三角函数与平面向量.pdf

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1、数学专题四三角函数与平面向量主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等.有关三角函数的内容平均每年有 25 分，约占 17%，试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空

2、题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识.【押题 1】如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为A、B、C、D、【押题指数】【解析】函数的图象关于点中心对称，

3、由此易得故选 C【方法与技巧】该题考查了三角函数的图象和性质，对于三角函数图象的对称问题，要注意五点作图法中的五个基本点的坐标和整体思想的运用【押题 2】将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A、B、C、D、【押题指数】【解析】将函数的图象按向量平移，即向左平移，根据“左加右减”的平移规律，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，所以，因此选 C【方法与技巧】把按照向量平移转化为方向平移，再利用函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”来解决问题【押题 3】已知函数（其中）的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为（）求

4、的解析式；（）当，求的值域【押题 4】已知，且（）求的值；（）求【押题指数】【解析】（）由，得于是（）由，得又，由，得【方法与技巧】给角求值问题，这类问题要找非特殊角之间、非特殊角和特殊角之间的联系，化简中尽量减少角的个数、三角函数的名称，降低三角函数的次数.给值求角问题.有一个三角函数值利用平方关系求另一个三角函数值时，一定要根据角的范围确定开方后的符号.给值求角问题，要合理选择该角的某一三角函数，在该范围内三角函数是单调的，根据已知三角函数值，尽量缩小角的范围.【押题 5】已知向量，且，（）求函数的表达式；（）若，求的最大值与最小值【押题指数】【解析】（），又，所以，所以，即；（）由(1)

5、可得，令导数，解得，列表如下：t 1(1，1)1(1，3)导数0 0+极大值递减极小值递增而所以【方法与技巧】本题以三角函数和平面向量为载体，将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通考查了方程和函数思想，高考命题对思想方法的考查越来越得到重视【押题 6】在一个特定时段内，以点E为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域点 E正北 55 海里处有一个雷达观测站A某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A北偏东且与点 A相距 40 海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中 sin=，)且与点 A相距 10 海里的位置 C（）求该船的行驶速度（单位：海

6、里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入警戒水域，并说明理由【押题指数】【解析】（）如图，AB=40，AC=10，由于，所以 cos=由余弦定理得 BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）（）如图所示，以 A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是 B（x1，y2），C（x1，y2），BC与 x 轴的交点为 D 由题设有，x1=y1=AB=40，x2=ACcos，y2=ACsin 所以过点 B、C的直线 l 的斜率 k=，直线 l 的方程为 y=2x-40又点 E（0，-55）到直线 l 的距离 d=所以船会进入警戒水域【方法与技巧】三角函数在实际问题中有很多的应

7、用，随着课改的深入，联系实际，注重数学在实际问题的应用将分是一个热点【押题 7】已知函数（）将写成含的形式，并求其对称中心；（）如果三角形ABC的三边 a、b、c 满足 b2=ac，且边 b 所对角为 x，试求 x 的范围及此时函数的值域。【押题指数】【解析】（），令得，即对称中心为（）由 b2=ac，所以，此时，所以，所以，即值域为。【方法与技巧】三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”进行互换。【押题 8】已知函数的图像过点，且 b0，又的最大值为，（）求函数的解析式；（）由函数y=图像经

8、过平移是否能得到一个奇函数y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。【押题指数】【解析】（），由题意，可得，解得，所以；（），将的图像向上平移 1 个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，故将的图像先向上平移1 个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像。【方法与技巧】本题主要在于灵活运用正、余弦函数的图象及性质，以及数形结合的解题思想.解题关键在于对三角函数及其图象特征全面、深刻的理解及运用.【押题 9】已知，的值.【押题指数】【解析】又于是【方法与技巧】此类求值问题的类型是：已知三角方程，求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函数值。如

9、何使解题过程化繁为简，变形仍然显得重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正余切为正余弦”。【押题 10】在 ABC中，已知（）求证：a、b、c 成等差数列；（）求角B的取值范围。【押题指数】【解析】（1）条件等式降次化简得（2）B的取值范围【方法与技巧】本题将三角函数、等比数列知识有机结合，并不单纯考查对三角函数的恒等变形知识的掌握，而是通过三角形的边角关系，同时考查正弦定理和余弦定理.这样一道题涵盖了三角函数部分的大部分内容，而且计算并不繁琐，在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，同时兼顾基础性和综合性，坚持多角度的考查，全面考

10、查综合数学素养的要求.【押题 10】已知向量与互相垂直，其中()求和的值；()若，求的值【押题指数】【解析】()与互相垂直则，即，代入得，又，()，则，【方法与技巧】该题以向量为载体考查了三角函数的基本运算性质和向量的数量积三角函数与平面向量的综合题在近几年的高考题中经常出现，难度不大，考题灵活多变，形式新颖，较好的考查了这两部分的基本知识和基本方法【押题 12】设函数 f(x)=sin(2x+),(-2说明直线和 f(x)的图象不能相切.本题第()()问是三角函数中最基本的问题，第()问是考查一般函数在某点导数的几何意义，涉及的都是一些基本的概念，也是每个同学应该掌握的备选题【押题 1】已知

11、 f(x)=sinx+sin()若，且的值；()若，求 f(x)的单调递增区间【押题指数】【解析】()sin0，f()=sin+cos 1 分又 sin2=2sin cos0，sin+cos 03 分由(sin+cos)2=1+2sin cos=sin+cos=f()=7 分()由（1）知 f(x)=，当 2k 时，f(x)是单调递增的 9 分，又 0 x 11 分f(x)的单调递增区间为 0，12 分【押题 2】如图是单位圆上的动点，且分别在第一,二象限.是圆与轴正半轴的交点，为正三角形.若点的坐标为.记()若点的坐标为,求的值；()求的取值范围.【押题指数】【解析】()因为 A点的坐标为，

12、根据三角函数定义可知，得，.3 分所以.6分()因为三角形 AOB 为正三角形，所以所以=.8分所以=.10 分,即.12分.14分【押题 3】在中，角、的对边分别为、，且，（）求角；（）设，求边的大小【押题指数】【解析】（），则得：，=，4 分（）由，知为锐角，所以5 分+8分由正弦定理得：10 分【押题 4】已知函数的图象中相邻两条对称轴间的距离为且点是它的一个对称中心.（）求的表达式；（）若在（0，）上是单调递减函数，求的最大值.【押题指数】【解析】（）由题意得的最小正周期为-3分又是它的一个对称中心，-2分-2 分（）因为，-2分所以欲满足条件，必须-3分即 a 的最大值为-2分【押题 5】已知函数的最小正周期为，且当时，函数有最小值，（）求的解析式；（）求的单调递增区间。【押题指数】