高中数学3.1直线的倾斜角与斜率教案新人教A版必修2.pdf

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1、高中数学3.1 直线的倾斜角与斜率教案新人教 A 版必修 2 1/6 第三章直线与方程3.1.1直线的倾斜角和斜率教学目标:知识与技能(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念(2)理解直线的倾斜角的唯一性.(3)理解直线的斜率的存在性.(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式情感态度与价值观 (1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神重点与难点:直线的倾斜

2、角、斜率的概念和公式.教学用具：计算机教学方法：启发、引导、讨论.教学过程：（一）直线的倾斜角的概念我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线 l 的位置能确定吗?如图,过一点 P可以作无数多条直线a,b,c,易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?PcbaYXO(1)它们都经过点P.(2)它们的倾斜程度不同.怎样描述这种倾斜程度的不同?引入直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定=0.问:倾斜角的取值范围是什么?0 180.高中

3、数学3.1 直线的倾斜角与斜率教案新人教 A 版必修 2 2/6 当直线 l 与 x 轴垂直时,=90.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.如图,直线 abc,那么它们YXcbaO的倾斜角相等吗?答案是肯定的.所以一个倾斜角不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点 P和一个倾斜角.(二)直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k=tan当直线l 与 x 轴平行或重合时,=0,k=tan0=0;当直线l 与

4、x 轴垂直时,=90,k 不存在.由此可知,一条直线l 的倾斜角一定存在,但是斜率k 不一定存在.例如,=45时,k=tan45=1;=135时,k=tan135=tan(180 45)=-tan45=-1.学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.(三)直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?可用计算机作动画演示:直线 P1P2的四种情况,并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略)斜率公式:对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当 x1=x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=9

5、0,直线与x轴垂直；(2)k 与 P1、P2的顺序无关,即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;高中数学3.1 直线的倾斜角与斜率教案新人教 A 版必修 2 3/6(3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4)当 y1=y2 时,斜率 k=0,直线的倾斜角=0，直线与x轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到 (四)例题:例 1 已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线,图略)分析:已知两点坐标,而且

6、x1x2,由斜率公式代入即可求得k 的值;而当 k=tan0时,倾斜角是锐角;而当 k=tan=0时,倾斜角是0.略解:直线 AB的斜率 k1=1/70,所以它的倾斜角是锐角;直线 BC的斜率 k2=-0.50,所以它的倾斜角是锐角.例 2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3 的直线 a,b,c,l.分析:要画出经过原点的直线a,只要再找出a 上的另外一点M.而 M的坐标可以根据直线 a 的斜率确定;或者 k=tan=1 是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边,在 x 轴的上方作45的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可.略解:设直线 a

7、 上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y0)(x 0)所以 x=y 可令 x=1,则 y=1,于是点 M的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1),可作直线a.同理,可作直线b,c,l.(用计算机作动画演示画直线过程)(五)练习:P91 1.2.3.4.(六)小结:(1)直线的倾斜角和斜率的概念 (2)直线的斜率公式.(七)课后作业:P94 习题 3.1 1.3.(八)板书设计:3.1.1 1直线倾斜角的概念3.例 1练习 1 练习 3 2.直线的斜率4.例 2练习 2 练习 4 高中数学3.1 直线的倾斜角与斜率教案新人教 A 版必修 2 4/6 3.1.2两条直线

8、的平行与垂直教学目标(一)知识教学理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.(二)能力训练通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力(三)学科渗透通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用难点：启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关系问题注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况,在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题教学过程(一)先研究特殊情况下的两条直线平行

9、与垂直上一节课,我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念,而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x 轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直讨论:两条直线中有一条直线没有斜率,(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0 时，一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾斜角为0，两直线互相垂直(二)两条直线的斜率都存在时,两直线的平行与垂直设直线 L1 和 L2的斜率分别为k1 和 k2.我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的

10、倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研究的问题是:两条互相平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形如果L1L2(图 1-29)，那么它们的倾斜角相等：1=2(借助计算机,让学生通过度量,感知 1,2 的关系)tg 1=tg 2即 k1=k2 反过来，如果两条直线的斜率相等:即 k1=k2，那么 tg 1=tg 2由于 0 1 180，0 180，1=2又两条直线不重合，L1L2高中数学3.1 直线的倾斜角与斜率教案新人教 A 版必修 2 5/6 结论:两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注

11、意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果k1=k2,那么一定有L1L2;反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形如果 L1L2，这时 1 2，否则两直线平行设 2 1(图 1-30)，甲图的特征是L1 与 L2 的交点在x 轴上方；乙图的特征是L1 与 L2的交点在x 轴下方；丙图的特征是L1 与 L2 的交点在x 轴上，无论哪种情况下都有1=90+2因为 L1、L2 的斜率分别是k1、k2，即 190，所以 20，可以推出:1=90+2 L1L2结论:两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为

12、负倒数，那么它们互相垂直，即注意:结论成立的条件.即如果 k1k2=-1,那么一定有L1L2;反之则不一定.(借助计算机,让学生通过度量,感知 k1,k2的关系,并使 L1(或 L2)转动起来,但仍保持L1 L2,观察 k1,k2 的关系,得到猜想,再加以验证.转动时,可使 1 为锐角,钝角等).例题例 1 已知 A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线BA与 PQ的位置关系,并证明你的结论.分析:借助计算机作图,通过观察猜想:BAPQ,再通过计算加以验证.(图略)解:直线 BA的斜率 k1=(3-0)/(2-(-4)=0.5,直线 PQ的斜率 k2=(2-1)

13、/(-1-(-3)=0.5,因为 k1=k2=0.5,所以直线 BAPQ.高中数学3.1 直线的倾斜角与斜率教案新人教 A 版必修 2 6/6 例 2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明.(借助计算机作图,通过观察猜想:四边形 ABCD 是平行四边形,再通过计算加以验证)解同上.例3 已知 A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(-2,6),试判断直线AB与 PQ的位置关系.解:直线 AB的斜率 k1=(6-0)/(3-(-6)=2/3,直线 PQ的斜率 k2=(6-3)(-2-0)=-3/2,因为 k1k2=-1 所以 AB PQ.例 4 已知 A(5,-1),B(1,1),C(2,3),试判断三角形ABC的形状.分析:借助计算机作图,通过观察猜想:三角形 ABC是直角三角形,其中 AB BC,再通过计算加以验证.(图略)课堂练习 P94 练习 1.2.课后小结(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件,判定两条直线平行或垂直.(3)应用直线平行的条件,判定三点共线.布置作业P94 习题 3.1 5.8.板书设计