高中物理奥赛经典方法递推法(20200816024228).pdf
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1、高中物理奥赛经典递推法第 1页(共 18 页)六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时,应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类,然后求出通式。具体方法是先分析某一次作用的情况,得出结论。再根据多次作用的重复性和它们的共同点,把结论推广,然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。塞题精析例 1:质点以加速度a 从静止出发做直线运动,在某时刻t,加速度变为2a;在时刻 2t,加速度变为3a;在 nt 时刻,加速度变为(n+1)a,求:(1)nt 时刻质点的速度;(2)nt 时间内通过的总路程。
2、解析:根据递推法的思想,从特殊到一般找到规律,然后求解。(1)物质在某时刻t 末的速度为vt=at 2t 末的速度为v2t=vt+2at 即 v2t=at+2at 3t 末的速度为v3t=v2t+3at=at+2at+3at 则 nt 末的速度为vnt=v(n)t+nat=at+2at+3at+nat=at(1+2+3+n)=at12(n+1)n=12n(n+1)at(2)同理:可推得nt 内通过的总路程s=112n(n+1)(2n+1)at2例 2:小球从高h0=180m 处自由下落,着地后跳起又下落,每与地面相碰一次,速度减小1n(n=2),求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程。(
3、g取 10m/s2)解析:小球从 h0高处落地时,速率v0=02gh=60m/s 第一次跳起时和又落地时的速率v1=0v2第二次跳起时和又落地时的速率v2=02v2第 m 次跳起时和又落地时的速率vm=0mv2每次跳起的高度依次为h1=21v2g=02hn,h2=22v2g=04hn,高中物理奥赛经典递推法第 2页(共 18 页)通过的总路程 s=h0+2h1+2h2+2hm+=h0+022hn(1+21n+41n+2m21n+)=h0+022hn1=h022n1n1=53h0=300m 经过的总时间为 t=t0+t1+t2+tm+=0vg+12vg+m2vg+=0vg1+21n+2(1n)m
4、+=0vgn1n1=03vg=18s 例 3:A、B、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形,每只猎犬追捕猎物的速度均为v,A 犬想追捕B 犬,B 犬想追捕C 犬,C 犬想追捕A 犬,为追捕到猎物,猎犬不断调整方向,速度方向始终“盯”住对方,它们同时起动,经多长时间可捕捉到猎物?解析:由题意可知,由题意可知,三只猎犬都做等速率曲线运动,而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上,但这正三角形的边长不断减小,如图61 所示。所以要想求出捕捉的时间,则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动,再用递推法求解。设经时间t 可捕捉猎物,再把t 分为 n 个微小时间间隔
5、t,在每一个 t 内每只猎犬的运动可视为直线运动,每隔 t,正三角形的边长分别为a1、a2、a3、an,显然当 an0 时三只猎犬相遇。a1=aAA1BB1cos60=a32v t a2=a132v t=a232v t a3=a232v t=a332v t an=an32v t 因为 an32v t=0,即 n t=t 所以:t=2a3v(此题还可用对称法,在非惯性参考系中求解。)例 4:一列进站后的重载列车,车头与各节车厢的质量相等,均为 m,若一次直接起动,车头的牵引力能带动30 节车厢,那么,利用倒退起动,该车头能起动多少节同样质高中物理奥赛经典递推法第 3页(共 18 页)量的车厢?解
6、析:若一次直接起动,车头的牵引力需克服摩擦力做功,使各节车厢动能都增加,若利用倒退起动,则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变,但各节车厢起动的动能则不同。原来挂钩之间是张紧的,倒退后挂钩间存在s 的宽松距离,设火车的牵引力为F,则有:车头起动时,有:(F mg)s=12m21v拉第一节车厢时:(m+m)1v=mv1故有:21v=1421v=12(Fm g)s(F2 mg)s=12 2m22v12 2m21v拉第二节车厢时:(m+2m)2v=2mv2故同样可得:2v=4922v=23(Fm53 g)s 推理可得:2nv=nn1(Fm2n13 g)s 由2nv0 可得:F2n13 mg 另由题意
7、知F=31 mg,得:n46 因此该车头倒退起动时,能起动45 节相同质量的车厢。例 5 有 n 块质量均为m,厚度为d 的相同砖块,平放在水平地面上,现将它们一块一块地叠放起来,如图62 所示,人至少做多少功?解析将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来,每次克服重力做的功不同,因此需一次一次地计算递推出通式计算。将第 2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为W2=mgd 将第 3、4、n 块砖依次叠放起来,人克服重力至少所需做的功分别为:W3=mg2d W4=mg3d W5=mg4d Wn=mg(n 1)d 所以将 n 块砖叠放起来,至少做的总功为W=W1+W2+W3+Wn=mgd+m
8、g2d+mg3d+mg(n1)d 高中物理奥赛经典递推法第 4页(共 18 页)n(n1)2mgd 例 6:如图 63 所示,有六个完全相同的长条薄片AiBi(i=2、4、)依次架在水平碗口上,一端搁在碗口,另一端架在另一薄片的正中位置(不计薄片的质量)。将质量为m 的质点置于A1A6的中点处,试求:A1B1薄片对 A6B6的压力。解析:本题共有六个物体,通过观察会发现,A1B1、A2B2、A5B5的受力情况完全相同,因此将A1B1、A2B2、A5B5作为一类,对其中一个进行受力分析,找出规律,求出通式即可求解。以第 i 个薄片 AB 为研究对象,受力情况如图63甲所示,第i 个薄片受到前一个
9、薄片向上的支持力Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力Ni+1。选碗边 B 点为轴,根据力矩平衡有:NiL=Ni+1L2,得:Ni=12Ni+1所以:N1=12N2=1212N3=(12)5N6再以 A6B6为研究对象,受力情况如图63 乙所示,A6B6受到薄片 A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力N1、质点向下的压力mg。选 B6点为轴,根据力矩平衡有:N1L2+mg3L4=N6L 由、联立,解得:N1=mg42所以,A1B1薄片对 A6B6的压力为mg42。例 7:用 20 块质量均匀分布的相同光滑积木块,在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥,已知每
10、一积木块长度为L,横截面是边长为h(h=L4)的正方形,要求此桥具有最大的跨度(即桥孔底宽),计算跨度与桥孔高度的比值。解析:为了使搭成的单孔桥平衡,桥孔两侧应有相同的积木块,从上往下计算,使积木块均能保证平衡,要满足合力矩为零,平衡时,每块积木块都有最大伸出量,则单孔桥就有最大跨度,又由于每块积木块都有厚度,所以最大跨度与桥孔高度存在一比值。将从上到下的积木块依次计为1、2、n,显然第1 块相对第2 块的最大伸出量为:x1=L2第 2 块相对第3 块的最大伸出量为 x2(如图 64所示),则:高中物理奥赛经典递推法第 5页(共 18 页)G x2=(L2 x2)G 得:x2=L4=L22同理
11、可得第3 块的最大伸出量:x3=L2 3最后归纳得出:xn=L2n所以总跨度:k=29nn 1x=11.32h 跨度与桥孔高的比值为:kH=11.32h9h=1.258 例 8:如图 65 所示,一排人站在沿x 轴的水平轨道旁,原点O 两侧的人的序号都记为 n(n=1、2、3、)。每人只有一个沙袋,x0 一侧的每个沙袋质量为m=14kg,x0 一侧的每个沙袋质量m=10kg。一质量为M=48kg 的小车以某初速度v0从原点出发向正 x 轴方向滑行。不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时,此人就把沙袋以水平速度 v 朝与车速相反的方向沿车面扔到车上,v 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍。(
12、n 是此人的序号数)(1)空车出发后,车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行?(2)车上最终有大小沙袋共多少个?解析:当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时,由动量守恒定律知,车速要减小,可见,当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上,总有一时刻使车速反向或减小到零,如车能反向运动,则另一边的人还能将沙袋扔到车上,直到车速为零,则不能再扔,否则还能扔。小车以初速v0沿正 x 轴方向运动,经过第1 个(n=1)人的身旁时,此人将沙袋以u=2nv0=2v0的水平速度扔到车上,由动量守恒得:Mv0 m 2v0=(M+m)v1,当小车运动到第 2 人身旁时,此人将沙袋以速度u=2nv1=4v1
13、的水平速度扔到车上,同理有:(M+m)v1m 2nv1=(M+2m)v2,所以,当第n 个沙袋抛上车后的车速为vn,根据动量守恒有:M+(n 1)mvn12n m vn1=(M+nm)vn,即:vn=M(n1)mMnmvn1。同理有:vn+1=M(n2)mM(n1)mvn若抛上(n+1)包沙袋后车反向运动,则应有vn0,vn+10 即:M(n+1)m 0,M(n+2)m0 高中物理奥赛经典递推法第 6页(共 18 页)由此两式解得:n3814,n2014。因 n 为整数,故取3。当车反向滑行时,根据上面同样推理可知,当向左运动到第n 个人身旁,抛上第n 包沙袋后由动量守恒定律有:M+3m+(n
14、 1)mn 1v2n mvn1=(M+3m+nm)nv解得:nv=M3m(n1)mM3mnmn 1v同理有:n 1v=M3m(n2)mM3m(n1)mnv设抛上(n+1)个沙袋后车速反向,要求nv 0,n 1v0 即:M3m(n1)m0M3m(n2)m0解得n7n8即抛上第8 个沙袋后车就停止,所以车上最终有11 个沙袋。例 9:如图 6 6 所示,一固定的斜面,倾角 =45,斜面长L=2.00 米。在斜面下端有一与斜面垂直的挡板。一质量为m 的质点,从斜面的最高点沿斜面下滑,初速度为零。下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数 =0.20,试求此质点从开始到发生第11 次
15、碰撞的过程中运动的总路程。解析:因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功,且每次做功又不相同,所以要想求质点从开始到发生n 次碰撞的过程中运动的总路程,需一次一次的求,推出通式即可求解。设每次开始下滑时,小球距档板为s,则由功能关系:mgcos (s1+s2)=mg(s1s2)sin mgcos (s2+s3)=mg(s2s3)sin即有:21ss=32ss=sincossincos=23由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列,其公比为23在发生第11 次碰撞过程中的路程:s=s1+2s2+2s3+2s11=2(s1+s2+s3+s11)s1=2 1112s 1()3213s1=1012 (23)
16、11=9.86m 例 10:如图 67 所示,一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上,槽内嵌着三个大小相同的刚性小球,它们的质量分别是m1、m2和 m3,m2=m3=2m1。小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计。开始时,三球处在槽中、的位置,彼此间距离相等,m2和 m3静止,m1以初速 v0=R2沿槽运动,R 为圆环的内半径和小球高中物理奥赛经典递推法第 7页(共 18 页)半径之和,设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞,求此系统的运动周期T。解析:当 m1与 m2发生弹性碰撞时,由于m2=2m1,所以 m1碰后弹回,m2向前与 m3发生碰撞。而又由于m2=m3,所以m2与 m3碰后,m3
17、能静止在m1的位置,m1又以 v 速度被反弹,可见碰撞又重复一次。当 m1回到初始位置,则系统为一个周期。以 m1、m2为研究对象,当 m1与 m2发生弹性碰撞后,根据动量守恒定律,能量守恒定律可写出:m1v0=m1v1+m2v212m120v=12m121v+12m222v由、式得:v1=1212mmmmv0=13v0,v2=1122mmmv0=23v0以 m2、m3为研究对象,当m2与 m3发生弹性碰撞后,得v3=23v0,2v=0 以 m3、m1为研究对象,当m3与 m1发生弹性碰撞后,得3v=0,1v=v0由此可见,当m1运动到 m2处时与开始所处的状态相似。所以碰撞使m1、m2、m3
18、交换位置,当m1再次回到原来位置时,所用的时间恰好就是系统的一个周期T,由此可得周期:T=3(t1+t2+t3)=3(02 R3v+02 Rv+02 R3v)=010 Rv=10 RR/2=20s 例 11:有许多质量为m 的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上。每相邻的两个木块均用长为L 的柔绳连接着。现用大小为F 的恒力沿排列方向拉第一个木块,以后各木块依次被牵而运动,求第n 个木块被牵动时的速度。解析:每一个木块被拉动起来后,就和前面的木块成为一体,共同做匀加速运动一段距离 L 后,把绳拉紧,再牵动下一个木块。在绳子绷紧时,有部分机械能转化为内能。因此,如果列出(n 1)FL=12n
19、m2nv,这样的关系式是错误的。设第(n1)个木块刚被拉动时的速度为vn1,它即将拉动下一个木块时速度增至n 1v第 n 个木块刚被拉动时速度为vn。对第(n1)个木块开始运动到它把下一段绳子即将拉紧这一过程,由动能定理有:FL=12(n1)m2n 1v12(n1)m2n1v对绳子把第n 个木块拉动这一短暂过程,由动量守恒定律,有:(n1)mn 1v=nmvn,得:n 1v=nn1vn把式代入式得:FL=12(n1)m(nn1vn)212(n1)m2n 1v高中物理奥赛经典递推法第 8页(共 18 页)整理后得:(n1)2FLm=n22nv(n1)22n 1v式就是反映相邻两木块被拉动时速度关
20、系的递推式,由式可知当 n=2 时,有:2FLm=2222v21v当 n=3 时,有:22FLm=3223v2222v当 n=4 时,有:32FLm=4224v3223v一般地,有:(n1)2FLm=n22nv(n1)22n1v将以上(n1)个等式相加,得:(1+2+3+n1)2FLm=n22nv21v所以有:n(n1)22FLm=n22nv21v在本题中v1=0,所以:vn=FL(n1)nm例 12:如图 68 所示,质量m=2kg 的平板小车,后端放有质量M=3kg 的铁块,它和车之间动摩擦因数 =0.50。开始时,车和铁块共同以v0=3m/s 的速度向右在光滑水平面上前进,并使车与墙发生
21、正碰,设碰撞时间极短,碰撞无机械能损失,且车身足够长,使得铁块总不能和墙相碰,求小车走过的总路程。解析;小车与墙撞后,应以原速率弹回。铁块由于惯性继续沿原来方向运动,由于铁块和车的相互摩擦力作用,过一段时间后,它们就会相对静止,一起以相同的速度再向右运动,然后车与墙发生第二次碰撞,碰后,又重复第一次碰后的情况。以后车与墙就这样一次次碰撞下去。车每与墙碰一次,铁块就相对于车向前滑动一段距离,系统就有一部分机械能转化为内能,车每次与墙碰后,就左、右往返一次,车的总路程就是每次往返的路程之和。设每次与墙碰后的速度分别为v1、v2、v3、vn、车每次与墙碰后向左运动的最远距离分别为s1、s2、s3、s
22、n、。以铁块运动方向为正方向,在车与墙第(n1)次碰后到发生第n 次碰撞之前,对车和铁块组成的系统,由动量守恒定律有:(Mm)vn1=(M+m)vn,所以:vn=MmMmvn1=n 1v5由这一关系可得:v2=1v5,v3=12v5,一般地,有:vn=1n 1v5高中物理奥赛经典递推法第 9页(共 18 页)由运动学公式可求出车与墙发生第n 次碰撞后向左运动的最远距离为:sn=2nv2a=21v2a2n215类似地,由这一关系可递推到:s1=21v2a,s2=21v2a215,s3=21v2a415,sn=21v2a2n215所以车运动的总路程:s总=2(s1+s2+s3+sn+)=221v2
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