考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题3函数与导数第9练.pdf

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1、第 9 练顾全局 函数零点与方程的根题型分析 高考展望 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.体验高考1.(2015天津)已知函数f(x)2|x|，x 2，x22，x2，函数 g(x)3f(2 x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5答案A解析当 x2 时，g(x)x1，f(x)(x 2)2；当 0 x2 时，g(x)3x，f(x)2x；当 x2 时，方程f(x)g(x)0 可化为 x25x50，其根为 x552或 x552

2、(舍去)；当 0 x2 时，方程f(x)g(x)0可化为 2x3x，无解；当 x0 时，方程 f(x)g(x)0 可化为 x2x10，其根为 x152或 x152(舍去).所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2.2.已知函数f(x)(14)x cos x，则 f(x)在0，2 上的零点个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析f(x)在0，2 上的零点个数就是函数y(14)x和 ycos x 的图象在 0，2 上的交点个数，而函数 y(14)x和 ycos x 的图象在 0，2 上的交点有3 个.3.(2016上海)设 aR，b 0，2.若对任意实数x 都有 sin(3x3)sin(

3、axb)，则满足条件的有序实数对(a，b)的对数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析对于任意实数x 都有 sin(3x3)sin(axb)，则函数的周期相同，若 a3，此时 sin(3x3)sin(3xb)，则 b32 53；若 a 3，则方程等价为sin(3x3)sin(3xb)sin(3xb)sin(3xb)，则3 b，b43.综上，满足条件的有序实数对(a，b)为 3，53，3，43.4.(2015江苏)已知函数f(x)|ln x|，g(x)0，0 x1，|x24|2，x1，则方程|f(x)g(x)|1 实根的个数为 _.答案4解析令 h(x)f(x)g(x)，则 h(x)ln

4、 x，0 x1，x2 ln x2，1x2，x2ln x6，x 2，当 1x2 时，h(x)2x1x12x2x0，故当 1 x2 时 h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y|h(x)|和 y1 的图象如图所示.由图象可知|f(x)g(x)|1 的实根个数为4.高考必会题型题型一零点个数与零点区间问题例 1(1)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x0 时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合为()A.1，3 B.3，1，1，3C.2 7，1，3 D.27，1，3(2)(2015北京)设函数 f(x)2xa，x1，4 xa x2a，x1.若 a 1，则 f(x)的最小值

5、为 _；若 f(x)恰有 2 个零点，则实数a 的取值范围是_.答案(1)D(2)112，1 2，)解析(1)令 x0，所以 f(x)(x)23xx23x.因为 f(x)是定义在R 上的奇函数，所以 f(x)f(x)，所以当 x0 时，f(x)x23x.当 x0 时，g(x)x2 4x3，令 g(x)0，即 x24x30，解得 x1 或 x3；当 x0(舍去)或 x 27.所以函数g(x)有 3 个零点，其集合为27，1，3.(2)当 a1 时，f(x)2x1，x1，4 x1 x2，x 1.当 x1 时，f(x)2x1(1，1)，当 x1 时，f(x)4(x23x 2)4x322141，f(x

6、)min 1.由于 f(x)恰有 2 个零点，分两种情况讨论：当 f(x)2x a，x1 没有零点时，a2 或 a0.当 a2 时，f(x)4(xa)(x2a)，x1 时，有 2 个零点；当 a0 时，f(x)4(xa)(x2a)，x1 时，无零点.因此 a 2满足题意.当 f(x)2x a，x1 有 1 个零点时，0a2.f(x)4(x a)(x2a)，x1 有 1 个零点，此时 a1，2a1，因此12a1.综上知实数a 的取值范围是a|12a1或a2.点评确定函数零点的常用方法(1)当方程易求解时，用解方程判定法；(2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难

7、以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.变式训练 1x表示不超过x的最大整数，例如 2.9 2，4.1 5.已知 f(x)xx(xR)，g(x)log4(x1)，则函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析函数 h(x)f(x)g(x)的零点个数可转化为函数f(x)与 g(x)图象的交点个数，作出函数f(x)x xx1，1 x0，x，0 x1，x1，1x2，与函数 g(x)log4(x1)的大致图象如图，由图可知两函数图象的交点个数为2

8、，即函数 h(x)f(x)g(x)的零点个数是2.题型二由函数零点求参数范围问题例 2若关于 x 的方程 22x2xaa 10 有实根，求实数a 的取值范围.解方法一(换元法)设 t2x(t0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根.令 f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1，t2，则 a24 a1 0，t1t2 a0，t1 t2a10，解得 1a222；若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则 f(0)a10，解得 a 1；若方程(*)有一个正实根和一个零根，则 f(0)0 且a20，解得 a 1.综上，a 的取值范围是(，

9、222.方法二(分离变量法)由方程，解得a22x12x1，设 t2x(t0)，则 at21t1 t2t1 12t1 2t1，其中 t11，由基本不等式，得(t1)2t1 2 2，当且仅当t21 时取等号，故a2 2 2.点评利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.变式训练2已知函数f(x)ax1，x0，lg x，x0，若关于 x 的方程ff(x)0 有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为_.答案(1，0)(0，)解析依题意，得a0，

10、令 f(x)0，得 lg x0，即 x1.由 ff(x)0，得 f(x)1.当 x0 时，函数ylg x 的图象与直线y 1 有且只有一个交点，则当 x 0 时，函数yax 1的图象与直线y1 没有交点.若 a0，结论成立；若 a0，则函数yax1的图象与y 轴交点的纵坐标a1，得 1a0，则实数 a 的取值范围为(1，0)(0，).高考题型精练1.若偶函数f(x)满足 f(x 1)f(x1)，且当 x0，1时，f(x)x2，则关于 x 的方程 f(x)(110)x在0，103上的根的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析当 x1，0时，x0，1，所以 f(x)x2，因为 f(x)

11、为偶函数，所以f(x)x2.又 f(x1)f(x 1)，所以 f(x2)f(x1)1)f(x1)1)f(x)，故 f(x)是以 2 为周期的周期函数.据此在同一坐标系中作出函数yf(x)与 y110 x在0，103上的图象如图所示，数形结合得两图象有3 个交点，故方程 f(x)110 x在 0，103上有 3 个根，故选C.2.函数 f(x)2sin xx 1 的零点个数为()A.4 B.5 C.6 D.7答案B解析2sin xx10，2sin xx 1，图象如图所示，由图象看出y2sin x 与 yx1 有 5 个交点，f(x)2sin x x1 的零点个数为5.3.已知函数f(x)1，x0

12、，1x，x0，则使方程xf(x)m 有解的实数m 的取值范围是()A.(1，2)B.(，2C.(，1)(2，)D.(，12，)答案D解析当 x0 时，xf(x)m，即 x1m，解得 m1；当 x0 时，xf(x)m，即 x1xm，解得 m2.即实数 m 的取值范围是(，12，).故选 D.4.定义域为R 的偶函数f(x)满足对任意xR，有 f(x2)f(x)f(1)，且当 x2，3时，f(x)2x212x18，若函数yf(x)loga(x1)在(0，)上恰有三个零点，则a 的取值范围是()A.0，22B.0，33C.0，55D.55，33答案D解析因为 f(x2)f(x)f(1)，所以 f(1

13、)f(1)f(1)，又因为 f(x)是偶函数，所以f(1)0，所以函数f(x)是以 2 为周期的偶函数.函数 yf(x)loga(x1)在(0，)上恰有三个零点可化为函数yf(x)与 y loga(x1)在(0，)上有三个不同的交点.作函数 yf(x)与 yloga(x1)的图象如下图.结合函数图象知，loga21 2，loga41 2，解得55a33，故选 D.5.已知 x1，x2是函数 f(x)ex|ln x|的两个零点，则()A.1ex1x21 B.1x1x2eC.1x1x210 D.ex1x210答案A解析在同一坐标系中画出函数yex与 y|ln x|的图象如图.结合图象不难看出，它们

14、的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0，1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，)，即在 x1，x2中，其中一个属于区间(0，1)，另一个属于区间(1，).不妨设 x1(0，1)，x2(1，)，则有 e1-x|ln x1|ln x1(e1，1)，e2-x|ln x2|ln x2(0，e1)，e2-xe1-x ln x2ln x1ln x1x2(1，0)，于是有 e1x1x2e0，即1ex1x21.6.已知函数f(x)exa，x0，2x1，x0(aR)，若函数f(x)在 R 上有两个零点，则a 的取值范围是()A.(，1)B.(，0)C.(1，0)D.1，0)答案D解析当 x0 时，f(x

15、)2x1.令 f(x)0，解得 x12；当 x0 时，f(x)exa，此时函数f(x)exa 在(，0上有且仅有一个零点，等价转化为方程ex a 在(，0上有且仅有一个实根，而函数yex在(，0上的值域为(0，1，所以0 a1，解得 1a0.故选 D.7.已知函数f(x)2x1，x0，x22x，x0，若函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，则实数m 的取值范围是 _.答案(0，1)解析画出 f(x)2x 1，x0，x22x，x 0的图象，如图，由于函数g(x)f(x)m有 3 个零点，结合图象得：0m1，即 m(0，1).8.已知函数f(x)12x34，x2，log2x，0 x2，若函数

16、g(x)f(x)k 有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是 _.答案34，1解析画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)f(x)k 有两个不同零点，只需 y f(x)与 yk 的图象有两个不同交点，由图易知k34，1.9.(2015湖南)若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数b 的取值范围是 _.答案(0，2)解析由 f(x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与 yb 的图象，如图所示.则当 0b2 时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b 有两个零点.10.已知 xR，符号 x表示不超过x 的最大整数，若函数f(x)xxa(x

17、0)有且仅有 3 个零点，则 a 的取值范围是 _.答案34，4543，32解析当 0 x1 时，f(x)xxa a，当 1x2 时，f(x)xxa1xa，当 2x3 时，f(x)xxa2xa，.f(x)xxa 的图象是把yxx的图象进行纵向平移而得到的，画出 yxx的图象，通过数形结合可知a34，45.当 x0 时，同理可得a43，32.综上，a34，4543，32.11.设函数 f(x)11x(x0).(1)作出函数f(x)的图象；(2)当 0a b，且 f(a)f(b)时，求1a1b的值；(3)若方程 f(x)m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围.解(1)如图所示.(2)f(x)11

18、x1x1，x 0，1，11x，x 1，故 f(x)在(0，1)上是减函数，而在(1，)上是增函数.由 0ab 且 f(a)f(b)，得 0a1b，且1a111b，1a1b2.(3)由函数 f(x)的图象可知，当0m1 时，方程 f(x)m 有两个不相等的正根.12.已知函数f(x)exax a(aR 且 a0).(1)若函数 f(x)在 x0 处取得极值，求实数a 的值，并求此时f(x)在2，1上的最大值；(2)若函数 f(x)不存在零点，求实数a 的取值范围.解(1)函数的定义域为R，f(x)exa，由函数 f(x)在 x0 处取得极值，则 f(0)1a0，解得 a 1，即有 f(x)ex

19、x1，f(x)ex1.当 x0 时，有 f(x)0，f(x)单调递减，当 x0 时，有 f(x)0，f(x)单调递增.则在 x 0 处 f(x)取得极小值，也为最小值，值为2.又 f(2)e23，f(1)e，f(2)f(1)，即有最大值e23.(2)函数 f(x)不存在零点，即为 exaxa0 无实数解.当 x1 时，e00 显然不成立，即有aR 且 a0.若 x1，即有 aexx1.令 g(x)exx1，则 g(x)exx2x12，当 x2 时，g(x)0，g(x)单调递增，当 x1 或 1x2 时，g(x)0，g(x)单调递减.即在 x 2 处 g(x)取得极小值e2，当 x1 时，g(x)0，则有 0 ae2，解得 e2a 0，则实数 a 的取值范围为(e2，0).