备战2020中考初中数学导练学案50讲—第38讲开放性问题(讲练版).pdf

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1、备战 2020 中考初中数学导练学案50 讲第 38 讲开放性问题【疑难点拨】1.开放性问题的基本方法：(1)条件开放型问题：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性.2.解题策略与解法精讲解开

2、放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。3.肯定型存在性问题：解决“肯定型存在性问题”的基本步骤：画图分析研究确定图形，先画图解决其中一种情形分类讨论.先验证的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍 4.讨论型存在性问题将问题看成求解题，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决讨论型存在性问题的主要方法.另外，先猜出对象可能存在或不存在，从而将讨论型存在性问题转化为肯定型或否定型处理，是解决讨论

3、型存在性问题的又一重要方法.【基础篇】一、选择题：1.如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC的是()(A)CB=CD(B)BAC=DAC(C)BCA=DCA(D)B=D=902.（2018?四川凉州?3分）如图将矩形ABCD 沿对角线BD折叠，使C 落在 C处，BC 交AD于点 E，则下到结论不一定成立的是（）AAD=BC BEBD=EDBCABE CBD Dsin ABE=3.四边形 ABCD 中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：ADBC；AD BC；OA OC；OB OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()A3 种B4

4、种C5 种D6 种4.如图，在方格纸中，线段a，b，c，d 的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有()A3 种B6 种C 8 种D12 种5.（2017 呼和浩特）如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，E，F 为 BD所在直线上的两点，若 AE=，EAF=135，则下列结论正确的是（）ADE=1 Btan AFO=C AF=D四边形AFCE 的面积为二、填空题：6.（2016山东省济宁市3分）如图，ABC 中，AD BC，CE AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点 H，请你添加一个适当的条件：，使 AEH CEB 7.

5、（2015?广东梅州,第 12 题，3 分）已知：ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与ABC相似，则需要增加的一个条件是（写出一个即可）8.（2018广东广州 3 分）如图9，CE是平行四边形ABCD的边 AB的垂直平分线，垂足为点 O，CE与 DA的延长线交于点E，连接 AC，BE，DO，DO与 AC交于点 F，则下列结论：四边形ACBE是菱形；ACD=BAE AF：BE=2：3 其中正确的结论有_。（填写所有正确结论的序号）三、解答与计算题：9.（2017 湖南岳阳）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证

6、的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程已知：如图，在?ABCD 中，对角线AC，BD交于点 O，求证：10.在数学课上，林老师在黑板上画出如图211 所示的图形(其中点B，F，C，E在同一条直线上)，并写出四个条件：ABDE；BFEC；BE；12.请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明题设：_，结论：_(均填写序号)【能力篇】一、选择题：11.如图，在正方形ABCD 中，BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点 E、F，连接 BD、DP，BD与 CF相交于点H，给出下列结论：BE=2AE；DFP BPH；PFD PDB；DP2=PHPC

7、 其中正确的是（）A B CD 12.(2018 三明中考)如图，在正方形纸片ABCD 中，E，F分别是 AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点 C落在 EF上，落点为 N，折痕交 CD边于点 M，BM与 EF交于点 P，再展开.则下列结论中：CM DM；ABN 30；AB23CM2；PMN 是等边三角形.正确的有()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个13.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，但远在毕达哥拉斯出生之前，这一定理早已被人们所利用，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等），特别是定理

8、的证明，据说有400 余种方法其中在几何原本中有一种证明勾股定理的方法：如图所示，作CC FH，垂足为 G，交 AB于点 P，延长 FA交 DE于点 S，然后将正方形ACED、正方形 BCNM 作等面积变形，得 S正方形 ACED=S?ACQS，S正方形 BCNM=S?BCQT，这样就可以完成勾股定理的证明对于该证明过程，下列结论错误的是（）A ADS ACB BS?ACQS=S矩形 APGF CS?CBTQ=S矩形 PBHGDSE=BC 二、填空题：14.（2018四川宜宾 3 分）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，CB=2，点 E为线段 AB上的动点，将 CBE沿 CE折叠，使点B 落在

9、矩形内点F 处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）当 E为线段 AB中点时，AF CE；当 E为线段 AB中点时，AF=；当 A、F、C三点共线时，AE=；当 A、F、C三点共线时，CEF AEF 15.如图，AB是半径为2 的 O的弦，将沿着弦 AB折叠，正好经过圆心O，点 C是折叠后的上一动点，连接并延长BC交 O于点 D，点 E是 CD的中点，连接AC，AD，EO 则下列结论：ACB=120，ACD是等边三角形，EO 的最小值为1，其中正确的是（请将正确答案的序号填在横线上）三、解答与计算题：16.(1)如图，正方形ABCD 中，点 E，F 分别在边BC，CD上，EAF 45，延

10、长 CD到点G，使 DG BE，连结 EF，AG.求证：EF FG.(2)如图，等腰直角三角形ABC中，BAC 90，AB AC，点 M，N在边 BC上，且 MAN 45，若 BM 1，CN 3，求 MN的长17.如图=，四边形ABCD是平行四边形，ADAC，ADAC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点(1)若EDEF，求证：EDEF；(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)；(3)若EDEF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由18.已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，A

11、F，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：AF=DE；AFDE成立试探究下列问题：（1）如图 1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论，是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图 2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论，是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图 3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论【探究篇】19.（2018?

12、山西?12 分）(本 题 12 分)综 合与实践问题 情境：在数学活动课上，老师 出示了这样一 个问题：如图1，在矩形ABCD 中，AD=2AB，E 是 AB 延 长线上一点，且 BE=AB，连接 DE，交 BC 于 点 M，以 DE 为一边在 DE 的 左下方 作正方形 DEFG，连 接 AM试判断线段 AM 与 DE 的位置 关系探究 展示：勤奋小 组发现，AM 垂 直 平 分 DE，并 展 示 了 如 下 的证明 方 法：证 明：B E A B,AE 2ABAD 2AB,AD AE四 边 形 ABCD 是矩形，AD/BC.EMEBDMAB（依 据）BE AB,1EMDMEM DM.即 A

13、M 是 ADE 的 DE 边 上 的 中 线，又AD AE,AM DE.（依 据 2）AM 垂 直 平 分 DE反思 交流：(1)上述证明过程中 的“依据 1”“依据 2”分 别 是 指 什 么？试 判断图中的 点 A 是 否 在 线 段 GF 的垂直平分上，请直接回答，不必证明；(2)创新 小组受到勤奋小 组的启发，继续进 行探究，如图 2，连接 CE，以 CE 为一边在 CE 的 左 下方 作 正 方 形 CEFG，发 现点 G 在 线 段 BC 的垂直平分线上，请你给出证明；探索 发现：(3)如 图 3，连 接 CE，以 CE 为 一 边 在 CE 的 右 上 方 作 正 方 形 CEF

14、G，可 以发 现 点 C，点 B 都 在 线 段AE 的 垂 直 平 分 线 上，除 此 之 外，请 观 察矩形ABCD 和 正 方 形 CEFG 的 顶 点 与 边，你 还 能发 现 哪 个顶 点 在 哪 条 边 的 垂直 平 分线 上，请 写 出一个 你 发 现 的 结 论，并 加 以 证 明.20.（2018四川自贡 14 分）如图，抛物线y=ax2+bx3 过 A（1，0）、B（3，0），直线 AD交抛物线于点D，点 D的横坐标为 2，点 P（m，n）是线段 AD上的动点（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点 P的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度 l 与 m的关

15、系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得 P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由第 38 讲开放性问题【疑难点拨】1.开放性问题的基本方法：(1)条件开放型问题：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必

16、须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性.2.解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。3.肯定型存在性问题：解决“肯定型存在性问题”的基本步骤：画图分析研究确定图形，先画图解决其中一种情形分类讨论.先验证的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍 4.讨论型存在性问题将问题看成求解题，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在

17、，这是解决讨论型存在性问题的主要方法.另外，先猜出对象可能存在或不存在，从而将讨论型存在性问题转化为肯定型或否定型处理，是解决讨论型存在性问题的又一重要方法.【基础篇】一、选择题：1.如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC的是()(A)CB=CD (B)BAC=DAC (C)BCA=DCA (D)B=D=90【解析】选C.已知两边及其一边对角相等，不能判定两个三角形全等.2.（2018?四川凉州?3分）如图将矩形ABCD 沿对角线BD折叠，使C 落在 C处，BC 交AD于点 E，则下到结论不一定成立的是（）AAD=BC BEBD=EDBCABE CBD Dsin

18、 ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案【解答】解：A、BC=BC，AD=BC，AD=BC，所以正确B、CBD=EDB，CBD=EBD，EBD=EDB正确D、sin ABE=，EBD=EDBBE=DEsin ABE=故选：C【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法3.四边形 ABCD 中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：ADBC；AD BC；OA OC；OB OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()A3 种B4 种C5 种D6 种【解析】：组合可根据一

19、组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形可证明 ADO CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定出四边形ABCD为平行四边形可证明 ADO CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定出四边形ABCD为平行四边形故选：B4.如图，在方格纸中，线段a，b，c，d 的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有()A3 种B6 种C 8 种D12 种解：由网格可知：a

20、=，b=d=，c=2，则能组成三角形的只有：a，b，d 可以分别通过平移ab，ad，bd 得到三角形，平移其中两条线段方法有两种，即能组成三角形的不同平移方法有6 种故选：B5.（2017 呼和浩特）如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，E，F 为 BD所在直线上的两点，若 AE=，EAF=135，则下列结论正确的是（）ADE=1 B tan AFO=CAF=D 四边形AFCE 的面积为【考点】LE：正方形的性质；T7：解直角三角形【分析】根据正方形的性质求出AO的长，用勾股定理求出EO的长，然后由 MAN=135 及BAD=90 可以得到相似三角形，根据相似三角形的性质求出BF的长，再

21、一一计算即可判断【解答】解：四边形ABCD 是正方形，AB=CB=CD=AD=1，AC BD，ADO=ABO=45，OD=OB=OA=，ABF=ADE=135，在 RtAEO中，EO=，DE=，故 A错误EAF=135，BAD=90，BAF+DAE=45，ADO=DAE+AED=45，BAF=AED，ABF EDA，=，=，BF=，在 RtAOF中，AF=，故 C正确，tan AFO=，故 B错误，S四边形 AECF=?AC?EF=，故 D错误，故选 C二、填空题：6.（2016山东省济宁市3分）如图，ABC 中，AD BC，CE AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点 H，请你添加一个适当

22、的条件：，使 AEH CEB【考点】全等三角形的判定【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断AEH与CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了【解答】解：AD BC，CE AB，垂足分别为D、E，BEC=AEC=90，在 RtAEH中，EAH=90 AHE，又 EAH=BAD，BAD=90 AHE，在 RtAEH和 RtCDH中，CHD=AHE，EAH=DCH，EAH=90 CHD=BCE，所以根据AAS添加 AH=CB 或 EH=EB；根据 ASA添加 AE=CE 可证 AEH CEB 故填空答案：AH=CB 或 EH=EB 或 AE=CE 7.（2015?广东梅州,第

23、 12 题，3 分）已知：ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与ABC相似，则需要增加的一个条件是（写出一个即可）考点：相似三角形的判定.专题：开放型分析：根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论解答：解：分两种情况：AEFABC，AE：AB=AF：AC，即 1：2=AF：AC，AF=AC；AFEACB，AFE=ABC要使以A、E、F为顶点的三角形与ABC相似，则AF=AC或AFE=ABC故答案为：AF=AC或AFE=ABC点评：本题很简单，考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的

24、角和边8.（2018广东广州 3 分）如图9，CE是平行四边形ABCD的边 AB的垂直平分线，垂足为点 O，CE与 DA的延长线交于点E，连接 AC，BE，DO，DO与 AC交于点 F，则下列结论：四边形ACBE是菱形；ACD=BAE AF：BE=2：3 其中正确的结论有_。（填写所有正确结论的序号）【答案】【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：CE是平行四边形ABCD 的边 AB的垂直平分线，AO=BO,AOE=BOC=90,BC AE，AE=BE，CA=CB，OAE=OBC，AOE BOC（ASA），

25、AE=BC，AE=BE=CA=CB，四边形ACBE是菱形，故正确.由四边形ACBE是菱形，AB平分 CAE，CAO=BAE，又四边形ABCD是平行四边形，BACD，CAO=ACD，ACD=BAE.故正确.CE垂直平分线AB，O为 AB中点，又四边形ABCD是平行四边形，BACD，AO=AB=CD，AFO CFD，=，AF:AC=1:3,AC=BE，AF:BE=1:3,故错误.CD OC,由知 AF:AC=1:3,=CD OC=,=+=,故正确.故答案为：.【分析】根据平行四边形和垂直平分线的性质得AO=BO,AOE=BOC=90,BC AE，AE=BE，CA=CB，根据ASA得 AOE BOC

26、，由全等三角形性质得AE=CB，根据四边相等的四边形是菱形得出正确.由菱形性质得CAO=BAE，根据平行四边形的性质得BACD，再由平行线的性质得CAO=ACD，等量代换得ACD=BAE；故正确.根据平行四边形和垂直平分线的性质得BA CD，AO=AB=CD，从而得 AFO CFD，由相似三角形性质得=，从而得出AF:AC=1:3,即 AF:BE=1:3,故错误.由 三 角 形 面 积 公 式 得CD OC,从 知AF:AC=1:3,所 以=+=,从 而 得 出故正确.三、解答与计算题：9.（2017 湖南岳阳）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求

27、证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程已知：如图，在?ABCD 中，对角线AC，BD交于点 O，求证：【分析】由命题的题设和结论可填出答案，由平行四边形的性质可证得AC为线段 BD的垂直平分线，可求得AB=AD，可得四边形ABCD 是菱形【解答】已知：如图，在?ABCD 中，对角线AC，BD交于点 O，AC BD，求证：四边形ABCD 是菱形证明：四边形ABCD 为平行四边形，BO=DO，ACBD，AC垂直平分BD，AB=AD，四边形ABCD 为菱形故答案为：AC BD；四边形 ABCD 是菱形【点评】本题主要考查菱形的判定及平行四边形的性质，利用平行四边形的性质证得AB=AD是解题的

28、关键10.在数学课上，林老师在黑板上画出如图 211 所示的图形(其中点B，F，C，E在同一条直线上)，并写出四个条件：ABDE；BFEC；BE；12.请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明题设：_，结论：_(均填写序号)解：证明：BFEC，BFCFECCF，即BCEF.在ABC和DEF中，ABDE，BE，BCEF，ABCDEF(SAS)，12；情况二：题设：；结论：.证明：在ABC和DEF中，ABDE，BE，12，ABCDEF(AAS)，BCEF，BCFCEFFC，即BFEC；情况三：题设：；结论：.证明：BFEC，BFCFECCF，即BCEF.在AB

29、C和DEF中，BE，BCEF，12，ABCDEF(ASA)，ABDE.【能力篇】一、选择题：11.如图，在正方形ABCD 中，BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点 E、F，连接 BD、DP，BD与 CF相交于点H，给出下列结论：BE=2AE；DFP BPH；PFD PDB；DP2=PHPC 其中正确的是（）A B CD【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论【解答】解：BPC是等边三角形，BP=PC=BC，PBC=PCB=BPC=60，在正方形ABCD 中，AB=BC=CD，A=ADC=BCD=90 ABE=DCF=30，BE=2AE；故正确；PC=CD，P

30、CD=30，PDC=75，FDP=15，DBA=45，PBD=15，FDP=PBD，DFP=BPC=60，DFP BPH；故正确；FDP=PBD=15，ADB=45，PDB=30，而 DFP=60，PFD PDB，PFD与 PDB不会相似；故错误；PDH=PCD=30，DPH=DPC，DPH CPD，DP2=PHPC，故正确；故选 C【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理12.(2018 三明中考)如图，在正方形纸片ABCD 中，E，F分别是 AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点 C落在 EF上，落点为 N，折痕交

31、CD边于点 M，BM与 EF交于点 P，再展开.则下列结论中：CM DM；ABN 30；AB23CM2；PMN 是等边三角形.正确的有()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个【解析】选C.连接 CN，如图，正方形 ABCD 中，AB BC CD AD，AD BC，E，F 分别是 AD，BC的中点，AEBF，四边形ABFE是矩形，EFBC，EF是 BC的垂直平分线，NB NC，由于折叠可得BCM BNM，BNBC，NBM CBM，NBNC BC，BCN是等边三角形，NBC 60，NBM CBM 30，ABN 30(即正确).在 RtBCM 中，tan CBM tan 30 CM3BC

32、3，BC3CM，AB2BC23CM2(即正确)，CM 33BC 12BC即 CM DM(即不正确).NBM 30，BNM 90，BMN BMC 60.EFCD，EPM 60，PNM 180 60 60 60，PMN 是等边三角形(即正确).13.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，但远在毕达哥拉斯出生之前，这一定理早已被人们所利用，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等），特别是定理的证明，据说有400 余种方法其中在几何原本中有一种证明勾股定理的方法：如图所示，作CC FH，垂足为 G，交 AB于点 P，延长

33、FA交 DE于点 S，然后将正方形ACED、正方形 BCNM 作等面积变形，得 S正方形 ACED=S?ACQS，S正方形 BCNM=S?BCQT，这样就可以完成勾股定理的证明对于该证明过程，下列结论错误的是（）A ADS ACB B S?ACQS=S矩形 APGFCS?CBTQ=S矩形 PBHGD SE=BC【解答】解：A、四边形ADEC 是正方形，AD=AC，DAS+SAC=SAC+CAB=90，DAS=BAC，D=ACB=90，ADS ACB；故 A正确；B、ADS ACB，AS=AB=AF，FSGQ，S?ACQS=S矩形 APGF，故 B正确；C、同理可得：S?CBTQ=S矩形 PBH

34、G；故 C正确；D、ADS ACB，DS=BC，S不一定是DE的中点，所以SE与 BC不一定相等，故 D错误，本题选择结论错误的，故选：D二、填空题：14.（2018四川宜宾 3 分）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，CB=2，点 E为线段 AB上的动点，将 CBE沿 CE折叠，使点B落在矩形内点F 处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）当 E为线段 AB中点时，AF CE；当 E为线段 AB中点时，AF=；当 A、F、C三点共线时，AE=；当 A、F、C三点共线时，CEF AEF【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质【考点】PB：翻折变换（折叠

35、问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质菁优网版权所有【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图1 中，当 AE=EB时，AE=EB=EF，EAF=EFA，CEF=CEB，BEF=EAF+EFA，BEC=EAF，AFEC，故正确，作 EM AF，则 AM=FM，在 RtECB中，EC=，AME=B=90，EAM=CEB，CEB EAM，=，=，AM=，AF=2AM=，故正确，如图 2 中，当 A、F、C共线时，设AE=x 则 EB=EF=3 x，AF=2，在 RtAEF中，AE2=AF2+EF2，x2=（2）2+（3 x）2，x=，AE=，故正确，如果，CEF AEF，则

36、 EAF=ECF=ECB=30，显然不符合题意，故错误，故答案为【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题15.如图，AB是半径为2 的 O的弦，将沿着弦 AB折叠，正好经过圆心O，点 C是折叠后的上一动点，连接并延长BC交 O于点 D，点 E是 CD的中点，连接AC，AD，EO 则下列结论：ACB=120，ACD是等边三角形，EO 的最小值为1，其中正确的是（请将正确答案的序号填在横线上）【解答】解：如图1，连接 OA和 OB，作 OF AB 由题知：沿着弦 AB折叠，正好经过

37、圆心O OF=OA=OB AOF=BOF=60 AOB=120 ACB=120（同弧所对圆周角相等）D=AOB=60（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）ACD=180 ACB=60 ACD是等边三角形（有两个角是60的三角形是等边三角形）故，正确下面研究问题EO的最小值是否是1 如图 2，连接 AE和 EF ACD是等边三角形，E是 CD中点AEBD（三线合一）又 OF AB F 是 AB中点即，EF是 ABE斜边中线AF=EF=BF 即，E点在以 AB为直径的圆上运动所以，如图3，当 E、O、F 在同一直线时，OE长度最小此时，AE=EF，AE EF O的半径是2，即 OA=2，OF=1 AF

38、=（勾股定理）OE=EF OF=AF OF=1 所以，不正确综上所述：正确，不正确故答案为三、解答与计算题：16.(1)如图，正方形ABCD 中，点 E，F 分别在边BC，CD上，EAF 45，延长 CD到点G，使 DG BE，连结 EF，AG.求证：EF FG.(2)如图，等腰直角三角形ABC中，BAC 90，AB AC，点 M，N在边 BC上，且 MAN 45，若 BM 1，CN 3，求 MN的长(1)证明：ABE ADG，AD AB，在ABE和ADG中，AB AD，ABE ADG，BE DG，ABE ADG(SAS)，BAE DAG，AE AG，EAG 90，在FAE和FAG中，AE A

39、G，EAF FAG 45，AFAF，FAE FAG(SAS)，EF FG；(2)如图 2，过点 C作 CE BC，垂足为点C，截取 CE，使 CE BM，连结 AE、EN，ABAC，BAC 90，BACB 45，CEBC，ACE B 45，在ABM和ACE中，AB AC，BACE，BM CE，ABM ACE(SAS)AM AE，BAM CAE.BAC 90，MAN 45，BAM CAN 45.于是，由 BAM CAE，得 MAN EAN 45.在MAN和EAN中，AM AE，MAN EAN，AN AN，MAN EAN(SAS)MN EN.在RtENC中，由勾股定理，得EN2EC2NC2.MN2

40、BM2 NC2.BM 1，CN 3，MN21232，MN 10.17.如图=，四边形ABCD是平行四边形，ADAC，ADAC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点(1)若EDEF，求证：EDEF；(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)；(3)若EDEF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由解：(1)证明：在?ABCD中，ADAC，ADAC，ACBC，ACBC，如答图，连结CE，E为AB中点，AEEC，ACEBCE45，DAEECF135，又AEDCEDCEFCED90，AEDCEF，AED

41、CEF，EDEF；(2)补全图形如答图所示AEDCEF，ADCF，ACCF，又CPAE，CP为FAB的中位线，CPAE，CPAE，四边形ACPE是平行四边形；(3)垂直理由：如答图，过点E作EHAF于H，作EGDA交DA延长线于点G，AEEC，EAGHCE45，AGECHE，EGEH，又EDEF，Rt DEGRtFEH，ADECFE，DEAFEC，FECDECDEADEC90，DEF90，EDEF.18.已知 E，F分别为正方形ABCD的边 BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当 E，F分别为边 BC，CD的中点时，有：AF=DE；AFDE成立试探究下列问题：（1）如图 1，若点 E不是边

42、 BC的中点，F不是边 CD的中点，且CE=DF，上述结论，是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图 2，若点 E，F分别在 CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论，是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和 EF，若点 M，N，P，Q 分别为AE，EF，FD，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论分析：（1）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得ADFDCE（SAS），即可证得AF=DE，DAF=CDE，又由ADG+EDC=9

43、0，即可证得AFDE；（2）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得ADFDCE（SAS），即可证得AF=DE，E=F，又由ADG+EDC=90，即可证得AFDE；（3）首先设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，由点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，即可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQDE，PQAF，然后由AF=DE，可证得四边形MNPQ是菱形，又由AFDE即可证得四边形MNPQ是正方形解答：解：（1）上述结论，仍然成立，理由为：四边形ABCD为正方形，AD=DC，BCD=ADC=90，在ADF和DCE中，DF=CE ADC=BCD=90 AD=CD

44、 ADFDCE（SAS），AF=DE，DAF=CDE，ADG+EDC=90，ADG+DAF=90，AGD=90，即AFDE；（2）上述结论，仍然成立，理由为：四边形ABCD为正方形，AD=DC，BCD=ADC=90，在ADF和DCE中，DF=CE ADC=BCD=90 AD=CD ADFDCE（SAS），AF=DE，E=F，ADG+EDC=90，ADG+DAF=90，AGD=90，即AFDE；（3）四边形MNPQ是正方形理由为：如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQDE，PQAF，四

45、边形OHQG是平行四边形，AF=DE，MQ=PQ=PN=MN，四边形MNPQ是菱形，AFDE，AOD=90，HQG=AOD=90，四边形MNPQ是正方形点评：此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质注意证得ADFDCE（SAS），掌握三角形中位线的性质是关键【探究篇】19.（2018?山西?12 分）(本 题 12 分)综 合与实践问题 情境：在数学活动课上，老师 出示了这样一 个问题：如图1，在矩形ABCD 中，AD=2AB，E 是 AB 延 长线上一点，且 BE=AB，连接 DE，交 BC 于 点 M，以 DE 为一边在 DE 的 左下

46、方 作正方形 DEFG，连 接 AM试判断线段 AM 与 DE 的位置 关系探究 展示：勤奋小 组发现，AM 垂 直 平 分 DE，并 展 示 了 如 下 的证明 方 法：证 明：B E A B,AE 2ABAD 2AB,AD AE四 边 形 ABCD 是矩形，AD/BC.EMEBDMAB（依 据）BE AB,1EMDMEM DM.即 AM 是 ADE 的 DE 边 上 的 中 线，又AD AE,AM DE.（依 据 2）AM 垂 直 平 分 DE反思 交流：(1)上述证明过程中 的“依据 1”“依据 2”分 别 是 指 什 么？试 判断图中的 点 A 是 否 在 线 段 GF 的垂直平分上，

47、请直接回答，不必证明；(2)创新 小组受到勤奋小 组的启发，继续进 行探究，如图 2，连接 CE，以 CE 为一边在 CE 的 左 下方 作 正 方 形 CEFG，发 现点 G 在 线 段 BC 的垂直平分线上，请你给出证明；探索 发现：(3)如 图 3，连 接 CE，以 CE 为 一 边 在 CE 的 右 上 方 作 正 方 形 CEFG，可 以发 现 点 C，点 B 都 在 线 段AE 的 垂 直 平 分 线 上，除 此 之 外，请 观 察矩形ABCD 和 正 方 形 CEFG 的 顶 点 与 边，你 还 能发 现 哪 个顶 点 在 哪 条 边 的 垂直 平 分线 上，请 写 出一个 你

48、发 现 的 结 论，并 加 以 证 明.【考 点】平行线 分线段成比例，三线合一，正方 形、矩形性质，全等【解 析】(1)答：依 据 1：两 条 直线被一组平行 线所截，所得的 对应线段成比例（或平行线分 线段 成 比 例）.依 据2：等腰三 角形顶角的平分线，底边上的中 线及底边上的高 互相重合（或 等腰三角形 的“三 线 合 一”）.答：点 A 在线 段 GF 的 垂 直 平 分 线 上.(2)证 明：过 点 G 作 GH BC 于 点 H，四 边 形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB 的延 长线上，CBE ABC GHC 90.1+2=90.四 边 形 CEFG 为正方形，CG CE,

49、GCE 90.13 90.2=3.GHC CBE.HC BE.四 边 形 ABCD 是矩形，AD BC.AD 2AB,BE AB,BC 2BE 2HC.HC BH.GH 垂 直 平 分 BC.点 G 在 BC 的垂 直平分线上（3）答：点 F 在 BC 边 的 垂 直 平 分 线 上（或 点 F 在 AD 边的垂直平分线上）.证法 一：过 点 F 作 FM BC 于 点 M，过 点 E 作 EN FM 于 点 N.BMN ENM ENF 90.四 边 形 ABCD 是矩 形，点 E 在 AB 的 延 长 线 上，CBE ABC 90.四 边 形BENM 为 矩 形.BM EN,BEN 90.1

50、2 90.四 边 形 CEFG 为正 方形，EF EC,CEF 90.2 3 90.1=3.CBE ENF 90,ENFEBC.NE BE.BM BE.四 边 形 ABCD 是矩 形，AD BC.AD 2AB,AB BE.BC 2BM.BM MC.FM 垂 直 平 分 BC，点 F 在 BC 边的垂直平分 线上.证法 二：过 F 作 FN BE 交 BE 的延长线于 点 N，连 接 FB，FC.四 边 形 ABCD 是 矩 形，点 E 在 AB 的 延 长 线 上，CBE=ABC=N=90.1+3=90 .四 边 形 CEFG 为 正 方 形，EC=EF，CEF=90 .1+2=90.2=3.