2020届江西省南昌市第二中学高三下学期校测(一)数学(文)试题.pdf

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1、-1-南昌二中2020 届高三校测(一)文科数学试卷命题：高三数学备课组第 I 卷一、选择题:本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集UR，集合 10|xRxA，B=-1,0,1，则BACU)(A 1B1C 1,0D0,12若复数2 iz，i为虚数单位，则(1)(1)zzA24iB24iC24iD43已知实数.a b，则“2ab”是“224ab”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4若函数sin3cos0 xf xx的图象的一条对称轴为3x,则的最小值为A32B2C52D35已知数列na为等比数

2、列，nS是它的前n项和，若2312aaa，且4a与72a的等差中项为54，则5SA 35B33C 31D296已知向量(3,0)a，(,2)bx，且(2)aab，则a bA2 3B2 3C32D327我国明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n的值为A20B25C30D358已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为 75现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80 记录为 60，另一个错将70 记录为 90在对错误的数据进行更正后，重新

3、求得样本的平均数为x，方差为2s，则A270,75xsB270,75xsC270,75xsD270,75xs9下列图象可以作为函数2xfxxa的图象的有A1 个B2 个C3 个D 4 个-2-10已知 P，A，B，C是半径为 2 的球面上的点，O 为球心，2PAPBPC，90ABC，则三棱锥OABC体积的最大值是A3B1 C12D3411已知1F，2F分别是双曲线C：22143xy的左，右焦点，动点A在双曲线的左支上，点B为圆E：2231xy上一动点，则2ABAF的最小值为A7 B8 C63D2 3312若函数1,21,xxexafxxxa有最大值，则实数a的取值范围是A211,22eB21,

4、2eC2D2112,22e第 II 卷二、填空题:本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13函数xyaxe的图象在0 x处的切线与直线yx互相垂直,则a_14如图在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E为边 CD的中点，13DFDA，若4AE BF则cos DAB=.15如图，在一个底面边长为4cm 的正六棱柱容器内有一个半径为2 3cm 的铁球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降_cm.16在数列na中，11a，1221332 32(2)nnnnnaan，nS是数列1nan的前n项和，则nS为.三、解答题：共 70

5、 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60 分.17(12 分)已知3()3 cos22sin()sin()2f xxxx，xR，（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()3fA，3a，求BC边上的高的最大值18(12 分)为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017

6、年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6 组死亡的株数：温度x（单位：C）21 23 24 27 29 32 死亡数y（单位：株）6 11 20 27 57 77-3-经计算：611266iixx，611336iiyy，61()()557iiixxyy，621()84iixx，621()3930iiyy，621()23.6?6 4iiyy，8.0653167e，其中ix，iy分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i.（1）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程yb xa（结果精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程0.23030.06?xye，且相关指数为2

7、0.9522R.(i)试与（1）中的回归模型相比，用2R说明哪种模型的拟合效果更好；（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35 C时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）.附：对于一组数据11(,)u v，22(,)uv，(,)nnuv，其回归直线?vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()niiiniiuuvvuu，avu；相关指数为：22121()1()niiiniiivvRvv.注：相关指数越趋近于1 拟合效果越好19(12 分)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的下底面是边长为4 的正方形，AA1=4，且 AA1面 ABCD，点 P为DD1的中点，点Q 在 BC上，BQ=3QC，

8、DD1与面 ABCD所成角的正切值为2.（）证明：PQ/面 A1ABB1；（）求证：AB1面 PBC，并求三棱锥Q-PBB1的体积.20(12 分)已知曲线C上的点到点1,0F的距离比到直线:20lx的距离小1，O为坐标原点.（1）过点F且倾斜角为45的直线与曲线C交于M、N两点，求MON的面积；（2）设P为曲线C上任意一点，点2,0N，是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以PN为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程和定值；若不存在，说明理由.21(12 分)已知函数2ln2fxxxx.（1）讨论函数fx的单调性；（2）判断并说明函数cosg xfxx的零点个数.若函数g x所有零

9、点均在区间()mnmnZZ，内，求nm的最小值.(二)选考题：共10 分.-4-22.在直角坐标系xOy中，曲线1cos:1 sinxtCyt（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos3 33.（1）求曲线1C的极坐标方程；（2）已知点2,0M，直线l的极坐标方程为6，它与曲线1C的交点为O，P，与曲线2C的交点为Q，求MPQ的面积.23.已知11fxxax.（1）当1a时，求不等式1fx的解集；（2）若0,1x时不等式fxx成立，求a的取值范围.南昌二中 2020 届高三校测(一)文科数学试卷参考答案第 I 卷一、选择题:本大题共12

10、小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集，集合，则（）ABCD【答案】C【解析】由题意，全集，集合，可得或，又由集合，所以.故选：C.2若复数，为虚数单位，则ABCD【答案】B【解析】,选 B.3已知实数，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件的判断、不等式等知识充分性：由均值不等式；必要性：取，显然得不到故“”是“”的充分不必要条件，选A4若函数的图象的一条对称轴为，则的最小值为（）ABCD【答案】C【解析】，且函数的图象的一条对称轴为，-5-当时，取最大值或

11、最小值，的最小值为.故选：C.5已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（）ABCD【答案】C 试题分析：由题意得，设等比数列的公比为，则，所以，又，解得，所以，故选 C6已知向量，且，则（）AB C D【答案】D【解析】向量，,所以=（,4）,因为，故（）+0=0 解得,则.故答案为D.7我国明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出的值为（）ABCD【答案】B【解析】输出；-6-；，退出循环，输出，故选 B.8已知某样本的容量为50，平均

12、数为70，方差为 75现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80 记录为 60，另一个错将70 记录为 90在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则ABCD【答案】A【解析】由题意，根据平均数的计算公式，可得，设收集的 48 个准确数据分别记为，则，故选 A9下列图象可以作为函数的图象的有（）A 1 个B2 个C 3个D4 个【答案】C【解析】当 a0 时，如取a=1，其定义域为R，它是奇函数，图象是。所以选项是正确的；当 a=0 时,则,其定义域为：x|x0，它是奇函数，图象是，所以选项是正确的。本题选择 C 选项.10已知 P，A，B，C是半径为2 的

13、球面上的点，O 为球心，则三棱锥体积的最大值是()AB1 CD【答案】B【解析】如图,设交平面于.因为,由球的对称性有底面.又,.故.,因为,所以.-7-又.故.故.当且仅当时取等号.故选：B 11已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为（）A 7 B8 CD【答案】A【解析】双曲线中，圆半径为，（当且仅当，共线且在，之间时取等号.）当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号的最小值是7.故选：A.12若函数有最大值，则实数的取值范围是（）ABC D【答案】A【解析】设，可得在上递增，在递减，当时，函数在上递增，在递减，有最大值，可排除选项D；时，而，即

14、无最大值，可排除选项C；当时，在上递增，在上递减，在递减，且有，有最大值，可排除选项B,故选 A.第 II 卷二、填空题:本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则_【答案】1.【解析】函数的图象在处的切线与直线垂直,函数的图象在的切线斜率-8-本题正确结果：14如图在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E为边 CD的中点，若则=-.【答案】【解析】因为平行四边形中，是边的中点，=.15如图，在一个底面边长为cm 的正六棱柱容器内有一个半径为cm 的铁球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，

15、则水面下降_cm.【答案】【解析】解：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积，水面高度为，此时正六棱柱容器中水的体积为，若将铁球从容器中取出，则水面高度，则水面下降.故答案为:.16在数列中，是数列的前项和，则为.【答案】【解析】：由-9-得，即，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，所以，由，.三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60 分.17已知，（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）已知锐角的内角，的对边分别为，且，求边上的高的最大值17.【解析】

16、（1）的最小正周期为：；当时，即当时，函数单调递增，所以函数单调递增区间为：；（2）因为，所以设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：（当用仅当时，取等号），所以，因此边上的高的最大值.18为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017 年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数：温度（单位：）212324272932死亡数（单位：株）61120275777-10-经计算：，其中，分别为试验数据中的温度和死亡株数，.（1）若用线性回归模型，求关于的回归方程（

17、结果精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得关于的回归方程，且相关指数为.(i)试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好；（ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，；相关指数为：.【答案】()；()详见解析试题解析：()由题意得，33-6.6326=-139.4，关于的线性回归方程为：=6.6x-139.4（注：若用计算出，则酌情扣1 分）()（i）线性回归方程=6.6x-138.6 对应的相关指数为：，因为 0.93980.9522，所以回归方程比线性回归方程=6.6x-1 38.

18、6 拟合效果更好（ii）由（i）知，当温度时，即当温度为35 C时该批紫甘薯死亡株数为190.19已知四棱台的下底面是边长为4 的正方形，且面，点为的中点，点在上，与面所成角的正切值为2.（）证明：面；（）求证：面，并求三棱锥的体积.【答案】（）见解析;（）6.试题解析：（）证明：取中点为，连接、，过作于.-11-面，面.为与面所成角.，又，.而，又，四边形为平行四边形，又面，面，面.（）由面，面面且交于.又，面，.在梯形中，可证，面.20已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小，为坐标原点.（1）过点且倾斜角为的直线与曲线交于、两点，求的面积；（2）设为曲线上任意一点，点，是否存在垂直于轴的

19、直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，说明理由.20（1）；（2）直线存在，其方程为，定值为.【解析】（1）依题意得，曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等，所以曲线的方程为：.过点且倾斜角为的直线方程为，设，联立，得，则，则；（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，设点，则以为直径的圆的方程为，将直线代入，得，则，设直线与以为直径的圆的交点为、，则，于是有，当，即时，为定值.故满足条件的直线存在，其方程为.21已知函数.（1）讨论函数的单调性；-12-（2）判断并说明函数的零点个数.若函数所有零点均在区间内，求的最小值.21（1）函数的单调增区间为，

20、单调减区间为（2）存在两个零点，详见解析；的最小值为3 解：（1）的定义域为，令，得，（舍）.当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，因此，函数的单调增区间为，单调减区间为.（2），当时，因为单调递减，所以，在上单调递增，又，所以存在唯一，使得.当，所以单调递减，又，所以，在上单调递增.因为，所以，故不存在零点.当时，所以单调递减，又，所以存在，使得.当时，单调递增，当时，单调递减.又，所以存在唯一，使得.当时，故不存在零点.综上，存在两个零点，且，因此的最小值为3.22.在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为-13-极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，与曲线的交点为，求的面积.22.【解析】（1），其普通方程为，化为极坐标方程为（2）联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为，所以，又点到直线的距离，故的面积.23.已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.23.【解析】（1）当时，即故不等式的解集为（2）当时成立等价于当时成立若，则当时；若，的解集为，所以，故综上，的取值范围为