电子课本苏教版数学选修第二册【高清教材】.pdf

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1、ISBN 978-7-5499-9164-89 787549 991648定价：10.55元书 书 书主编单墫李善良副 主 编葛军徐稼红石志群本册主编石志群编写人员陈光立孙旭东石志群徐稼红樊亚东李善良葛军张松年张乃达单墫责任编辑田鹏普通高中教科书书名数学（选择性必修第二册）主编单墫李善良责任编辑田鹏出版发行江苏凤凰教育出版社（南京市湖南路号楼邮编 ）照排南京展望文化发展有限公司印刷江苏省高淳印刷股份有限公司（电话：）厂址南京市高淳区开发区双高路 号（邮编：）开本 毫米 毫米 印张 版次 年月第版印次 年月第次印刷书号 定价 元盗版举报 苏教版图书若有印装错误可向出版社联系调换质量热线：大自然这

2、本书是用数学语言写成的 伽利略一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步 马克思致同学亲爱的同学，高中阶段的数学学习生活有趣吗？我们知道，数学是高中阶段的重要学科，不仅是学习物理、化学等学科的基础，而且可以帮助我们认识世界，改造世界，创造新的生活，对我们的终身发展有较大的影响怎样学习数学？第一，要学会发现问题、提出问题面对各种情境（生活的、数学的、科学的），我们需要学会观察、实验、归纳，学会从特殊到一般、从具体到抽象、从模糊到清晰，大胆地提出数学问题第二，要尝试分析并解决所提出的问题通过抽象、推理、建模、运算等多种活动，建立数学理论，并运用这些数学理论去解决问题 第三，要学会回顾反思在

3、解决完问题之后，要思考：我们是如何解决这个问题的，从中可以得到哪些启发，还能提出哪些问题在数学学习过程中，我们要主动地学习数学基础知识、基本技能，自觉地感悟基本数学思想，不断积累数学活动经验，提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养，并逐步学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界通过数学学习，我们会发现数学非常奇妙，非常有趣数学将给我们以新奇和动力，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会得到发展我们将快乐地成长 考虑广大同学的不同需要，本书提供了较大的选择空间书中的引言、正文、练习、习题中的“感受理解”部分、阅读、本章回顾、本章测试等内

4、容构成一个完整的体系它体现了教科书的基本要求，是所有学生应当掌握的内容，相信你一定能学好这部分内容本书还设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接、问题与探究、应用与建模，以及习题中的“思考运用”“探究拓展”等在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，相信你会更加喜欢数学书 书 书 目录第章空间向量与立体几何 空间向量及其运算 空间向量的坐标表示 空间向量的应用 问题与探究平面方程 阅读向量的向量积 第章计数原理 两个基本计数原理 排列 组合 二项式定理 问题与探究算两次 阅读杨辉三角 第章概率 条件概率 离散型随机变量及其分布列 正态分布 问题与探究你的彩票被扔掉了吗？阅读高斯

5、与概率统计 第章统计 线性回归分析 独立性检验 应用与建模区分蠓蚊 阅读世界一流的统计学家 许宝?专题数学建模与数学探究案例分析 课题推荐 附录标准正态分布犘（犣狕）数值表 书 书 书本书部分常用符号犗 狓 狔 狕 空间直角坐标系 犃犅以犃为起点、犅为终点的向量 犃犅向量 犃犅的模（或长度）犲，犲，犲空间的一个基底犻，犼，犽单位正交基底犪，犫向量犪与犫的夹角犿直线犿在平面内犿狀犅直线犿和直线狀相交于点犅犾直线犾平行于平面犾直线犾垂直于平面犿狀从狀个不同的元素中选出犿个不同元素的排列数狀！将狀个不同的元素进行全排列的排列数犿狀从狀个不同的元素中选出犿个不同元素的组合数犘（犡狓犻）随机变量犡取值为

6、狓犻时对应的随机事件发生的概率犡犅（狀，狆）随机变量犡服从参数为狀，狆的二项分布犡犎（狀，犕，犖）随机变量犡服从参数为狀，犕，犖的超几何分布珡犃随机事件犃的对立事件犘（犃）随机事件犃发生的概率犘（犅狘犃）随机事件犃发生的条件下随机事件犅发生的概率犘（犃犅）随机事件犃，犅同时发生的概率犈（犡）（或）随机变量犡的均值或数学期望犇（犡）（或）随机变量犡的方差犇（犡槡）（或）随机变量犡的标准差犡犖（，）随机变量犡服从参数为，的正态分布分布犡犡数据的均值第章空间向量与立体几何 数无形时少直觉，形少数时难入微 华罗庚在数学（必修第二册）中，我们学习了平面向量，研究了平面向量的运算、平面向量基本定理及平面向

7、量的坐标表示，运用平面向量知识解决了数学和物理中的一些问题然而，在现实生活中，许多涉及大小和方向的问题不仅出现在平面中，也经常出现在空间中例如，吊车吊载物体，飞机降落，火箭发射空间向量是如何进行运算的？怎样用向量解决空间图形的相关问题？空间向量与立体几何第章 空间向量及其运算在空间，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量，叫作空间向量（）我们已经学习过平面向量的运算及其性质，那么，空间向量如何进行运算？空间向量具有什么性质？空间向量的线性运算与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示相同的向量类比平面向量的运算，空间向量也有加法、减法和数乘运

8、算如图 ，已知空间向量犪，犫，在空间任取一点犗，作 犗犃犪，犃犅犫由犗，犃，犅三点确定一个平面或三点共线可以知道，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段来表示图 与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为（图 ）：犗犅 犗犃 犃犅犪犫，犅犃 犗犃 犗犅犪犫，犗犘 犪（犚）图 选择性必修第二册数学 同样，空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：（）犪犫犫犪；（）（犪犫）犮犪（犫犮）；（）（犪犫）犪 犫（犚）如图 ，我们可以借助空间四边形来验证空间向量的加法满足结合律图 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算共线向量的方向相同或相反如果表示空间向量的有向线段所在

9、的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量向量犪与犫平行，记作犪犫我们规定零向量与任意向量共线平面向量共线的充要条件在空间也是成立的，即有共线向量定理对空间任意两个向量犪，犫（犪），犫与犪共线的充要条件是存在实数，使犫 犪例如图 ，在三棱柱犃犅犆 犃犅犆中，犕是犅犅的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（）犆犅 犅犃；（）犃犆 犆犅 犃犃；（）犃犃 犃犆 犆犅解（）犆犅 犅犃 犆犃（）因为犕是犅犅的中点，所以 犅犕 犅犅又 犃犃 犅犅，所以 犃犆 犆犅 犃犃 犃犅 犅犕 犃犕空间向量与立体几何第章 （）犃犃 犃犆 犆犅 犆犃 犆犅 犅犃向量 犆犃，犃犕，犅犃如图 所示

10、图 图 例如图 ，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，点犕，犖分别在线段犃犅，犇犅上，且犅犕犅犃，犅犖犅犇，犘为棱犅犆的中点求证：犕犖犅犘证明 犕犖 犕犅犅犅 犅 犖因为犅犕犅犃，犅犖犅犇，所以 犕犖犅犃 犅犅 犅犇 （犅犅 犅犃 ）犅犅（犅犃 犃犇 ）犅犅 犃犇 犅犅 犅犆 又因为犘为犅犆的中点，所以 犅犘犅犅 犅 犘犅犅 犅犆 犅犅 犅犆（）犕犖，从而 犅犘与 犕犖为共线向量因为直线犕犖与犅犘不重合，所以犕犖犅犘练习化简：（）犃犅 犅犆；（）犃犅 犃犆如图，在空间四边形犃犅犆犇中，犈是线段犃犅的中点，犆犉犉犇，连接犈犉，犆犈，犃犉，犅犉化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（）犃犆 犆犅 犅

11、犇；（）犃犉 犅犉 犃犆；选择性必修第二册数学 （）犃犅 犅犆 犆犇（第题）（第题）如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，点犈，犉分别是上底面犃犅犆犇和侧面犆犇犇犆的中心，求下列各题中犿，狀的值：（）犃犈犿 犃犅狀 犃犇犃犃；（）犃犉犿 犃犅 犃犇狀 犃犃已知四棱锥犘 犃犅犆犇的底面犃犅犆犇是平行四边形，犃犅犪，犃犇犫，犃犘犮，犈为犘犆的中点，试用犪，犫，犮表示向量 犆犈已知犲，犲是两个不共线的空间向量，犃犅犲犽 犲，犆犅犲犲，犆犇犲犲，且犃，犅，犇三点共线，求实数犽的值 空间向量的数量积前面，我们讨论了空间向量的线性运算，同样，空间向量也有数量积运算如图 ，犪，犫是空间两个非零向量，过空间任意

12、一点犗，作 犗犃犪，犗犅犫，犃犗犅（）叫作向量犪与向量犫的夹角，记作犪，犫图 根据两个向量夹角的定义，容易知道犪，犫犫，犪如果犪，犫，那么向量犪与犫同向；如果犪，犫，那么向量空间向量与立体几何第章 犪与犫反向；如果犪，犫，那么称犪与犫互相垂直，并记作犪犫设犪，犫是空间两个非零向量，我们把数量狘犪犫狘 犪，犫叫作向量犪，犫的数量积，记作犪犫，即犪犫狘犪犫狘 犪，犫我们规定：零向量与任一向量的数量积为由此可见，空间两个非零向量犪，犫的夹角犪，犫可以由 犪，犫犪犫狘犪犫狘求得根据定义，可以得到犪犫犪犫（犪，犫是两个非零向量），狘犪狘犪犪犪与平面向量一样，空间向量的数量积也满足下列运算律：（）犪犫犫犪

13、；（）（犪）犫（犪犫）（犚）；（）（犪犫）犮犪犮犫犮由空间向量的数量积的定义不难验证运算律（）（）的正确性对比平面向量中向量犪向向量犫投影的概念对于运算律（），我们可以通过“投影向量”的概念进行证明对于空间任意两个非零向量犪，犫，设向量 犗犃犪，犗犅犫（图 ），过点犃作犃犃犗犅，垂足为犃上述由向量犪得到向量犗犃 的变换称为向量犪向向量犫投影，向量犗犃 称为向量犪在向量犫上的投影向量（）图 与平面向量的情形类似，我们有犪犫犗犃 犫，即向量犪，犫的数量积就是向量犪在向量犫上的投影向量与向量犫的数量积选择性必修第二册数学 思考试运用上述空间向量向某个向量投影的概念，仿照平面向量的相关内容证明运算律（

14、）例如图 ，犃，犅为平面外两点，点犃，犅在平面上的射影分别为点犃，犅，犿为平面内的向量求证：犃犅犿 犃 犅 犿图 证明由犃犃，且犿在内可知 犃犃 犿同理 犅 犅犿因此，犃犅犿（犃犃 犃 犅 犅 犅）犿 犃犃 犿 犃 犅 犿 犅 犅犿 犃 犅 犿 犃 犅 犿故命题成立如图 ，设向量犿 犆犇，过犆，犇分别作平面的垂线，垂足分别为犆，犇，得向量犆犇 我们将上述由向量犿得到向量犆犇 的变换称为向量犿向平面投影，向量犆犇 称为向量犿在平面上的投影向量图 由例可知，对于平面内的任一向量狀，有犿狀犆犇 狀，也就是说，空间向量犿，狀的数量积就是向量犿在平面上的投影向量与向量狀的数量积空间向量与立体几何第章 例

15、如图 ，在棱长为的正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，犕为棱犆犆上任意一点图 （）确定向量 犃犕在平面犃犅犆上的投影向量，并求 犃犕 犅犆；（）确定向量 犃犕在直线犅犆上的投影向量，并求 犃犕 犅犆解（）在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，犆犆平面犃犅犆，因此，犃犆即为 犃犕在平面犃犅犆上的投影向量又因为 犅犆在平面犃犅犆内，所以 犃犕 犅犆 犃犆 犅犆槡 （）在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，犃犅犅犆，且犆犆犅犆，因此，犅犆即为 犃犕在直线犅犆上的投影向量，从而 犃犕 犅犆 犅犆 犅犆狘 犅犆狘练习若狘犪狘，狘犫狘，犪，犫，则犪犫若犪，犫是空间两个非零向量，则（）当犪犫狘犪狘 狘犫狘时，犪，犫；（）当犪犫时，

16、犪，犫；（）当犪犫狘犪狘 狘犫狘时，犪，犫证明空间向量数量积的运算律（）已知犪，犫均为单位向量，如果它们的夹角为 ，那么犪犫已知犿，狀是空间两个单位向量，它们的夹角为 ，设向量犪犿狀，犫犿狀求：（）犪犫；（）向量犪与犫的夹角如图，在三棱锥犘 犃犅犆中，犘犃平面犃犅犆，犆犅犃犅，犃犅犅犆犪，犘犃犫（第题）选择性必修第二册数学 （）确定 犘犆在平面犃犅犆上的投影向量，并求 犘犆 犃犅；（）确定 犘犆在直线犃犅上的投影向量，并求 犘犆 犃犅 共面向量定理如图 ，在长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，犃犅 犃犅，犃犇 犃犇，而 犃犅，犃犇，犃犆在同一平面内，此时，我们称犃犅 ，犃犇 ，犃犆是共面向量图 一般地

17、，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量（）显然，任意两个空间向量都是共面向量我们知道，空间向量犫与向量犪（犪）共线的充要条件是存在实数，使得犫 犪，即空间向量满足共线向量定理同样，空间向量也满足共面向量定理与平面向量一样，对于空间向量狆，犪，犫，若狆狓犪狔犫成立，则称狆由犪，犫线性表示共面向量定理如果两个向量犪，犫不共线，那么向量狆与向量犪，犫共面的充要条件是存在有序实数组（狓，狔），使得狆狓 犪狔 犫这就是说，向量狆可以由两个不共线的向量犪，犫线性表示例如图 ，已知矩形犃犅犆犇和矩形犃犇犈犉所在平面相交于犃犇，点犕，犖分别在对角线犅犇，犃犈上，且犅犕犅犇，犃犖犃犈求证：犕犖平面犆犇犈图 空间

18、向量与立体几何第章 分析要证明犕犖平面犆犇犈，只要证明向量 犕犖可以用平面犆犇犈内的两个不共线的向量 犇犈和 犇犆线性表示证明如图 ，因为点犕在犅犇上，且犅犕犅犇，所以 犕犅 犇犅 犇犃 犃犅同理 犃犖 犃犇 犇犈又 犆犇 犅犃 犃犅，所以 犕犖 犕犅 犅犃 犃犖（犇犃）犃犅 犅犃（犃犇）犇犈 犅犃 犇犈 犆犇 犇犈又 犆犇与 犇犈不共线，根据共面向量定理，可知 犕犖，犆犇，犇犈共面因为犕犖不在平面犆犇犈内，所以犕犖平面犆犇犈在平面内，我们曾依据向量共线定理，推得判断三点共线的向量关系式那么，在空间中，如何用向量方法来判断四点共面呢？例在平面向量中有如下结论：已知 犗犃，犗犅不共线，若 犗犘狓

19、 犗犃狔 犗犅，且狓狔，则犘，犃，犅三点共线你能据此得到空间向量中类似的结论吗？解类比上述结论，猜想：已知 犗犃，犗犅，犗犆不共面，若 犗犘狓 犗犃狔 犗犅狕 犗犆，且狓狔狕，则犘，犃，犅，犆四点共面证明如下：由狓狔狕，可得狓狔狕则 犗犘狓 犗犃狔 犗犅狕 犗犆（狔狕）犗犃狔 犗犅狕 犗犆 犗犃狔（犗犅 犗犃）狕（犗犆 犗犃），所以 犗犘 犗犃狔 犃犅狕 犃犆，选择性必修第二册数学 即 犃犘狔 犃犅 狕犃犆由犃，犅，犆三点不共线，可知 犃犅和 犃犆不共线，所以 犃犘，犃犅，犃犆共面且有公共起点犃从而犘，犃，犅，犆四点共面思考如果将狓狔狕整体代入，由（狓狔狕）犗犘 狓犗犃狔 犗犅 狕犗犆出发，你

20、能得到什么结论？练习如图，在四面体犘犃犅犆中，点犕，犖分别为犘犃，犘犅的中点，问：犕犖与 犅犆，犃犆是否共面？（第题）给出下列四个命题：若存在实数狓，狔，使狆狓犪狔 犫，则狆与犪，犫共面；若狆与犪，犫共面，则存在实数狓，狔，使狆狓犪狔 犫；若存在实数狓，狔，使 犕犘狓 犕犃狔 犕犅，则点犘，犕，犃，犅共面；若点犘，犕，犃，犅共面，则存在实数狓，狔，使 犕犘狓 犕犃狔 犕犅其中是真命题（填序号）已知空间向量犪，犫，犮，狆，若存在实数组（狓，狔，狕）和（狓，狔，狕），满足狆狓犪狔犫狕犮，狆狓犪狔犫狕犮，且狓狓，求证：向量犪，犫，犮共面如图，四棱锥犘 犃犅犆犇的底面是平行四边形，犕是犘犆的中点，求证

21、：犘犃平面犅犕犇（第题）已知犃，犅，犘三点共线，犗为空间任意一点（犗，犃，犅不共线），且存在实数，使 犗犘 犗犃 犗犅，求的值空间向量与立体几何第章 习题 感受理解如图，在单位正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，点犈，犉分别是棱犅犆，犆犆的中点设 犃犅犻，犃犇犼，犃犃 犽，试用犻，犼，犽表示向量 犃犈和 犃犉（第题）（第题）如图，已知犕，犖分别是空间四边形犃犅犆犇的对角线犃犆和犅犇的中点，求证：犕犖（犃犅 犆犇）如图，在三棱柱犃犅犆 犃 犅 犆 中，犅犆 与犅 犆交于点犗，试用向量 犃犅，犃犆，犃犃 表示向量 犃犗（第题）（第题）如图，在平行六面体犃犅犆犇 犃 犅 犆 犇 中，已知 犃犅犪，犃犇犫，犃

22、犃 犮，点犘，犕，犖分别是犆犃，犆犇，犆 犇 的中点，点犙在犆犃 上，且犆犙犙犃，试用犪，犫，犮表示下列向量：（）犃犘；（）犃犕；（）犃犖；（）犃犙已知四棱锥犘 犃犅犆犇的底面是平行四边形，犈为棱犘犆上的点，且犆犈犈犘，试用 犃犅，犃犇，犃犘表示向量 犆犈已知犃，犅，犆三点不共线，对于平面犃犅犆外的任意一点犗，分别根据下列条件，判断点犕是否与点犃，犅，犆共面：（）犗犕 犗犃 犗犅 犗犆；（）犗犕 犗犃 犗犅 犗犆已知狌，狏是两个不共线的向量，犪狌狏，犫狌狏，犮狌狏求证：犪，犫，犮共面思考运用在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，已知犈，犉分别是犅犅，犇犅的中点，选择性必修第二册数学 求证：（）犈犉犅犇

23、；（）犅犇犃犇在空间四边形犃犅犆犇中，已知犃犅犆犇，犃犆犅犇，求证：犃犇犅犆 如图，从犃犅犆犇所在平面外一点犗作向量 犗犃 犽犗犃，犗犅 犽犗犅，犗犆 犽犗犆，犗犇 犽犗犇求证：（）犃，犅，犆，犇 四点共面；（）平面犃 犅 犆 犇 平面犃犅犆犇（第 题）（第 题）探究拓展 如图，在空间四边形犃犅犆犇中，已知犌为犅犆犇的重心，犈，犉，犎分别为边犆犇，犃犇和犅犆的中点，化简下列各式：（）犃犌 犅犈 犃犆；（）（犃犅 犃犆 犃犇）；（）犃犅 犃犆 犃犇 已知犪，犫，犮是空间三个不共线向量，求证：向量犪，犫，犮共面的充要条件是存在三个不全为零的实数犾，犿，狀，使犾 犪犿 犫狀 犮空间向量与立体几何第章

24、 空间向量的坐标表示空间向量是平面向量的推广，在平面向量中，向量可以用坐标表示，进而利用坐标运算来解决相关问题那么，空间向量怎样用坐标表示呢？空间向量基本定理平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线向量来线性表示对于空间向量，有类似的结论吗？对于空间向量狆，犲，犲，犲，若狆狓 犲狔 犲狕 犲成立，则称狆由犲，犲，犲线性表示空间向量基本定理如果三个向量犲，犲，犲不共面，那么对空间任一向量狆，存在唯一的有序实数组（狓，狔，狕），使狆狓 犲狔 犲狕 犲证明如图 ，设犲，犲，犲是三个不共面的向量，过空间一点犗作 犗犃犲，犗犅犲，犗犆犲，犗犘狆图 过点犘作直线犘犘 犗犆，交平面犗犃犅

25、于点犘；在平面犗犃犅内，过点犘 作直线犘 犃 犗犅，犘 犅 犗犃，分别交直线犗犃，犗犅于点犃，犅 根据向量共线的条件，存在三个确定的实数狓，狔，狕，使 犗犃 狓 犗犃狓 犲，犗犅 狔 犗犅狔 犲，犘 犘狕 犗犆狕 犲，所以 犗犘 犗犃 犗犅 犘 犘狓 犗犃狔 犗犅狕 犗犆，选择性必修第二册数学 从而狆狓 犲狔 犲狕 犲下面证明唯一性假设存在实数组（狓，狔，狕），且狓 狓，使狆狓 犲狔 犲狕 犲，于是狓 犲狔 犲狕 犲狓 犲狔 犲狕 犲，即（狓狓）犲（狔狔）犲（狕狕）犲因为狓狓，所以犲狔狔 狓狓 犲狕狕 狓狓 犲，从而犲，犲，犲共面，这与已知犲，犲，犲不共面矛盾因此，有序实数组（狓，狔，狕）是唯

26、一的空间向量基本定理告诉我们，如果三个向量犲，犲，犲不共面，那么空间的每一个向量都可由向量犲，犲，犲线性表示我们把犲，犲，犲称为空间的一个基底，犲，犲，犲叫作基向量如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用犻，犼，犽表示因为犗，犃，犅，犆四点不共面，所以共起点的三个向量 犗犃，犗犅，犗犆不共面你能说明理由吗？推论设犗，犃，犅，犆是不共面的四点，则对空间任意一点犘，都存在唯一的有序实数组（狓，狔，狕），使得 犗犘狓 犗犃狔 犗犅狕 犗犆例如图 ，在正方体犗犃犇犅 犆犃 犇 犅 中，点犈是犃犅

27、与犗犇的交点，犕是犗犇 与犆犈的交点，试分别用向量 犗犃，犗犅，犗犆表示向量 犗犇 和 犗犕图 解因为 犗犇 犗犃 犗犅，所以 犗犇 犗犇 犇犇 犗犃 犗犅 犗犆空间向量与立体几何第章 由犗犕犈犇 犕犆，可得犗犕犇 犕犗犈犇 犆又犗犈犇 犆，则犗犕犇 犕犗犇，所以 犗犕 犗犇 犗犃 犗犅 犗犆练习若犪，犫，犮为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是（填序号）犪，犪犫，犪犫；犫，犪犫，犪犫；犮，犪犫，犪犫；犪犫，犪犫，犪犫在空间四边形犗犃犅犆中，已知点犕，犖分别是犗犃，犅犆的中点，且 犗犃犪，犗犅犫，犗犆犮，试用向量犪，犫，犮表示向量 犕犖如图，在平行六面体犃犅犆犇 犃 犅

28、 犆 犇 中，已知 犇犃犪，犇犆犫，犇犇 犮，点犌是侧面犅 犅犆犆 的中心，试用向量犪，犫，犮表示下列向量：犇犅，犅犃，犆犃，犇犌（第题）（第题）如图，在空间四边形犗犃犅犆中，已知犈是线段犅犆的中点，点犌在犃犈上，且犃犌犌犈，试用向量 犗犃，犗犅，犗犆表示向量 犗犌如图，设犘是平行四边形犃犅犆犇所在平面外一点，犗是平行四边形对角线犃犆和犅犇的交点，犙是犆犇的中点，求下列各式中狓，狔的值（）犗犙 犘犙狓 犘犆狔 犘犃；（）犘犃狓 犘犗狔 犘犙 犘犇（第题）选择性必修第二册数学 空间向量的坐标表示在平面向量中，我们借助平面直角坐标系得到了平面向量的坐标表示和坐标运算那么，如何建立坐标系，用坐标表示

29、空间向量及其运算呢？如图 （），在空间选定一点犗和一个单位正交基底犻，犼，犽以点犗为原点，分别以犻，犼，犽的方向为正方向建立三条数轴：狓轴、狔轴、狕轴，它们都叫作坐标轴这时我们说建立了一个空间直角坐标系犗 狓 狔 狕，点犗叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为狓犗狔平面、狔犗狕平面和狕犗狓平面图 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系如图 （），在空间直角坐标系中，让右手拇指指向狓轴的正方向，食指指向狔轴的正方向，若中指指向狕轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系在空间直角坐标系犗 狓 狔 狕中，对于空间任意一个向量犪，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（犪，犪，

30、犪），使犪犪犻犪犼犪犽有序实数组（犪，犪，犪）叫作向量犪在空间直角坐标系犗 狓 狔 狕中的坐标，记作犪（犪，犪，犪）事实上，记向量犪在犻，犼，犽上的投影向量分别为犪犻，犪犼，犪犽，则犪犪犻犪犼犪犽（犪犻）犻（犪犼）犼（犪犽）犽，即犪犪犻，犪犪犼，犪犪犽如图 ，在空间直角坐标系犗 狓 狔 狕中，对于空间任意一点犘，我们称向量 犗犘为点犘的位置向量于是，存在唯一的有序实数组（狓，狔，狕），使得空间向量与立体几何第章 犗犘狓 犻狔 犼狕 犽因此，向量 犗犘的坐标为 犗犘（狓，狔，狕）狓，狔，狕分别叫作点犘的横坐标、纵坐标和竖坐标此时，我们把与向量 犗犘对应的有序实数组（狓，狔，狕）叫作点犘的坐标，记

31、作犘（狓，狔，狕）图 类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则设犪（狓，狔，狕），犫（狓，狔，狕），则犪犫（狓狓，狔狔，狕狕），犪犫（狓狓，狔狔，狕狕），犪（狓，狔，狕），犚空间向量平行的坐标表示为犪犫（犪）狓 狓，狔 狔，狕 狕（犚）例已知犪（，），犫（，），求犪犫，犪犫，犪解犪犫（，）（，）（，）（，），犪犫（，）（，）（，）（，），犪（，）（，（），）（，）与平面向量一样，若犃（狓，狔，狕），犅（狓，狔，狕），则 犃犅 犗犅 犗犃（狓狓，狔狔，狕狕）这就是说，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标选择性必修第二册数学 例已知空间四点犃（，）

32、，犅（，），犆（，）和犇（，），求证：四边形犃犅犆犇是梯形证明依题意 犗犃（，），犗犅（，），所以 犃犅 犗犅 犗犃（，）（，）（，）同理 犇犆（，），犃犇（，），犅犆（，）由 犃犅 犇犆，可知 犃犅 犇犆考察向量 犃犇与 犅犆，由于，故不存在实数狋，使得 犃犇狋 犅犆，即 犃犇与 犅犆不共线，所以四边形犃犅犆犇是梯形练习已知正方体犃犅犆犇 犃 犅 犆 犇 的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标（第题）已知犻，犼，犽为一个单位正交基底，试写出下列向量的坐标：（）犪犻犼犽；（）犫犻犽已知向量犪（，），犫（，），犮（，），求犪犫犮已知点犃（，），犅（，），求向量 犃犅的坐标

33、判断下列各组中的两个向量是否平行：（）犪（，），犫（，）；（）犪（，），犫（，）设犿，狀是实数，已知犪（，犿，狀），犫（，犿，狀），且犪犫，求犿，狀的值设犿，狀是实数，已知点犃（，），犅（，），犆（犿，狀）在同一直线上，求犿狀的值对于平面内两个非零向量犪（狓，狔）和犫（狓，狔），有犪犫狓狓狔狔那么，对于空间两个非零向量，它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢？空间向量与立体几何第章 一般地，设空间两个非零向量为犪（狓，狔，狕），犫（狓，狔，狕），则犪犫狓狓狔狔狕狕证明设犻，犼，犽为空间的一个单位正交基底，则犪（狓，狔，狕）狓犻狔犼狕犽，犫（狓，狔，狕）狓犻狔犼狕犽对于单位正交基底犻，犼，犽，有犻犻

34、犼犼犽犽，犻犼犻犽犼犽犪犫（狓犻狔犼狕犽）（狓犻狔犼狕犽）狓狓犻狔狔犼狕狕犽狓狔犻犼狓狕犻犽狔狓犼犻狔狕犼犽狕狓犽犻狕狔犽犼狓狓狔狔狕狕由此可知，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和特别地，当犫犪时，可以得到向量犪的长度公式：狘犪狘狓狔狕槡思考试用向量方法推导点犃（狓，狔，狕），犅（狓，狔，狕）间的距离公式犃犅（狓狓）（狔狔）（狕狕）槡设空间两个非零向量犪（狓，狔，狕），犫（狓，狔，狕），它们的夹角为犪，犫由向量数量积的定义，可得 犪，犫狓狓狔狔狕狕狓狔狕槡狓狔狕槡由此，我们可以得到空间向量垂直的坐标表示为犪犫犪犫狓狓狔狔狕狕例已知点犃（，），犅（，），求：（）线段犃犅的中点坐标和犃犅的

35、长度；（）到犃，犅两点距离相等的点犘（狓，狔，狕）的坐标狓，狔，狕满足的条件解（）设犕是犃犅的中点，犗是坐标原点，则 犗犃（，），犗犅（，）选择性必修第二册数学 犗犕 犗犃 犃犕 犗犃 犃犅 犗犃（犗犅 犗犃）（犗犃 犗犅）（，）（，）（，）所以线段犃犅（的中点坐标是，）因为 犃犅 犗犅 犗犃（，）（，）（，），所以线段犃犅的长度为狘 犃犅狘（）（）槡槡 （）设犘（狓，狔，狕）到犃，犅两点的距离相等，则（狓）（狔）（狕）槡（狓）（狔）（狕）槡化简，得狓狔狕，这就是点犘的坐标狓，狔，狕满足的条件思考已知点犃（狓，狔，狕），犅（狓，狔，狕），试用向量方法推导线段犃犅的中点犕的坐标为狓狓，狔狔，狕狕

36、（）练习设犪（，），犫（，），求犪犫，并判断犪与犫是否垂直若向量犪（，）与犫（，狓，）垂直，则实数狓的值为已知向量犪，犫，犮满足犪犫（，），犮（，），且犪犮，求犫犮已知点犃（，），犅（，），求 犃犅写出与点犆（，）距离等于的点犕的坐标狓，狔，狕满足的关系式习题 感受理解判断下列命题的真假：（）若向量犪，犫共线，则向量犪，犫所在的直线平行；（）若向量犪，犫所在的直线是异面直线，则向量犪，犫一定不共线；（）若三个向量犪，犫，犮两两共面，则三个向量犪，犫，犮一定共面；（）若犪，犫，犮是空间三个向量，则对空间任一向量狆，总存在唯一的有序实数组（狓，狔，狕），使狆狓犪狔 犫狕 犮已知犘是犃犅犆所在平面外

37、一点，犕是犘犆中点，且 犅犕狓 犃犅狔 犃犆狕 犃犘，求狓，狔，狕的值如图，在三棱柱犃犅犆 犃 犅 犆 中，已知 犃犃 犪，犃犅犫，犃犆犮，点犕，犖空间向量与立体几何第章 分别是犅犆，犅 犆 的中点，试用基底犪，犫，犮表示向量 犃犕，犃犖（第题）已知犪（，），犫（，），求犪犫，（犪犫）（犪犫）已知犃（，），犅（，），犕是线段犃犅的中点，求 犃犅，犅犃以及点犕的坐标判断下列各题中的两个向量是否平行：（）犪（，），犫（，）；（）犪（，），犫（，）设犿，狀为实数，已知犪（，），犫（，犿，狀），且犪犫，求犿，狀的值求下列各题中两个向量夹角的大小：（）犪（，槡），犫（，）；（）犪犻槡 犼犽，犫犻犽，其中

38、犻，犼，犽是一个单位正交基底设狓为实数，已知犪（，），犫（，狓），且犪犫，求狓的值思考运用 在三棱锥犗 犃犅犆中，已知侧棱犗犃，犗犅，犗犆两两垂直，求证：底面犃犅犆是锐角三角形 设犿为实数，已知犃（犿，犿，犿），犅（犿，犿，犿）是空间两个动点，求 犃犅的最小值 已知 犗犃（，），犗犅（，），犗犆（，），点犕在直线犗犆上运动当 犕犃 犕犅取最小值时，求点犕的坐标探究拓展 如图，已知正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇的棱长为，犘，犙，犚分别在犃犅，犆犆，犇犃上，并满足犃犘犘犅犆犙犙犆犇犚犚犃犪犪（犪）设 犃犅犻，犃犇犼，犃犃犽（）用犻，犼，犽表示 犘犙，犘犚；（）设犘犙犚的重心为犌，用犻，犼，犽表示 犇犌；

39、（）当 犚犌 犇犌时，求犪的取值范围（第 题）选择性必修第二册数学 空间向量的应用在平面向量中，我们借助向量研究了平面内两条直线平行、垂直等位置关系如何用向量刻画空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系？直线的方向向量与平面的法向量为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先要用向量来表示直线和平面的“方向”我们把直线犾上的向量犲（犲）以及与犲共线的非零向量叫作直线犾的方向向量（）由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向向量来刻画平面的“方向”与平面垂直的直线叫作平面的法线因此，平面的法向量就是平面的法线的方向向量如果表示非零向量狀的有向线段所在直线垂直于

40、平面，那么称向量狀垂直于平面，记作狀此时，我们把向量狀叫作平面的法向量（）例在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，求证：犇犅是平面犃犆犇的法向量图 证明不妨设正方体的棱长为，以 犇犃，犇犆，犇犇 为单位正交基底，建立如图 所示的空间直角坐标系犇 狓 狔 狕，则犃（，），犆（，），犇（，），犅（，），空间向量与立体几何第章 所以 犇犅（，），犃犆（，），犃犇（，）因为 犇犅 犃犆（），所以 犇犅 犃犆同理 犇犅 犃犇又因为犃犆犃犇犃，所以 犇犅平面犃犆犇，从而 犇犅是平面犃犆犇的法向量在空间直角坐标系中，我们可以用待定系数法来求平面的法向量例如，在上面的例子中，我们可以设平面犃犆犇的一个法向量为狀（狓，

41、狔，狕），则狀 犃犆，狀 犃犇，从而狀 犃犆，狀 犃犇因为 犃犆（，），犃犇（，），所以狓狔狕，狓狔狕解方程组狓狔，狓狕烅烄烆，得狔狓，狕狓烅烄烆不妨取狓，则狔狕所以狀（，）就是平面犃犆犇的一个法向量例在空间直角坐标系中，设平面经过点犘（狓，狔，狕），平面的一个法向量为狀（犃，犅，犆），犕（狓，狔，狕）是平面内任意一点，求狓，狔，狕满足的关系式解由题意可得 犘犕（狓狓，狔狔，狕狕）因为狀是平面的法向量，所以狀 犘犕，从而狀 犘犕，选择性必修第二册数学 即（犃，犅，犆）（狓狓，狔狔，狕狕），得到犃（狓狓）犅（狔狔）犆（狕狕）所以满足题意的关系式为犃（狓狓）犅（狔狔）犆（狕狕）从上例中，我们不难发

42、现，在空间直角坐标系中，平面可以用关于狓，狔，狕的三元一次方程来表示思考已知直线上一点和直线的方向向量，这条直线就唯一确定已知平面内一点和平面的法向量，这个平面是否唯一确定？练习设犿为实数，直线犾的方向向量为犪（，），直线犾的方向向量为犫（，犿），若犾犾，则犿的值为设狋为实数，若直线犾垂直于平面，且犾的方向向量为（狋，），的法向量（为，），则狋的值为在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，证明犃 犇是平面犃犅犆犇的法向量已知平面内两个向量犪（，），犫（，），求平面的一个法向量已知点犃（，），犅（，），犆（，）（）写出直线犅犆的一个方向向量；（）设平面经过点犃，且 犅犆是的法向量，犕（狓，狔，狕）是平面内

43、任意一点，试写出狓，狔，狕满足的关系式 空间线面关系的判定在“立体几何初步”一章中，我们运用几何的方法研究了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系下面我们用向量的方法来研究空间线面的平行和垂直关系设空间两条直线犾，犾的方向向量分别为犲，犲，两个平面，的法向量分别为狀，狀，则有下表：平行垂直犾与犾犲犲犲犲犾与犲狀犲狀与狀狀狀狀空间向量与立体几何第章 例证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）图 已知：如图 ，犗犅是平面的斜线，犗为斜足，犃犅，犃为垂足，犆犇，且犆犇犗犃求证：犆犇犗犅分析要证犆犇犗犅，只要证 犆犇 犗

44、犅，即证 犆犇 犗犅证明因为犆犇犗犃，所以 犆犇 犗犃因为犃犅，犆犇，所以犃犅犆犇，犆犇 犃犅又因为 犗犅 犗犃 犃犅，所以 犆犇 犗犅 犆犇（犗犃 犃犅）犆犇 犗犃 犆犇 犃犅，故犆犇犗犅在“立体几何初步”一章中，我们通过操作、感知，得到了直线与平面垂直的判定定理，下面用向量的方法加以证明例证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面（直线与平面垂直的判定定理）图 已知：如图 ，犿，狀，犿狀犅，犾犿，犾狀求证：犾分析根据定义，要证明直线与平面垂直，只要证明该直线垂直于平面内任意一条直线由于犿，狀是平面内两条相交直线，所以平面内任意一个向量都可以用直线犿，狀上的非零

45、向量线性表示向量的垂直关系可以通过它们的数量积为来推得证明如图 ，在内任意作一条直线犵，在直线犾，犿，狀，犵上分别取非零向量犾，犿，狀，犵因为直线犿与狀相交，所以向量犿，狀不共线由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数组（狓，狔），使得犵狓犿狔狀，所以犾犵犾（狓犿狔狀）狓 犾犿狔 犾狀因为犾犿，犾狀，所以犾犿，犾狀选择性必修第二册数学 可得犾犵，即犾犵因为犾垂直于内的任意一条直线，由空间两条直线方向向量的数量积为来判定这两条直线互相垂直是常用的方法所以犾例如图 ，已知矩形犃犅犆犇和矩形犃犇犈犉所在平面互相垂直，点犕，犖分别在对角线犅犇，犃犈上，且犅犕犅犇，犃犖犃犈求证：犕犖平面犆犇犈图 分析在

46、节的例中，我们曾用共面向量定理证明了犕犖平面犆犇犈这里，我们将用坐标的方法加以证明，为此，只需证明向量 犕犖垂直于平面犆犇犈的法向量证明因为矩形犃犅犆犇和矩形犃犇犈犉所在平面互相垂直，所以犃犅，犃犇，犃犉互相垂直不妨设犃犅，犃犇，犃犉的长分别为犪，犫，犮，以 犃犅，犃犇，犃犉为正交基底，建立如图 所示的空间直角坐标系犃 狓 狔 狕则犅（犪，），犇（，犫，），犉（，犮），犈（，犫，犮），所以 犅犇（犪，犫，），犈犃（，犫，犮）因为 犅犕 犅犇（犪，犫，），犖犃 犈犃（，犫，犮），所以 犖犕 犖犃 犃犅 犅犕（，犫，犮）（犪，）（犪，犫，）（犪，犮）又平面犆犇犈的一个法向量是 犃犇（，犫，），由

47、犖犕 犃犇（犪，犮）（，犫，），得到 犖犕 犃犇空间向量与立体几何第章 直线的方向向量与平面的法向量垂直，这条直线可能与平面平行，也可能在该平面内因为犕犖不在平面犆犇犈内，所以犕犖平面犆犇犈例在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，已知犈，犉分别为犅犅，犆犇的中点，求证：犇犉平面犃犇犈分析要证明犇犉平面犃犇犈，只要证明犇犉垂直于平面犃犇犈内两条相交直线为此，可以建立适当的空间直角坐标系，通过向量的坐标运算，根据数量积是否等于来判断垂直关系图 证明不妨设正方体的棱长为，以 犇犃，犇犆，犇犇 为单位正交基底，建立如图 所示的空间直角坐标系犇 狓 狔 狕，则 犇犃（，），犇犇（，），犇犉（，），犇犈（，）因为

48、犇 犉 犇犉 犇犇（，）（，）（，），所以 犇犃犇 犉（），可得犇 犉 犇犃因为 犃犈 犇犈 犇犃（，）（，）（，），所以 犃犈犇 犉（），可得犇 犉 犃犈又因为犇犃犃犈犃，所以犇犉平面犃犇犈在例至例中，空间的位置关系（平行或垂直）是通过直线的方向向量与平面的法向量的位置关系（平行或垂直）来判定的练习填空：（）若直线犾的方向向量为犪（，），直线犾的方向向量为犫（，），则犾与犾的位置关系是（）若（，），（，）分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系是（）若直线犾的方向向量为犲（，），平面的法向量为狀（，），则直线犾与平面的位置关系是选择性必修第二册数学 （）已知直线犾的方向向量为犲（，），平面的

49、法向量为狀（，）（犚）若犾，则的值为（）设（，），（狋，）（狋犚）分别是平面，的法向量若，则狋；若，则狋如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，犆犇和犇犆相交于点犗，求证：犃犗犃犅（第题）（第题）用向量方法证明：经过一个平面的垂线的平面垂直于该平面在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，求证：犃犅犃犆证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，犗是犃犆与犅犇的交点，犕是犆犆的中点求证：犃犗平面犕犅犇已知平面平面，犾，直线犿，且犿犾，求证：犿 空间角的计算我们已经用直线的方向向量和平面的法向量分别刻画空间直线和平面的“方向”

50、，下面我们用向量的方法来求空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角图 例如图 ，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，点犈，犉分别在犃犅，犆犇上，且犈犅犃犅，犇犉犇犆，求犅犈与犇犉所成的角的大小分析两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角相等或互补可以先求出它们的方向向量的夹角，再确定两条异面直线所成的角解设 犇犇犪，犇 犉犫，则狘犪狘狘犫狘，犪犫因为 犅犅 犇犇犪，犅 犈犫，空间向量与立体几何第章 所以 犇犉 犇犇犇 犉犪犫，犅犈 犅犅犅 犈犪犫，故狘 犇犉狘狘 犅犈狘（犪）犫 犪，犅犈 犇犉（犪犫）（犪犫）犪犫 犪由 犅犈，犇犉 犅犈 犇犉狘 犅犈狘 狘 犇犉狘 ，可得异面直线犅犈与犇犉