九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径导学案(新版)新人教版.pdf

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1、精品教案可编辑24.1.2 垂直于弦的直径1.圆的对称性.2.通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质.3.能运用垂径定理计算和证明实际问题.自学指导阅读教材第81 至 83 页内容，并完成下列问题.知识探究1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心.2.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：AB 经过圆心O 且与圆交于A、B两点；ABCD 交 CD 于 E；那么可以推出：CE=DE；CB=DB；CA=DA.3.平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.自学反馈1.如图，弦AB直径 CD 于

2、E，写出图中所有的弧_AD、DB、BC、AC、AB、ACB、CAD、CBD、DCB、ABC、DCA、CAB；优弧有：ACB、DCB、ABC、DCA、CAB；劣弧有：AD、BD、BC、AC、AB；最长的弦是：CD；相等的线段有：AE=EB，CO=DO；相等的弧有：AD=DB，AC=BC，CAD=CBD；此图是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？是；CD 所在的直线.2.在 O 中，直径为10 cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3 cm，则弦 AB 的长为 8 cm.3.在 O 中，直径为10 cm，弦 AB 的长为 8 cm，则圆心O 到 AB 的距离为 3 cm.圆中已知半径、弦长、弦心距三

3、者中的任何两个，即可求出另一个.4.O 的半径 OA=5 cm，弦 AB=8 cm，点 C 是 AB 的中点，则OC 的长为 3 cm.已知弦的中点，连结圆心和中点构造垂直是常用的辅助线.5.某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24 米，拱的半径为13 米，则拱高为多少米？(8 米)圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个.6.O 的半径是5，P 是圆内一点，且OP 3，过点 P 最短弦的长是8，最长弦的长为10.精品教案可编辑过点 P 最短弦即为与OP 垂直的弦，最长弦即为直径.活动 1 小组讨论例 1 是的直径，弦，为垂足，若，求的长.解：6.常用辅助线：连

4、结半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形.例 2 O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为3.最大值为5.当 OM 与 AB 垂直时，OM 最小(为什么)，M 在 A(或 B)处时 OM 最大.例 3 已知：如图，线段AB 与 O 交于 C、D 两点，且 OA=OB.求证：AC=BD.证明：作 OEAB 于 E.则 CE=DE.OA=OB，OEAB，AE=BE.AE-CE=BE-DE.即 AC=BD.过圆心作垂径是圆中常用辅助线.例 4 如图，在 O 中，CD 为弦，ECCD，FDCD，EC、FD 分别交直径AB 于 E、F 两点，求证：A

5、E=BF.证明：略过圆心作垂径，与已知的另两个垂直构造一组平行线.例 5 如图，O 中 CD 是弦，AB 是直径，AECD 于 E，BFCD 于 F，求证：CEDF.证明：略本题即为上题的变式训练.当题目的条件不变，只是图形发生变化时，通常结论不变，解题思路也不变.活动 2 跟踪训练1.在直径是20 cm的 O 中，AOB 的度数是 60，那么弦 AB 的弦心距是53cm.精品教案可编辑这里利用60角构造等边三角形，从而得出弦长.2.弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为134cm.图图3.如图，AB 为 O 的直径，E是BC中点，OE 交 BC 于点 D，BD=

6、3，AB=10，则 AC=8.4.如图，OE、OF 分别为 O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果OE=OF，那么 AB=CD.(只需写一个正确的结论即可)5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC=BD.证明：过点O 作 OEAB 于点 E.则 AE=BE，CE=DE.AE-CE=BE-DE.即 AC=BD.过圆心作垂径.6.如图，O 直径 AB 和弦 CD 相交于点E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦CD 长.解：作 OFCD 于点 F，连结 OD.AE=2，EB=6，AB=8.AO=4.EO=2.DEB=30，OFE=90，OF=12OE=

7、1.在 Rt ODF 中，OD=4，OF=1.DF=22ODOF=15.CD=2DF=215.第 6 题先过圆心作垂径，将30 角放在直角三角形中，求出弦心距，再连半径构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形.7.已知 O 的直径是50 cm，O 的两条平行弦AB=cm，CD=cm，求弦 AB 与 CD 之间的距离.AB、在点O 两侧，AB、CD 在点 O 同侧.精品教案可编辑解：过点 O 作直线 OEAB 于点 E，直线 OE 与 CD 交于点 F.由 AB CD，则 OFCD.当 AB、CD 在点 O 两侧时，如图1.连结 AO、CO，则 AO=CO=25 cm，AE=20 cm，CF=24 cm.由勾股定理知 OE=15 cm，OF=7 cm.EF=OE+OF=22 cm.即 AB 与 CD 之间距离为22 cm.图 1 图 2当 AB、CD 在点 O 同侧时，如图2，连结 AO、CO.则 AO=CO=25 cm，AE=20 cm，CF=24 cm.由勾股定理知 OE=15 cm，OF=7 cm.EF=OE-OF=8 cm.即 AB 与 CD 之间距离为8 cm.由知 AB 与 CD 之间的距离为22 cm或 8 cm.活动 3 课堂小结垂径定理及其推论，以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形).教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.