(最新资料)河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试试题数学(文)【含解析】.pdf

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1、河北省衡水中学2020 届高三上学期四调考试试题数学（文）一、选择题（本大题共12 小题，每题5 分，共 60 分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合1,2,3M，22,2Naa，且3MN，则实数a的值为()A.1 或-1 B.-1 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由A与B的交集，得到元素3 属于A，且属于B，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，经检验即可得到满足题意a值【详解】AB3，3A且 3B，a+23或a2+23，解得：a1 或a 1，当a1 时，a+23，a2+23，与集合元素互异性矛盾，舍去；则a 1故选 B【点睛】此题考

2、查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.已知AB是抛物线22yx一条焦点弦，4AB，则AB中点C的横坐标是 ()A.2 B.32C.12D.52【答案】B【解析】【分析】先设AB，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.【详解】设1122A,B,x yxy，C的横坐标为0 x，则1202x xx，因为AB是抛物线22yx的一条焦点弦，所以121214ABxxpxx，所以123xx，故120322x xx.故选 B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.已知na是等

3、比数列，且0na，243546225a aa aa a，那么35aa的值等于（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】A【解析】试题分析：由于na是等比数列，2465a aa，224354635225,a aa aa aaa又0na35+5aa.故选 A.考点：等比中项.4.与双曲线221916xy有共同的渐近线,且经过点(3,23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是()A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.【详解】设双曲线方程为22916xy，将点(3,2

4、3)代入双曲线方程，解得2214,1494xy.从而所求双曲线方程的焦点坐标为5,02,一条渐近线方程为43yx，即 4x-3y=0，所以焦点到一条渐近线的距离是102916，故选B.【点睛】本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.C是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，C2ab，则下列结论正确的是（）A.1bB.abC.1a bD.4Cab【答案】D【解析】试题分析：2,2ABa ACab,ACABb,bACABBC由题意知12,cos1201212ba bab2422abBCABBC

5、BCAB BCBC212cos1202222402ABBC4abBC故 D正确考点：1 向量的加减法；2 向量的数量积；3 向量垂直【此处有视频，请去附件查看】6.存在函数()f x 满足，对任意xR都有（）A.(sin2)sinfxxB.2(sin 2)fxxxC.2(1)1f xxD.2(2)1f xxx【答案】D【解析】【详解】A：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，A错误；同理可知B错误，C：取，可知，再取，可知，矛盾，C错误，D：令，符合题意，故选D.考点：函数的概念7.已知双曲线2221(0)xyaa的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为2 33，P为双曲线右支上一点，且满足221

6、24 15PFPF，则12PF F的周长为（）A.2 5B.2 52C.2 54D.2 34【答案】C【解析】双曲线22210 xyaa的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为2 33，212 33aa，可得3,2ac，1222 3PFPFa，22121212PFPFPFPFPFPF12121222 34 5,2 5a PFPFPFPFPFPF，由得1253,53PFPF，12PF F的周长为121242 5PFPFF F，故选 C.8.函数为R上的可导函数，其导函数为fx，且3sincos6fxfxx，在ABC中，1fAfB，则ABC的形状为A.等腰锐角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等

7、腰钝角三角形【答案】D【解析】【分析】求函数的导数，先求出16f，然后利用辅助角公式进行化简，求出A，B的大小即可判断三角形的形状【详解】函数的导数3cossin6fxfxx，则31313cossin36666262262ffff，则11262f，则16f，则3cossin2cos6fxxxx，3sincos2cos3fxxxx，1fAfB，2cos16fBB，即1cos62B，则63B，得6B，2cos13fAA，即1cos32A，则33A，则23A，则2366C，则BC，即ABC是等腰钝角三角形，故选D【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数fx和fx的解析式是解决本题

8、的关键9.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（）A B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC所示：顶点 P在以 BA和 BC为邻边的平行四边形ABCD 上的射影为CD的中点 O，故该锥体的正视图是：A 考点：三视图10.已知()sin 2019cos 201963f xxx的最大值为A，若存在实数1x、2x，使得对任意实数x总有12()fxf xfx成立，则12A xx的最小值为（）A.2019B.42019C.22019D.403

9、8【答案】C【解析】【分析】先化简2sin 20193fxx，得2A，根据题意即求半个周期的A倍【详解】解：依题意sin2019 coscos2019 sincos2019 cossin2019 sin6633fxxxxx3sin2019cos2019xx,2sin20196x，2A，22019T，12|22019minTxx，12A xx的最小值为22019，故选C【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题11.已知椭圆2221 01yxbb的左焦点为F，左、右顶点分别为AC，上顶点为B过FBC，作圆P，其中圆心P的坐标为mn，当0mn时，椭圆离心率的取值范

10、围为（）A.202，B.102，C.302，D.605，【答案】A【解析】【分析】分别求出线段FA与AB的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P，利用m+n0，与离心率计算公式即可得出【详解】如图所示，线段 FC 的垂直平分线为：2112bx，线段BC的中点12 2b，BCkb=-，线段BC的垂直平分线的斜率1kb线段BC的垂直平分线方程为：1122byxb=，把2112bxm=代入上述方程可得：2212bbynb0mn，222111022bbbb+化为：21bb，又01b，解得212b 22102cecba=，故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角

11、形外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档.12.设22D22xxaeaa,其中2.71828e，则D的最小值为()A.2B.3C.21D.31【答案】C【解析】分析：由2()(2)xxaea表示两点(,)xC x e与点(,2)A aa的距离，而点A在抛物线24yx上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，画出图象，当,F A C三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a，2()(2)2xDxaeaa，由2()(2)xxaea表示两点(,)xC x e与点(,2)A aa距离，而点A在抛

12、物线24yx上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，由图象可知,F A C三点共线时，且QF为曲线xye的垂线，此时D取得最小值，即Q为切点，设(,)mm e，由011mmeem，可得21mme，设2mg mme，则g m递增，且(0)1g，可得切点(0,1)Q，即有1 12FQ=，则D的最小值为21，故选 C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题（本

13、大题共4 小题，每题5 分，共 20 分）13.南北朝时，张邱建写了一部算经，即张邱建算经，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得 _斤金（不作近似计算）【答案】778【解析】【分析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案【详解】设第十等人得金1a斤，第九等人得金2a斤，以此类推，第一等人得金10a斤，则数列na构成等差数

14、列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得8910123443aaaaaaa，即113244463adad，解得778d=，所以每一等人比下一等人多得斤金778【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前n项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题14.已知直线l经过抛物线2:4xCy的焦点F，与抛物线交于A、B，且8ABxx，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为_【答案】22445xy【解析】【分析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB的斜率，可得出直线l的方程，再利用当点D到直线l的距离最大时，圆D的

15、面积最大，由此求出点D的坐标，并计算出点D到直线l的距离，作为圆D的半径，由此可得出圆D的标准方程.【详解】抛物线的标准方程为24xy，抛物线的焦点坐标为0,1F，直线AB的斜率221424ABABABABABxxyyxxkxxxx，所以，直线l的方程为21yx，即210 xy.当点D到直线l的距离最大时，圆D的面积最大，如下图所示：设点2,4tD t，点D在直线l的下方，则22102tt，点D到直线l的距离为22121544455tttd，当4t时，d取最大值5，此时，点D的坐标为4,4，因此，圆D的标准方程为22445xy.故答案为22445xy.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同

16、时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.如图（1），在等腰直角ABC中，斜边4AB，D为AB的中点，将ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥CA BD，若三棱锥CABD的外接球的半径为5，则A DB_.图（1）图（2）【答案】23【解析】【分析】根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是5，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决【详解】解：球是三棱锥CABD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图根据题意，CD平面ABD，取CD的中点E，AB的中点G，连接CG，DG，因为ADBD，C

17、D平面ABD，所以A 和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面ABD于点F，则OF平面ABD，且OFDE1，因为AF在平面ABD内，所以OFAF，即三角形AOF为直角三角形，且斜边OA R5，AF2251ROF2，所以，BF2，所以四边形ADBF为菱形，又知ODR，三角形ODE为直角三角形，OE2251RDE2，三角形ADF为等边三角形，ADF3，故ADB23，故填：23【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键属于中档题16.已知ABC的三边分别为a，b，c

18、，所对的角分别为A，B，C，且满足113abbcabc，且ABC的外接圆的面积为3，则cos24sin1fxxacx的最大值的取值范围为_【答案】12,24【解析】由ABC的三边分别为a，b，c可得：113abbcabc，3abcabcabbc1caabbc可知：c bca ababbc222acacb2221cos22acbBac，3B23R，3R2sinsinsinabcRABC2 3 sinaA，2 3 sincC2332 3 sinsin2 3 sinsin2 3sincos322acACAAAA6sin6A203A5666A36sin66A可知3?6ac222 sin22fxxaca

19、c1sin1x可知当sin1x时，4maxfxac12424ac则241fxcos xac sinx的最大值的取值范围为1224，点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度三、解答题：（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知等差数列na满足：3577,26aaa，数列na的前n项和为nS.（1）求数列na的通项公式及前n项和nS；（2）令24()1nnbnNa，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）

20、21nan；22nSnn（2）1nnTn【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式列1,a,d的方程组求解na再求前n项和公式即可得出（2）变形22441111211nnbannn，利用裂项相消求和【详解】（1）设等差数列na的公差为d,37a,5726aa,112721026adad,解得13a,2d,32121nann;213222nn nSnnn.（2）22441111211nnbannn,11111111223111nnTnnnn.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查裂项相消求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.如图,在平面四边形ABCD 中,已知 AB=

21、BC=CD=2，AD=2 2(1)求2coscosAC的值;(2)记ABD与BCD的面积分别是S1与 S2,求2212SS的最大值,【答案】（1）12；(2)232.【解析】【详解】试题分析：(1)在?ABD，?BCD中,分别用余弦定理,列出等式,得出2coscosAC的值;(2)利用(1)的结果,得到2212ss是关于cosA的二次函数,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求出BD的范围,由BD的范围求出cosA的范围,再求出2212ss的最大值.试题解析：（1）在?ABD中：222BD=AB+AD-2ABADcosA=12-82cos;A在?BCD中：222BD=BC2cos

22、88cosCDBCCDCC所以12-8 2cos88cosAC，整理得：12coscos2AC；（2）由题意22211ABADsin8sin,2sAA22221sin4sin;2sCBCDCC所以：2222128sin4sinssAC22=8 1-cos4 1cosAC22=12-8cos4cosAC221=12-8cos42cos2AA2=-16cos4 2cos11AA2223=-16 cos82A224,216BDBD，2128 2cos16A，解之得：25-cos248A所以当22cos-184A，时，2212max232ss.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”

23、，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.19.已知抛物线C的方程220ypx p，焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1.（1）试求出抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在两动点,M N（,M N在对称轴两侧），满足OMON（O为坐标原点），过点F作直线交C于,A B两点，若/ABMN，线段MN上是否存在定点E，使得4EMENAB恒成立？若存在，请求出E的坐

24、标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)24yx(2)存在，且坐标为4,0【解析】【分析】（1）由P到点F的距离比它到y轴的距离大1，结合抛物线定义可得12p，从而可得结果；（2）设22121221,44yyMyNyyy，结 合OMON，可 得 直 线124:4MNyxyy，直 线1AByk x：，与C联立，利用弦长公式求得12221114 1AByykk若点E存在，设点E坐标 为00,xy，可 得200241116yEMENykk，4EMENAB时，20041616yyk，从而可得结果.【详解】（1）因为P到点F的距离比它到y轴的距离大1，由题意和抛物线定义，12p，所以抛物线C的方程为24

25、yx，（2）由题意，0MNk，设22121221,44yyMyNyyy由OMON，得1216y y，直线124:MNkyy，2111244yyyxyy整理可得1244yxyy，直线:AB若斜率存在，设斜率为,1k yk x，与C联立得2440kyyk，12221114 1AByykk，若点E存在，设点E坐标为00,xy，0120221111EMENyyyykk2120120211y yyyyyk200241116yykk，4EMENAB时，20041616yyk，解得00y或04yk（不是定点，舍去）则点E为4,0经检验，此点满足24yx，所以在线段MN上，若斜率不存在，则4,?4?416AB

26、EM EN，此时点4,0E满足题意，综合上述，定点E为4,0.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.20.椭圆222210 xyEabab：的离心率是53，过点 P（0，1）做斜率为k 的直线 l，椭圆 E与直线 l交于 A，B两点，当直线l 垂直于 y 轴时3 3AB（1）求椭圆E的方程；（2）当 k 变化时，在x

27、轴上是否存在点M（m，0），使得 AMB是以 AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由【答案】()22194xy；()见解析【解析】【分析】（）由椭圆的离心率为53得到2249ba，于是椭圆方程为2222149xyaa有根据题意得到椭圆过点3 3,12，将坐标代入方程后求得29a，进而可得椭圆的方程（）假设存在点,0M m，使得AMB是以AB为底的等腰三角形，则点M为线段 AB的垂直平分线与x 轴的交点由题意得设出直线AB的方程，借助二次方程的知识求得线段AB的中点C的坐标，进而得到线段AB的垂直平分线的方程，在求出点M的坐标后根据基本不等式可求出m的取值范围【详解】（）

28、因为椭圆的离心率为53，所以22513cbaa，整理得2249ba故椭圆的方程为2222149xyaa由已知得椭圆过点3 3,12，所以22927144aa，解得29a，所以椭圆的E方程为22194xy（）由题意得直线l的方程为1ykx由221194ykxxy消去y整理得224918270kxkx，其中2221849()427()432(31)0kkk设1122,A x yB xy，AB中点00,C xy则1212221827,4949kxxx xkk，所以12029249xxkxk，0024149ykxk，点 C的坐标为2294,4949kCkk假设在x轴存在点,0Mm，使得AMB是以AB为

29、底的等腰三角形，则点,0M m为线段AB的垂直平分线与x 轴的交点当0k时，则过点C且与l垂直的直线方程221944949kyxkkk，令0y，则得2554499kxmkkk若0k，则5554124929kkkk，5012m若0k，则555441299kkkk，5012m当0k时，则有0m综上可得551212m所以存在点M满足条件,且m的取值范围是55,12 12.【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函

30、数的单调性求解由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解21.设抛物线的方程为22ypx，其中常数0p，F是抛物线的焦点.（1）若直线3x被抛物线所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线上的动点，求|PAPF的最大值；（3）设2p，1l、2l是两条互相垂直，且均经过点F的直线，1l与抛物线交于点A、B，2l与抛物线交于点C、D，若点G满足4FGFAFBFCFD，求点G的轨迹方程.【答案】（1）32p；（2）2；（3）23yx.【解析】【分析】（1）当3x时，代入抛物线方程，求得y，可得弦长，解方程可得p

31、；（2）求得A的坐标，设出过A的直线为()2pyk x，tank，联立抛物线方程，若要使|PAPF取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（3）求得(1,0)F，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，3(C x，3)y，4(D x，4)y，()G x y,，设1:(1)lyk x，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1 的条件，结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程【详解】（1）由3x可得6yp，可得 2 66p，解得32p；（2）A是点(2pF，0)关于顶点O的对称点，可得(2pA，0)，设过A的直线为()2pyk x，tank，

32、联立抛物线方程可得22222(2)04k pk xk pp x，由直线和抛物线相切可得2242(2)0k ppk p，解得1k，可取1k，可得切线的倾斜角为45，由抛物线的定义可得|11|sin(90)cosPAPF，而的最小值为45，|PAPF的最大值为2；（3）由24yx，可得(1,0)F，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，3(C x，3)y，4(D x，4)y，()G x y,，设1:(1)lyk x，联立抛物线24yx，可得2222(24)0k xkxk，即有12242xxk，12124()2yyk xxkk，由两直线垂直的条件，可将k换为1k，可得23424xxk，344yy

33、k，点G满足4FGFAFBFCFD，可得 4(x，1234)(4yxxxx，1234)yyyy，即为2123424444xxxxxkk，1234444yyyyykk，联立式消元可得222211()22ykkxkk，则G的轨迹方程为22yx【点睛】本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题22.已知函数22112ln1ln242fxxxaxxx.（1）讨论fx的单调性.（2）试问是否存在,ae，使得13sin44afx对1,x恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)

34、存在；a的取值范围为2,e.【解析】【分析】（1）lnlnln1fxxxaxaxxax，0,x，所以0fx得12,xa xe，所以通过对a与0,e的大小关系进行分类讨论得fx的单调性；(2)假设存在满足题意的a的值，由题意需min13sin44afx，所以由(1)的单调性求minfx即可；又因为13sin44afx对1,x恒成立，所以可以考虑从区间1,内任取一个x值代入，解出a的取值范围，从而将,ae的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）lnlnln1fxxxaxaxxax，0,x.当ae时，ln10fxxex，fx在0,上单调递增当0a时，0 xa，fx在0,e上单调递减，在,e上单调递增当

35、0ae时，fx在,a e上单调递减，在0,a，,e上单调递增；当ae时，fx在,e a上单调递减，在0,e，,a上单调递增.（2）假设存,ae，使得13sin44afx对1,x恒成立.则31123sin444afa，即8sin1504aa，设8sin154xg xx，则存在,xe，使得0g x，因为8cos044xgx，所以g x在,xe上单调递增，因为20g，所以0g x时2x即2a.又因为13sin44afx对1,x恒成立时，需min13sin44afx，所以由（1）得：当ae时，fx在1,上单调递增，所以min331=2=244fxfae，且3123sin444ee成立，从而ae满足题意

36、.当2ea时，fx在,a e上单调递减，在1,a，,e上单调递增，所以2113sin,4413sin,444afeafeea所以22,4sin1204aaeae（*）设24sin1242xh xexexe，4cos044xhxe，则h x在2,e上单调递增，因为228130he e，所以h x的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为2,，所以2xe即2ea.综上，存在,ae，使得13sin44afx对1,x恒成立，且a的取值范围为2,e.【点睛】求可导函数fx的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）求fx；（3）讨论fx的零点是否存在；若fx的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断fx在每个区间内的正负号，得fx的单调区间.当fxa在区间D上恒成立时，需minfxa.