高中数学必修5同步练习与单元测试第一章1.1.2(二).pdf

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1、11.2余弦定理(二)课时目标1熟练掌握正弦定理、余弦定理；2会用正、余弦定理解三角形的有关问题1正弦定理及其变形(1)asin Absin Bcsin C2R.(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C.(3)sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R.(4)sin Asin Bsin Cabc.2余弦定理及其推论(1)a2b2c22bccos_A.(2)cos Ab2c2a22bc.(3)在ABC 中，c2a2b2?C 为直角；c2a2b2?C 为钝角；c2bBa0，a2b2，ab.6如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()A锐角三角形B直角三

2、角形C钝角三角形D由增加的长度确定答案A 解析设直角三角形三边长为a，b，c，且 a2b2c2，则(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx20，cx 所对的最大角变为锐角二、填空题7在ABC 中，边 a，b 的长是方程 x25x20 的两个根，C60，则边 c_.答案19 解析由题意：ab5，ab2.由余弦定理得：c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)23ab523219，c 19.8设 2a1，a,2a1 为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是_答案2a0，a12，最大边为 2a1.三角形为钝角三角形，a2(2a1)2(2a1)2，化

3、简得：0a2a1，a2，2a8.9已知 ABC 的面积为 2 3，BC5，A60，则ABC 的周长是_答案12 解析SABC12AB AC sin A12AB AC sin 60 2 3，AB AC8，BC2AB2AC22AB AC cos AAB2AC2AB AC(ABAC)23AB AC，(ABAC)2BC23AB AC49，ABAC7，ABC的周长为 12.10在 ABC中，A60，b1，SABC 3，则 ABC 外接圆的面积是 _答案133解析SABC12bcsin A34c3，c4，由余弦定理：a2b2c22bccos A1242214cos 60 13，a13.2Rasin A13

4、322 393，R393.S外接圆 R2133.三、解答题11在ABC 中，求证：a2b2c2sin ABsin C.证明右边sin Acos Bcos Asin Bsin Csin Asin C cos Bsin Bsin C cos Aaca2c2b22acbcb2c2a22bca2c2b22c2b2c2a22c2a2b2c2左边所以a2b2c2sin ABsin C.12.在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边的长，cosB=53，且ABBC21.(1)求ABC 的面积；(2)若 a7，求角 C.解（1）ABBC21，BABC=21.BABC=|BA|BC|cosB=ac

5、cosB=21.ac=35，cosB=53，sinB=54.SABC=21acsinB=213554=14.(2)ac35，a7，c5.由余弦定理得，b2a2c22accos B32，b4 2.由正弦定理：csin Cbsin B.sin Ccbsin B54 24522.cb 且 B 为锐角，C 一定是锐角C45.能力提升13已知 ABC 中，AB1，BC2，则角 C 的取值范围是()A0C6B0C2C.6C2D.6C3答案A 解析方法一(应用正弦定理)ABsin CBCsin A，1sin C2sin Asin C12sin A，0sin A1，0sin C12.ABBC，CA，C 为锐角

6、，0C6.方法二(应用数形结合)如图所示，以 B 为圆心，以 1 为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点从点 C 向圆 B作切线，设切点为 A1和 A2，当 A与 A1、A2重合时，角 C 最大，易知此时：BC2，AB1，ACAB，C6，0C6.14ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知 b2ac 且 cos B34.(1)求1tan A1tan C的值；（2）设BABC=23，求 a+c的值.解(1)由 cos B34，得 sin B134274.由 b2ac 及正弦定理得 sin2Bsin Asin C.于是1tan A1tan Ccos Asin A

7、cos Csin Csin Ccos Acos Csin Asin Asin Csin ACsin2Bsin Bsin2B1sin B4 77.(2)由BABC=23得 cacosB=23由 cos B34，可得 ca2，即 b22.由余弦定理：b2a2c22ac cos B，得 a2c2b22ac cos B5，(ac)2a2c22ac549，ac3.1解斜三角形的常见类型及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如 a，B，C)正弦定理由 ABC180，求角 A；由正弦定理求出b 与c.在有解时只有一解两边和夹角(如 a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由ABC180 求出另一角在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用 ABC180，求出角 C.在有一解时只有一解.两边和其中一边的对角如(a，b，A)余弦定理正弦定理由正弦定理求出角B；由 ABC180，求出角 C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换