高二数学人教A版选修4-5学业分层测评13Word版含答案.pdf

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1、学业分层测评（十三）(建议用时：45 分钟)学业达标 一、选择题1设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立那么下列命题总成立的是()A若 f(3)9 成立，则当k1 时，均有 f(k)k2成立B若 f(5)25 成立，则当k5 时，均有 f(k)k2成立C若 f(7)49 成立，则当k8 时，均有 f(k)k2成立D若 f(4)25 成立，则当k4 时，均有 f(k)k2成立【解析】根据题中条件可知：由 f(k)k2，必能推得f(k1)(k1)2，但反之不成立，因为D 中 f(4)2542，故可推得 k4 时，f(k)k2，故

2、只有 D 正确【答案】D 2用数学归纳法证明“对于任意x0 和正整数n，都有 xnxn2xn41xn41xn21xnn1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()An01 Bn02 Cn01,2 D.以上答案均不正确【解析】需验证：n01 时，x1x11 成立【答案】A 3利用数学归纳法证明不等式1121312n1m24对大于 1 的一切自然数 n 都成立，则自然数m 的最大值为()A12 B13 C14 D.不存在【解析】令 f(n)1n11n212n，易知 f(n)是单调递增的，f(n)的最小值为f(2)1314712.依题意712m24，m14.因此取 m13.【答案】B 5用数

3、学归纳法证明不等式1n11n212n1314(n2，nN)的过程中，由nk 递推到 nk1 时不等式左边()A增加了一项12 k1B增加了两项12k1，12k2C增加了 B 中两项但减少了一项1k1D以上各种情况均不对【解析】nk 时，左边1k11k212k，nk1 时，左边1k21k312k12k112k2，增加了两项12k1，12k2，少了一项1k1.【答案】C 二、填空题6用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN)”时，第一步的验证为 _【解析】当 n1 时，2111212，即 44 成立【答案】2111212 7证明n2n1121312nn1(n1)，当 n2时，要证明的式子为_【解析】

4、当 n2 时，要证明的式子为211213143.【答案】211213143 8在 ABC 中，不等式1A1B1C9成立；在四边形ABCD 中，不等式1A1B1C1D162成立；在五边形ABCDE中，不等式1A1B1C1D1E253成立猜想在 n边形 A1A2An中，类似成立的不等式为_【解析】由题中已知不等式可猜想：1A11A21A31Ann2n2(n3 且 nN)【答案】1A11A21A31Ann2n2(n3 且 nN)三、解答题9已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足a112，an2SnSn10(n2)(1)判断1Sn是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：S21S22 S2n

5、1214n.【解】(1)S1a112，1S12.当 n2 时，anSnSn1，即 SnSn1 2SnSn1，1Sn1Sn12.故1Sn是以 2 为首项，2 为公差的等差数列(2)证明：当 n1 时，S211412141，不等式成立假设 nk(k1，且 kN)时，不等式成立，即S21S22S2k1214k成立，则当n k 1 时，S21 S22 S2k S2k11214k14 k1212141k1k121214k2k1k k121214k2kk k121214 k1.即当 nk1 时，不等式成立由 可知对任意nN不等式成立10已知函数f(x)13x3x，数列 an满足条件：a11，且 an1f(

6、an1)，证明：an2n1(nN*)【证明】由 f(x)13x3x，得 f(x)x21.因此 an1f(an1)(an1)21an(an2)，(1)当 n1 时，a11211，不等式成立(2)假设当 nk 时，不等式成立，即ak2k1，当 nk1 时，ak1ak(ak2)(2k1)(2k12)22k1.又 k1，22k2k1，nk1 时，ak12k11，即不等式成立根据(1)和(2)知，对任意nN，an2n1 成立能力提升 1对于正整数n，下列不等式不正确的是()A3n12nB0.9n10.1nC0.9n10.1nD.0.1n10.9n【解析】排除法，取n2，只有 C 不成立【答案】C 2 利

7、 用 数 学 归 纳 法 证 明“35 2n124 2n22n1”时，n 的最小取值n0应为 _.【导学号：32750071】【解析】n01 时不成立，n02 时，323，再用数学归纳法证明，故n02.【答案】2 3设 a，b 均为正实数(nN)，已知 M(ab)n，Nannan1b，则M，N的大小关系为_ 提示：利用贝努利不等式，令xba.【解析】当 n1 时，MabN，当 n2 时，M(ab)2，Na22abM，当 n3 时，M(ab)3，Na33a2bM，归纳得 MN.【答案】MN4 已知 f(x)xnxnxnxn，对于 nN，试比较 f(2)与n21n21的大小并说明理由【解】据题意

8、f(x)xnxnxnxnx2n1x2n112x2n1，f(2)122n1.又n21n2112n21，要比较 f(2)与n21n21的大小，只需比较 2n与 n2的大小即可，当 n1 时，212121，当 n2 时，22422，当 n3 时，238329，当 n4 时，241642，当 n5 时，25325225，当 n6 时，26646236.故猜测当 n5(nN)时，2nn2，下面用数学归纳法加以证明(1)当 n5 时，不等式显然成立(2)假设 nk(k5 且 kN)时，不等式成立，即 2kk2.则当 nk1 时，2k12 2k2 k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22(k1)2，即 nk1 时，不等式也成立由(1)(2)可知，对一切 n5，nN，2nn2成立综上所述，当n1 或 n5 时，f(2)n21n21，当 n2 或 n4 时，f(2)n21n21，当 n3 时，f(2)n21n21.