(最新资料)四川省泸州市2020届高三上学期第一次教学质量诊断性考试试题数学(理)【含解析】.pdf

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1、四川省泸州市2020 届高三上学期第一次教学质量诊断性考试试题数学（理）一、选择题1.已知集合0,1,2,3A，集合|2Bx x，则AB（）A.3B.0,1,2C.1,2D.0,1,2,3【答案】B【解析】【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可【详解】解：0,1,2,3,|22ABxx，0,1,2AB故选：B【点睛】本题考查集合交集的运算，属于基础题2.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,)xx，且12xx都有12fxfx”的是（）A.()f xxB.()2x f xC.()lnf xxD.3()f xx【答案】B【解析】【分析】对任意12,(0,)x x，且12xx 都有

2、12fxfx”，可知函数()fx 在(0,)上单调递减，结合选项即可判断【详解】解：“对任意12,(0,)x x，且12xx 都有12fxfx”，函数()f x 在(0,)上单调递减，结合选项可知，()f xx在(0,)单调递增，不符合题意，1()22xxf x在(0,)单调递减，符合题意，()lnf xx 在(0,)单调递增，不符合题意，3()f xx在(0,)单调递增，不符合题意，故选：B【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题3.“sin0”是“sin 20”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】

3、由sin0可得，由sin 20也可得，观察两个的范围之间的关系即可得结果.【详解】解：由sin0可得,kkZ，由sin20可得,2kkZ，所以“sin0”是“sin20”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查条件的充分性和必要性，关键是求出的取值，本题是基础题.4.已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（-2）=（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】yfxx是偶函数fxxfxx当2x时，2222ff，又21f25f故选 D 5.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.不确定【答案】B【解析】【

4、详解】如图所示，直线a，a，=b，求证ab只需考虑线面平行的性质定理及平行公理即可解：由 a 得，经过 a 的平面与 相交于直线c，则 ac，同理，设经过a 的平面与 相交于直线d，则 ad，由平行公理得：cd，则 c，又c 在 内，=b，所以cb，又 ac，所以ab故答案为B 6.如图所示的图象对应的函数解析式可能是A.221xyxB.2sin41xxyxC.lnxyxD.22exyxx【答案】D【解析】对于A，221xyx，当x趋向于时，函数2xy趋向于 0，21yx趋向于函数221xyx的值小于0，故排除A对于B，sinyx 是周期函数函数2sin41xxyx的图像是以x轴为中心的波浪线

5、，故排除B对于C，lnxyx的定义域是0,11,，且在0,1x时，ln0 x0lnxyx，故排除C对于D，函数22211yxxx，当0,1xx时，0y；当01x时，0y；且0 xye恒成立2()2xyxx e的图像在x趋向于时，0y；01x时，0y；x趋向于时，y趋向于故选 D 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,xxxx时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除

6、.7.已知:0,2p，sin，0:qxN，200210 xx，则下列选项中是假命题的为（）A.pqB.()pqC.pqD.()pq【答案】C【解析】【分析】命题p：由三角函数定义，即可判断出真假；命题q：由求根公式，即可判断出真假，根据复合命题真值表判断结果即可【详解】解：命题p：由三角函数的定义，角终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足是M，单位圆交x轴于点A，则sinMP，弧长PA即为角；显然MP弧长PA；:0,2p，sin是真命题；命题q：解方程200210 xx，则12x，因此0:qxN，200210 xx，是假命题则下列选项中是假命题的为pq而 A，B，D都是真命题故选：C【点睛

7、】本题考查了三角函数的定义，方程的求根公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.我国古代数学名著九章算术中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在222中，“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程2xx确定x的值，类似地32 32 3的值为（）A.3 B.1312C.6 D.2 2【答案】A【解析】【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可【详解】解：令32 32 3(0)m m，则

8、两边平方得，则232 32 3m，即232mm，解得，3,1mm舍去故选：A【点睛】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题9.已知函数()sin()(0,0,0)fxAxA的图象如图所示，下列关于()f x 的描述中，正确的是（）A.3tan3B.最小正周期为2C.对任意xR都有()3fxf xD.函数()f x 的图象向右平移6个单位长度后图象关于坐标原点对称【答案】D【解析】【分析】由三角函数图象得,A的值，得到()f x 的解析式，进而再判断每个命题的真假【详解】解：由图知：71,4123TAT，而2,2,3Tx时，03f又在递减区域，22,Z3kk，而0,3，所以(

9、)sin 2,tantan333fxx，所以 A不正确，最小正周期222T，所以 B不正确，sin 2sin(2)sin2()333fxxxxf x，所以 C不正确；函数()f x 的图象向右平移6个单位长度后得sin 2sin263xx，关于原点对称，所以正确故选：D【点睛】考查三角函数的图象得函数解析式，及三角函数的性质，属于简单题10.若将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，则x min后甲桶中剩余的水量符合衰减函数()nxf xae（其中e是自然对数的底数）.假设过 5 min后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶中的水只有L4a，则m的值为（）A.9 B.7 C.5 D.3【答

10、案】C【解析】【分析】由题意，函数()nxyf xae满足1(5)2fa，解出11ln52n再根据1()4f ka，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由5mk即可得到【详解】解：5min 后甲桶和乙桶的水量相等，函数()ntyf tae，满足51(5)2nfaea可得11ln52n，因此，当kmin 后甲桶中的水只有4a升，即1()4f ka，即111lnkln524，即为111ln2ln522k，解之得10k，经过了55k分钟，即5m故选：C【点睛】本题给出实际应用问题，求经过几分钟后桶内的水量剩余四分之一着重考查了指数函数的性质、指数恒等式化简，指数方程和对数的运

11、算性质等知识，属于中档题11.在四棱锥PABCD中，平面PAD平面 ABCD，且ABCD为矩形，2DPA，2 3AD，2AB，PAPD，则四棱锥PABCD的外接球的体积为（）A.163B.323C.643D.16【答案】B【解析】【分析】连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F，取AD的中点E,在截面PEF中，利用勾股定理求出球的半径，即可求四棱锥P-ABCD的外接球的体积【详解】连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F，取AD的中点E,在截面PEF中，连结PO在PAD中，2DPA，PAPD，2 3AD3,PE又由已知得1EF，设OFx，在Rt OAF中，224OAx，在截面PEF

12、中，221(3)xOPOPOA2241(3)xx得0 x，球的半径为2，四棱锥P-ABCD的外接球的体积为3432233故选：B.【点睛】本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判定与性质，考查四棱锥P-ABCD 的外接球的体积，属于中档题12.已知函数3()logf xx的图象与函数()g x的图象关于直线yx对称，函数()h x是最小正周期为2 的偶函数，且当0,1x时，()()1h xg x，若函数()()ykf xh x有 3 个零点，则实数k的取值范围是（）A.71,2log3B.52,2log 3C.52log 3,1D.71log 3,2【答案】B【解析】【分析】把函数()(

13、)ykf xh x有 3 个零点，转化为3log()kxh x有 3 个不同根，画出函数3logykx与()yh x的图象，转化为关于k的不等式组求解【详解】解：由函数3()logf xx的图象与函数()g x的图象关于直线yx对称，得()3xg x，函数()h x是最小正周期为2 的偶函数，当0,1x时，()()131xh xg x，函数()()ykf xh x有 3 个零点，即3log()kxh x有 3 个不同根，画出函数3logykx与()yh x的图象如图：要使函数3logykx与()yh x的图象有3 个交点，则k0，且33log 32log 52kk，即522log3k实数 k

14、的取值范围是52,2log 3故选：B【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题二、填空题13.函数22logyx的定义域是【答案】【解析】试题分析:由得.考点：函数的定义域.14.设函数2,05()(5),5xxf xf xx，那么(18)f的值为 _.【答案】9【解析】【分析】推导出(18)(353)(3)fff，由此能求出结果【详解】解：函数2,05()(5),5xxf xf xx，2(18)(353)(3)39fff故答案为：9【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15.当0 xx时，函数()

15、cos22sin2f xxx有最小值，则0sin x的值为 _.【答案】32【解析】【分析】利用诱导公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质即可求解【详解】解：函数2()cos22sincos22cos2cos2cos12f xxxxxxx，根据二次函数的性质可知，当01cos2x时，函数取得最小值，则03sin2x,故答案为：32【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及二次函数的性质的简单应用，属于基础试题16.已知正方体有8个不同顶点，现任意选择其中4 个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形成空间几何体.在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的_.（写出所有正确结论

16、的编号）每个面都是直角三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是全等的直角三角形的四面体；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.【答案】【解析】【分析】画出正方体的图形，在几何体中找出满足结论的图形即可【详解】解：每个面都是直角三角形的四面体；如：E-ABC，所以正确；每个面都是等边三角形的四面体；如E-BGD，所以正确；每个面都是全等的直角三角形的四面体：这是不可能的，错误；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体如：A-BDE，所以正确；故答案为：【点睛】本题考查命题的真假的判断，空间几何体的与三棱锥的关系，是基本知识的考查，易错题三、解答题1

17、7.已知函数321()3fxxxax（其中a为实数）.（1）若1x是()f x 的极值点，求函数()f x 的减区间；（2）若()f x 在(2,)上是增函数，求a的取值范围.【答案】（1）(1,3)（2）1,)【解析】【分析】（1）对()f x 求导，代入1x使导函数为零，求出a的值，进而利用导数可求出()f x 的减区间.（2）()f x 在(2,)上是增函数转化为()fx在(2,)上大于等于零恒成立，进而转化为最值问题，即可求得a的取值范围.【详解】解：（1）因为321()3f xxxax，所以2()2fxxxa，因1x是()f x 的极值点，所以(1)0f，即120a，所以3a，故2(

18、)23fxxx，当1x或3x时，()0fx，当13x时，()0fx，所以3a符合题意，且()f x 的减区间为(1,3)；（2）因为()f x 在(2,)上为增函数，所以2()20fxxxa在(2,)上恒成立，所以22axx在(2,)上恒成立，因为2()2g xxx在(2,1)上是增函数，在(1,)上是减函数，所以()(1)1g xg，所以1a，即a的取值范围为1,)，【点睛】本题考查函数的极值及单调性，其中关键是将单调性问题转化为最值问题，是中档题.18.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsin2ACbCc.（1）求B；（2）已知2c，AC边上的高3 217BD，求

19、a的值.【答案】（1）3B（2）3a或6a【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果（2）利用（1）的结论和余弦定理及三角形的面积的应用求出结果【详解】解:（1）由sinsin2ACbCc，所以sinsin22BbCc，即sincos2BbCc，由正弦定理得sinsinsincos2BBCC，由于C为ABC的内角，所以sin0C，所以sincos2BB，即2sincoscos222BBB由于B为ABC的内角，cos02B，所以1sin22B，又因为(0,)B，所以3B；（2）因为11sin22SacBBD b，代入2c，3 217BD，3sin2B，得73b

20、a，由余弦定理得22222cos42bacacBaa，代入73ba，得29180aa，所以3a或6a.【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19.如图，已知BD为圆锥AO底面的直径，若4ABBD，C是圆锥底面所在平面内一点，2CD，且AC与圆锥底面所成角的正弦值为427.（1）求证：平面AOC平面ACD；（2）求二面角BADC的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）21cos7OFH【解析】【分析】（1）首先找到AC与圆锥底面所成角ACO，求出,AC OC，可得CDOC，结合圆锥的性质，

21、可证明CD平面AOC，进而可得平面AOC平面ACD；（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面ACD的一个法向量和平面ABD的一个法向量，通过夹角公式，可求得两法向量的夹角，进而得到二面角BADC的平面角的余弦值；解法二：过点O作OFAD交于F.过F作FHAD交DC于H，连接HO，得OFH为二面角BADC的平面角，通过三角形的边角关系求出OFH的余弦.【详解】（1）证明：由4ABBD及圆锥的性质，所以ABD为等边三角形，AO圆O所在平面，所以2 3AO，ACO是AC与底面所成角，又AC与底面所成角的正弦值为427，在RtAOC中，14427AOAC，222OCACAO，由2CD，2OD，在OC

22、D中，222OCCDOD，所以CDOC，圆锥的性质可知：AO圆O所在平面，因为CD圆O所在平面，所以AOCD，又AO，OC平面AOC，所以CD平面AOC，又DC平面ACD，故平面AOC平面ACD；（2）解法一：在圆O所在平面过点O作BD的垂线交圆O于点E，以O为坐标原点，OE为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立如图空间直角坐标系，由题可知，(0,2,0)B，(0,2,0)D，(0,0,23)A，由2OC，4DOC，所以(1,1,0)C，设平面ACD的一个法向量为(,)mx y z，因为(1,1,2 3)AC，(0,2,2 3)AD，所以2 3022 30 xyzyz取1z，则(3,3,1)m，

23、平面ABD的一个法向量为(1,0,0)n，所以21cos,7|m nm nm n，二面角BADC的平面角的余弦值为217.解法二：过点O作OFAD交于F.过F作FHAD交DC于H，连接HO，所以OFH为二面角BADC的平面角，在RtOFD中，因为4AD，6FOD，所以1FD，3OF，因为RtRtHFDACD，所以HFACDFCD，即7HF则2 2HD，故C是HD的中点，所以2OH，在OFH中，2222cosOHOFFHOFFHOFH，即224(3)(7)2 37 cosOFH，所以21cos7OFH.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及向量法求面面角，考查学生的计算能力，是中档题.20.已知函数

24、()2cos(sincos)()fxxxx xR.（1）求函数()f x 的最小值及取最小值时x取值的集合；（2）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数()g x的图象，且32()3g，3,22，求2g的值.【答案】（1）()f x 的最小值是12，此时x的集合为3|,8x xkkZ（2）42 23【解析】【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数()f x 得解析式，再根据正弦函数的最值求得函数()f x 的最小值及取最小值时x取值的集合（2）由题意利用函数sin()yAx的图象变换规律，求得()g x的解析式，再利用两角和的正弦公式求得2g的值

25、【详解】解：（1）2()2cossin2cosf xxxx，sin2cos21xx2 sin 214x，当2242xk，即3()8xkkZ时，sin 24x取得最小值是-1，所以函数()f x 的最小值是12，此时x的集合为3|,8x xkkZ；（2）()f x 的图像上所有点的横坐标扩大为原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数()g x所以()g x的最小正周期为4，故1()2sin124g xx因为12()2sin11243g，所以11sin243又3,22，所以1,242，所以12 2cos243，112sin12sin122244g112 sincoscossin1244244122 22

26、21323242 23.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值，函数sin()yAx的图象变换规律，两角和的正弦公式，属于中档题21.已知函数()lnf xx，1()g xax（其中a是常数）.（1）求过点(0,1)P与曲线()f x 相切的直线方程；（2）是否存在1k的实数，使得只有唯一的正数a，当0 x时不等式11()fxg xk xaa恒成立，若这样的实数k存在，试求k，a的值；若不存在.请说明理由.【答案】（1）1yx（2）存在,2ke,2 eae【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程，（2）假设存在1k的正实数，使得只有唯一的正数a，当0

27、x时不等式11()fxg xkxaa恒成立，转化为1ln0kxxaa，分类讨论求1lnkxxaa的最小值，令其大于等于零，利用导数求出k，a的值即可【详解】解：（1）设过点(0,1)P的直线与曲线()f x相切于点00,lnxx，因()lnf xx，则1()fxx，所以在00,lnxx处切线斜率为001fxx，则在00,lnxx处切线方程为0001lnyxxxx，将(0,1)P代入切线方程得0ln0 x，所以01x，所以切线方程为1yx；（2）假设存在实数1k，使得只有唯一的正数a，当0 x时不等式11()fxg xkxaa恒成立，即111lnaxk xxaa恒成立，取1x，可知0k，因为0

28、x，0a，所以1ln0kxxaa，令1()ln(0)kxm xxxaa，则2()1(1)kaakxakm xaaxa ax，由00mx得20akxak.（1）当20ka时，00,xx时，00m x，则()m x 在01,xa上为减函数，0,xx时，00m x，则()m x 在0,x上为增函数，则min02()1ln0kam xm xak，即2ln1kaak，令2()ln()kah aakak，则233122()kakh aaaa，由00h a，得02()ak ak，0,ak a时，()0h a，则()h a在区间0,k a上为减函数，0,aa时，()0h a，则()h a在区间0,a上为增函数

29、，因此存在唯一的正数ak，使得()1h a，故只能min()1h a.所以min012()ln12h ah ak，所以2ke，此时a只有唯一值2 ee.（2）当2ka时，00m x，所以()m x 在(0,)上为增函数，所以0lim()ln0 xm xa，则1a，故1k.所以满足1ak的a不唯一综上，存在实数2ke，a只有唯一值2ee，当0 x时，恒有原式成立.【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力22.如图，在极坐标系Ox中，过极点的直线l与以点(2,0)A为圆心、半径为 2 的圆的一个交点为2,3B，曲线1M是劣弧OB，曲线2M是优弧OB.（1）求

30、曲线1M的极坐标方程；（2）设点1,P为曲线1M上任意一点，点2,3Q在曲线2M上，若|6OPOQ，求的值.【答案】（1）4cos32（2）3【解析】【分析】（1）利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果（2）利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果【详解】解：（1）设以点(2,0)A为圆心、半径为2的圆上任意一点(,)，所以该圆的极坐标方程为4cos，则1M的方程为4cos32；（2）由点1,P为曲线1M上任意一点，则114cos32，点2,3Q在曲线2M上，则24cos3233，即224cos363，因为12|,|OPOQ，所以12|OPOQ，即|4cos4cos3OP

31、OQ4 3sin3，因为32，且263，所以32，因为|6OPOQ，所以4 3sin63，即3sin32，所以3.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题23.设()|-3|4|f xxx.（1）解不等式()2f x；（2）已知x，y实数满足2223(0)xya a，且xy的最大值为1，求a的值.【答案】（1）2.5,4.5（2）65a【解析】【分析】（1）讨论x的取值范围，去掉绝对值求出不等式()2f x的解集；（2）结合题意，利用柯西不等式求得2()xy的最大值，列方程求出a的值【详解】解：（1）当3x时，不等式化为342xx，此时2.53x，当34x时，不等式化为342xx，成立，当4x时，不等式化为342xx，此时44.5x，综上所述，原不等式的解集为2.5,4.5；（2）柯西不等式得2222211(2)(3)()23xyxy，因为2223(0)xya a，所以25()6xya，（当23xy时，取等号），又因为xy的最大值为1，所以65a.【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了柯西不等式的应用问题，是中档题