广义相对论简介.pdf

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1、1 广义相对论简介引子由牛顿力学到狭义相对论，基本观念的发展是，其一：由一切惯性系对力学规律平权到一切惯性系对所有物理规律平权；其二：由绝对时空到时空与运动有关。爱因斯坦进一步的思考：非惯性系与惯性系会不平权吗？物质与运动密不可分，那么时空与物质有什么关系？关于惯性和引力的思考，是开启这一迷宫大门的钥匙，最终导致广义相对论的建立。1 广义相对论的基本原理一、等效原理1.惯性质量与引力质量实验事实：引力场中同一处，任何自由物体有相同的加速度。根据上述事实及力学定律，可得任一物体的惯性质量与引力质量满足常量，与运动物体性质无关，选择合适的单位，可令，即惯性质量与引力质量相等。从而，在引力场中自由飞

2、行的物体，其加速度必等于当地的引力强度。2.惯性力与引力已知在非惯性系中引入惯性力后，可应用力学规律，而惯性力。在此基础上，讨论下述假想实验。1)自由空间中的加速电梯(如图 1)以为参考系,无法区分ma是惯性力还是引力。因此，也可以认为是在引力场中匀速运动的电梯。2)引力场中自由下落的电梯S*(如图 2)以 S*为参考系，无法区分是二力平衡还是无引力。因此，也可认为S*是自由空间中匀速运动的电梯。以上二例表明，由，可导出惯性力与引力的力学效应不可区分，或者说，一加速参考系与引力场等效。当然，由于真实引力场大范围空间内不均匀，amaS图图 1图 2mamggavv=*S2 因此，这种等效只在较小

3、范围空间内才成立，我们称之为局域等效。3.等效原理弱等效原理：局域内加速参考系与引力场的一切力学效应等效。强等效原理：局域内加速参考系与引力场的一切物理效应等效。广义相对论的等效原理是指强等效原理。4.对惯性系的再认识局域惯性系按牛顿力学的定义，惯性定律成立的参考系叫惯性系。恒星参考系是很好的惯性系，不存在严格符合此定义的真正的惯性系。惯性系之间无相对加速度。按爱因斯坦的定义，狭义相对论成立的参考系，或（总）引力为零的参考系叫惯性系。因此，以引力场中自由降落的物体为参考的局域参考系是严格的惯性系，简称为局惯系。引力场中任一时空点的邻域内均可建立局惯系，在此参考系内运用狭义相对论。同一时空点的各

4、局惯系间无相对加速度，不同时空点的各局惯系间有相对加速度。二、广义相对性原理原理叙述为：一切参考系对物理规律平权，即物理规律在一切参考系中的表述形式相同。为了在广义相对性原理的基础上建立广义相对论理论，爱因斯坦所做的进一步工作是使引力几何化，即把引力场化作时空几何结构加以表述。对广义相对论普遍理论的研究数学上涉及黎曼几何、张量分析等，超出本简介范围，下面只作浅显的说明。2 引力场的时空弯曲一、弯曲空间的概念从高维平直空间可观测低维平直空间与弯曲空间的差异。平面二维平直空间内：测地线（即两点间距离的极值线）为直线，三角形内角和，圆周长。球面二维弯曲空间：测地线为弧线，如图。三角形(PMN)的内角

5、和，圆周长。故通过测量可判定空间弯曲。(如图 3)二、引力场的空间弯曲讨论爱因斯坦转盘(如图 4)相对惯性系S以角速度均匀转动的参考系。由S系可推知系中的测量结果（狭义相对论）PNM图 33 如下：径向周长而已有，故中测量有。亦即系中空间弯曲，半径 R愈大处，弯曲程度愈大。另一方面，据等效原理，转动的系等效为一引力场，引力场强度，因此可以得出结论；引力场中空间弯曲，场愈强，相应空间弯曲愈烈。三、史瓦西场中固有时与真实距离史瓦西场是指球对称分布、相对静止的物质球外部的引力场。这是一种最基本的引力场。场中某处的固有时，真实距离是指用该处静止的标准钟和标准尺（刚性微分尺）测得的时间间隔和空间距离。首

6、先，我们比较引力场中不同地点的标准钟和标准尺。比较的基准是不受引力影响的钟和尺，这就是在引力场中自由下落的局惯系中的钟和尺。为此，引入三种参考系(如图 5)S系史瓦西场系无限远处由静止开始沿径向飞来。到达r 处时速率为v，称为飞来局惯系。系 r 处相对 S系静止的局惯系。自然，系应是对应不同r 的一系列参考系。引入系的目的是为了在和这两个局惯系之间进行狭义相对论的时空变换。变换如下：1)用中两个钟校准中一个钟。中测得为，中读数为原时，有2)用中尺同时测中静长，0S中测得为dxo，中为原长，有由能量守恒及弱引力场的牛顿近似，飞来局惯系到达 r 处的速率v 应满足下式RowS?图 4rvS0S图

7、54 即式中 M为产生史瓦西场的物质质量。而相对 S系静止，、d即为 S系（史瓦西场）中r 处的固有时及真实距离。（注：和 S是瞬时相对静止，但有相对加速度。说和 S的测量结果相同，是应用了爱因斯坦的另一假设：钟和尺的形性只和速度有关，而与加速度无关。）重写上述结论如下：1)史瓦西场中的固有时亦即，引力场中时钟变慢，r 愈小处（引力场愈强处），钟愈慢。2)史瓦西场中的真实距离真实距离的增大，意味着该处测量用的标准尺缩短，故式表示，引力场中尺度收缩，r 愈小处（引力场愈强处），尺缩愈烈。当然，这个尺缩发一在径向，垂直于运动的方向（横向）上长度不变。这里再次指出，、两式反映的时缓和尺缩是以不受引力

8、中的钟和尺，即远离引力场的钟和尺为基准得出的。式中的正是史瓦西场对应的引力势。两式的深刻物理内涵是把时空和引力，即和物质分布联系在一起。四、史瓦西半径和黑洞如果引力源质量M非常大，以致对应某一值，有，则由、式可知，此时0，=d，时钟以及一切过程都变得无限缓慢。任何外部信号传到附近将不再返回，而之内的信息也无法传到外部。将其内外“隔绝”开来，称为史瓦西半径或视界半径。集中于内的质量就是天文学上所谓的黑洞。由星体演化 理 论，M 为 太 阳 质 量2.5倍 以 上 的 星 球 可 演 化 为 黑 洞。例 如的黑洞，其视界半径，由此估算此黑洞的平均密度高达3 广义相对论的可观测效应一、光的引力频移设

9、引力场中r1处有一静止光源，发光频率为（周期 T1），光传到r2处静5 止接收器，接收频率为（周期 T2）。由可得相对频移在弱引力场，即时，上式近似为若 r2r1，即光由引力强处传向弱处，有，即，称之为引力红移；反之，若 r2r1，则，称为引力紫移（或蓝移）。地球上观测太阳光谱线，将因太阳引力而发生红移。以kg，代入前式，可计算得。1959 年庞德等人在哈佛大学首次在地面上直接验证了引力频移。利用在塔顶发射射线，在塔底接收。塔高H为。理论计算，频移为实验测量与理论值符合得相当好，1964 年经改进后，二者相差仅为1%。二、光线的引力偏析光线行经引力中心附近时将发生偏折。(如图 6)引力有双重作

10、用：空间弯曲，测地线为曲线；光线偏离测地线。由广义相对论计算。恒星光线行经太阳边缘，受太阳引力产生的偏转角应为。1919 年 5 月 29 日日全食时，两组英国科学家分别在巴西和非洲实地观测，测得的偏转结果分别为，二组平均值与爱因斯坦的预言值相符，引起了举世轰动。图 66 三、行星（水星）近日点的旋进按照牛顿引力理论，行星轨道为封闭椭圆，但天文观测发现，水星每绕日一周，其长轴略有转动，称为水星近日点的旋进，(如图 7)若考虑其他行星的影响，可解释旋进现象，但计算值与观测值之间存在牛顿理论无法解释的差值，称为反常旋进。应用广义相对论关于引力场中的时空弯曲，可以计算出行星近日点旋进的修正值，这正和

11、观测的反常旋进值相符。对水星、金星的反常旋进，两种结果对比列表如下：观测值理论值水星百年百年金星百年百年理论与观测的相符，表明广义相对论的惊人成功之处。此外，还有雷达回波延迟效应。即由地球发射雷达脉冲，到达行星后再返回地球，测量雷达往返的时间。比较雷达波远离太阳和靠近太阳两种情况下，回波时间的差异。太阳引力将使回波时间加长，称为雷达回波延迟。例如地球与水星之间的雷达回波的最大时间差可达。这类测量是目前对广义相对论中空间弯曲的最好检验。70 年代末，测量值与理论值之差约为1%，到 80 年代，利用火星表面的“海盗着陆舱”宇宙飞船，已将回波延迟测量的不确定度从5%减小到 0.1%，大大提高了检测精度。图 7