普通高等学校招生全国统一考试数学理(湖北卷,含答案).pdf

《普通高等学校招生全国统一考试数学理(湖北卷,含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《普通高等学校招生全国统一考试数学理(湖北卷,含答案).pdf（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-1-/13 2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）本试卷共4 页，满分150 分，考试时间120 分钟。祝考试顺利注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3.填空题和解答题用0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

2、一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。1、已知|(1,0)(0,1),|(1,1)(1,1),Pa ammRQb bnnR是两个向量集合，则PQA 1，1 B.-1，1 C.1，0 D.0，1 2.设 a 为非零实数，函数11(,)1axyxRxaxa且的反函数是A、11(,)1axyxRxaxa且 B、11(,)1axyxRxaxa且C、1(,1)(1)xyxRxax且 D、1(,1)(1)xyxRxax且3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和 n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为A、13 B、14C、

3、16 D、1124.函数cos(2)26yx的图象F按向量a平移到F,F的函数解析式为(),yf x当()yf x为奇函数时，向量a可以等于.(,2)6A.(,2)6B.(,2)6C.(,2)6D5.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为.18A.24B.30C.36D6.设222212012122).2nnnnnxaa xa xaxax（，则2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-2-/13 22024213521lim(.)(.)nnnaaaaaaaa.1A.0B.1C2.2D7.已知

4、双曲线22122xy的准线过椭圆22214xyb的焦点，则直线2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是A.1 1,2 2K B.11,22KC.22,22K D.22,22K8.在“家电下乡”活动中，某厂要将100 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4 辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用400 元，可装洗衣机20 台；每辆乙型货车运输费用 300 元，可装洗衣机10 台。若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为A.2000 元 B.2200元 C.2400元 D.2800元9.设球的半径为时间t的函数R t。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径A.成

5、正比，比例系数为C B.成正比，比例系数为2CC.成反比，比例系数为C D.成反比，比例系数为2C10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：他们研究过图1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2 中的 1，4，9，16，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-3-/13

6、 11.已知关于x的不等式11axx0 的解集是1(,1)(,)2.则a .12.样本容量为200 的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在6,10)内的频数为，数据落在2,10)内的概率约为 .13.如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为这个卫星的覆盖区域.为了转播2008 年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km.已知地球半径约为6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km.(结果中保留反余弦的符号).14.已知函数()()cossin,4f

7、 xfxx则()4f的值为 .15已知数列na满足：1a m（m 为正整数），1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时，当为奇数时。若6a 1，则 m所有可能的取值为_。三、解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题满分10 分）（注意：在试题卷上作答无效）一个盒子里装有4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量xy，求的分布列和数学期望。17（本小题满分1

8、2 分）（注意：在试题卷上作答无效）已知向量(cos,sin),(cos,sin),(1,0)aaa bc2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-4-/13（）求向量bc的长度的最大值；（）设a4，且()abc，求cos的值。18（本小题满分12 分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥SABCD 的底面是正方形，SD平面 ABCD，SD=2a，2ADa点 E是 SD上的点，且(02)DEa（）求证：对任意的(0,2，都有ACBE（）设二面角C AED 的大小为，直线BE 与平面ABCD所成的角为，若tantan1，求的值19、（本小题满分13 分）（注意：在试题

9、卷上作答无效）已知数列na的前 n 项和11()22nnnSa（n 为正整数）。（）令2nnnba，求证数列nb是等差数列，并求数列na的通项公式；（）令1nnncan，12.nnTccc试比较nT与521nn的大小，并予以证明。20、（本小题满分14 分）（注意：在试题卷上作答无效）过抛物线22(0)ypx p的对称轴上一点,00A aa的直线与抛物线相交于M、N2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-5-/13 两点，自M、N向直线:l xa作垂线，垂足分别为1M、1N。（）当2pa时，求证：1AM1AN；（）记1AMM、11AM N、1ANN的面积分别为1S、2

10、S、3S，是否存在，使得对任意的0a，都有2212SSS成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。21.(本小题满分14 分)（注意：在试题卷上作答无效）在R 上 定 义 运 算1:43pqpcqbbc（b、c为 实 常 数）。记212fc，22fb，R.令21fff.如果函数f在1处有极什43,试确定 b、c 的值；求曲线yf上斜率为c 的切线与该曲线的公共点；记|11g xfxx的最大值为M.若Mk对任意的b、c 恒成立，试示k的最大值。2009 年高考湖北理科数学卷解析1【答案】A【解析】因为(1,)(1,1)ambnn代入选项可得1,1PQ故选 A.2009 年普通高等学校招生全国统

11、一考试数学理（湖北卷，含答案）-6-/13 2【答案】D【解析】同文2 3【答案】C【解析】因为22()()2()mninmimnnmi 为实数所以22nm 故 mn 则可以取1、26，共 6 种可能，所以1166616PCC4【答案】B【解析】同文科7 5【答案】C【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C，顺序有33A 种，而甲乙被分在同一个班的有33A 种，所以种数是23343330C AA6【答案】B【解析】令0 x得2021()22nna令1x时201222(1)2nnaaaa令1x时201222(1)2nnaaaa两式相加得：2202222(1)(1)222

12、nnnaaa两式相减得：22132122(1)(1)222nnnaaa代入极限式可得，故选B 7【答案】A【解析】易得准线方程是2212axb所以222241cabb即23b所以方程是22143xy联立2 ykx可得22 3+(4k+16k)40 xx由0可解得 A 8【答案】B【解析】同文8 9.【答案】D【解析】由题意可知球的体积为34()()3V tR t，则2()4()()cVtRt R t，由此可得4()()()cR tR t R t，而球的表面积为2()4()S tRt，所以2()4()8()()vS tR tR t R t表，2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷

13、，含答案）-7-/13 即228()()24()()()()()()ccvR t R tR t R tR tR t R tR t表，故选 D 10.【答案】C【解析】同文10 11.【答案】-2【解析】由不等式判断可得a0 且不等式等价于1(1)()0a xxa由解集特点可得11022aaa且12.【答案】64 0.4【解析】同文15 13.【答案】12800arccos853【解析】如图所示，可得AO=42400，则在Rt ABO中可得 cosAOB=853所以8212800arccos53lRAOB R14.【答案】1【解析】因为()()sincos4fxfxx所以()()sincos44

14、44ff()214f故()()cossin()144444fff15.【答案】4 5 32【解析】（1）若1am为偶数，则12a为偶,故223 a224amma当4m仍为偶数时，46832mmaa故13232mm当4m为奇数时，4333114aam63144ma故31414m得 m=4。（2）若1am为奇数，则213131aam为偶数，故3312ma必为偶数63116ma，所以3116m=1 可得 m=5 16.解析：依题意，可分别取5、6、11 取，则有O B C A 2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-8-/13 1123(5),(6),(7)44161616

15、4321(8),(9),(10),(11)16161616ppppppp的分布列为5 6 7 8 9 10 11 p1162163164163162161161234321567891011816161616161616E.17.解析：（1）解法 1：(cos1,sin),bc=则222|(cos1)sin2(1cos).bc21cos1,0|4bc，即0|2.bc当cos1时，有|2,bc所以向量bc的长度的最大值为2.解法 2：|1b|=，|1c，|2|bc|b+c当cos1时，有|(2,0)bc|=，即|2bc|=，bc的长度的最大值为2.（2）解法 1：由已知可得(cos1,sin),

16、bc=()coscossinsincoscos()cosa bc。a(b+c)，()0abc，即cos()cos。由4，得cos()cos44，即2()44kkz。22()4kkkz或，,于是cos0cos1或。解法 2：若4，则22(,)22a，又由(cos,sin)b，(1,0)c得22222()(,)(cos1,sin)cossin22222abca(b+c)，()0abc，即cos(cos1)0sin1cos，平方后化简得cos(cos1)02009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-9-/13 解得cos0或cos1，经检验，cos0cos1或即为所求18.（）

17、证法1：如图 1，连接 BE、BD，由地面 ABCD是正方形可得AC BD。SD 平面 ABCD，BD是 BE在平面 ABCD 上的射影，AC BE（）解法1：如图 1，由 SD 平面 ABCD知，DBE=,SD 平面 ABCD，CD平面 ABCD,SD CD。又底面 ABCD是正方形，CDAD，而 SD AD=D，CD 平面 SAD.连接 AE、CE，过点 D在平面 SAD内作 DE AE于 F，连接 CF，则 CFAE，故 CDF是二面角C-AE-D 的平面角，即CDF=。在 Rt BDE中，BD=2a，DE=atan2DEBD在 Rt ADE中,22,2ADa DEaAEa从而222AD

18、 DEaDFAE在Rt CDF中，22tanCDDF.由tantan1，得2222.12222.由(0,2，解得2，即为所求.（I）证法 2：以 D为原点，,DA DC DS的方向分别作为x，y，z 轴的正方向建立如图 2 所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），A（2，0，0），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），E（0，0a），(2,2,0),(2,2,)ACaaBEaaa2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-10-/13 222200AC BEaaa，即ACBE。（II）解法 2：由（I）得(2,0,),(0,2,),(2,2,)EAaa ECaaB

19、Eaaa.设平面 ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由nEAEC，n得0,2xz0,z2n(,2)0,2yz0,n EAn EC即取，得。易知平面ABCD 与平面 ADE的一个法向量分别为(0,0,2)DCaDSa 与（0，2,0）.22sin,cos422DC nDS BEDSBEDCn.0，,02，222tantansincos22422.由于(0,2，解得2，即为所求。19.解析：（I）在11()22nnnSa中，令 n=1，可得1112nSaa，即112a当2n时，21111111()2()22nnnnnnnnnSaaSSaa，11n1112a(),212nnnnnaaan即2.1

20、12,1,n21nnnnnnbabbbn即当时，b.又1121,ba数列nb是首项和公差均为1 的等差数列.于是1(1)12,2nnnnnnbnnaa.(II)由（I）得11(1)()2nnnncann，所以23111123()4()(1)()2222nnTn2341111112()3()4()(1)()22222nnTn由-得231111111()()()(1)()22222nnnTn2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-11-/13 111111()133421(1)()122212332nnnnnnnnT535(3)(221)3212212(21)nnnnnn

21、nnnTnnn于是确定521nnTn与的大小关系等价于比较221nn与的大小由2345221 1;2221;2231;2241;225;可猜想当3221.nnn时，证明如下：证法 1：（1）当 n=3 时，由上验算显示成立。（2）假设1nk时122 22(21)422(1)1(21)2(1)1kkkkkkk所以当1nk时猜想也成立综合（1）（2）可知，对一切3n的正整数，都有221.nn证法 2：当3n时01210112(11)2221nnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCnn综上所述，当1,2n时521nnTn，当3n时521nnTn20 题。本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等

22、平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力。（14 分）解：依题意，可设直线MN 的方程为1122,(,),(,)xmya M xyN xy，则有12(,),(,)Ma yNa y由22xmyaypx消去 x 可得2220ympyap从而有121222yympy yap于是21212()22()xxm yyam pa又由2112ypx，2122ypx可得222121222()(2)44y yapx xapp2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-12-/13（）如图1，当2pa时，点(,0)2pA即为抛物线的焦点，l为其准线2px此时1112(,)

23、,(,),22PPMyNy并由可得212y yp证法 1：1112(,),(,)AMp yANp y2221112110,AMANpy yppAMAN即证法 2：1112,AMANyyKKpp1121211221,AMANy ypKKAMANpp即.()存在4，使得对任意的0a，都有22134SS S成立，证明如下：证法 1：记直线l与 x 轴的交点为1A,则1OAOAa。于是有11111121111231112211)221211)22SMMA MxaySM NAAa yySNNA Nxay（2221312112222212121212124()()()()4()SS Sa yyxayxay

24、ayyy yx xa xxay y将、代入上式化简可得2222222(48)2(24)4(2)am papapam paa p m pa2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖北卷，含答案）-13-/13 上式恒成立，即对任意22130,4aSS S成立证法 2：如图 2，连接11,MNNM,则由212112,2y yap ypx可得1122211122222OMONypypyypKKxyy yapa,所以直线1MN经过原点O，同理可证直线1NM也经过原点O 又1OAOAa设1111121112,M AhN AhMMdNNd则11 121212322111,2()(),.222Sd

25、h Sa hha hhSd h（2）当1()byfx时，函数得对称轴x=b 位于区间 1,1之外此时max(1),(1),()Mggg b由2(1)(1)4,()(1)(1)0ffbfbfb有若10,max(1),()bgg b则f(1)f(-1)f(b),g(-1)于是2111max(1),()(1)()(1)()(1)222Mffbffbffbb若01b，则f(=1)f(1)f(b)，max(1),()gg bg(1)于是21111max(1),()(1)()(1)()(1)2222Mffbffbffbb综上，对任意的b、c 都有12M而当，10,2bc时，21()2g xx在区间 1,1上的最大值12M故MK对任意的b，c 恒成立的k 的最大值为12