初中数学竞赛辅导资料(20200816145058).pdf

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1、28初中数学竞赛辅导资料用交集解题甲内容提要1 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如 6 的正约数集合记作6 的正约数1，2，3，6，它有 4个元素 1，2，3，6；除以 3 余 1 的正整数集合是个无限集，记作除以3 余 1 的正整数1，4，7，10，它的个元素有无数多个。2 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如 6 的正约数集合A1，2，3，6，10 的正约数集合B 1，2，5，10，6 与 10 的公约数集合C1，2，集合 C 是集合 A 和集合 B的交集。3 几个集合的交集可用图形形象地表示，右图中左边的椭圆表示正数集合，右边

2、的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆的公共部分，是它们的交集正整数集。不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。例如不等式组)2(2)1(62xx解的集合就是不等式（1）的解集x3 和不等式（2）的解集x2 的交集，x3.如数轴所示：0234一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例 2）乙例题例 1.一个自然数除以3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个自然数的最小值。解：除以3

3、 余 2 的自然数集合A 2，5，8，11，14，17，20，23，26，除以 5 余 3 的自然数集B 3，8，13，18，23，28，除以 7 余 2 自然数集合C 2，9，16，23，30，集合 A、B、C 的公共元素的最小值23 就是所求的自然数。例 2.有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。整数集正数集正整数集29解：二位的质数共21 个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是1，3，7，9；其中差等于6 的有：1 和 7；3 和 9；13 和 7，三组；平方数的个位数字相同的只有3 和 7；1 和 9 二组。同时符合

4、三个条件的个位数字是3 和 7 这一组故所求质数是：23，17；43，37；53，47；73，67 共四组。例 3.数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28 人，订阅B 种刊物的有21 人，其中 6 人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A 种、只订 B 种的各几人？数学兴趣小组共有几人？解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A、B 两种都订的人数集合）。只订 A 种刊物的人数是28622 人；只订 B 刊物的人数是21 615 人；小组总人数是221561 44 人。设 N，N（A），N（B），N（AB），N分别表示总人数，订A 种、B 种

5、、AB 两种、都不订的人数，则得公式一 NN+N（A）+N（B）N（AB）。例 4.在 40 名同学中调查，会玩乒乓球的有24 人，篮球有18 人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6 人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1 人，问：有多少人只会打乒乓球同时会打篮球和排球只会打排球？解：仿公式一,得公式二：NN+N（A）+N（B）+N(C)N（AB）N（AC）N(BC)+N(ABC)只会打乒乓球的是2464 115（人）求 N（BC）可用公式二：40241810 64N（BC）1N（BC）3，即同时会打篮球和排球的是3 人只会打排球的是10316（人）例 5.十进制中，六位数

6、8719xy能被 33 整除，求x 和 y 的值解：0 x，y9，0 x+y 18，9xy9，x+yx y33311，19x+y+8 7 的和是 3 的倍数，故x+y=2,5,8,11,14,17(1+x+8)(9+y+7)是 11 的倍数，故 xy=4，7x+y 和 x y 是同奇数或同偶数，它们的交集是下列四个方程组的解：A BB 21A 28只B15只A2263048yxyx414yxyx711yxyx717yxyx解得62yx95yx29yx512yx（x=12 不合题意舍去）答：x=2,y=6 或 x=5,y=9 或 x=9,y=2丙练习 121 负数集合与分数集合的交集是2 等腰直

7、角三角形集合是三角形集合与三角形集合的交集。3 12 的正约数集合A，30 的正约数集合B12 和 30 的公约数集合C，集合 C 是集合 A 和集合 B 的4 解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：563xx052xx22131xx0202xx5 某数除以3 余 1，除以 5 余 1，除以 7 余 2，求某数的最小值。6 九张纸各写着1 到 9 中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是 3，问剩下的一张是多少？7 求符合如下三条件的两位数：能被3 整除它的平方、立方的个位数都不变两个数位上的数字积的个位数与原

8、两位数的个位数字相同。8 据 30 名学生统计，会打篮球的有22 人，其中 5 人还会打排球；有2 人两种球都不会打。那么会打排球有几人？只会打排球是几人？9 100 名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A 和 B 进行表决，赞成A 的有 52 票，赞成B 的有 60 票，其中A、B 都赞成的有36 人，问对A、B 都不赞成的有几人？10.数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24 人，物理 18 人，化学 10 人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5 人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有 2 人三科都参加呢？）11.053yxyx12.十进制中，六位数2851xy能被 21 整除，求x,y 的值（仿例5）