人教版八年级数学二次根式有意义讲义(含解析).pdf

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1、第 13 讲 二次根式有意义知识定位讲解用时：5 分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习二次根式，了解二次根式有意义，增强数形结合和用数学的意识。二次根式这一章节十分重要，是中考考查的一个重点，因此要好好学习并掌握。知识梳理讲解用时：20分钟平方根与算术平方根2 1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.100602020vv3162xx分式方程整式方程2、判断下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程?2231323=212xxxxxxxx43711121052131xyx xxxxxxx回顾：什么是平方根？什么是

2、算术平方根？如果一个数的平方等于a，那么这个数就称为a 的平方根，也称为二次根式.也就是说：若 x2=a，则 x 叫做 a 的平方根，记作 x=a 一般地，若一个非负数x 的平方等于 a，即 x2=a，则这个数 x 叫做 a 的算术平方根.也就是说：若 x2=a，则 x 叫做 a 的算术平方根，记作 x=a 总结：当 a 是正数时，a 表示 a 的算术平方根，也就是a 的正的平方根；当 a 是零时，a 等于 0，也叫做零的算术平方根；当 a 是负数时，a 没有意义.a 中 a 的范围是 a0，a 是非负数，即 a0 二次根式1、一般地，式子 a（a0）叫做二次根式a 称为是被开方数（1）表示

3、a 的算式平方根（2）a 可以是数，也可以是式（3）形式上含有二次根号（4）a0 a0（双重非负性）2、最简二次根式：必须同时满足下列条件：（1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；（2）被开方数中不含分母；（3）分母中不含根式.3、同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.4、二次根式的性质：（1）（a）2=a（a0）；（2）aa20000a aaa a二次根式有意义必须保证被开方数为非负数.课堂精讲精练【例题 1】在下列代数式中，不是二次根式的是（）AB CD【答案】D【解析】直接利用二次根式的定义分析得出答案解：A、，是二次根式，故此选

4、项错误；B、，是二次根式，故此选项错误；C、，是二次根式，故此选项错误；D、，不是二次根式，故此选项正确；故选：D讲解用时：2 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键教学建议：一般地，形如（a0）的代数式叫做二次根式，熟记定义.难度：2 适应场景：当堂例题例题来源：浦东新区期末年份：2015【练习 1.1】下列代数式能作为二次根式被开方数的是（）A3Ba C a2+1 D2x+4【答案】C【解析】直接利用二次根式的定义分别分析得出答案解：A、3 0，则 3a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；B、a 的符号不能确定，则a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误

5、；C、a2+1 一定大于 0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确；D、2x+4的符号不能确定，则a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；故选：C讲解用时：2 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键教学建议：熟练掌握二次根式里面的被开方数为非负数.难度：2 适应场景：当堂练习例题来源：怀柔区期末年份：2017【例题 2】如果代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（）Ax3 Bx0 Cx3 且 x0 D x3【答案】C【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案解：由题意可知：x3 且 x0 故选：C讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查二次根式有意义的

6、条件，解题的关键是熟练运用二次根式的有意义的条件，本题属于基础题型教学建议：二次根式有意义必须保证开方数x+3 为非负数，同时要注意 x 作为分母不能为 0.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：门头沟区一模年份：2018【练习 2.1】在下列二次根式中，x 的取值范围是 x3 的是（）ABCD【答案】D【解析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x 的不等式，再求出即可解：A、是二次根式，3x0，x3，故本选项错误；B、是二次根式，x+30，x3，故本选项错误；C、是二次根式，x30，x3，故本选项错误；D、是二次根式，0，x3，故本选项正确；故选：D讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了二次

7、根式有意义的条件和解一元一次不等式的应用，能根据二次根式的定义得出关于x 的不等式是解此题的关键，注意：形如（a0）的式子叫二次根式教学建议：熟练掌握二次根式里面的被开方数为非负数并灵活运用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 3】若二次根式有意义，则 x 的取值范围为【答案】x【解析】函数关系中主要有二次根式根据二次根式的意义，被开方数是非负数解：根据题意得：1+2x0，解得 x故答案为：x讲解用时：1 分钟解题思路：本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式

8、的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数教学建议：熟练掌握二次根式有意义即被开方数为非负数.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：长沙模拟年份：2018【练习 3.1】分式有意义时，x 的取值范围是【答案】x2【解析】要使代数式有意义时，必有 2-x 0，可解得 x 的范围解：根据题意得：2-x 0，解得：x2故答案是：x2讲解用时：2 分钟解题思路：考查了分式和二次根式有意义的条件二次根式有意义，被开方数为非负数，分式有意义，分母不为0教学建议：熟练掌握二次根式有意义即被开方数为非负数，同时也要注意分母不能为 0.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：博望区校级一模年

9、份：2018【练习 3.2】如果代数式有意义，那么 x 的取值范围是【答案】x3 且 x1【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于 0 列式计算即可得解解：由题意得，x+30 且 x10，解得 x3 且 x1故答案为：x3 且 x1讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数教学建议：熟练掌握二次根式有意义即被开方数为非负数，同时也要注意分母不能为 0.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：宁津县二模年份：2018【例题 4】若是整数，求自然数x【答案】0 或 7 或 12或 15 或 16【解析】先根据二次根式的定义求出x 的取值范围，

10、再根据是整数这一条件对 x 的值进行讨论即可解：根据题意得：16x0，解得：x16则自然数 x 的值是：0 或 7 或 12 或 15或 16 时，是整数讲解用时：3 分钟解题思路：主要考查了二次根式的意义和性质及自然数的定义，解题的关键是熟记定义教学建议：保证被开方数是完全平方数.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 4.1】找出二次根式：（1）（2）（3）【答案】都是【解析】直接利用二次根式的定义进而判断得出即可解：（1），a20，是二次根式；（2），（a）20，是二次根式；（3），x0，5x0，故（x0），是二次根式讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了二次根

11、式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键教学建议：灵活运用二次根式定义法进行解题.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 4.2】已知为二次根式，求x 的取值范围【答案】x3【解析】利用二次根式的定义得出x30 进而得出答案解：为二次根式，x 的取值范围是：x30即 x3.讲解用时：2 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键教学建议：灵活运用二次根式定义法进行解题.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 5】当 a 取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值【答案】a=，最小值是 1【解析】根据0，即可求得

12、a的值，以及所求式子的最小值解：0，当 a=时，有最小值，是 0则+1 的最小值是 1讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了二次根式的性质，任何非负数的算术平方根是非负数教学建议：熟记二次根式有意义，保证被开方数为非负数.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：白云区期中年份：2011【练习 5.1】当 x=时，代数式有最小值【答案】【解析】根据二次根式的有意义的条件即可求出答案解：4x50，x当 x=时，的最小值为 0，故答案为：讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型教学建议：熟记二次根式有意义，保证被开方数为非负数.难度：3

13、适应场景：当堂练习例题来源：鼓楼区校级期末年份：2016【例题 6】已知，且 x、y 均为整数，求 x+y 的值【答案】25 或 33【解析】先求出 x 的取值范围，再根据x，y 均为整数，可得x 的值，再分情况得到 x+y 的值解：由题意知：20 x30，又因为 x，y 均为整数，所以 x20，30 x 均需是一个整数的平方，所以 x20=1，30 x=1，故 x 只能取 21 或 29，当 x=21 时，y=4，x+y 的值为 25；当 x=29 时，y=4，x+y 的值为 33故 x+y 的值为 25 或 33讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了二次根式的定义，解题的难点是根据x、y

14、均为整数，得到 x20，30 x 均需是一个整数的平方教学建议：熟记二次根式有意义，保证被开方数为非负数.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：泗阳县校级模拟年份：2012【练习 6.1】（2017秋?景德镇期末）请认真阅读下列这道例题的解法，并完成后面两问的作答：例：已知 y=+2018，求的值解：由，解得：x=2017，y=2018请继续完成下列两个问题：（1）若 x、y 为实数，且 y+2，化简：；（2）若 y?=y+2，求的值【答案】（1）1；（2）3【解析】根据题意给出的方法即可求出答案解：（1）由，解得：x=3，y2；（2）由：，解得：x=1y=2讲解用时：3 分钟解题思路：本题考

15、查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型教学建议：熟记二次根式有意义，保证被开方数为非负数.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 6.2】已知 x，y 都是实数，且，求 x+2y 的平方根【答案】4【解析】根据被开方数大于等于0 列不等式求出 x 的值，再求出 y 的值，然后代入代数式求解，再根据平方根的定义解答解：由题意得，x20 且 2x0，解得 x2 且 x2，所以，x=2，y=7，x+2y=2+27=16，所以，x+2y 的平方根是 4讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了二次根式有意义的条件，平方根的定义，二次根式中的被开方数

16、必须是非负数，否则二次根式无意义教学建议：熟练掌握二次根式的性质并灵活运用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：武清区期中年份：2018【例题 7】已知 y=+4，求的值【答案】3【解析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y 的值，进而得出答案解：y=+4，x=3，y=4，=+=1+2=3讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y 的值是解题关键教学建议：熟练掌握二次根式的性质并灵活运用.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：宁都县期中年份：2018【练习 7.1】已知+=b+8（1）求 a 的值；（2）求 a2b2的平方根【答案】（1）17；（2）15

17、【解析】（1）根据被开方数是非负数，即可求得a 的值；（2）根据（1）的结果即可求得b 的值，然后利用平方根的定义求解解：根据题意得：，解得：a=17；（2）b+8=0，解得：b=8则 a2b2=172（8）2=225，则平方根是：15讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数教学建议：熟练掌握二次根式的性质并灵活运用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：姑苏区期末年份：2017【练习 7.2】已知 y=+5+2，求 xy的值【答案】1【解析】根据二次根式有意义的条件可得x10，1x0，解可得 x=1，进而可得 y 的值，然后计算出 xy的值即可解：由题意得：

18、x10，1x0，解得：x=1，则 y=2，xy=1讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数教学建议：熟练掌握二次根式的性质并灵活运用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 课后作业【作业 1】下列各式：，中，一定是二次根式的个数是（）A3 个 B4 个 C 5 个 D7 个【答案】B【解析】直接利用二次根式的定义分析得出答案解：，中，一定是二次根式的是：，共 4 个故选：B讲解用时：1 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 2】要使二次根式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是【答案】x【

19、解析】根据二次根式有意义的条件可得12x0，再解即可解：由题意得：12x0，解得：x，故答案为：x讲解用时：2 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 3】已知：y=2016，求 x+y 的平方根【答案】1【解析】根据被开方数大于等于0 列式求出 x 的值，再求出 y 的值，然后求出x+y，再根据平方根的定义解答解：y=2016，x20170且 2017x0，x2017且 x2017，x=2017，y=2016，x+y=20172016=1，x+y 的平方根是 1讲解用时：3 分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：简阳市期末年份：2016【作业 4】若 y=2，求（x

20、+y）y的值【答案】【解析】先根据二次根式有意义的条件得出x=4，代入等式可得y=2，继而代入计算可得解：，x=4，当 x=4 时，y=2，原式=（42）2=讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：崇川区期末年份：2018【作业 5】已知|2016x|+=x，求 x20162的值【答案】2017【解析】根据被开方数大于等于0 列式求出 x 的取值范围，然后去掉绝对值号，整理后平方即可得解解：由题意得，x20170，所以，x2017，所以，x2016+=x，=2016，两边平方得，x2017=20162，所以，x20162=2017讲解用时：3 分钟难度：5 适应场景：练习题例题来源：雁塔区校级期末年份：2017