广东省惠州市2020届高三第一次调研考试试题数学(文)【含解析】.pdf

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1、广东省惠州市2020 届高三第一次调研考试试题数学（文）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知集合2|20Mx xx，2,1,0,1,2N，则MN（）A.?B.1C.0 1，D.1 01，【答案】B【解析】【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可【详解】由M中不等式得20 x x，解得02x，即(0,2)M，1MN，故选 B【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算2.设63235xx iyi（i为虚数单位），其中x，y是实数，则xyi等于（）A.5 B.13C.2 2D.2【答案】A【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算以及

2、复数相等的条件，列出方程组求解即可得x，y的值，再由复数求模公式计算得答案【详解】由6(32)i3(5)ixxy，得63325xxy，解得34xy，345xyii故选 A【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，考查了复数模的求法，是基础题3.平面向量a与b的夹角为3，2,0a，1b，则2ab()A.2 3B.6C.0 D.2【答案】D【解析】【分析】先由2,0a，求出a，再求出ab，进而可求出2ab【详解】因为2,0a，所以2a，所以13aba b cos，所以222444442abaa bb.故选 D【点睛】本题主要考查向量模的运算，熟记公式即可，属于基础题型.4.不

3、透明的箱子中有形状、大小都相同的5 个球，其中2 个白球，3 个黄球现从该箱子中随机摸出2 个球，则这2个球颜色不同的概率为（）A.310B.25C.35D.710【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件总数2510nC,这 2 个球颜色不同包含的基本事件个数11236MC C，由此能求出这2 个球颜色不同的概率【详解】设2 只白球分别为1A2A，3 只红球分别为1B，2B，3B，从 5 只球中随机摸两只球，其可能结果组成的基本事件有：12111213212223121323,A AA BA BA BA BA BA BB BB BBB共 10 个两只球颜色不同包含的基本事件有111213212

4、223,A BA BA BA BA BA B共 6 个，所以所求概率为：60.610P，故选 C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.若抛物线24yx上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可【详解】抛物线24yx的焦点10F，准线为1x，由M到焦点的距离为10，可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9，故选 C【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力6.已知函数()cos(2)0,2f xx的最小正周期为

5、，将其图像向右平移6个单位后得函数()2g xcos x的图像，则的值为（）A.3B.6C.3D.6【答案】A【解析】【分析】利用余弦函数的周期公式可求，可得函数解析式()cos(2)f xx，根据三角函数的图象变换及各个选项的值即可求解【详解】由题意得22，故1，()cos(2)f xx()cos 2cos 2cos263g xxxx，|2，3故选 A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了函数sin()yAx的图象变换规律，属于基础题7.等比数列na的前n项和为nS，公比为q，若639SS，562S，则1a（）A.2B.2 C.5D.3【答案】B【解析】【分析】根 据 题 意，分

6、 析 可 得 等 比 数 列na的 公 比1q，进 而 由 等 比 数 列 的 通 项 公 式 可 得631111911aqaqqq，解可得2q，又由5151131621aqSaq，解可得1a的值，即可得答案【详解】根据题意，等比数列na中，若639SS，则1q，若639SS，则631111911aqaqqq，解可得38q，则2q，又由562S，则有5151131621aqSaq，解可得12a；故选：B【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n项和的性质8.已知函数exfxxa的图象在1x和1x处的切线相互垂直，则a（）A.1B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】

7、因为()(1)xfxxae，所以1(1)(2)(1)afaefaee，由题意有(1)(1)1ff，所以1a，选 A.9.在长方体1111ABCDA B C D中，2AB，1BC，11AA，,E F分别为棱11A B，11C D的中点，则异面直线AF与BE所成角的余弦值为（）A.0 B.55C.32D.2 55【答案】A【解析】【分析】在正方体1111ABCDA B C D中，连接CF、AC、EF，则 BE/CF，把异面直线AF与 BE所成的角，转化为相交直线 AF与 CF所成的角，在ACF中，利用余弦定理求解，即可得到答案。【详解】在正方体1111ABCDA B C D中，连接CF、AC、EF

8、，则 BE/CF，所以异面直线AF与 BE所成的角，即为相交直线AF与 CF所成的角，设角AFC,在正方体1111ABCDA B C D中，得2222115,2ACABBCCFCCC F，22113AFADD F在ACF中，由余弦定理可得222325cos022 52AFCFACAF CF，即异面直线AF与 BE所成的角的余弦值为0，故选 A。【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中利用平移把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，放置在三角形中利用正、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.10.双曲线22221(0,0)xyabab的离心率

9、为2，则该双曲线的渐近线与圆22(2)3xy的公共点的个数为（）A.1 B.2 C.4 D.0【答案】B【解析】【分析】运用离心率公式，即a，b，c的关系，可得3ba，求得渐近线方程，圆心到直线的距离与半径比较即可得到所求关系，即可判断选项【详解】由2cea得2ca，3ba，渐近线方程为3yx联立方程组223(2)3yxxy整理得24410 xx有唯一解，这两条双曲线的渐近线均与圆相切，公共点个数为2 个，故选B【点睛】本题考查双曲线的方程和性质：离心率和渐近线，考查直线和圆的位置关系，以及运算求解能力，属于基础题11.关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实

10、验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120 名同学每人随机写下一个x，y都小于 1的正实数对xy，再统计其中x，y能与 1 构成钝角三角形三边的数对xy，的个数m，最后根据统计个数m估计的值如果统计结果是34m，那么可以估计的值为（）A.237B.4715C.1715D.5317【答案】B【解析】【分析】由试验结果知120 对 01 之间的均匀随机数,x y，满足0101xy，面积为 1，两个数能与1 构成钝角三角形三边的数对(,)x y，满足221xy且0101xy，1xy，面积为142，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即

11、可估计的值【详解】由题意，120 名同学随机写下的实数对xy，落在由0101xy的正方形内，其面积为1两个数能与1 构成钝角三角形应满足2211xyxy且0101xy，此为一弓形区域，其面积为142由题意134421120，解得4715，故选 B【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题12.已知函数2ln1fxxx，设3log 0.2af，0.23bf，1.13cf，则（）A.abcB.bacC.cbaD.cab【答案】D【解析】2ln1fxxx221()ln(1)ln1f xxxxx2()ln(1)fxxx当0 x时，211xx；当0 x时，2011x

12、x当0 x时，222()ln(1)ln(1)ln(1)f xxxxxxx，2()ln(1)fxxx；当0 x时22()ln(1)ln(1)f xxxxx；22()ln(1)ln(1)fxxxxx.()()f xfx函数fx是偶函数当0 x时，易得2()ln(1)f xxx为增函数33(log0.2)(log 5)aff，1.11.1(3)(3)cff31log 52，0.2031，1.1331.10.23(3)(log 5)(3)fffcab故选 D.二、填空题13.已知54x，则函数1445yxx的最小值为 _.【答案】7【解析】【分析】转化函数，通过基本不等式求解即可【详解】54x，450

13、 x，114(45)52574545yxxxx当且仅当14545xx，即，即32x时等号成立.法二：54x，令2440(45)yx得1x或32x，当5342x时0y函数单调递减，当32x时0y函数单调递增所以当32x时函数取得最大值为：314732452.【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力14.设函数23(0)()(2)(0)xxxf xf xx，则 3f_【答案】4【解析】【分析】根据已知中函数23(0)()(2)(0)xxxf xf xx，将自变量的值代入，分析变量的变化规律，可得答案【详解】2(3)(1)(1)13 14fff【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，

14、函数求值，难度不大，属于基础题15.等差数列na的前n项和为nS，若4525aa，657S，则na的公差为 _.【答案】3【解析】【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】4525aa，1664363572aaSaa，4319aa-得536aa，26d，3d【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.已知球的直径4DC，A，B是该球面上的两点，6ADCBDC，则三棱锥ABCD的体积最大值是 _.【答案】2【解析】【分析】由题意画出图形，可知要使ABCDV的体积最大，则面ADC面BDC，求出A到平面BCD的距离，则三棱锥A-

15、BCD的体积最大值可求【详解】因为球的直径4DC，且6ADCBDC，所以2ACBC，2 3ADBD，13A BCDBCDVSh（其中h为点A到底面BCD的距离），故当h最大时，A BCDV的体积最大，即当面ADC面BDC时，h最大且满足422 3h，即3h，此时1122 33232A BCDV.【点睛】本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤17.在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足abcbcabc.（1）求角A；（2）若ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积S的最大值【答案】(1)3A；(2)3 3

16、4【解析】【分析】（1）化简，再用余弦定理和三角形内角和，即可求出角A.（2）根据正弦定理求出a，根据余弦定理结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可【详解】解：（1）由abcbcabc化简得222bcabc，由余弦定理222cos2bcaAbc得1cos22bcAbc又因为0A，所以3A.（2）由正弦定理得22sin2sin3sin3aRaRAA所以2232bcbcbcbcbc，当且仅当bc时取等号故1133 3sin32224SbcA（bc时取等号）即ABC面积S的最大值为3 34【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的性质在解三角形中的应用，考查了计

17、算能力和转化思想，属于基础题18.在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点为M，又4PAAB，ADCD，点N是CD中点（1）求证：/MN平面PAD；（2）求点M到平面PBC的距离【答案】(1)证明见解析；(2)2217【解析】【分析】（1）推导出ABDBCD，从而MNAD，由此能证明MN平面PAD（2）设M到平面PBC的距离为h，由VM-PBC=VP-BMC，能求出点M到平面PBC的距离【详解】（1）ABC是正三角形，所以BABC，又ADCD，BD所在直线为线段AC的垂直平分线，所以M为AC的中点，又点N是CD中点，所以/MNAD，又AD平面PAD，MN平面P

18、AD，所以/MN平面PAD；（2）解：设M到平面PBC的距离为h，在Rt PAB中，4PAAB，所以42PB在RtPAC中，4PAAC，所以4 2PC，在PBC中，4 2PB，42PC，4BC，所以ABBCS4 7.由MPBCP BMCVV即114 72 3433h，解得2 217h所以点M到平面PBC的距离为2 217【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19.某品牌汽车4S 店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，汽车4S店记录了100 辆该品牌三种类型汽车的维修

19、情况，整理得下表：车型A型B型C型频数20 40 40 假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100 辆该品牌三种类型汽车中随机取10 辆进行问卷回访（1）求 A型、B型、C型各车型汽车抽取的数目；（2）维修结束后这100 辆汽车的司机采用“100 分制”打分的方式表示对4S店的满意度，按照大于等于80 为优秀，小于80 为合格，得到如下列联表：优秀合格合计男司机10 38 48 女司机25 27 52 合计35 65 100 问能否在犯错误概率不超过0.01 的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系？请说明原因（参考公式：22()()()()()n adbcKab cd ac bd）附表：

20、2P Kk0.100 0.050 0.010 0.001 K 2.706 3.841 6.635 10.828【答案】(1)分别为 2，2，4；(2)能在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为司机对4S 店满意度与性别有关系【解析】【分析】（1）确定A型，B型，C型的比例，即可求A型，B型，C型各车型汽车的数目；（2）由已知列联表中的数据求得观测值，结合临界值表可得结论【详解】解：（1）A、B、C型汽车抽取数目分别为20102100，40104100，40104100，（2）根据题意，22100(27103825)35655248K8.14318.14316.635所以能在犯错误概率不超过0.

21、01 的前提下，认为司机对4S店满意度与性别有关系【点睛】本题考查分层抽样，考查独立性检验的应用，考查计算能力，是基础题20.已知函数yf（x）ln xx。（1）求yf（x）的最大值；（2）设实数a0，求函数F（x）af（x）在 a，2a 上的最小值。【答案】（1）1e；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）令fx0，求得极值点，因此可得到单调区间，从而得到最大值；（2）根据（1）可知 F（x）的单调性，得到F（x）在 a，2a 上的最小值为F（a）和 F（2a）之中的较小者，作差讨论即可得到结果.试题解析：（1）fx21lnxx.令fx 0得xe.因为当x（0，e）时，fx0，f（x）在（0

22、，e）上为增函数；当x（e，）时，fx0，f（x）在（e，）上为减函数，所以f（x）maxf（e）1e。（2）因为a0，由（1）知，F（x）在（0，e）上单调递增，在（e，）上单调递减，所以F（x）在a，2a 上的最小值F（x）minminF（a），F（2a）。因为F（a）F（2a）2ln21ln21lnlnln22222aaaaa，所以当 02 时，F（a）F（2a）0，F（x）minF（2a）12ln2a 21.已知椭圆2222:10 xyCabab的左顶点为A，右焦点为22,0F，点2,2B在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）若直线0ykx k与椭圆C交于,E F两点，直线,AE AF

23、分别与y轴交于点,M N，在x轴上，是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）22184xy；（2）存在点P，使得无论非零实数k怎么变化，总有MPN为直角，点P坐标为2,0或2,0.【解析】试题分析：（1）依题意，2c，结合点2,2B在椭圆C上及222abc，即可求得椭圆C的方程；（2）设011,0,P xE x y，则11,Fxy，联立直线与椭圆的方程，求得1x，1y，根据22,0A得E所在直线方程，即可分别得到M与N的坐标，结合MPN为直角，列出等式，即可求解.试题解析：（1）依题意，2c.点2,2B在C上，224

24、21ab，又222abc228,4ab，椭圆方程为22184xy（2）假设存在这样的点P，设011,0,P xE x y，则11,Fxy，联立222212?80184ykxkxxy，解得11222 22 2,121 2kxykk，22,0AAE所在直线方程为22 2112kyxk，22 20,112kMk，同理可得2220,112kNk，00222 22 2,112112kkPMxPNxkk，20040PM PNx.02x或02x存在点P，使得无论非零实数k怎么变化，总有MPN为直角，点P坐标为2,0或2,0点睛：（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化解题时可先假设满足条

25、件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在；（2）由于解析几何问题的解答中一般要涉及到大量的计算，因此在解题时要注意运算的合理性和正确性22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3xtyt（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程为cos4（1）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程：（2）若1C与2C相交于A、B两点，求OAB的面积【答案】(1)1C的普通方程为30 xy，2C的直角坐标方程为2240 xyx；(2

26、)3 72【解析】【分析】（1）由曲线C1的参数方程能求出C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程转化为2=4sin，由此能求出C2的直角坐标方程；（2）求出原点O到直线x+y-3=0 的距离为d，化C2的参数方程为普通方程x2+（y-2）2=4，可得C2表示圆心为C2（0，2），半径r=2 的圆，求出C2到直线x+y-3=0 的距离，再由垂径定理求得|AB|，代入三角形面积公式求解【详解】解：（1）消去参数可得1C的普通方程为30 xy，由cos4，得24 cos，又因为222xy，cosx，所以2C的直角坐标方程为2240 xyx.（2）2C标准方程为22(2)4xy，表示圆心为22 0C，半

27、径2r的圆2C到直线30 xy的距离222d，故222214ABrd.原点O到直线30 xy的距离32d所以1133 7142222OABSAB d.综上，OAB的面积为3 72.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化，考查运算求解能力，是中档题23.已知()1?1f xxa xa（1）当1a时，求不等式3fx的解集;（2）若1x时，不等式2fxx恒成立，求a的取值范围【答案】(1)(,21,)(2)0)，.【解析】【分析】（1）将a=1代入f（x）中，去绝对值后分别解不等式即可；（2）x（0，1）时，不等式f（x）x+2 恒成立等价于当x（0，1）时，|ax-1|1 恒成立

28、，然后分a0和a0 讨论即可【详解】解：（1）解法 1：当1a时，不等式()3f x可化简为13xx.当 1x时，13xx，解得2x，所以2x；当10 x时，13xx，13，无解；当0 x时，13xx，解得1x，所以1x综上，不等式()3f x的解集为(,21,)解法 2：当1a时，21(1)()11(10)21(0)xxf xxxxxx当1x时，213x，解得2x，所以2x；当10 x时，13，无解；当0 x时，213x，解得1x，所以1x综上，不等式()3f x的解集为(,21,)（2）解法 1：当1x时，不等式2fxx可化简为11axa.令()(1)1g xa x，则g x的图像为过定点11，斜率为a的一条直线，数形结合可知，当0a时，11axa在1)，上恒成立.所以，所求a的取值范围为2222(1)5(1)xyxy解法 2：当1x时，不等式2fxx可化简为11axa.由不等式的性质得11axa或11axa，即(1)2a x或(1)0a x.当1x时，aR，不等式2(1)2a x不恒成立；为使不等式(1)0a x恒成立，则0a.综上，所求a的取值范围为2222(1)5(1)xyxy.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题