北师大版九年级数学上册第一章1.3正方形的性质与判定同步练习题.pdf

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1、北师大版九年级数学上册第一章 1.3正方形的性质与判定同步练习题第 1 课时正方形的性质1正方形具有而菱形不一定具有的特征有(C)A对角线互相垂直平分 B内角和为360C对角线相等 D对角线平分内角2如图，在正方形ABCD 的外侧作等边 ABE，则 BED 为(C)A15 B 35 C45 D553如图，在正方形ABCD 中，点 E，F分别在 BC，CD上，BE CF，则图中与 AEB相等的角的个数是(C)A1 B2 C 3 D4 4如图，在正方形ABCD 和正方形CEFG 中，BC 1，CE 3，点 D是 CG边上一点，H是AF的中点，那么CH的长是55如图，将正方形OEFG 放在平面直角坐

2、标系中，O是坐标原点，点 E的坐标为(2，3)，则点 F 的坐标为(1，5)6如图，正方形ABCD 的边长为2，点 E，F 分别是 CD，BC的中点，AE与 DF交于点 P，连接 CP，则 CP 21057如图，正方形ABCD 的边长为1，AC，BD是对角线，延长DA到 H，使 DH DB，在 DB上截取 DG DC，连接 GH交 AB于点 E，连接 DE交 AC于点 F，连接 FG，则下列结论：四边形 AEGF是菱形；AED GED；DFG 112.5；BC FG 1.5.其中正确结论的序号是8如图，在正方形ABCD 中，点 E是 BC上的一点，点F 是 CD延长线上的一点，且BEDF，连接

3、 AE，AF，EF.(1)求证：ABE ADF；(2)若 AE 5，请求出EF的长解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，AB AD，ABE ADC ADF 90.在ABE和ADF中，AB AD，ABE ADF，BE DF，ABE ADF(SAS)(2)ABE ADF，AE AF，BAE DAF.BAE EAD 90，DAF EAD 90，即 EAF 90.EF2AE52.9如图，在正方形ABCD 中，点 E，F 在对角线 BD上，AE CF，连接 AF，CE.(1)求证：ABE CDF；(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB CD，ABE CDF

4、 45，又AE CF，AEF CFE.AEB CFD.ABE CDF(AAS)(2)四边形 AECF是菱形理由如下：连接 AC交 BD于点 O，则 AC BD.ABE CDF，BE DF.又OB OD，OB BE OD DF，即 OE OF.又AC EF，OA OC，四边形 AECF是菱形10如图，O为正方形ABCD 对角线的交点，E为 AB边上一点，F为 BC边上一点，EBF的周长等于BC的长(1)若 AB 24，BE 6，求 EF的长；(2)求EOF的度数解：(1)设 BFx，则 FC BC BF 24x.BE 6，BE BF EFBC，EF18x.在 RtBEF中，BE2BF2EF2，6

5、2x2(18 x)2，解得 x8.EF18x10.(2)在 FC上截取 FM FE，连接 OM，CEBFBE EF BFBC，BE EFBFBFFM MC.BE MC 6.四边形 ABCD 为正方形，OB OC，OBE OCM 45.在OBE和OCM 中，OB OC，OBE OCM，BE CM，OBE OCM(SAS)EOB MOC，OE OM.EOM BOC 90.在OFE和OFM中，OE OM，OF OF，EF MF，OFE OFM(SSS)EOF MOF 12EOM 45.11如图，E，F 分别是正方形ABCD的边 CB，DC延长线上的点，且BE CF，过点 E作EG BF，交正方形外角

6、的平分线CG于点 G，连接 GF.求证：(1)AEBF；(2)四边形 BEGF是平行四边形证明：(1)四边形ABCD 是正方形，AB BC，ABC BCD 90.ABE BCF 90.在ABE和BCF中，AB BC，ABE BCF，BE CF，ABE BCF(SAS)AE BF，BAE CBF.EG BF，CBF CEG.CEG BAE.BAE BEA 90，CEG BEA 90，即 AEG 90.AE EG.又EG BF，AE BF.(2)延长 AB至点 P，使 BP BE，连接 EP，则 AP CE，EBP 90.P 45.CG为正方形ABCD 外角的平分线，ECG 45.PECG.在AP

7、E和ECG中，PECG，AP EC，PAE CEG，APE ECG(ASA)AE EG.AE BF，EG BF.EG BF，四边形 BEGF是平行四边形12如图，点 M是正方形ABCD的边 BC上一点，连接 AM，点 E是线段 AM上一点，CDE的平分线交AM延长线于点F.(1)如图 1，若点 E为线段 AM的中点，BM CM 12，BE 10，求 AB的长；(2)如图 2，若 DA DE，求证：BF DF2AF.解：(1)设 BM x，则 CM 2x，BA BC3x.在 RtABM中，E为斜边 AM的中点，AM 2BE210.AM2MB2AB2，40 x29x2，解得 x2.AB 3x6.(

8、2)证明：如图，过点A作 AH AF，交 FD的延长线点H，过点 D作 DP AF 于点 P.DF平分 CDE，12.DE DA，DPAF，34.1234 90，23 45.DFP 90 45 45.AH AF.HF 2AF.BAF DAF 90，HAD DAF 90，BAF DAH.又AB AD，ABF ADH(SAS)BFDH.HFDH DFBFDF，BFDF2AF.第 2 课时正方形的判定1下列说法中，不正确的是(D)A对角线互相垂直的平行四边形是菱形B一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C对角线垂直的矩形是正方形D一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形2如图，将矩形纸片折叠，使A

9、点落在 BC上的 F 处，折痕为BE.若沿 EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是(A)A邻边相等的矩形是正方形B对角线相等的菱形是正方形C两个全等的直角三角形构成正方形D轴对称图形是正方形3 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：AB BC；ABC90；AC BD；AC BD 中选两个作为补充条件，使?ABCD 为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(B)A B C D4如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F 分别是 AD，BC的中点，点M，N分别是 AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的

10、条件是(A)AAB CD，AB CD BAB CD，AD BC CAB CD，AC BD DAB CD，AD BC 5如图，在?ABCD中，AE BC于点 E，CFAD于点 F，B60，当边AD AB (31)2 时，四边形AECF是正方形6如图，在四边形ABCD 中，ADC ABC 90，AD CD，DP AB于 P.若四边形ABCD的面积是18，则 DP的长是 327如图，在矩形 ABCD 内有一点F，FB与 FC分别平分 ABC 和BCD，点 E为矩形 ABCD外一点，连接 BE，CE.现添加下列条件：EB CF，CE BF；BE CE，BE BF；BE CF，CE BE；BE CE，C

11、E BF，其中能判定四边形BECF是正方形的是(填序号)8在矩形ABCD 中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中：存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形；存在无数个四边形MNPQ 是矩形；存在无数个四边形MNPQ 是菱形；至少存在一个四边形MNPQ 是正方形正确结论的序号是9如图，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是 BAD 和ACD的高，得到下列四个结论：OA OD；AD EF；当 A 90时，四边形 AEDF 是正方形；AE DFAF DE.其中正确的是(填序号)10如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O，PB AC

12、，PC BD，PB，PC相交于点 P.(1)猜想四边形PCOB 是什么四边形？并说明理由；(2)当矩形 ABCD 满足什么条件时，四边形PCOB 是正方形？解：(1)四边形 PCOB 是菱形理由如下：PB AC，PCBD，四边形 PCOB 为平行四边形四边形 ABCD 为矩形，OB OC.四边形 PCOB 为菱形(2)当 AC BD 时，四边形PCOB 是正方形理由如下：四边形 PCOB 为菱形，AC BD，四边形 PCOB 为正方形11如图，在?ABCD 中，对角线AC，BD交于点 O，E是 BD延长线上的点，且ACE是等边三角形(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AED 2EAD，求

13、证：四边形ABCD是正方形证明：(1)四边形ABCD 是平行四边形，AO OC.ACE是等边三角形，EO AC，即BD AC.四边形 ABCD 是菱形(2)ACE是等边三角形，EO AC，AO OC，AEO CEO 30.AED 2EAD，EAD 15.DAO EAO EAD 45.四边形 ABCD 是菱形，BAD 2DAO 90.四边形 ABCD 是正方形12如图，在四边形ABCD中，AD BC，AD CD，E是对角线BD上一点，且EAEC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果 BE BC，且 CBE BCE 23，求证：四边形ABCD 是正方形证明：(1)在ADE和CDE中，AD

14、CD，DE DE，EA EC，ADE CDE(SSS)ADE CDE.AD BC，ADE CBD.CDE CBD.BC CD.AD CD，BC AD.四边形 ABCD 为平行四边形AD CD，四边形 ABCD 是菱形(2)BE BC，BCE BEC.CBE BCE 23，CBE 18022 3345.四边形 ABCD 是菱形，ABE 45.ABC 90.四边形 ABCD 是正方形13如图，四边形 ABCD 为正方形，点 E为线段 AC上一点，连接 DE，过点 E作 EF DE，交射线 BC于点 F，以 DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接 CG.(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)若 AB

15、 22，CE 2，求 CG的长；(3)当线段 DE与正方形 ABCD 的某条边的夹角是40时，直接写出 EFC 的度数解：(1)证明：作 EP CD于点 P，EQ BC于点 Q，DCA BCA 45，EQ EP.CEQ CEP 45.QEF FEC 45，PED FEC 45.QEF PED.在EQF和EPD中，QEF PED，EQ EP，EQF EPD，EQF EPD(ASA)EF ED.矩形 DEFG是正方形(2)在 RtABC中，AC2AB 4.EC 2，AE CE 2.DE AC，DEEC.点 F与 C重合，此时 DCG是等腰直角三角形CG 2.(3)EFC 130或 40.第 3 课

16、时正方形的性质与判定的运用1如图所示，在正方形ABCD 中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作 OE OF，分别交 AB，BC于 E，F.若 AE 4，CF 3，则 EF的长为(C)A3 B4 C 5 D6 2将 n 个边长都为2 的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，An分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是(B)An Bn1 C4(n 1)D4n 3如图，边长为1 的正方形ABCD的对角线交于点O，点 E是边 AB上一动点，点F 在边 BC上，且满足OE OF，在点E由 A运动到 B的过程中，以下结论中正确的个数为(B)线段 OE的大小先变小后变大；线段EF的大小先变大

17、后变小；四边形OEBF 的面积先变大后变小A0 B1 C 2 D3 4如图，在正方形ABCD 中，E，F分别是边BC，CD上的点，EAF 45，ECF的周长为 6，则正方形ABCD 的边长为35如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点 E，F分别在 AD，DC上，AE DF2，BE与AF相交于点G，点 H为 BF的中点，连接GH，则 GH的长为3426如图，在正方形ABCD 中，点 P为 AD延长线上一点，连接 AC，CP，F 为 AB边上一点，满足 CF CP，AC3，3DP AB，则 FP 107如图，正方形ABCD 的边长为6，点 E，F 分别在 AB，AD上若 CE 35，且 ECF4

18、5，则 CF的长为 2108如图，已知在正方形ABCD 中，点 E，F 分别为边BC与 CD上的点，且 EAF 45，AE与 AF分别交对角线BD于点 M，N，则下列结论正确的是 BAE DAF 45；AEB AEF ANM；BM DN MN；BEDFEF.9如图，E，F是正方形ABCD的边 AD上的两个动点，满足AE DF，连接 CF交 BD于点G，连接 BE交 AG于点 H.若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是25 210如图，已知正方形ABCD，M在 CB延长线上，N在 DC延长线上，MAN 45.求证：MN DN BM.证明：在 DN上截取 DE MB，连接 AE，四边形 AB

19、CD 是正方形，AD AB，D ABM 90.在ABM和ADE中，AB AD，ABM D，BM DE，ABM ADE(SAS)AM AE，MAB EAD.MAN MAB BAN 45，DAE BAN 45.EAN MAN 45.在AMN和AEN中，AM AE，MAN EAN，AN AN，AMN AEN(SAS)MN EN.EN DN DE，MN DN BM.11操作：将一把三角尺放在如图1 的正方形ABCD 中，使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q.探究：(1)如图 2，当点 Q在 DC上时，求证：PQ PB；(2)如图 3，当点 Q在 DC延

20、长线上时，(1)中的结论还成立吗？简要说明理由解：(1)证明：过点P作 PN AB 于点 N，NP延长线交CD于点 M，在正方形 ABCD 中，ABCD，ACD 45，PMQ PNB CBN 90.四边形 CBNM 是矩形CM BN，CMP 是等腰直角三角形PM CM BN.PBN BPN 90，BPN MPQ 90，MPQ PBN.在PMQ 和BNP中，MPQ NBP，PMQ BNP，PM BN，PMQ BNP(AAS)PQ PB.(2)(1)中结论成立理由：过点 P作 PN AB于点 N，NP延长线交CD于点 M，在正方形 ABCD 中，ABCD，ACD 45，PMQ PNB CBN 90

21、.四边形 CBNM 是矩形CM BN，CMP 是等腰直角三角形PM CM BN.PBN BPN 90，BPN MPQ 90，MPQ PBN.在PMQ 和BNP中，MPQ NBP，PMQ BNP，PM BN，PMQ BNP(AAS)PQ PB.12 如图，在正方形 ABCD 中，P是 BC上一动点(不与 B，C重合)：CE 平分 DCF；AP PE；APEP.以此三个条件中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：?，?，?.(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答)；(2)请选择一个你认为正确的命题给予证明解：(1)上述三个命题均正确(2)答案不唯一，选?证明：在 AB上截取 AM CP，则 BM BP.BMP BPM 45，AMP 135.CE平分 DCF，DCE 45.ECP 135.过点 A作 AG MP交 MP的延长线于点G，过点 P作 PH EC交 EC的延长线于点H，AMG PCH 45，GH.AGM PHC(AAS)AG PH.AP PE，RtAGP RtPHE(HL)GPA PEH.BPM CPH 45，B，P，C三点共线，M，P，H三点共线 PEH EPH 90，GPA EPH 90.APE 90.AP PE.