人教版八年级数学讲义二次根式的计算(含解析).pdf

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1、第 12 讲 二次根式的计算知识定位讲解用时：3 分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习二次根式的计算。二次根式是中考考查的重点，也涉及到后面勾股定理的学习，本节课我们需要了解二次根式有意义，掌握二次根式的乘除和加减运算，熟练地进行二次根式的计算。知识梳理讲解用时：20分钟二次根式1、一般地，式子 a（a0）叫做二次根式a 称为是被开方数（1）表示 a 的算式平方根（2）a 可以是数，也可以是式（3）形式上含有二次根号（4）a0 a0（双重非负性）2、最简二次根式：必须同时满足下列条件：（1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

2、（2）被开方数中不含分母；（3）分母中不含根式.3、同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.二次根式的乘除4、二次根式的性质：（1）（a）2=a（a0）；（2）aa20000a aaa a二次根式有意义必须保证被开方数为非负数.积的算术平方根：=（a0，b0）反过来二次根式的乘法法则：0，b0abab a算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根商的算术平方根：0，b0aaabb反过来二次根式的除法法则：0，b0aaabbabab分母有理化，简称有理化，指的是将该原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。有理化后通常方便运算

3、，有理化的过程可能会影响分子，但分子及分母的比例不变。11aaaaaaabab课堂精讲精练【例题 1】分式有意义时，x 的取值范围是二次根式的加减1.二次根式的化简：（1）被开方数是小数时，常把小数化成相应的分数，后进行求解.解：2332661522222.化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上的数或式子称为完全平方数或完全平方式.（2）被开方数是分数的二次根式化简解：2111 5551255 5555 552525（3）被开方数是非完全平方数的二次根式化简481634 3将被开方数进行因数分解，是化简的基础.2、同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.例如：3

4、与 23 是同类二次根式3、二次根式的加减法二次根式加减运算的实质是合并同类二次根式，即系数相加减，二次根式不变【答案】x2【解析】要使代数式有意义时，必有 x20，可解得 x 的范围解：根据题意得：x20，解得：x2故答案是：x2讲解用时：2 分钟解题思路：考查了分式和二次根式有意义的条件二次根式有意义，被开方数为非负数，分式有意义，分母不为0教学建议：二次根式有意义必须满足被开方数为非负数.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：博望区校级一模年份：2018【练习 1.1】如果代数式有意义，那么 x 的取值范围是【答案】x2 且 x1【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于 0 列式计算即

5、可得解解：由题意得，x+20 且 x10，解得 x2 且 x1故答案为：x2 且 x1讲解用时：2 分钟解题思路：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数教学建议：二次根式有意义必须满足被开方数为非负数，要注意分母不能为0.难度：2 适应场景：当堂练习例题来源：东胜区一模年份：2018【例题 2】实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是【答案】b2a【解析】直接利用数轴得出a0，ab0，进而化简得出答案解：由数轴可得：a0，ab0，则原式=a（ab）=b2a故答案为：b2a讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确

6、得出各项符号是解题关键教学建议：利用二次根式的性质进行化简.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：成华区模拟年份：2018【练习 2.1】已知，则 a 的取值范围是【答案】a【解析】根据=|a|0，即可得到关于a 的不等式求得 a 的范围解：根据题意得：32a0，解得：a故答案是：a讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了二次根式的性质，正确理解=|a|0 是关键教学建议：利用二次根式的性质进行化简.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：泰兴市期末年份：2017【例题 3】计算：【答案】【解析】直接利用二次根式乘除运算法则直接求出即可解：=3（）2=5=讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了

7、二次根式的乘除运算，熟练应用运算法则是解题关键教学建议：熟练掌握二次根式的乘除计算.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：夏津县校级月考年份：2016【练习 3.1】计算：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）1【解析】（1）根据二次根式的除法，可得答案；（2）根据二次根式的除法，二次根式的乘法，可得答案；（3）根据二次根式的除法，可得二次根式的乘法，根据二次根式的乘法，可得答案解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=1讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了二次根式的乘除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键，注意把带分数化成假分数再进行运算教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法计

8、算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：广南县校级期中年份：2015【练习 3.2】计算：（1）（2x+y1）?（2xy+1）（2）?（3）（4）【答案】（1）4x2y2+2y1；（2）；（3）；（4）【解析】结合二次根式的乘除法及分式的混合运算的运算法则进行求解即可解：（1）原式=2x+（y1）?2x（y1）=（2x）2（y1）2=4x2y2+2y1（2）原式=（3）原式=（4）原式=讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了二次根式的乘除法及分式的混合运算等知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法计算以及分式的混合运算.难度：4 适应场景：当

9、堂练习例题来源：滨州校级月考年份：2015【例题 4】完成下列两道计算题：（1）15+；（2）（）+【答案】（1）；（2）4【解析】（1）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；（2）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；（1）解：原式=315+=3+=；（2）原式=（52）=4讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式化简是解决此题的关键教学建议：熟练掌握二次根式的加减法计算.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：金乡县期末年份：2017【练习 4.1】计算（1）（）（2）+a4+【答案】（1）；（2）（3a3）【解析】（1）首先化简

10、二次根式，进而合并同类二次根式进而得出答案；（2）首先化简二次根式，进而合并同类二次根式进而得出答案解：（1）（）=2（34）=2=；（2）+a4+当 b0，原式=2a+a2+=（3a1）当 b0，原式=2a+a2=（3a3）讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键教学建议：熟练掌握二次根式的加减计算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：秀屿区校级期中年份：2017【练习 4.2】计算：（1）2+3；（2）（）（+）【答案】（1）2；（2）【解析】（1）首先化成最简二次根式，然后把同类二次根式进行合并即可；（2）首先化成最简二次根式，然后去括号

11、把同类二次根式进行合并即可解：（1）原式=2+33=2；（2）原式=2，=讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变教学建议：熟练掌握二次根式的加减计算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：黄陂区期中年份：2017【例题 5】如图，已知矩形纸板面积为8a，两邻边之比为 3：4，现欲在每个角处裁下一个面积为 a 的正方形后，制成一个无盖的纸箱求制成的纸箱的侧面积【答案】【解析】设矩形的长宽分别为4k，3k根据已知条件先求出矩形的长宽，再根据侧面积公式计算

12、即可解：设矩形的长宽分别为4k，3k由题意 12k2=8a，k=，矩形的长为，宽为，纸箱的侧面积=2（+2）?=讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查矩形的性质，长方体的侧面积、二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，求出长方体的长宽高是解题的关键，属于中考常考题型教学建议：熟练掌握二次根式的计算解决一些实际问题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：枝江市期中年份：2016【练习 5.1】如图，在等腰三角形ABC中，D是 BC边上的一点，DE AB，DE AC，点 E、F 分别是垂足，若 DE+DF=2，ABC的面积为，求 AB的长【答案】【解析】直接利用 SABC=SABD+SADC，得

13、出AB（DE+DF）=，求出即可解：连接 AD，由题意可得：AB=AC，SABC=SABD+SADC=DE AB+DF AC=AB（DE+DF）=，故2AB=，解得：AB=讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形面积求法，正确计算是解题关键教学建议：掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及二次根式解决几何问题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：巨野县期中年份：2017【例题 6】阅读下列材料，然后回答问题在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：=1 以上这种化简的步骤叫做分母有理化（1）化简（2）化简（3）化简：+【

14、答案】（1）；（2）；（3）（1）【解析】（1）分子分母分别乘即可；（2）分子分母分别乘即可；（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；解：（1）=（2）化简=（3）化简：+=（1+）=（1）讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属于中考常考题型教学建议：熟练掌握二次根式的化简和分母有理化.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：市中区期末年份：2016【练习 6.1】已知：a=，b=，求的值【答案】30【解析】根据分母有理化即可求出a 与 b 的值解：由题意可知：a=3+2，b=32a+b=6，ab=1 原式=4=6=6=3

15、66=30讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查分母有理化，解题的关键是熟练运用分母有理化，本题属于基础题型教学建议：熟练运用分母有理化代入求代数式的值.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：雁江区校级期中年份：2017【练习 6.2】（1）已知 x=，y=+，求的值；（2）若 a=，求 a+的值【答案】（1）4；（2）5【解析】（1）先求出 xy 与 y+x 与 yx 的值，再代入计算即可；（2）先根据完全平方公式求出a2+（）2，进一步得到（a+）2，从而得到 a+的值解：（1）x=，y=+，xy=1，y+x=2，yx=2，=4；（2）a=，（a）2=21，a2+（）2=23，（a+）2=2

16、5，a+=5讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查的是分母有理化、二次根式的化简求值，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键教学建议：熟练掌握分母有理化、二次根式的化简求值.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：武穴市校级期中年份：2017【例题 7】已知 xy=，zy=，求 x2+y2+z2xyyzxz 的值【答案】6【解析】先求得（x+y）（zy）的值，然后求得（xy）（zy）可得到 xz=2，然后两个平方，最后将（x+y）（zy）的值与（xz）2相加即可解：由 xy=，zy=得：（x+y）（zy）=xzxyyz+y2=2；（xy）（zy）=xz=2，则 x22xz+z2=8，+得：x2+y

17、2+z2xyyzxz=2+8=6讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查的是二次根式的化简求值，能够利用二次根式的性质进行变形是解题的关键教学建议：熟练运用二次根式、完全平方公式去解决问题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：大庆模拟年份：2017【练习 7.1】已知 x=1，y=+1，求+的值【答案】6【解析】根据二次根式的性质即可求出答案解：原式=2 x=1，y=+1，x+y=2，xy=21=1 原式=82=6讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则，本题属于基础题型教学建议：熟练掌握二次根式的计算.难度：3 适应场景：当

18、堂练习例题来源：前郭县校级期末年份：2017【练习 7.2】已知 a=+，b=，求下列各式的值：（1）；（2）a2bab2【答案】（1）；（2）2【解析】（1）首先将 a，b 代入，然后分母有理化；（2）首先因式分解，将a，b 代入利用平方差公式即可解：（1）原式=；（2）原式=ab（ab）=（）（）=2讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查了分母有理化和平方差公式，熟练掌握公式是解答此题的关键教学建议：熟练掌握二次根式的计算.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：金平区校级期中年份：2017 课后作业【作业 1】如果代数式有意义，那么 x 的取值范围是【答案】x3 且 x1【解析】根据被开

19、方数大于等于0，分母不等于 0 列式计算即可得解解：由题意得，x+30 且 x10，解得 x3 且 x1故答案为：x3 且 x1难度：3 适应场景：练习题例题来源：宁津县二模年份：2018【作业 2】如果 2x3，那么化简的最终结果是【答案】1【解析】由 2x3 可知，2x0，3x0，根据二次根式的性质，把二次根式化成绝对值的形式，再去绝对值解：=|2 x|+|3 x|=x2+3x=1故答案为：1难度：3 适应场景：练习题例题来源：苏州期中年份：2018【作业 3】（1）35；（2）（）【答案】（1）；（2）9x2y【解析】（1）利用二次根式的乘除运算法则将除法变为乘法，根号内的和根号内部相乘

20、除，根号外的与根号外部相乘除，进而化简得出即可；（2）利用二次根式的乘除运算法则将除法变为乘法，根号内的和根号内部相乘除，根号外的与根号外部相乘除，进而化简得出即可解：（1）35=5=；（2）（）=3=9x2y难度：3 适应场景：练习题例题来源：云梦县校级期末年份：2013【作业 4】（1）（2）（3）【答案】（1）1260；（2）57；（3）【解析】（1）先将各二次根式化为最简，再运用乘法分配律进行运算，然后再进行二次根式的加减（2）运用平方差公式进行计算即可（3）直接进行开方运算即可得出答案解：（1）原式=6（352）=186012，=660，=1260；（2）原式=，=1875，=57；（3）=难度：3 适应场景：练习题例题来源：赵县期末年份：2014【作业 5】已知：a、b、c 是ABC的三边长，化简【答案】3a+bc【解析】根据三角形的三边关系定理得出a+bc，b+ca，b+ac，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可解：a、b、c 是ABC的三边长，a+bc，b+ca，b+ac，原式=|a+b+c|b+c a|+|c ba|=a+b+c（b+ca）+（b+ac）=a+b+cbc+a+b+ac=3a+bc难度：4 适应场景：练习题例题来源：新化县期末年份：2016