电介质物理新版第二章静电场中的电介质.pdf

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1、电介质物理新版第二章静电场中的电介质-2-/71 校内讲义电 介 质 物 理二六年十二月电介质物理新版第二章静电场中的电介质i/71 前言电介质是在电场作用下具有极化能力并能在其中长期存在电场的一种物质。其特征是以正、负电荷重心不重合的电极化方式传递、存储或记录电的作用和影响，但其中其主要作用的是束缚电荷。极化是电介质的基本属性，也是电介质多种实际应用（如储存静电能）的基础。电介质物理学主要是研究界之内不束缚电荷在电场（包括光频电场）、应力、温度等作用下的电极化及运动过程，阐明电极化规律与介质结构的关系，揭示介质宏观介电性质的微观机制，同时也研究介电性质的测量方法，以及各种电介质的性能，进而发

2、展电介质的效用。电介质的物理形态可以是气体、液体或固体，自然界中分布极广，本讲义主要介绍固体电介质。电介质与金属对电场的响应特性是不同的，金属中的电子是共有化的，金属内有自由载流子，使金属具有良好的导电性，它们以传导的方式来传递电的作用和影响。在电介质体内，一般情况下只具有被束缚的电荷，在电场的作用下只能以感应的方式，即电极化（在电场作用下正、负电荷中心不重合）的方式来传递和记录电的影响。尽管对不同种类的电介质，电极化的机制各不相同，但是以电极化方式响应电场的作用却是共同的。因此，研究电介质在电场作用下发生极化的物理过程并推导出相应的规律，是电介质物理的重要课题之一。由于实际电介质与理想电介质

3、不同，在电场作用下，实际电介质存在泄漏电流和电能的耗散以及在强电场下可能导致的电介质破坏，因此，电介质物理除了研究极化外，还要研究有关电介质的电导、损耗、以及击穿特性。这些就是经典的电介质物理研究的主要内容。20 世纪 20 年代，关于原子结构和分子结构的研究开始发展的时候，电极化基本过程的研究也发展起来，它从物理学分离出来并成为一个独立分支。目前备受关注的课题包括：（1）材料性质的第一性原理计算；（2）驰豫铁电体；（3）非均匀介质；（4）有限尺寸材料；（5）电解质的驰豫特性研究；（6）微波介质和低介电常数材料电介质物理新版第二章静电场中的电介质ii/71 电介质物理学始于物质结构研究密不可分

4、的基础学科，研究的中心问题试电极化与驰豫，故涉及物质结构中束缚电荷的分布、带电粒子间的相互作用，以及这些粒子在外电场作用下的运动和驰豫等。这些是物质结构中带有根本性的问题。所以电介质物理学研究中产生的新概念、新理论促进了其他学科的发展。历史上，电介质物理学的发展对于促进分子物理学、固体物理的发展曾带来深刻的作用。现在，对于促进非线性光学、促进固体光谱学的发展也有着不可磨灭的贡献；在一定意义上形成了这些分支学科的奠基石，同时也是这些学科登堂入室的必由之路。近年来，由于激光技术和非晶态理论的发展，电介质物理又将成为凝聚态物理最基础的组成部分。高新技术的发展为电介质物理提供了广阔的用武之地，也为学科

5、的发展创造了机遇。例如，场致发光可以用于显示，显示技术不属于电介质物理范畴，但近年来用高介材料余场致发光材料复合时，内场的观点可为降低发光场强提供理论依据。在纳米技术上、机器人等可能影响人类生活方式的领域中电介质的机、电、广、热、声之间的耦合效应将会得到充分的利用，电介质物理将成为这些领域发展的理论基础之一。光信息处理领域中介电非线性、机电耦合等原理可望得到广泛应用，与此同时，如何更深入地理解高新技术领域中所应用的电解质的性能和参数，从而对其改进和提高提供指导，这为电介质物理的研究提供了有价值的空间。可见在交叉学科研究中电介质物理将不断丰富自己的研究内容。本讲义主要取材于下面参考书：1 张良莹

6、、姚熹：电介质物理，西安交通大学出版社，西安，1991。2 李翰如：电介质物理导论，成都科技大学出版社，成都，1990。3 殷志文：电介质物理（第二版），科学出版社，北京，2006 电介质物理新版第二章静电场中的电介质1/71 第二章静电场中的电介质11 电介质的极化本节主要讨论各向同性线性电介质在电场中的行为，并以均匀电介质在均匀电场中的行为作为特例进行具体分析。这里所说的均匀是指电介质的性质不随空间坐标发生变化，所说的各向同性是指电介质的参数不随场量的方向发生变化；所说的线性是指电介质的参数不随场量的数值发生变化。1电极化电极化即电介质极化，简称极化，它是电介质基本电学行为之一。在外电场作

7、用下，在电介质内部感生偶极矩的现象，称为电介质的极化。电介质在电场作用下的极化程度用极化强度矢量P来表示，极化强度P是电介质单位体积内的感生偶极矩。它可表示如下：VPv0lim（2-1）式中为极化粒子的感应偶极矩，V为体积元。由式可见，P是空间坐标的函数，可用zyxP或 rP表示。在国际制中，极化强度的单位是库仑/米2（C/m2）.2极化电荷及其建立的电场（1）极化电荷及退极化电场电介质极化所产生的感应偶极矩，作为场源，在电介质外部空间（真空中）和电介质内部都建立了电场。如果电介质的体积为V，在V内，位于r处的体积元dV中的感应偶极矩为 dVrP，它在电介质以外的场点r形成的电位Pd,根据偶极

8、子电场公式可得414120020dVRRrPdVrrrrrrrPdp（2-2）整个体积V内的感应偶极矩在场点r形成的电位应用叠加原理，对上式积分可得20041vPdVRRrPr（2-3）电介质物理新版第二章静电场中的电介质2/71 根据标量函数的梯度，有20111RRRRRgrad（2-4）式中是作用于不加撇的坐标的，则是作用于加撇的坐标的，将式（2-4）代入式（2-3）可得0141vPdVRrPr（2-5）根据散度的基本性质RrPrPRrPRrPRdiv1111（2-6）将式（2-6）代入式（2-5）有004141vvpdVRrPdVRrPr（2-7）对上式右端第一项应用散度定理可得0041

9、41vAAdRrPdVRrP（2-8）式中A为体积 V的界面，00,ndAnAd为Ad外法线方向的单位面元矢量。将上式与电荷连续分布在表面A上，其面电荷密度为 r，在场点)(r处的电位公式相比较，可以看出：0nrP是电介质表面某处Ad上或 r处的面电荷密度，这个电荷是由电介质极化产生的。因此是面极化电荷密度，以 rp表示，于是可写为cos00rPrPnrPrn（2-9）式中为P与0n间的夹角。以上关系表明，电介质表面某处 r面极化电荷密度 rP在数值上等于该处极化强度P r在外表面法线方向（0n方向）上分量rPn。将式（2-7）右端第二项与体分布电荷场源，体电荷密度为 r，在场点?的电位公式比

10、较，可以看出：rP是电介质内部r处的体电荷密度，同样，这个电荷是由电介质极化而产生的，因此是体极化电荷密度，以 rP表示：电介质物理新版第二章静电场中的电介质3/71 rPrP（2-10）上式表明：当极化强度P随空间位置发生变化时，在电介质内部有极化电荷存在。在均匀极化的电介质中P r是恒量，因此 r=0，这时电介质体内不存在极化电荷。以上分析表明，电介质极化既感生表面电荷，又感生内部电荷，显然这两种极化电荷都是束缚电荷。极化在电介质中感生极化电荷和在电介质中感生偶极矩是同一物理事实的两种表现。面极化电荷密度与休极化电荷密度与极化强度一样也是表征电介质极化的物理量。式（2-9）和式（2-10）

11、分别表示了它们之间的相互关系。将式（2-9）和式（2-10）代入式（2-7）有004141VPAPAVPdVRrdVRrdVRrPdARnrPr（2-11）这是极化电荷在电介质外部建立的电位，其电场强度可写为0202041AVPPPdVRRrdARRrrE（2-12）电介质极化也可以用极化电荷来表征，这样就可以把体积为V的极化电介质看成是具有极化电荷的V空间。因此V空间内的电场与V空间外的电场一样，可以用式（2-11）和式（2-12）进行计算。以上分析表明，电介质极化对电场的影响可以等效地用极化电荷在真空中建立的电场来描述。习惯上把极化电荷形成的电场称为退极化电场。退极化电场的大小与电介质试样

12、的几何形状有关，或者说与电极的几何形状有关。对于平行板电极，若极板的面积为A，极间距离为d，且A的线度远大于d，极板上充电后，若忽略边缘效应，则可认为电极上电荷均匀分布，两极间的电场为均匀电场，电场强度处处相等。如极间充以各向同性的线性均匀电介质，则电介质均匀极化，计划强度处处相等，由式（2-10）可得体极化电荷密度P为零0PP（2-13）面极化电荷密度P根据式（2-9）可得电介质物理新版第二章静电场中的电介质4/71 PPnPPcos0即在紧靠极板的介质表面，面极化电荷密度在数值上等于极化强度P的负值。这表明，电介质表面的极化电荷与相邻极板上自由电荷符号相反，这是电介质中感应生成的束缚电荷，

13、如图（2-1）所示。由于极化电荷总是与自由电荷异号，因此，极化电荷削弱自由电荷建立的电场，故称为退极化电场PE。根据式（2-12）可计算退极化电场，但比较复杂，按照真空中的高斯定理即可得0/PEPP（2-14）图 2-1 平行板电场中电介质的极化电荷对于各种形状的电介质试样或电极，其退极化电电场强度可由下式表示：0/PNEP（2-15）式中 N 为比例常数，称为退极化因子，通常1N，平板试样的。图2-2 示出了几种形状的电介质试样的退极化电场。（2）宏观平均电场以上讨论表明，在有电介质存在时的电场，可等效地看成是自由电荷和极化电荷在真空中共同建立的电场，这个电场称为宏观平均电场，也称为外电场，

14、以E表示，它可写作PEEE0（2-16）其中0E表示自由电荷在真空中建立的电场。显然E恒小于0E。（3）局域电场与退极化电场极化场源在电介质内部引起的电场实际上远非以上讨论那样简单。电介质内部充电介质物理新版第二章静电场中的电介质5/71 满着极化粒子，不能把它看成是连续均匀的媒质。极化场源作用在极化粒子上和粒子之间的局域电场PE不相等，因此不能直接用极化电荷建立的电场，即退极化电场来描述，当然它们之间必然存在着联系。+-PAEEPE平 板N1=EE圆 柱N12=/N=0EEEN=0N13=/圆 球（a）(b)图 2-2 各种形状电介质试样的退极化电场考虑局域电场与退极化电场之间的关系，仍然必

15、须从静电场的基本规律出发。静电场守恒的特点，即电场强度线积分与路径无关的性质，对于电介质内部局域电场仍然是适用的。若取电介质中某两场点O和Q，PE沿任何路径L从O到Q的线积分等于该两点的电位差：QOLPLdE（2-17）式中QO和分别为O和Q点的电位。沿路径L附近，穿过粒子内部或不穿过粒子，或通过粒子之间的任何途径L，1E从O到Q的线积分，也同样应该等于O与Q两点的电位差QO。这表明，局域电场lE的空间平均值 就等于极化电荷建立的退极化电场PEPlVlEdVEVrE1（2-18）其中V为所取平均值的体积。V在微观上应足够的大，以包含足够多的极化粒子，使平均值在相邻体积中不致发生涨落现象；同时，

16、在宏观上要足够的小，以使平均值能表征电场中每一点的特性，也就是平均值仍应该是场点空间坐标),(zyx或)(r的函数。因此局域电场的空间平均值就是在场点)(r附近很小体积（V）范围内的平均值，根据电场守恒的原则，它等于该场点的退极化电场。电介质物理新版第二章静电场中的电介质6/71 3电介质的介电常数实验结果表明，在各向同性的线性电介质中，极化强度P与电场强度E成正比，并且方向相同EP0（2-19）式中为电介质的极化率，对于均匀电介质是常数，对于非均匀电介质则是空间坐标的函数。定量地表示电介质被电场极化的能力，是电介质宏观极化参数之一。当上式代入电位移DPED0（2-20）可得EEEPED000

17、01（2-21）令r001（2-22）0/1r（2-23）则有ED（2-24）应该注意，式（2-20）是电位移D的一般定义式，对于各类电介质都适用；而式（2-24）仅适用于各向同性的线性电介质，这时D与E同向。上列公式中的r和分别为电介质的介电常数和相对介电常数（常简称介电常数）。r没有量纲。r和是描述电介质极化性能的基本宏观参数，它们是电介质中从微观上来看足够大的区域内极化性能的平均值。例如，我们说在各向同性的线性电介质中的电场强度是真空中的1/r倍。这是说电介质中在微观上足够大的区域的电场强度的平均值是真空中的1/r倍，而并不是说作用在电介质中极化粒子和分子、离子等上的电场强度为真空的1/

18、r倍。所以介电常数是宏观参数。对于均匀电介质来说，r和为常数。电介质的介电常数恒大于真空的介电常数0，因此电介质的相对介电常数r恒大于 1（真空的相对介电常数等于1）。如果把电介质中与真空中静电场的有关方程相比较的话，就可以看出电介质与真电介质物理新版第二章静电场中的电介质7/71 空的第一区别就在于电介质的介电常数是，比真空大，是真空的r倍。因此从宏观上来持，可以把电介质看成是介电常数为的连续媒质。表 2-1 一些典型和常用材料的相对介电常数（室温）材料化学组成状态r真空1.00000 空气氯化氢HCL 气态气态1.00059 1.0043 乙烷苯氯苯变压器油乙醇水C6H14C6H6C6H5

19、Cl C2H5OH H2O 液态液态液态液态液态液态1.890 2.284 5.708 2.12.326.4 80.1石腊聚乙烯聚四氯乙烯聚苯乙烯聚氯乙烯天然橡胶聚酯环氧树脂酚醛树脂石英氧化铝岩盐氟化锂云母CH2-CH2n CFn-CF22 CHn-CHn|C6H5CH2-CHn|Cl SiO2Al2O3NaCl LiF 固态固态固态固态固态固态固态固态固态晶体玻璃晶体陶瓷晶体晶体晶体2.02.52.26 2.11 2.54 4.55 2.62.93.64.33.64.15.18.64.274.34*3.80 11.2813.37*9.511.26.12 9.27 5.46.2金红石TiO2

20、晶体陶瓷86170*80110*电介质物理新版第二章静电场中的电介质8/71 钛酸钙钛酸钡CaTiO3BaTiO2 陶瓷晶体陶瓷1301501604500*1700 取决于具体化学组成*沿不同晶轴方向4分界面上的边界条件要研究电场中不同地点处场量的分布情况，需要解电场的微分方程。当电场中存在两种或多种物质时，必须对每种物质所在区域分别求解，其最终解答与不同物质分界面上的边界条件有关。分界面上的边界条件是指两种不同物质分界面两侧，每种场量必须满足的关系。在静电场中，判定边界条件的简便方法是采用积分形式的静电场方程。（1）两种电介质分界面上的边界条件图 2-3 为介质 1和介质 2 分界面两侧的电

21、场。设界两侧的电场强度和电位移分别为1E，1D和2E、2D。根据静电场守恒特性，电场强度的环路积分为零（0ldE），可以得到电场强度沿分界面的切线分量lE1、lE2连续，即llEE21(2-25)按照高斯定理可得界面上这两种介质中电位移的关系为nnDD12（-26）式中nD1和nD2分别为电位移1D和2D在分界面上的法线分量，为分界面上自由电荷面密度，当=0 时，有nD1=nD2（2-27）上式表明，当分界面上不存在自由电荷时，电位移垂直于分界面的法线分量必须连续。若介质 1 和介质 2 的介电常数及相对介电常数分别为r221,根据式（2-24）有nrnnEED110111（2-28）nrnn

22、EED220222（2-29）式中nE1和nE2分别为电场强度21EE和的法线分量。由上式可得电介质物理新版第二章静电场中的电介质9/71 1221/rrnnEE（2-30）上式表明，在两种介质的分界面上，电场强度的法线分量不连续，与其介质常数成反比。图 2-3 两种电介质分界面上场量的关系由图 2-3 可见，在电介质1 中，电场强度1E与分界面的法线成1角进入介质2，1可视为入射角；在介质2 中2E与分界面的法线成2角，2可视为折射角，根据式（2-27）有22201110coscosEErr（2-31）据式（2-25）有2211sinsinEE（2-32）由以上两式可得2121/rrtgtg

23、（2-33）上式为复合电介质中静电场的基本关系。两种电介质分界面上的边界条件还可以用电位来表示。在静电场中，场量是有限值，因此在分界面上电位必须是连续的，即21（2-34）其中21,分别表示分界面两侧介质1 和介质 2 的电位。考虑到以下关系式nE/（2-35）电介质物理新版第二章静电场中的电介质10/71 nDrn/0（2-36）根据分界面上的电位移法分量连续的条件可得nnrr2211（2-37）这也是复合介质中静电场基本关系的另一种表示方法。（2）导体与电介质分界面上的边界条件在静电场中，导体内的电场强度为零。根据E，导体的电位为一常量，因此导体内部和表面是一个等位体，导体表面任何一点的电

24、场强度方向与导体表面垂直，显然，带电导体的电荷分布在导体表面。根据以上情况，在导体（设为第一种物质）与电介质（设为第二种物质）分界面上的边界条件为02111EE(2-38)02111DD(2-39)01nE,01nD(2-40)/2nEnD2(2-41)式（2-41）如用电位表示则为n221,（2-42）5复合电介质的电场（1）无限均匀媒质中的介球设有一个介电常数为1的无限大的均匀电介质（称为第一电介质），介质中电场分布均匀，电场强度为E。若在此介质中镶嵌一个介电常数为2，半径为的电介质圆球（称为第二电介质），求球内外电场分布。解：球内外无空间电荷存在，因此球内外任何一点电位都满足拉普拉斯方程

25、：02。我们采用球坐标系（,r）来解方程。由图 2-4 可见，取介质球心为原点，z 轴方向与E方向平行，这样电场分布对z 轴对称，因此与无关。根据拉普拉斯方程电介质物理新版第二章静电场中的电介质11/71 可写为0sinsin11222rrrrr（2-43）上列方程的通解可表示为011cosnnnnnnPrBrA（2-44a）012cosnnnnnnPrDrC（2-44b）图 2-4 电介质中不同介电常数的介质球式中21和分别是球外介质和球内介质中的电位函数，)(cosnP为勒让德多项式，nA、nB、nC、nC则为待定系数。以上各待定系数可按下列分界面上的边界条件确定：远离原点的电场不受引入介

26、质球的影响仍然等于E，即cos1ErEzr（1）在两种介质的分界面上电位必须连续，即rr21（2）两介质分界面上不存在自由电荷时，电位移垂直于分界面上的法线分量必须连12zErPxy电介质物理新版第二章静电场中的电介质12/71 续，即rrrr2211（3）在球心（0r）处2是有限值。按照边界条件和勒让德多项式线性独立的性质，除1A以外，所有其它的nA系数都是零，并且有EA1。根据边界条件，所有的nC系数为零。这样式（2-44）就可写为011coscosnnnErPrB（2-45a）02cosnnnnPrC(2-45b)对以上两式再分别应用边界条件和，则对任何1n的正整数（包括零）分别有nnn

27、naCaB1（2-46）12211nnnnanCaBn（2-47）解以上联立方程可得nB=0 nC=0 当1n时有aCEaBa121213112CEaB（2-48）解此联立方程得EaB3211212（2-49）电介质物理新版第二章静电场中的电介质13/71 EC211123（2-50）将以上所得关系代入式（2-45）则得Ezra123321121（2-51a）Ez211223（2-51b）介质球内的电场强度2E可由式（2-51）得出EzE2112223（2-52）上式表明介质球内的电场是均匀电场，并与E的方向一致。（2）电介质中空球腔内中心偶极子的电场设有一介电常数为的无限大均匀电介质，在此介

28、质中有一个半径为的真空小球腔，若在该球腔中心有一个偶极子，其偶极矩为u，求其电场分布。解：球内外无空间电荷存在，其电场分布满足拉普拉斯方程。选用球坐标，以球腔中心为原点，并取z轴与u的方向一致，因此电场分布对z轴对称，而与无关。这时其拉普拉斯方程与式（2-43）完全一致，方程的解也具有与式（2-44）相同的形式，但必须满足以下边界条件：离球腔中心无限远处偶矩的作用可以忽略不计，即01r（1）其中1表示电介质中的电位球腔表面电位必须连续，即arar21（2）电位移垂直真球腔表面分量必须连续，即ararrr201（3）电介质物理新版第二章静电场中的电介质14/71 当球面半径无限增大时，即偶极子处

29、于无限在的真空中时，偶极子电位是2024cosra（4）现在根据以上四个边界条件确定式（2-44）nA、nB、nC、nC四个待定系数。将边界条件和勒让德多项式线性独立的性质用于式（2-44a），可得0nA，因此有cos011PrBnnn（2-53）将边界条件和用于式（2-53）和式（2-44b）可得11nnnnnnaDaCaB21211nnnnnnraDnnaCaBn（2-54）解以上联立方程可得narrrnDannnC12111（2-55）nrrnDnnnB12（2-56）将式（2-55）代入式（2-44b）并根据边界条件有200124coscosrPrDnnnna（2-57）由上式得0,1

30、4/,1101DnDn将以上关系式代入式（2-55）和式（2-56）可得当1n时，014123rB(2-58)电介质物理新版第二章静电场中的电介质15/71 031411212aCrr(2-59)当1n时，nB=0，nC=0 将以上所得待定系数nB、nC和nD代入式（2-53）和式（2-44b）则得zrrrrrr3302011212141124cos3（2-60）zarrr33021212141（2-61）由上式可得真空球腔内电场强度2E为3303002211212341arrrrgradErr（2-62）真空球腔内的电场2E可以分成以下两个部分：303000341rrrrE（2-63）301

31、21241aErrr（2-64）将式（2-63）与偶极子电场比较可以看出E是球腔中心偶极子在球腔内建立的电场，rE则是电介质与球腔界面上的极化电荷在球腔内建立的电场。6电介质极化的宏观参数与微观参数以上讨论指出，从宏观介电行为来看，电介质与真空的唯一区别是它的介电常数比真空大，是真空的r倍。这相当于把电介质看成是连续均匀的一片，这个“形象”实际上是不确切的。电介质实际上是不连续不均匀的，它是由原子、分子或离子等微粒所组成的。因此从微观上来看，极化强度P应定义如下：极化强度是电介质单位体积中所有极化粒子偶极矩的向量和。若单位体积中有0n个极化粒子，各个极化粒子偶极电介质物理新版第二章静电场中的电

32、介质16/71 矩的平均值为，则有0nP（2-65）对于线性极化，与电场强度成正比，有rE（2-66）式中rE是作用在各原子、分子或离子等生粒上的局域电场，称为有效电场；为比例系数，称为原子、分子或离子的极化率，其单位为法米2（Fm2），是表征电介质各种微粒极化性质的微观极化参数。将式（2-66）代入式（2-65）有rEnP0（2-67）注意到EP0，其中E为介质中的宏观平均电场，可得rrEnEEP0001（2-68）或者EEnr001（2-69）以 上 两式 表示 了 电介 质中 与 极化 有关 的 宏观 参数（Er,）与 微观 参 数（rEn,0）之间的关系。12 洛伦兹有效电场1洛伦兹（

33、Lorentz）有效电场有效电场不同于宏观平均电场，是作用在微观粒子上的局域电场。作用在某一被考察原子、分子或离子上的有效电场可以看成是自由电荷和除该粒子以外的所有其它极化粒子在被考察粒子上建立的电场。要直接计算所有其它极化粒子对被考察粒子的作用是很困难的，为此，很多学者提出了各种计算模型。本书将讨论两种常用的模型，这里首先讨论洛伦兹模型对有效电场的计算。图 2-5（a）给了洛伦兹有效电场度算模型。这个模型可表述如下：在均匀电场E作用下，电介质均匀极化，极化强度为P。设电介质中某一被考虑粒子所在点为O，以O为中心想象作一个半径为a的圆球。作这人想象圆球的目的是：试图把球内外介质对球电介质物理新

34、版第二章静电场中的电介质17/71 心被考察粒子的作用按不同方式进行处理。洛伦兹把离子被考察很远的球外电介质作宏观处理。换句话说，就是把球外的电介质看成是介电常数为的连续均匀媒质。这样一来，有效电场所要计算的其它极化粒子的作用，就从整个电介质的范围缩小到球内的极化粒子上了。为达到以上目的，所作圆球的半径a，一方面，在微观尺度上要求尽量的大，比粒子间距离大得多，以使球外介质的作用可以用宏观方法予以处理；另一方面，在宏观上要足够的小，比两极板间的距离要不得多，以使球内介质的不连续不均匀性对球外电介质中的电场颁不至发生影响。这个想象的电介质圆球常被称为洛伦兹球，这就是洛伦兹计算模型。按照以上模型，应

35、用叠加原理，作用于球心被考察粒子上的电场强度eE由以下几个分量组成（见图2-5（b）（a）(b)图 2-5 洛伦兹有效电场计算模型210EEEEe（2-70）式中：0E为极板上自由电荷所产生的电场强度；1E为球外极化电介质所产生的电场强度；2E为球内极化粒子所产生的电场强度。极板上自由电荷在真空中所产生的电场强度0E，根据真空中的高斯定理可计算如下：0000/DAqE电介质物理新版第二章静电场中的电介质18/71 式中q为极板上自由电荷的电量，A为极板面积，Aq/则为自由电荷面密度。由图 2-5（a）可见，球外极化电介质在球心所产生的电场强度E1包括两项：一项为电介质与极板界面上极化电荷在真空

36、中所生产的电场强度PE，按照式（2-14）有0/PEP（2-71）另一项则为洛伦兹球表面极化电荷在真空中所建立的电场强度PE。因此有PPEEE1（2-71）洛伦兹球内外为同一电介质，为什么在该球表面上会出现感生极化电荷呢？这是不难理解的。洛伦兹模型把球外的电介质看成是介电常数为的连续均匀媒质，而把球内电介质看成是充有很多极化粒子的真空。这样各伦兹球面就相当于媒质与真空的界面。于是在这个介面上就有感生极化电荷，根据模型假设，球外仍保持均匀电场E不变，因此球面上的极化强度也仍为P。这样球面上某处极化电荷密度P根据式（2-9）就为cosPPnP式中是P与该处面元外法线方向的夹角。球面极化电荷在球心O

37、处所形成的电场可以按以下方法进行计算：由图2-5（b）可见，在垂直于电场方向，把球面分成无数个无限小的球环，球环半径为sina，宽为 ad，这样球环表面积则为aasin22，于是可得球环表面上极化电荷Pdq是cossin22Pdadqp（2-72）Pdq在球心O处所形成的平行于E方向的电场强度分量/PdE为dPadqdEPP0220/2cossincos4（2-73）整个球面上的极化电荷在球心O处所形成的平行于E方向的电场强度分量/PE则为电介质物理新版第二章静电场中的电介质19/71 xPPPdPdEE0020/3cossin2球面（2-74）由于所取球环在整个球面上具有对称性，球面极化电荷

38、所形成的垂直于E方向的电场强度分量为零，因此有0/3/PEEPp（2-75）由式可见，洛伦兹球面上的极化电荷在球心O处的电场与电介质球内的退极化电场（见图2-2）大小相等方向相反。将式（2-75）代入式（2-71）可得0013PPEEEPP（2-76）球内极化粒子作用在球心被考察粒子上的电场2E则不能一概而论。它主要取决于电介质的组成和结构。但遗憾的是鉴于物质微观结构的复杂性，虽然洛伦兹模型已把求解其它极化粒子的作用缩小到尽可能小的范围，但仍旧难于直接教育处，因此除了02E或2E=0 的特例以外，其它电介质的2E，还难以进行计算。现在设2E=0，并将式（2-76）代入式（2-70）可得0003

39、/PPEEr（2-77）可以看出，式（2-77）前面两项的和就是电介质中的宏观平均电场E，将式（2-77）前面两项的和就是电介质中的宏观平均电场E，将式（2-68）代入，则上式可表示为EPEErr323/0（2-78）这就是洛伦兹有效电场。由式可见，洛伦兹电场是由宏观平均电场和洛伦兹球面上极化电荷电场两部分叠加而成的。由于电介质相对介电常数恒大于小1，因此洛伦兹有效电场总是大于宏观平均电场。洛伦兹有效电场也可以从宏观上通过电介质圆球退极化电场求得。洛伦兹模型也相当于在电场强度为E，极化强度为P的电介质中取出一个圆球，该球以被考察的粒子为球心，以a为半径。圆球取出以后，在电介质中留下一个真空球腔

40、，设球腔内电场电介质物理新版第二章静电场中的电介质20/71 强度为rE；所取出的电介质球内退极化电场强度dE为03/PEEPd（2-79）这样，球腔中的电场与所取出的介质球内的退极化电场相叠加就是未取圆球时电介质中的宏观平均电场，即EEEPr（2-80）由此得EPEEEErPr3230这就是洛伦兹有效电场。以上讨论的洛伦兹有效电场仅适用于2E趋于零或等于零的电介质。即极化粒子之间的相互作用可以忽略不计或相互抵消的电介质。通常认为适用于洛伦兹电场的电介质有：气体、非极性电介质、结构高度对称的立方晶体等。对于极性液体和固体电介质，由于偶极分子间相互作用较强，洛伦兹有效电场就再适用了。2克劳休斯莫

41、索缔（clausius-Mossotti）方程将式（2-78）代入式（2-68）可得004321anr（2-81）上式称为克劳休斯莫索缔方程，简称克莫方程。这是在采用洛伦兹有效电场的情况下，联系电介质极化宏观与微观参数的一个关系式。克莫方程右端0n是电介质单位体积内的极化粒子数。如果我们以摩尔体积/M（其中 M 和分别为电介质的摩尔质量和密度）来代替单位体积。则molNnM/1002.6/2300（2-82）这就是阿佛加德罗常数。将0N代替0n则式（2-81）可写为00321aNMPrr（2-83）上式中 P称为摩尔极化。由式右端可见，对于定的电介质，当极化率有确定的值，并且与密度无关时，P为

42、一常数。左端式表明，当 P为常数时，2/1rr电介质物理新版第二章静电场中的电介质21/71 与密度成正比。通常介电常数r随着电介质密度的增大而增大。其物理意义也是容易理解的，因为随着电介质密度增加，单位体积内极化粒子数0n增多，所以r增大。表 2-2 列出了氢气在各个不同大气压下，相对介电常数r的测量数据，这时r从1.002 增至 1.17；在相应大气压下的气体密度也从0.4106增至 26.8 106kg/m3。表中列出了由测量数据按式（2-83）计算而得的摩尔极化P。由表可见，无论在中气压或在高气压下，在误差并允许范围内P 都是一个常数。这表明克莫方程对于至少是中压气体与实验结果十分吻合

43、。表 2-2 氢气的极化参数（99.93）P（atm）(106kg/m3)rMrr2113.56 46.46 88.06 141.47 221.39 478.75 926.10 1229.25 1425.36 0.439 1.482 2.751 4.305 6.484 12.496 20.374 24.504 26.833 1.00266 1.00898 1.01670 1.02628 1.03966 1.07750 1.12840 1.15620 1.17232 4.036 4.028 4.024 4.034 4.024 4.030 4.028 4.038 4.050 显然，克莫方程的应用范

44、围应限制在洛伦兹有效电场的适用范围内。但是在高频交变电场作用上，克莫方程也可用于极性电介质。这将在下一章中进行讨论。在光频范围内，电介质的电介常数r可用折射率n来表示。根据电磁波理论，电磁波（包括光波）在电介质中的传播速度v 为rrcv/（2-84）式中 c 为电磁波在真空中的传播速度，即光速。r为电介质的相对导磁率，对于非磁性媒质，r=1。因子rr称为折射率，以n表示，即rrrn（2-85）因此有电介质物理新版第二章静电场中的电介质22/71 2nr（2-86）即电介质的介电常数等于折射率的平方。在光频范围内，电介南的介电常数r等于光频介电常数，粒子的极化率等于电子位移极化率e，即er,于是

45、式（2-86）可写为2n将以上各式代入式（2-81）克莫方程变为002232121ennn（2-88）上式也称为洛伦兹洛伦茨（lorentz-Lorenz）方程。13 昂沙格有效电场来自洛伦兹有效电场的克莫方程不适用于极性电介持，经各种修正以后的方程仍不适用。本节介绍可用于极性液体电介质的昂沙极（Onsager）有效电场。昂沙格有效电场是按照贝尔（Bell）有效电场计算模型进行计算的，贝尔模型可描述如下：若在一介电常数的连续均匀的极性电介质中，有某一个被考察的偶极分子M，它的固有偶极矩为0，设电介质中宏观平均电场强度为E，为了考虑所有其它极化分子对M的作用，贝尔把该分子从电介质中挖出来，用一个

46、以M为中心，a为半径，在中心有一个点偶极子的真空球腔来代替这个分子。中心偶极子的偶极矩为0，而且是可以极化的。以上就是贝尔模型。a的选取对于有效电场的计算结果是有影响的，贝尔把a取为分子半径。昂沙格则采用以下关系：13430an（2-89）其中0n为单位体积的分子数，这种模型便被称为昂沙格分子模型。按照昂沙格分子模型，形成球腔中电场分布的场源有宏观平均电场E和中心点偶极子0。据此，作用在被考察分子上的电场eE有以下两部分：电介质物理新版第二章静电场中的电介质23/71（1）空腔电场E根据场源线性独立的原则，设想从球腔中把偶极子拿走，宏观平均电场E在空腔中形成的电场分布称为空腔电场，以CE表示，

47、如图2-6（a）所示。CE可按式（2-52）进行计算。这时公式中的021,，因此有EEErrc123230（2-90）其中12/3rr为一常数。由式可见，CE与E成正比并与E同向，并且空腔中的电场CE是均匀电场。为运算方便起见，令grr123（2-91）因此EgEc（2-92）图 2-6 昂沙格分子模型（2）反作用电场rE同样，按照场源线性独立的原则，让我们来考察中心偶极子0在球腔中形成的电场，根据1.1.5 分析可知，这时球腔中的电场有两部分：rEE 和，分别用式（2-63）和式（2-64）表示。eEErE电介质物理新版第二章静电场中的电介质24/71 PE是中心偶极子在球腔中建立的偶极子电

48、场，前面讨论中已指出，由被考察分子本身所建立的电场不包含有效电场中，因此有PE不是有效电场的分量。式（2-64）表明rE为12124130rrraE（2-93）rE是电介质与球腔界面上的极化电荷在空腔内建立的电场，如图2-6（b）所示。这个电场的形成过程可描述如下：球腔中心偶极子在球外建立的电场，使球外电介质极化，因此在电介质与球腔界面感生极化电荷。该极化电荷又反过来在球腔内形成电场，因此，rE被称为反作用电场。由上式可见，因子30412/12arr是一个常数，因此rE与成正比，并与同向，且rE在球腔内也是均匀的。为运算方便起见，令farr12124130（2-94）fEr（2-95）但是要注

49、意，式（2-95）中不是分子的固有偶格矩0，而是固有偶极矩0与感生偶极矩之和：0（2-96）eeE（2-97）由空腔电场cE和反作用电场rE的叠加就可得到昂沙格有效电场eE12124112330rrrrrceaEfEgEEE（2-98）以上分析表明，昂沙格分子模型是用被考察偶极分子的反作用电场对该分子的作用，来表征周围电介质对被考察分子的影响。这时把周围电介质作宏观处理，看成是介电介质物理新版第二章静电场中的电介质25/71 电常数为的连续均匀媒质。这样处理，比洛伦兹模型前进了一步，原因在于这个模型考虑了被考察分子邻近电介质的作用。尽管这是最重要的相互影响，但昂沙格模型没有从电介质的微观结构来

50、考邻近电介质作用，而只采用了过于简化的处理，有关昂沙格模型与实验结果的比较将在以后章节中进行讨论。昂沙格有效电场也适用于非极性电介质，可以证明，这一模型实际上也概括了洛伦兹有效电场。14 电子弹性位移极化电介质的极化现象归根到底是电介质中的微观荷电粒子，在电场作用下，电荷分布发生变化而导致的一种宏观统计平均效应。按照微观机制，电介质的极化可以分成两大类型，弹性位移极化和驰豫极化。弹性位移极化包括电子弹性位移极化和离子弹性位移极化两类。电子弹性位移极化通常简称电子位移极化。电介质中原子、分子、离子等任何粒子在电场作用下都能感生一个沿电场方向的感应偶极矩。这是由于在电场作用下，粒子中的电子云相对于