天津市和平区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题数学【含解析】.pdf

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1、天津市和平区第一中学2019-2020 学年高二上学期期末考试试题数学一、选择题：（每题 3 分）1.命题“0 xR，2450 xx”的否定是（）A.0 xR，2450 xxB.0 xR，2450 xxC.xR，2450 xxD.xR，2450 xx【答案】D【解析】【分析】直接利用命题的否定定义得到答案.【详解】命题“0 xR，2450 xx”的否定是：xR，2450 xx故选D【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生对于命题否定的掌握情况.2.复数2(1)12i ii（i为虚数单位）等于（）A.1355iB.1355iC.3155iD.3155i【答案】B【解析】【分析】根据复数的四则运

2、算，化简2(1)131255i iii，即可求解【详解】由题意，根据复数的运算可得复数2(1)(1)(12)1313125555i iiiiii，故选 B【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题3.设a是不为零的实数，则“2a且0a”是“抛物线24yax的焦点在点1,0的左侧”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】计算抛物线24yax的焦点在点1,0的左侧等价于1a且0a，根据范围大小得到答案.【详解】抛物线24yax的焦点为,0a

3、在点1,0的左侧，等价于1a且0a2a且0a是1a且0a的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.4.已知椭圆221xmy的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m（）A.2B.2C.14D.4【答案】D【解析】【分析】计算得到长轴长为22a短轴长为122bm，根据数量关系计算得到答案.【详解】椭圆221xmy的焦点在x轴，故长轴长为22a短轴长为122bm1214mm故选：D【点睛】本题考查了椭圆的长轴和短轴的计算，意在考查学生的计算能力.5.已知双曲线方程为224xy，过点3,1A作直线l与该双曲线交于M，N两点，若点A恰好为MN中点，则直线l的方程

4、为（）A.38yxB.38yxC.310yxD.310yx【答案】A【解析】【分析】先设11(,)M xy，22(,)N xy，由题意得到22114xy，22224xy，两式作差整理，结合题意，求出直线斜率，即可得出直线方程.【详解】设11(,)M xy，22(,)N xy，由题意可得：2211222244xyxy，两式作差可得：22221212yxxy，即12121212()()()()yyxxxxyy，又点3,1A恰好为MN中点，所以直线l的斜率为：121212122332 1yxxykyxxy，因此，直线l的方程为：13(3)yx，即38yx.故选 A【点睛】本题主要考查双曲线中点弦所在

5、直线方程问题，熟记双曲线的几何性质与直线的斜率公式即可，属于常考题型.6.若点O和点F分别为椭圆22195xy的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为（）A.114B.3C.15D.59【答案】C【解析】【分析】设3cos,5 sinP，则23114 cos44OP FP，根据函数的最值得到答案.【详解】点O和点F分别为椭圆22195xy的中心和左焦点，则0,02,0OF设3cos,5 sinP则223cos,5 sin3cos2,5 sin9cos6cos5sinOP FP223114cos6cos54 cos44，当cos1时，函数有最大值为15故选：C【点睛】本题考

6、查了椭圆的参数方程，向量数量积的最值，意在考查学生的计算能力.7.双曲线2212:14xyCb(0)b的渐近线与抛物线22:2Cxpy0p相交于O，A，B，若OAB的垂心为2C的焦点，则b（）A.2B.3C.5D.6【答案】C【解析】【分析】设:,:22bbOA yx OB yx，解得2,2b pApb2,2b pBpb，根据AFOB计算得到答案.【详解】设:,:22bbOA yx OByx，则222xpybyx解得：2,2b pApb，同理2,2b pB pb0,2pF，根据AFOB得到22,0222bb pb ppbpb解得5b故选：C【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学

7、生的计算能力.8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线22221xyab(0,0)ab右支与焦点为F的抛物线22xpy(0)p交于A，B两点，若|4|AFBFOF，则该双曲线的渐近线方程为（）A.33yxB.13yxC.22yxD.12yx【答案】C【解析】【分析】联立方程得到21222pbyya，计算22|2|4|pbFFaBOpAF得到2212ba，计算得到答案.【详解】联立方程222222122222122102xyyppbyyyabbaaxpy2212221|4|222pbyyppabAFBFOFpa，故渐近线为22yx故选：C【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，意在考查学生的计算能力和

8、综合应用能力.第卷二、填空题：（每题 4 分）9.已知复数2aizi（i为虚数单位，a为实数)为纯虚数，则|2|ai_.【答案】172.【解析】【分析】化简得到2125aaiz，计算12a，代入计算模长得到答案.【详解】22122225aiiaaiaiziii为纯虚数，故12a117|2|2|22aii故答案为：172【点睛】本题考查了复数的化简，复数模的计算，意在考查学生的计算能力.10.若1F，2F为双曲线22:14xCy(0,0)ab的左、右焦点，点P在双曲线C上，若12120F PF，则P到x轴的距离为 _【答案】1515.【解析】【分析】根据余弦定理得到120163PFPF，计算14

9、3PFPF，再利用面积公式得到1112sin12022chPFPF，计算得到答案.【详解】根据余弦定理得到：2222121212121212cos120203163F FPFPFPF PFPFPFPFPFPFPF故143PFPF1212113152sin12022315PF FSchPFPFh故答案为：1515【点睛】本题考查了双曲线面积相关问题，利用等面积法可以简化运算，是解题的关键.11.已知直线:4380lxy，抛物线2:4Cyx图像上的一动点到直线l与它到抛物线准线距离之和的最小值为 _【答案】125【解析】【分析】计算焦点为1,0，根据抛物线性质得到最小值为焦点到直线的距离，利用点到

10、直线的距离公式计算得到答案.【详解】抛物线2:4Cyx焦点为1,0抛物线上动点到直线l与它到抛物线准线距离之和等于点到直线l和点到焦点的距离和最小值为焦点到直线的距离481255d故答案为：125【点睛】本题考查了抛物线的最值问题，转化为点到直线的距离是解题的关键.12.已知椭圆22221xyab(0)ab的左、右焦点分别为1F，2F，以线段12F F为直径的圆与椭圆交于点3 54 5,55P，则椭圆的方程为_【答案】22194xy.【解析】【分析】根据5POc，和122PFPFa得到椭圆方程.【详解】根据题意知：916555POc，故125,05,0FF12426232PFPFaab椭圆的方

11、程为22194xy故答案为：22194xy【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力和转换能力.13.已知双曲线2222:10 xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，过1F的直线l与圆222xya相切于点T，且直线l与双曲线C的右支交于点P，若113F PFT，则双曲线C的离心率为 _【答案】132【解析】【分析】画出图像,根据线段成比例的性质与双曲线的定义进行列式求解出,a b c的关系,再化简求得离心率即可.【详解】如图,由题可知,则12OFOFc,OTa,则1FTb,又113F PFT,12,3TPb F Pb,又1222,32PFPFa PFba作2/F MOT,可

12、得22,F Ma TMb.则PMb.在2MPF中,22222PMMFPF；即222232baba,得23ba,又222cab.化简可得22413ca,132e,双曲线的离心率为132.故答案为：132【点睛】本题主要考查了双曲线的几何意义以及离心率的求解方法等,需要画图分析其中的关系进行列式求解,属于中等题型.14.如图，过抛物线22ypx(0)p的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|2|BCBF且|4AF，则此抛物线的方程为_【答案】2(84 2)yx.【解析】【分析】如 图 所 示：过 点A作AM垂 直 于 准 线 于M，过 点B作BN垂 直 于 准 线 于N，根 据 相

13、 似 得 到22BNpBF，2 22BCp，2CFp，在利用相似得到CFPFACAM，计算得到答案.【详解】如图所示：过点A作AM垂直于准线于M，过点B作BN垂直于准线于N2|2|222 1BCBFBNPFpBF故2 22BCp，2CFp242 2424CFPFpppACAMp故抛物线方程为：2(842)yx故答案为：2(84 2)yx【点睛】本题考查了抛物线方程，利用相似可以简化运算，是解题的关键.三、解答题：（共 52 分）15.已知命题p：方程22113xytt所表示的曲线为焦点在x轴上的双曲线；命题q：实数t满足不等式2(1)0tata（1）若命题p为真，求实数t的取值范围；（2）若命

14、题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】（1）13t；（2）3a【解析】【分析】（1）根据题意得到1030tt，计算得到答案.（2）根据充分不必要条件得到范围的大小关系，计算得到答案.【详解】（1）方程22113xytt所表示的曲线为焦点在x轴上的双曲线，故101330ttt，（2）命题q：实数t满足不等式2(1)0tata故(1)()0tta命题p是命题q充分不必要条件，则13aa3a【点睛】本题考查了根据命题的真假和充分不必要条件计算参数，抓住范围的大小关系是解题的关键.16.已知椭圆22:143xyC，1F，2F分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点（1）若211PFP

15、F，求12PF F的面积；（2）是否存在着直线l，使得当l经过椭圆左顶点A且与椭圆相交于点B，点D与点B关于x轴对称，满足207OB OD，若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）32；（2）1k或34k，理由见解析.【解析】【分析】（1）联立方程解得152PF，232PF，122F F，判断为直角三角形，再利用面积公式计算得到答案.（2）联立方程计算2226812,43 43kkBkk2226 812,4343kkDkk，根据207OB OD计算得到答案.【详解】（1）121241PFPFPFPF152PF，232PF，122F F2221212PFPFF F212PF

16、F F122121322PF FSPFF F（2）设222:143yk xlxy故2222431616120kxk xk22161243ABkxxk且2Ax，226843Bkxk2226812,43 43kkBkk故2226812,4343kkDkk2242222222144684364240362074343kkkOB ODkkkk即42162590kk故2211690kk1k或34k【点睛】本题考查了面积和椭圆与直线的位置关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.17.已知曲线E上任意一点P到点2,0F的距离与它到直线:2lx的距离相等，若过F的两条直线1l，2l的斜率之积为1，且1l，

17、2l分别交曲线E于A，B两点和C，D两点，（1）求曲线E的方程；（2）求|ABCD的最小值.【答案】（1）28yx；（2）32.【解析】【分析】（1）直接利用抛物线定义得到答案.（2）设AB方程为(2)(0)yk xk，联立方程计算得到28|8ABk，288CDk，利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）根据抛物线的定义知：28yx（2）设AB方程为(2)(0)yk xk，2(2)(0)8yk xkyx，22224848k xkxkx264 1k，2222228 118|188kkABkkkk，设CD方程为(2)yk x同理2221888kCDkk2211|168ABCDkk221168 2

18、32k k当1kk时等号成立【点睛】本题考查了轨迹方程，弦长的最值问题，意在考查学生的计算能力.18.已知椭圆方程C为：22221xyab0ab椭圆的右焦点为5,0，离心率为53e，直线:lykxm与椭圆C相交于A，B两点，且1OAOBkk（1）椭圆的方程；（2）求AOB 的面积的最大值.（3）若椭圆的右顶点为D，上顶点为E，经过原点的直线与椭圆交于P，Q两点，该直线与直线DE交于点M，且点P，M均在第四象限.若EMP的面积是EPQ面积的2倍，求该直线方程【答案】（1）22194xy；（2）3；（3）12yx.【解析】【分析】（1）直接计算得到答案.（2）联立方程利用韦达定理得到222212

19、94|194kmABkk，2|1o ABmdk，计算得到22361691165(8172)AOBSkk利用均值不等式得到答案.（3）联立方程得到223mxk，2694pxk，代入计算得到答案.【详解】（1）根据题意知：25C，29a，24b故22194xy（2）联立方程22194xyykxm则22294189360kxkmxm2212221224 94 94189493694kmkmxxkmxxk222212 94|194kmABkk，2|1oABmdk2226|494AOBmkmSk221212121212()1OAOBy yk x xkm xxmkkxxx x2253636mk22223636619415594AOBkkkSk2226|494AOBmkmSk42236819716594kkk2228116136594kkk223616936513165512(8172)kk，249k式等号成立.（3）须：2EMPEPQSS只需：41PMOP只需：|2|1PMPQ只需：5mpxx设：:(0)2:23lykx kDEyx223mxk203k22194ykxxy2694pxk只需：22945263kk282580kk12k或89k(舍)直线方程为：12yx【点睛】本题考查了椭圆方程，面积的最大值，根据条件求直线方程，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力.