考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题8概率与统计第40练.pdf
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1、第 40 练随机变量及其分布列题型分析 高考展望 随机变量及其分布列是高考的一个必考热点,主要包括离散型随机变量及其分布列,均值与方差,二项分布及其应用和正态分布.对本部分知识的考查,一是以实际生活为背景求解离散型随机变量的分布列和均值;二是独立事件概率的求解;三是考查二项分布.体验高考1.(2015四川)某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了3 名男生、2 名女生,B 中学推荐了3 名男生、4 名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3 人.女生中随机抽取3 人组成代表队.(1)求 A 中学至少有1 名学生入选代表队的概率.
2、(2)某场比赛前,从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛,设 X 表示参赛的男生人数,求 X的分布列和均值.解(1)由题意,参加集训的男、女生各有6 名,参赛学生全从B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34C36C361100,因此,A 中学至少有1 名学生入选代表队的概率为1110099100.(2)根据题意,X 的可能取值为1,2,3,P(X1)C13C33C4615,P(X2)C23C23C4635,P(X3)C33C13C4615,所以 X 的分布列为X123P153515因此,X 的均值为E(X)1P(X 1)2P(X2)3P(X3)115235315
3、2.2.(2016天津)某小组共10 人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3 的人数分别为3,3,4.现从这 10 人中随机选出2 人作为该组代表参加座谈会.(1)设 A 为事件“选出的2 人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率;(2)设 X 为选出的2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和均值.解(1)由已知,有P(A)C13C14C23C21013.所以事件 A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.P(X0)C23 C23C24C210415,P(X1)C13C13C13C14C210715,P(X2)C13C
4、14C210415.所以随机变量X 的分布列为X012P415715415随机变量 X 的均值 E(X)0415171524151.3.(2015福建)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3 次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6 个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1 个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求 X 的分布列和均值.解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则 P(A
5、)56453412.(2)依题意得,X 所有可能的取值是1,2,3.又 P(X1)16,P(X2)561516,P(X3)5645123.所以 X 的分布列为X123P161623所以 X 的均值 E(X)11621632352.高考必会题型题型一条件概率与相互独立事件的概率例 1(1)先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6 个点),落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件 A 为“xy 为偶数”,事件B为“x,y 中有偶数且 x y”,则概率P(B|A)等于()A.12B.13C.14D.25(2)甲射击命中目标的概率是12,乙命中目标的概率是13,丙命中目标
6、的概率是14.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为()A.34B.23C.45D.710答案(1)B(2)A解析(1)正面朝上的点数(x,y)的不同结果共有C16C1636(种).事件 A:“x y 为偶数”包含事件A1:“x,y 都为偶数”与事件 A2:“x,y 都为奇数”两个互斥事件,其中P(A1)C13C133614,P(A2)C13C133614,所以 P(A)P(A1)P(A2)141412.事件 B 为“x,y 中有偶数且xy”,所以事件 AB 为“x,y 都为偶数且xy”,所以 P(AB)C13C1333616.P(B|A)P ABP A13.(2)设“甲命中目标”为事件
7、A,“乙命中目标”为事件 B,“丙命中目标”为事件 C,则目标被击中的事件可以表示为ABC,即击中目标表示事件A、B、C 中至少有一个发生.P(A B C)P(A)P(B)P(C)1P(A)1P(B)1P(C)11211311414.故目标被击中的概率为1P(A B C)11434.点评(1)利用定义,分别求 P(A)和 P(AB),得 P(B|A)P ABP A.这是通用的求条件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式,先求事件A 包含的基本事件数n(A),再在事件A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数,即n(AB),得 P(B|A)n ABn A.(3)相互独立事件的概率通常和互斥事件
8、的概率综合在一起考查,这类问题具有一个明显的特征,那就是在题目的条件中已经出现一些概率值,解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立),再选择相应的公式计算求解.变式训练1(1)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45(2)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5 个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4 个
9、问题就晋级下一轮的概率为_.答案(1)A(2)0.128解析(1)已知连续两天为优良的概率是0.6,那么在前一天空气质量为优良的前提下,要求随后一天的空气质量为优良的概率,可根据条件概率公式,得P0.60.75 0.8.(2)由题设,分两类情况:第 1个正确,第 2 个错误,第 3、4 个正确,得 P1 0.80.20.80.80.102 4;第 1、2个错误,第3、4 个正确,此时概率 P20.20.2 0.80.80.025 6.由互斥事件概率公式得PP1P2 0.102 40.025 60.128.题型二离散型随机变量的均值和方差例 2(2015 山东)若 n 是一个三位正整数,且n 的
10、个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1 个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5 整除,参加者得0 分;若能被 5 整除,但不能被10 整除,得 1 分;若能被10 整除,得1 分.(1)写出所有个位数字是5 的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和均值E(X).解(1)个位数是5 的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为 C3984
11、,随机变量 X 的取值为:0,1,1,因此 P(X0)C38C3923,P(X 1)C24C39114,P(X1)1114231142,所以 X 的分布列为X011P231141142则 E(X)023(1)11411142421.点评离散型随机变量的均值和方差的求解,一般分两步:一是定型,即先判断随机变量的分布是特殊类型,还是一般类型,如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型;二是定性,对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解,而对于一般类型的随机变量,应先求其分布列然后代入相应公式计算,注意离散型随机变量的取值与概率间的对应.变式训练2(1)(2016 四川)同时抛掷两枚质地
12、均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2 次试验中成功次数X的均值是 _.答案32解析由题可知,在一次试验中,试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P1121234,2 次独立试验成功次数X 满足二项分布XB 2,34,则 E(X)23432.(2)(2016山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3 分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1 分;如果两人都没猜对,则“星队”得0 分.已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假
13、设“星队”参加两轮活动,求:“星队”至少猜对3 个成语的概率;“星队”两轮得分之和X 的分布列和均值E(X).解记事件 A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件 C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件 E:“星队 至少猜对 3 个成语”.由题意,EABCD A BCDA B CDAB C DABC D.由事件的独立性与互斥性,P(E)P(ABCD)P(A BCD)P(A B CD)P(AB C D)P(ABC D)P(A)P(B)P(C)P(D)P(A)P(B)P(C)P(D)P(A)P(B)P(C)P(D)P(A)P(B)P(C)P(D)P(A)P(B)P(
14、C)P(D)342334232142334233413342323.所以“星队”至少猜对3 个成语的概率为23.由题意,随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X0)141314131144,P(X1)2341314131423141310144572,P(X2)3413341334131423142334131423142325144,P(X3)342314131413342312144112,P(X4)2342334133423142360144512.P(X6)342334233614414.可得随机变量X 的分布列为x012346P11445722
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