广东省广州市高三数学毕业班综合测试试题理(一)(广州一模)(含解析).pdf

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1、1 试卷类型：A 2013 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2013.3 本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准

2、使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件A B,相互独立,那么PABPAP B.线性回归方程ybxa中系数计算公式121niiiniixxyybaybxxx()(),()，其中yx,表示样本均值.一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集1 2 3 4 5 6U,，集合1 3 5A,，2 4B,，则AUAB BUUABCUAUB DUUAU

3、B【答案】D【解析】由2,4,6UC A，1,3,5UC B，则()()UUUC AC B。2.已知11abii，其中a b,是实数，i 是虚数单位，则abi2 图1俯视图侧视图正视图22112A12i B2i C2i D12i 【答案】B【解析】由11abii，即122aaibi，得2a，1b。3已知变量x y,满足约束条件21110 xyxyy,.则2zxy的最大值为A3 B0 C1 D3【答案】C【解析】如图：要使z取得最大值，只有直线1122yxz经过点(1,0)，因此z的最大值是 1。4.直线30 xy截圆2224xy所得劣弧所对的圆心角是A6 B3 C2 D23【答案】D【解析】圆

4、心到直线的距离是：2211(3)d。可见，2rd，所以劣弧所对的圆心角的一半是3，圆心角是23。5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是x 0 y 3 A?B?水流方向A2 B1 C.23 D.13【答案】A【解析】由三视图可知，这个几何体是水平放置的直三棱柱，且底面是直角三角形。则11 2 222VS h。6.函数yxxxxsincossincos是A奇函数且在02,上单调递增 B奇函数且在2,上单调递增C偶函数且在02,上单调递增 D偶函数且在2,上单调递增【答案】C【解析】22sincoscos2yxxx，可见它是偶函数，并且在0,2上是单调递增的。7已知 e 是自然对数

5、的底数，函数fxe2xx的零点为a，函数ln2g xxx的零点为b，则下列不等式中成立的是 A 1f affb B.1faf bfC.1ff afb D.1f bffa【答案】A【解析】由(0)(1)0ff，所以函数()f x的零点a在区间(0,1)上；而(1)(2)0gg，可知函数()g x的零点b在区间(1,2)上；则1ab，又因为函数()f x在R上是单增的，得()(1)()f aff b。8如图 2，一条河的两岸平行，河的宽度600dm，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1km，水流速度为2km/h,若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为A8

6、 km/h B6 2km/h 图 2 C 2 34km/h D10km/h 【答案】B【解析】设客船在静水中的速度大小是x/km h，由题意得4 22226210006006600 x解得6 2x/km h。二、填空题：本大题共7 小题，考的生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分（一）必做题（913 题）9.不等式1xx的解集是 .【答案】1,)2【解析】当1x时，1xx，即10；当1x时，1xx，12x；所以原不等式解集是1,)2。1010 xcosdx .【答案】sin1【解析】1100cossinsin1xdxx。11某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有下

7、表的统计资料：根据上表可得回归方程?1.23yxa，据此模型估计，该型号机器使用年限为10 年时维修费用约万元（结果保留两位小数）【答案】12.38【解析】1(23456)45x，1(2.23.87.05.56.5)55y，所以样本中心点是：(4,5)，它在回归直线上，带入得?0.8a，当10 x时，12.38y。12已知01aa,，函数11xaxfxxa x,若函数fx在0 2,上的最大值比最小值大52，则a的值为 .x2 3 4 5 6 y2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 5【答案】1722a或【解析】当01a时，函数()f x的最大值是1，最小值是2a，则51(2)2a，得12a；

8、当13a时，函数()f x的最大值是a，最小值是2a，则5(2)22aa，此种情况不成立；当3a时，函数()f x的最大值是a，最小值是1，则512a，得72a，综上得1722a或。13.已知经过同一点的n n(N3n*,)个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n个平面将空间分成fn个部分，则3f，fn.【答案】8；22nn。【解析】当3n时，任意不经过同一条直线的三个平面将空间分成了八部分，即(3)8f；当4n时，任 意 不 经 过 同 一 条 直 线 的 四 个 平 面 将 空 间 分 成 了 十 四 部 分，即(4)8614f；依次下去可得任意不经过同一条直线的n个平面将空间分成了(

9、)f n部分，且()86810(22)f nn2246810(22)n22(1234(1)n22nn（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A，点B在直线cos3sin0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为【答案】11(1,)6【解析】在直角坐标系中，A的坐标是(0,2)，点B所在的直线的方程是30 xy，设B的坐标是(,)a b，则得3023()13abba6 图3ODCBA解得B的坐标是31(,)22，它的极坐标是11(1,)6。15（几何证明选讲选做题）如图 3，AB是O的直径，BC是O的切线，AC与O交于点D，若3B

10、C，165AD，则AB的长为【答案】4【解析】由切割弦定理，得2BCCDCA，又因为CACDDA，所以95CD，则4AB。三、解答题：本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12 分）已知函数()sin()4f xAx（其中xR，0A，0）的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x的解析式；（2）若函数()f x图象上的两点,P Q的横坐标依次为2,4，O为坐标原点，求POQ的面积.【解析】（1）因为函数()f x的最大值是2，所以2A；它的最小正周期是8，4则()2sin()44f xx。（2）由题意得，(2,2)P，(4,2)Q，2 3P

11、Q；直线PQ的方程是23 20 xy，所以原点到直线PQ的距离是3 2621d，则POQ的面积是3 2。17（本小题满分12 分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙，丙做对的概率分别为m，n(mn)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：0 1 2 3 P14ab1247 图4ABCA1C1B1DEHFABCA1C1B1DE(1)求至少有一位学生做对该题的概率；（2)求m，n的值；（3)求的数学期望.【解析】（1）设A是“至少有一位学生做对该题”事件，B是“没有一位学生做对”。可见A、B两个事件是对立事件，则13()1()144P AP

12、 B。（2）由的分布列可得11(1)(1)2411224mnmn解得1413nm（3）由题意可得1231211131123423423424a；11311112112342342344b；1111113012342442412E。18（本小题满分14 分）如图 4，在三棱柱111ABCA B C中，ABC是边长为2的等边三角形，1AA平面ABC，D，E分别是1CC，AB的中点.（1）求证：CE平面1A BD；（2）若H为1A B上的动点，当CH与平面1A AB所成最大角的正切值为152时，求平面1A BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值.【解析】（1）证明：延长1A D交AC的延长线于点

13、F，连接BF.CD1AA，且CD121AA，C为AF的中点.E为AB的中点，CEBF.BF平面1A BD，CE平面1A BD，8 CE平面1A BD。（2）1AA平面ABC，CE平面ABC，1AACEABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，CEAB，332CEAB。AB平面1A AB，1AA平面1A AB，1ABAAA，CE平面1A AB.EHC为CH与平面1A AB所成的角.3CE，在 RtCEH中，tan3CEEHCEHEH，当EH最短时，tanEHC的值最大，则EHC最大.当1EHA B时，EHC最大.此时，tan3CEEHCEHEH152.2 55EH.CEBF，CE平面1A A

14、B，BF平面1A AB.AB平面1A AB，1A B平面1A AB，BFAB，BF1A B.1ABA为平面1A BD与平面ABC所成二面角（锐角）.在 RtEHB中，22BHEBEH55，cos1ABA55BHEB。平面1A BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为55。9 19（本小题满分14 分）已知数列na的前n项和为nS，且12323(1)2(nnaaananSnnN*).(1)求数列na的通项公式；（2）若p q r,是三个互不相等的正整数，且p q r,成等差数列，试判断111pqraaa,是否成等比数列？并说明理由.【解析】（1）解：12323(1)2nnaaananSn，当

15、1n时，有11(1 1)2,aS解得12a.由12323(1)2nnaaananSn,1231123(1)2(1)nnnaaanananSn,-得:11(1)(1)2nnnnanSnS.由式得：111(1)(1)22nnnnnnnanSnSn SSS得12nnaS.当2n时12nnaS,-得：12nnaa.由12224aaS，得24a，212aa.数列na是以12a为首项，2 为公比的等比数列.2nna.（2）p q r,成等差数列，2prq.假设111pqraaa,成等比数列，则2111prqaaa，即2212121prq，化简得：2222prq.（*）pr，10 2222222prprq，

16、这与（*）式矛盾，故假设不成立.111pqraaa,不是等比数列.20（本小题满分14 分）已知椭圆1C的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F，2F2 0,，点(2,3)A在椭圆1C上，过点A的直线L与抛物线22:4Cxy交于B C,两点，抛物线2C在点B C,处的切线分别为12ll,，且1l与2l交于点P.(1)求椭圆1C的方程；(2)是否存在满足1212PFPFAFAF的点P?若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）;若不存在，说明理由.【解析】（1）设椭圆1C的方程为22221xyab0ab,依题意:222222231,4.abab解得:2216,12.ab 椭圆C的方

17、程为2211612xy.（2）设点2111(,)4B xx,2221(,)4C xx，则2221211(,()4BCxxxx，2111(2,3)4BAxx，,A B C三点共线,BCBA/.222211211113244xxxxxx,化简得：1212212xxx x().由24xy,即214yx,得y12x.抛物线2C在点B处的切线1l的方程为21111()42xyxxx，11 即211124xyxx.同理，抛物线2C在点C处的切线2l的方程为222124xyxx.设点(,)P x y，由得：211124xxx222124xxx，而12xx，则121()2xxx.代入得1214yxx，则122

18、xxx，124yx x代入 得4412xy，即点P的轨迹方程为3yx若1212PFPFAFAF，则点P在椭圆1C上，而点P在直线3yx上，直线3yx经过椭圆1C内一点(3,0),直线3yx与椭圆1C交于两点.满足条件1212PFPFAFAF的点P有两个。21（本小题满分14 分）已知二次函数21fxxaxm，关于x的不等式2211fxmxm的解集为1m m,，其中m为非零常数.设1fxgxx.（1）求a的值；（2）k k(R)如何取值时，函数xgx1kxln存在极值点，并求出极值点；（3）若1m，且x0，求证：1122nnngxgxn(N*).【解析】（1）关于x的不等式2211fxmxm的解

19、集为1m m,，即不等式22120 xam xmm的解集为1m m,，2212xam xmm1xmxm.2212xam xmm2211xmxm m.1221amm.12 2a.(2)由(1)得1fxgxx221111xxmmxxx.xgx1kxln11mxx1kxln的 定 义 域 为1,.()1x211mkxx22211xk xkmx.方程2210 xkxkm（*）的判别式222414kkmkm.当0m时，0，方程（*）的两个实根为212412kkmx,222412kkmx,则21xx,时，()0 x；2xx,时，()0 x.函数x在21 x,上单调递减，在2x,上单调递增.函数x有极小值点

20、2x.当0m时，由0,得2km或2km，若2km，则212412kkmx,222412kkmx,故x1,时，()0 x，函数x在1,上单调递增.函数x没有极值点.若2km时，13 212412kkmx,222412kkmx,则11xx,时，()0 x；12xxx,时，()0 x；2xx,时，()0 x.函数x在11 x,上单调递增，在12xx,上单调递减，在2x,上单调递增.函数x有极小值点2x，有极大值点1x.综上所述,当0m时，k取任意实数,函数x有极小值点2x；当0m时，2km，函数x有极小值点2x，有极大值点1x.(其中21242kkmx,22242kkmx)（3）证：1m，g x111xx.1111nnnnngxgxxxxx112212111111nnnnnnnnnnnnnxC xC xCxCxxxxxx122412nnnnnnnC xC xCx.令T122412nnnnnnnC xC xCx，则T122412nnnnnnnnCxCxC x122412nnnnnnnC xC xCx.x0，2T122244122nnnnnnnnnnCxxCxxCxx122244122222nnnnnnnnnnCxxCxxCxx1212nnnnCCC14 012102nnnnnnnnnnCCCCCCC2 22n.22nT，即1122nnngxgx.