高中数学3.1.5空间向量运算的坐标表示教案北师大版选修2-1.pdf

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1、高中数学3.1.5 空间向量运算的坐标表示教案北师大版选修2-1-1-/4 3.1.5 空间向量运算的坐标表示课题向量的坐标教学目的要求1理解空间向量与有序数组之间的1-1 对应关系2掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示主要内容与时间分配1投影与投影定理 25分钟2分向量与向量的坐标 30分钟3模与方向余弦的坐标表示 35分钟重点难点1投影定理2分向量3方向余弦的坐标表示教学方法和手段启发式教学法，使用电子教案一、向量在轴上的投影1几个概念(1)轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数满足AB，且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫做轴u上有向线

2、段AB的值，记做AB，即AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则eAB(2)设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有BCABAC(3)两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作aOA，bOB，规定不超过的AOB称为向量a和b的夹角，记为),(ba(4)空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A叫做点A在轴u上的投影。(5)向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A和B，那么轴u上的有向线段的值BA叫做向量AB在轴u上的投影，记做ABjuPr。2投影定理性 质1：向 量 在 轴u上 的 投 影 等

3、 于 向 量 的 模 乘 以 轴 与 向 量 的 夹 角的 余 弦：高中数学3.1.5 空间向量运算的坐标表示教案北师大版选修2-1-2-/4 cosPrABABju性 质2：两 个 向 量 的 和 在 轴 上 的 投 影 等 于 两 个 向 量 在 该 轴 上 的 投 影 的 和，即2121aaaajjjuPrPr)(Pr性质 3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即aajjuPr)(Pr二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量

4、与有序数之间的对应关系。设a=21MM是 以),(1111zyxM为 起 点、),(2222zyxM为 终 点 的向 量，i、j、k分别 表 示图 75 沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图75，并应用向量的加法规则知：)(1221xxMMi+)(12yyj+)(12zzk 或a=axi+ayj+azk 上式称为向量a按基本单位向量的分解式。有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为a ax，ay，az。上式叫做向量a的坐标表示式。于是，起点为),(1111zyxM终点为),(2222zyxM

5、的向量可以表示为,12121221zzyyxxMM特别地，点),(zyxM对于原点O的向径,zyxOM高中数学3.1.5 空间向量运算的坐标表示教案北师大版选修2-1-3-/4 注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、ayj、azk.2向量运算的坐标表示设,zyxaaaa，,zyxbbbb即kjiazyxaaa，kjibzyxbbb则(1)加法：kjiba)()()(zzyyxxbababa减法：kjiba)()()(zzyyxxbababa乘数：kjia)()()(zyxaaa或,

6、zzyyxxbabababa,zzyyxxbabababa,zyxaaaa平行：若a0 时，向量ab/相当于ab，即,zyxzyxaaabbb也相当于向量的对应坐标成比例即zzyyxxababab三、向量的模与方向余弦的坐标表示式设,zyxaaaa，可以用它与三个坐标轴的夹角、（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称、为非零向量a的方向角，见图76，其余弦表示形式coscoscos、称为方向余弦。图76 1 模222zyxaaaa2 方向余弦高中数学3.1.5 空间向量运算的坐标表示教案北师大版选修2-1-4-/4 由性质 1 知coscoscoscoscoscos212121aaaMMa

7、MMaMMazyx，当0222zyxaaaa时，有222222222coscoscoszyxzzzyxyyzyxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaa任意向量的方向余弦有性质：1coscoscos222与非零向量a同方向的单位向量为：cos,cos,cos,1zyxaaaaaaa03 例子：已知两点M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量21MM的模、方向余弦、方向角以及与21MM同向的单位向量。解：21MM1-2，3-2，0-2=-1，1，-2 2)2(1)1(22221MM21cos，21cos，22cos32，3，43设0a为与21MM同向的单位向量，由于cos,cos,cos0a即得22,21,210a