犪 犗犃分析要证犫犮犪 犗犃，只要证犫

21、犮 犗犃犪证明因为四边形犃犅犆犇是平行四边形，所以 犇犃 犆犅因为犫犮 犇犃 犗犆 犗犆 犆犅 犗犅，犗犃犪 犗犃 犃犅 犗犅，平面向量第章 所以犫犮 犗犃犪，即犫犮犪 犗犃本题还可以通过 犗犃 犗犆 犆犃 犗犆 犆犅 犆犇来证明，或者从犮犪 犗犆 犃犅 犗犆 犇犆 犗犇 犗犃 犃犇来证明你还可以用其他方法来证明吗？思考任意一个非零向量是否一定可以表示为两个不共线的向量的和？练习如图，已知向量犪，犫，求作向量犪犫（第题）（第题）如图，在犃犅犆犇中，犃犅犪，犃犇犫，用犪，犫表示向量 犃犆，犇犅已知 犗犇 犗犈 犗犕，试判断下列结论是否正确：（）犗犕 犗犈 犗犇；（）犗犕 犇犗 犗犈；（）犗犇 犈

22、犗 犗犕；（）犇犗 犈犗 犕犗化简：（）犃犅 犆犅 犅犇 犃犇；（）犗犃 犗犆 犅犗 犆犗若非零向量犪和犫互为相反向量，则下列说法中错误的是（）犪犫犪犫狘犪狘狘犫狘犫犪在犃犅犆中，犇是犅犆的中点若 犃犅犮，犃犆犫，犅犇犪，犃犇犱，则下列结论中成立的是（填序号）犱犪犫；犱犪犫；犱犪犮；犱犪犮习题（）感受理解设犃，犅，犆是平面内任意三点，求证：犃犅 犅犆 犆犃当向量犪，犫满足什么条件时，狘犪犫狘狘犪狘狘犫狘成立？已知犪，犫是两个不共线的向量（）求作向量犪犫和犪犫；（）向量犪，犫满足什么位置关系时，犪犫犪犫？（不要求证明）必修第二册数学 一质点从点犃出发，先向北偏东 方向运动了到达点犅，再从点犅向正

23、西方向运动了到达点犆，又从点犆向西南方向运动了到达点犇，试画出向量 犃犅，犅犆，犆犇以及 犃犅 犅犆 犆犇在正三角形犃犅犆中，下列各等式成立的是（填序号）狘 犃犅狘狘 犅犆狘狘 犅犆 犆犃狘；狘 犃犅 犆犅狘狘 犅犃 犅犆狘；狘 犃犅 犃犆狘狘 犆犃 犆犅狘；狘 犃犅 犅犆 犃犆狘狘 犆犅 犅犃 犆犃狘设向量犪表示“向东走 ”，向量犫表示“向北偏东 走 ”，则犪犫表示什么？化简下列各式：（）犗犃 犗犅 犗犆 犆犗；（）（犃犅 犆犇）（犅犆 犃犇）在犃犅犆中，若狘 犃犅狘狘 犃犆狘狘 犃犅 犃犆狘，则犅犃犆在犃犅犆中，犆 ，犃犆犅犆，则下列哪几个等式是成立的？（）狘 犆犃 犆犅狘狘 犆犃 犆犅狘

24、；（）狘 犃犅 犃犆狘狘 犅犃 犅犆狘；（）狘 犆犃 犅犃狘狘 犆犅 犃犅狘；（第 题）（）狘 犆犃 犆犅狘狘 犃犅 犃犆狘狘 犅犃 犆犃狘 如图，四边形犃犅犆犇的对角线犃犆与犅犇交于点犗，且 犃犗 犗犆，犅犗 犗犇求证：四边形犃犅犆犇是平行四边形思考运用（第 题）如图，一艘船从犃点出发，以槡 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时，河水的流速为，求船实际航行速度的大小与方向（用与水流方向的夹角表示）飞机从甲地按南偏东 的方向飞行 到达乙地，再从乙地按北偏西 的方向飞行 到达丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地离甲地多远？在四边形犃犅犆犇中，已知 犃犅 犇犆，狘 犃犇 犃犅狘狘 犅犆 犅犃狘，求证

25、：四边形犃犅犆犇是矩形 证明：当向量犪，犫不共线时，（）狘犪狘狘犫狘狘犪犫狘狘犪狘狘犫狘；（）狘犪狘狘犫狘狘犪犫狘狘犪狘狘犫狘探究拓展 已知犘为四边形犃犅犆犇所在平面内一点，且向量 犘犃，犘犅，犘犆，犘犇满足等式 犘犃 犘犆 犘犅 犘犇试根据题意作图，观察四边形犃犅犆犇的形状你发现四边形犃犅犆犇有什么特殊的性质？并说明你的依据（第 题）如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于点犃，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来它能否从点犃走到与它相邻的点犅？它能否从任一交叉点出发，走到棋盘上的其他任何一个交叉点？平面向量第章 向量的数乘质点从点犗出发做匀速直线运动，如果经过

26、的位移对应的向量用犪表示，那么，在同方向上经过的位移所对应的向量应该怎样表示呢？如图 ，犗犃 犃犅 犅犆犪，则 犗犆 犗犃 犃犅 犅犆犪犪犪与实数的乘法类似，我们把犪犪犪记作犪，即 犗犆犪由向量的几何意义可知，犪的长度是犪的长度的倍，即犪 犪，犪的方向与犪的方向相同图 同样，由图 可知，犇犉 犇犈 犈犉（犪）（犪）（犪）显然（犪）的长度是犪的长度的倍，即（犪）犪，（犪）的方向与犪的方向相反，于是（犪）犪一般地，实数与向量犪的积是一个向量，记作 犪，它的长度和方向规定如下：（）狘 犪狘狘狘 狘犪狘（）若犪，则当时，犪与犪方向相同；当时，犪与犪方向相反实数与向量犪相乘的运算，叫作向量的数乘特别地，

27、当时，犪；当犪时，向量数乘 犪的几何意义是：当时，把向量犪沿着犪的相同方向放大或缩小；当时，把向量犪沿着犪的相反方向放大或缩小（图 ）图 设犪，犫为向量，为实数，可以验证向量的数乘满足下面的运算律：（）（犪）（）犪；（）（）犪 犪犪；（）（犪犫）犪 犫向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算例如图 （），已知向量犪和向量犫，求作向量 犪和向量犪犫必修第二册数学 作法如图 （）所示图 向量 犪的长度是犪的长度的 倍，方向与犪的方向相反以犗为起点，分别作 犗犃犪，犗犅犫，连接犅犃，则 犅犃 犗犃 犗犅犪犫例计算：（）（犪犫）（犪犫）；（）（犪犫犮）（犪犫犮）解（）原式犪犫犪犫犪犫（）原式犪 犫犮

28、犪 犫犮 犪思考向量的数乘与实数的乘法有哪些相同点和不同点？练习如图，已知向量犪，求作向量犪，犪（第题）计算：（）（犪犫）；（）（犪犫）（犪犫）如图，已知向量犪，犫，求作向量犪犫（第题）（第题）如图，已知向量犪，犫，求作向量：（）犪；（）犪犫；（）犪犫已知犲，犲是两个不共线的向量，向量犪犲犲，犫犲犲，求犪犫（用犲，犲表示）（第题）已知非零向量犪，求向量犪犪的模如图，在犗犃犅中，犆是犃犅的中点设 犗犃犪，犗犅犫，试用犪，犫表示 犗犆平面向量第章 例如图，犇，犈分别为犃犅犆的边犃犅，犃犆的中点，求证：犅犆与 犇犈共线，并用 犅犆表示 犇犈图 证明因为犇，犈分别为犃犅，犃犆的中点，所以犇犈犅犆，即

29、犅犆与 犇犈共线又犇犈犅犆，且 犇犈与 犅犆同向，设犪，若犫 犪（犚），则称向量犫可以用非零向量犪线性表示所以 犇犈 犅犆从上面的例中我们看到，如果两个向量共线，那么其中的一个向量可以由另一个（非零）向量的数乘来表示，即线性表示一般地，对于两个向量犪（犪），犫，有如下的向量共线定理：设犪为非零向量，如果有一个实数，使犫 犪，那么犫与犪是共线向量；反之，如果犫与犪是共线向量，那么有且只有一个实数，使犫 犪证明根据向量数乘的定义可知，对于向量犪（犪）和犫，如果有一个实数，使犫 犪，那么犫与犪是共线向量反过来，如果向量犫与犪（犪）是共线向量，那么当犫与犪同方向时，令狘犫狘狘犪狘；当犫与犪反方向时，令

30、狘犫狘狘犪狘；当犫时，令从而有一个实数，使犫 犪假设有两个实数，使犫 犪，犫 犪，则犫犫（）犪，狘 狘 狘犪狘因为狘犪狘，所以，即 故有且仅有一个实数，使犫 犪图 例如图，已知犗为直线犃犅外一点，点犆在直线犃犅上，且 犃犆 犆犅（）求证：犗犆 犗犃 犗犅必修第二册数学 为了方便起见，有时将犪写成犪（）分析将已知条件中的 犃犆，犆犅用 犗犃，犗犅，犗犆来表示，进而得出 犗犆用 犗犃与 犗犅表示的式子证明因为 犃犆 犗犆 犗犃，犆犅 犗犅 犗犆，又 犃犆 犆犅，所以 犗犆 犗犃（犗犅 犗犆），即（）犗犆 犗犃 犗犅又因为，即，当时，你能得到什么结论？所以 犗犆 犗犃 犗犅思考上例的结论可写成如下形

31、式：犗犆 犗犃 犗犅，这表明：起点为犗，终点为直线犃犅上一点犆的向量 犗犆可以用 犗犃，犗犅表示那么两个不共线的向量 犗犃，犗犅可以表示平面内任一向量吗？练习已知犪，犫都是非零向量，且犪犫，求证：向量犪，犫共线设为实数，已知犲是单位向量，向量犪的模为，犪 犲，求的值（第题）已知犲，犲是两个不共线的向量，犪犲犲，犫（犲犲），求证：犪与犫是共线向量如图，已知点犆是直线犃犅上一点，且犃犅犅犆，试用 犃犅分别表示 犃犆，犆犅如图，在犃犅犆中，犆犇犇犃犃犈犈犅，记 犅犆犪，犆犃犫，求证：犇犈（犫犪）（第题）（第题）如图，在犗犃犅中，犆是犃犅上一点，且犆犅犃犆设 犗犃犪，犗犅犫，试用犪，犫表示 犗犆已知向

32、量犪，犫满足犪 犫，其中是实数，求证：向量犪，犫共线习题（）感受理解计算：（）（犪犫）（犪犫）；（）（犪犫犮）（犪犫犮）已知向量犪，犫，且（狓犪）（狓犪）（狓犪犫），求向量狓已知犇，犈，犉分别为犃犅犆的边犅犆，犆犃，犃犅的中点，犅犆犪，犆犃平面向量第章 犫给出下列五个命题：犃犅犪犫；犅犈犪犫；犆犉犪犫；犃犉犪犫；犃犇 犅犈 犆犉其中正确的命题是（填序号）如图，在正方形犃犅犆犇中，若犈是犃犅的中点，犃犅犪，犃犇犫，试用犪，犫表示 犆犈（第题）（第题）如图，点犘，犙是线段犃犅的三等分点，设 犗犃犪，犗犅犫，试用犪，犫分别表示 犗犘，犗犙已知 犕犘犲犲，犘犙犲犲，求证：犕，犘，犙三点共线如图，在任意

33、四边形犃犅犆犇中，犈，犉分别是犃犇，犅犆的中点求证：犃犅 犇犆 犈犉（第题）设为实数，已知点犘在直线犕犖上，且狘 犕犘狘狘 犘犖狘，犕犘 犘犖，求的值 思考运用已知犪，犫是两个不共线的向量，犗犃犪犫，犗犅犪犫，犗犆犪犫，你能判断犃，犅，犆三点之间的位置关系吗？为什么？在四边形犃犅犆犇中，已知 犃犅犪犫，犅犆犪犫，犆犇犪犫，其中犪，犫是不共线的向量，试判断四边形犃犅犆犇的形状 设犪，犫均为实数，已知 犗犃，犗犅不共线，点犘满足 犗犘犪 犗犃犫 犗犅，犪犫，求证：犃，犅，犘三点共线 如图，犇，犈，犉分别是犃犅犆的边犅犆，犆犃，犃犅上的点，且犃犉犃犅，犅犇犅犆，犆犈犆犃设 犃犅犿，犆犃狀，试用犿，狀

34、分别表示 犇犈，犈犉，犉犇（第 题）探究拓展 证明：如果存在不全为的实数狊，狋，使得狊 犪狋 犫，那么犪与犫是共线向量；如果犪与犫不共线，且狊 犪狋 犫，那么狊狋 在第题中，当点犘，犙三等分线段犃犅时，有 犗犘 犗犙 犗犃 犗犅如果点犃，犃，犃狀是犃犅的狀（狀）等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论必修第二册数学 向量的数量积前面我们学习了向量的线性运算：加法、减法和数乘，它们运算的结果还是一个向量那么，向量与向量能否“相乘”呢？先看一个实际问题：一个物体在力犉的作用下发生了位移狊，那么该力对此物体所做的功为多少？我们知道，如果力犉与物体位移狊的夹角为（图 ），那么犉所做的功犠应为犠狘犉狘

35、狘狊狘 图 如果把功犠看成两个向量犉与狊的某种运算结果，那么这个结果是一个数量，它不仅与两个向量的长度有关，而且还与这两个向量的夹角有关这是一种新的运算数量积亦称为“内积”或“点积”犪犪不是零向量，而犪是零向量已知两个非零向量犪和犫，它们的夹角是，我们把数量狘犪狘狘犫狘 叫作向量犪和犫的数量积（），记作犪犫，即犪犫狘犪狘 狘犫狘 我们规定：零向量与任一向量的数量积为可见，前面提到的力所做的功犠，就是力犉与在其作用下物体产生的位移狊的数量积犉狊根据向量数量积的定义，两个非零向量犪和犫的夹角，可以由 犪犫狘犪狘 狘犫狘求得犪犪可以简写为犪，所以犪犪犪狘犪狘根据定义，还可以得到犪犫犪犫（犪，犫是两个

36、非零向量），犪犪狘犪狘或狘犪狘犪槡犪例已知向量犪与犫的夹角为，狘犪狘，狘犫狘，分别在下列条件下求犪犫：（）；（）犪犫；（）犪犫解（）犪犫狘犪狘 狘犫狘 槡（）当犪犫时，或 平面向量第章 若，则犪犫狘犪狘 狘犫狘；若 ，则犪犫狘犪狘 狘犫狘（）当犪犫时，犪犫设犪，犫是两个非零向量，如图，犗犃表示向量犪，犗犅表示向量犫，过点犃作 犗犅所在直线的垂线，垂足为点犃我们将上述由向量犪得到向量 犗犃的变换称为向量犪向向量犫投影，向量 犗犃称为向量犪在向量犫上的投影向量（）图 可以看到，通过投影，由向量犪得到了与向量犫共线和垂直的两个向量 犗犃和犃 犃，三个向量犪，犗犃和犃 犃构成一个直角三角形下面我们考察

37、投影向量与向量的数量积之间的关系设向量犪，犫的夹角为，由图 可知：犫犫为向量犫方向上的单位向量当为锐角时，犗犃狘 犗犃狘犫狘犫狘（狘犪狘 ）犫狘犫狘；当为钝角时，犗犃狘 犗犃狘犫狘犫狘（狘犪狘 ）犫狘犫狘可以验证，当，时，犗犃（狘犪狘 ）犫狘犫狘均成立综上，对于向量犪，犫，向量犪在向量犫上的投影向量为（狘犪狘 ）犫狘犫狘因为 犗犃犫（狘犪狘 ）犫狘犫狘犫（狘犪狘 ）犫狘犫狘（狘犪狘 ）狘犫狘狘犫狘狘犪狘 狘犫狘 ，所以犪犫 犗犃犫因此，向量犪和犫的数量积就是向量犪在向量犫上的投影向量与向量犫的数量积设向量犪，犫，犮和实数，向量的数量积满足下列运算律：向量的数量积满足结合律吗？（）犪犫犫犪；（）

38、（犪）犫犪（犫）（犪犫）犪犫；（）（犪犫）犮犪犮犫犮必修第二册数学 由向量的数量积的定义不难验证运算律（）（）的正确性对运算律（），我们用投影向量的概念进行证明如图 ，任取一点犗，作图 犗犃犪，犃犅犫，犗犆犮，则 犗犅犪犫设犃犃犗 犆于犃，犅犅犗 犆于犅，则向量犪，犫，犪犫在向量犮上的投影向量分别为犗犃，犃犅 和犗犅 当点犗，犃，犅，犆按从左到右的顺序排列时（图 ），有（犪犫）犮犗犅 犮狘犗犅 狘 狘犮狘（狘犗犃 狘狘犃犅 狘）狘犮狘狘犗犃 狘 狘犮狘狘犃犅 狘 狘犮狘犗犃 犮犃犅 犮犪犮犫犮即（犪犫）犮犪犮犫犮对犗，犃，犅，犆的其他排列顺序，上式也成立例已知犲，犲是夹角为 的两个单位向量，犪

39、犲犲，犫犲犲求证：犪犫分析要证明两个非零向量垂直，只需证明它们的数量积为解依题意，得犲犲，犲犲 因为犪犫（犲犲）（犲犲）犲犲犲犲，所以犪犫练习设向量犪与犫的夹角为，狘犪狘，狘犫狘，分别根据下列所给的值，求犪犫：（）；（）；（）分别根据下列条件，求 犃犅 犃犆（）如图（），在正三角形犃犅犆中，犃犅；（）如图（），在正方形犃犅犆犇中，犃犅；（）如图（），在菱形犃犅犆犇中，犃犅，犅犃犇 （第题）已知狘犪狘，狘犫狘槡，犪犫，求犪与犫的夹角已知狘犪狘，犪犫，且犪与犫的夹角为 ，求犫平面向量第章 已知狘犪狘，狘犫狘，设犪，犫的夹角为，当分别等于 ，时，求犪在犫上的投影向量，并图示其意义证明：（）（犪犫）犪

40、犪犫犫；（）（犪犫）（犪犫）犪犫已知狘犪狘，狘犫狘，且犪与犫的夹角为 ，求：（）（犪犫）；（）犪犫已知犪，犫，犮是三个非零向量，试判断下列结论是否正确：（）若犪犫狘犪狘 狘犫狘，则犪犫；（）若犪犮犫犮，则犪犫习题（）感受理解设犪与犫的夹角为，狘犪狘，狘犫狘，分别根据下列所给的值求犪犫：（）；（）；（）已知狘犪狘，狘犫狘，且犪与犫的夹角为 ，求犪犫和狘犪犫狘设向量犪，犫满足狘犪狘狘犫狘，狘犪犫狘，求狘犪犫狘已知狘犪狘槡，狘犫狘槡，犪犫，求犪与犫的夹角已知狘犪狘，狘犫狘槡，且犪与犫的夹角为 ，求（犪犫）已知狘犪狘，狘犫狘，且犪犫，求（犪犫）（犪犫）的值已知犲，犲是夹角为 的两个单位向量，犪犲犲，犫

41、犲犲（）求犪犫；（）求证：（犪犫）（犪犫）（第 题）设犪，犫都是非零向量，且狘犪犫狘狘犪犫狘，求证：犪犫 证明：狘犪犫狘狘犪犫狘（狘犪狘狘犫狘）如何构造一个图形解释这个公式的几何意义？如图，在犃犅犆犇中，犃犅，犃犇，犅犃犇 求：（）犃犅 犃犆的值；（）犅犃犆思考运用 设犪是非零向量，犪犫犪犮，且犫犮，求证：犪（犫犮）设犪，犫是两个非零向量，且（犪犫）（犪犫），（犪犫）（犪犫），求犪与犫的夹角 设犽为实数，已知向量犪与犫不共线，狘犪狘，狘犫狘，当犽为何值时，向量犪犽 犫与犪犽 犫垂直？设犕，犘，犙为平面内三点，求证狘 犕犘 犕犙狘狘 犕犘狘 狘 犕犙狘，并确定等号成立的条件探究拓展 在犃犅犆中，

42、设 犃犅犮，犅犆犪，犆犃犫，且犪犫犫犮犮犪，判断犃犅犆的形状 向量基本定理及坐标表示 木块放置在斜面上，设犉是垂直于斜面向下的力，犉是平行于斜面向下的力，则犌犉犉（图 ），即重力犌分解为力犉和犉，从而犌可以用力犉和犉来表示这里，犉和犉是不共线的两个力图 那么，平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？平面向量基本定理我们知道，设犲为非零向量，对于任意实数，犲是与犲共线的向量反过来，对于任一与犲共线的向量犪，存在唯一的实数，使犪 犲如图 ，设犲，犲是平面内两个不共线的向量，对于任意实数，根据向量的运算法则，我们很容易作出平面内一个新的向量犲犲反过来，对于平面内的任一向量犪，是否存在实数，

43、使犪犲犲成立呢？如图 ，在平面内任取一点犗，作 犗犃犲，犗犅犲，犗犆犪过点犆作平行于犗犅的直线，交直线犗犃于点犕；过点犆作平行于犗犃的直线，交直线犗犅于点犖，则有且只有一对实数，使得 犗犕犲，犗犖犲图 图 平面向量第章 因为 犗犆 犗犕 犗犖，所以犪犲犲于是，我们有下面的定理：平面向量基本定理如果犲，犲是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量犪，有且只有一对实数，使犪犲犲我们把两个不共线的向量犲，犲叫作这个平面的一组基底（）由平面向量基本定理知，平面内任一向量犪可以用一组基底犲，犲表示成犪犲犲的形式我们称犲犲为向量犪的分解当犲，犲所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量犪的正交

44、分解（）思考平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？例如图 ，犃犅犆犇的对角线犃犆和犅犇交于点犕，犃犅犪，犃犇犫，试用基底犪，犫表示 犕犆，犕犃，犕犅和 犕犇图 分析利用关系式 犃犆 犃犅 犃犇和 犕犆 犃犆来求解解 犃犆 犃犅 犃犇犪犫因为平行四边形的对角线互相平分，所以 犕犆 犃犆犪犫从而 犕犃 犕犆犪犫，犕犅 犇犅（犃犅 犃犇）犪犫，犕犇 犕犅犫犪必修第二册数学 例如图 ，质量为犿的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面对物体的摩擦力犳图 解物体受到三个力：重力犌（方向竖直向下，大小为犿犵），斜面的支持力犖（方向与斜面垂直向上，大小记为狆

45、），摩擦力犳（方向与斜面平行向上，大小记为犳）因为物体静止，所以上述三个力的合力为零，即犌犖犳，则犳犌犖，所以（犳）（犳）（犌犖）（犳）犌（犳）狘犌狘 狘犳狘 （），即狘犳狘狘犌狘 狘犳狘 ，从而狘犳狘狘犌狘 犿犵 （）答斜面对于物体的摩擦力犳的大小为犿犵 ，方向与斜面平行向上例设犲，犲是平面内的一组基底，犃犅犲犲，犅犆犲犲，犆犇犲犲，求证：犃，犅，犇三点共线分析欲证犃，犅，犇三点共线，只需证明共起点的两个向量 犃犅与 犃犇共线，即证明 犃犇 犃犅证明因为 犃犇 犃犅 犅犆 犆犇（犲犲）（犲犲）（犲犲）犲 犲（犲犲）犃犅，能否选择其他公共起点来证明？所以 犃犇与 犃犅共线又因为 犃犇与 犃犅有

46、公共的起点犃，所以犃，犅，犇三点共线平面向量第章 练习如图，已知向量犲，犲，求作下列向量：（）犲犲；（）犲犲（第题）若犲，犲是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（）犲犲和犲犲犲犲和犲犲犲犲和犲犲 犲和犲犲设犪，犫是两个不共线的向量，若实数，满足 犪（）犫 犫（）犪，则，设犽为实数，若犲，犲是两个不共线的向量，满足犲犽 犲与犽 犲犲共线，则犽 习题（）感受理解如图，已知向量犲，犲，求作下列向量：（）犲犲；（）犲 犲（第题）（第题）如图，犃犅犆犇的对角线犃犆和犅犇交于点犗，设 犗犃犪，犗犅犫，试用基底犪，犫表示 犅犆和 犇犆在犃犅犆中，犇，犈分别是犃犅，犃犆的中点，用向量 犃

47、犅，犃犆表示向量 犇犈思考运用设犲，犲是平面内的一组基底，犃犅犲犲，犃犆犲犲，犃犇犲犲，求证：犅，犆，犇三点共线如图，犘，犙分别是四边形犃犅犆犇的对角线犃犆与犅犇的中点，设 犅犆犪，犇犃犫，且犪，犫不是共线向量，试用基底犪，犫表示向量 犘犙（第题）（第题）探究拓展如图，犗犃，犗犅是两个不共线的向量，且 犃犘狋 犃犅（狋犚），试用 犗犃，犗犅表示向量 犗犘必修第二册数学 向量坐标表示与运算在平面直角坐标系内，任意一点犘都可以用有序实数对（狓，狔）来表示，而点犘唯一对应着以原点犗为起点，犘为终点的向量 犗犘自然地，我们会想到，平面向量犪也能用一对有序实数来表示吗？向量的坐标表示如图 ，在平面直角坐

48、标系中，分别取与狓轴、狔轴正方向相同的两个单位向量犻，犼作为基底，对于平面内的向量犪，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数（狓，狔），使得犪狓 犻狔犼狓 犻，狔 犼分别为向量犪在向量犻，犼上的投影向量图 图 我们把有序实数对（狓，狔）称为向量犪的（直角）坐标，记作犪（狓，狔）如图 ，作 犗犃犪，即有 犗犃狓 犻狔犼，则 犗犃的坐标（狓，狔）就是终点犃的坐标；反过来，点犃的坐标（狓，狔）就是向量 犗犃的坐标图 例如图 ，已知犗是坐标原点，点犃在第一象限，犗犃槡，狓犗犃 求向量 犗犃的坐标解设点犃（狓，狔），则狓槡 槡，狔槡 ，即犃（槡，），所以 犗犃（槡，）向量线性运算的坐标表示当向量用

49、坐标表示时，向量的和、差以及向量数乘也都可以用相应的坐标来表示设犪（狓，狔），犫（狓，狔），那么平面向量第章 犪犫（狓，狔）（狓，狔）（狓犻狔犼）（狓犻狔犼）（狓狓）犻（狔狔）犼（狓狓，狔狔）同理得犪犫（狓狓，狔狔），犪（狓，狔）于是，我们有已知向量犪（狓，狔），犫（狓，狔）和实数，那么犪犫（狓狓，狔狔），犪犫（狓狓，狔狔），犪（狓，狔）如图 ，若犃（狓，狔），犅（狓，狔），则 犃犅 犗犅 犗犃（狓，狔）（狓，狔）（狓狓，狔狔）这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标图 图 四边形犗犆犇犃是平行四边形吗？例如图 ，已知犃（，），犅（，），犆（，），犇（，），求向量 犗犃，犗犅

50、，犃犗，犆犇的坐标解 犗犃（，），犗犅（，），犃犗 犗犃（，），犆犇（，）（，）（，）例用向量的坐标运算解 节的例解如图 ，记方向垂直于斜面向下、大小为的力为犲，方向平行于斜面向下、大小为的力为犲以犲，犲为基底建立平必修第二册数学 面直角坐标系，得犖，犳，犌三个力的坐标分别为图 犖（狆，），犳（，犳），犌（犿犵 ，犿犵 ）由犌犖犳，得（犿犵 ，犿犵 ）（狆，）（，犳）（，），从而有犿犵 犳，即犳犿犵 答斜面对于物体的摩擦力犳的大小为犿犵 ，方向与斜面平行向上例已知犘（狓，狔），犘（狓，狔），犘是直线犘犘上一点，且犘 犘犘犘（），求点犘的坐标解设犘（狓，狔），则犘 犘（狓狓，狔狔），犘犘（狓狓，