2019-2020学年北京市首都师大附中育新学校中学部八年级下学期期末数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年八年级第二学期期末数学试卷一、选择题（共10 小题）.1下列各点中，在直线y3x 上的点是（）A（1，3）B（3，1）C（1，3）D（2，5）2下列各式中，化简后能与合并的是（）ABCD3以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A3，4，5B5，12，13C6，7，8D1，4已知一次函数ykx+b 的图象如图所示，则关于x 的不等式kx+b0 的解集是（）Ax0Bx0Cx2Dx25如图，公路AC，BC 互相垂直，公路AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得AB 的长为2.4km，则 M，C 两点间的距离为（）A0.6kmB1.2kmC1.5kmD2.4km6下

2、表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（分）92959592方差3.63.67.48.1要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（）A甲B乙C丙D丁7下列函数的图象不经过第二象限，且y 随 x 的增大而增大的是（）Ay 2xByx+2Cy x+2Dy2x18如图，两把完全一样的直尺叠放在起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：这个四边形可能是正方形 这个四边形一定是菱形 这个四边形不可能是矩形 这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）ABCD9如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形 ABCD 的顶点 D 在 x 轴上，边

3、BC 在 y 轴上，若点 A 的坐标为（12，13），则点 C 的坐标是（）A（0，5）B（0，6）C（0，7）D（0，8）10如图，矩形ABCD 中，E，F 分别是线段BC，AD 的中点，AB2，AD4，动点 P 沿EC，CD，DF 的路线由点E 运动到点F，则 PAB 的面积 s 是动点 P 运动的路径总长x的函数，这个函数的大致图象可能是（）ABCD二、填空题11函数 y中自变量x 的取值范围是12如图，在ABC 中，点 D、E 分別是 AB，AC 的中点，若BC6，则 DE13若 A（2，y1），B（3，y2）是一次函数y2x3 的图象上的两个点，则y1与 y2的大小关系是y1y2（填

4、“”，“”或“”）14如图，在数轴上点A 表示的实数是15如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l1，l2分别是函数y k1x+b1和 yk2x+b2的图象，则可以估计关于x 的不等式k1x+b1k2x+b2的解集为16如图，点A，B，E 在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG 的边长分别为3，4，H 为线段 DF 的中点，则BH 17若函数，则当函数值y8 时，自变量x 的值等于18下面是“利用直角三角形作矩形”尺规作图的过程已知：如图1，在 RtABC 中，ABC 90求作：矩形ABCD 小明的作法如下：做法：如图2，（1）分别以点A、C 为圆心，大于AC 同样长为半径作弧，两弧交于点E

5、、F；（2）作直线 EF，直线 EF 交 AC 于点 O；（3）作射线 BO，在 BO 上截取 OD，使得 ODOB；（4）连接 AD，CD四边形ABCD 就是所求作的矩形老师说，“小明的作法正确”请回答，小明作图的依据是：三、解答题（19、20 每题 5 分，21、22 每题 6 分，23、24 每题 7 分，25 题 8 分，共 44 分）19已知 a+1，求代数式a22a+7 的值20已知：如图，在?ABCD 中，点 E 在 AB 上，点 F 在 CD 上，且 DEBF 求证：BEDF 21如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的表达式为y2x 6，点 A，B 的坐标分别为（1，0）

6、，（0，2），直线AB 与直线 l 相交于点P（1）求直线 AB 的表达式；（2）求点 P 的坐标；（3）若直线 l 上存在一点C，使得 APC 的面积是 APO 的面积的2 倍，直接写出点C的坐标22已知：如图，在矩形ABCD 中，AB3，BC4将 BCD 沿对角线BD 翻折得到BED，BE 交 AD 于点 O（1）判断 BOD 的形状，并证明；（2）直接写出线段OD 的长23甲、乙两校的学生人数基本相同，为了解这两所学校学生的数学学业水平，在同一次测试中，从两校各随机抽取了30 名学生的测试成绩进行调查分析，其中甲校已经绘制好了条形统计图，乙校只完成了一部分甲校93 82 76 77 76

7、 89 89 89 83 87 88 89 84 92 87 89 79 54 88 92 90 87 68 76 94 84 76 69 83 92乙校84 63 90 89 71 92 87 92 85 61 79 91 84 92 92 73 76 92 84 57 87 89 88 94 83 85 80 94 72 90（1）请根据乙校的数据补全条形统计图；（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示，请补全表格；平均数中位数众数甲校83.48789乙校83.2（3）两所学校的同学都想依据抽样的数据说明自己学校学生的数学学业水平更好一些，请为他们各写出一条可以使用的理由；甲校：

8、乙校：（4）综合来看，可以推断出校学生的数学学业水平更好一些，理由为24如图，在菱形ABCD 中，CEAB 交 AB 延长线于点E，点 F 为点 B 关于 CE 的对称点，连接CF，分别延长DC，CF 至点 G，H，使 FH CG，连接 AG，DH 交于点 P（1）依题意补全图1；（2）猜想 AG 和 DH 的数量关系并证明；（3）若 DAB 70，是否存在点G，使得 ADP 为等边三角形？若存在，求出CG的长；若不存在，说明理由25对于平面直角坐标系xOy 中的点 P 和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形当原点正方形上存在点Q，满

9、足 PQ1 时，称点P 为原点正方形的友好点（1）当原点正方形边长为4 时，在点 P1（0，0），P2（1，1），P3（3，2）中，原点正方形的友好点是；点 P 在直线 yx 的图象上，若点P 为原点正方形的友好点，求点P 横坐标的取值范围；（2）一次函数y x+2 的图象分别与x 轴，y 轴交于点A，B，若线段AB 上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长a 的取值范围参考答案一、选择题（每小题3 分，共 30 分）1下列各点中，在直线y3x 上的点是（）A（1，3）B（3，1）C（1，3）D（2，5）【分析】分别代入x1，x2，x 3 求出与之对应的y 值，对比四个选项后即可得出结

10、论解：A、当 x1 时，y3x3，点（1，3）在直线y3x 上，点（1，3）不在直线y3x 上，选项A 符合题意，选项 C 不符合题意；B、当 x3 时，y3x9，点（3，1）不在直线y3x 上，选项B 不符合题意；D、当 x2 时，y3x6，点（2，5）不在直线y3x 上，选项D 不符合题意故选：A2下列各式中，化简后能与合并的是（）ABCD【分析】先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可解：A、2，不能与合并；B、2，能与合并；C、，不能与合并；D、，不能与合并；故选：B3以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A3，4，5B5，12，13C6，7，8D1，【分析】由勾股

11、定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可解：A、32+4252，故是直角三角形，故此选项不符合题意；B、52+122132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；C、62+7282，故是不直角三角形，故此选项符合题意；D、12+（）2（）2，故是直角三角形，故此选项不符合题意故选：C4已知一次函数ykx+b 的图象如图所示，则关于x 的不等式kx+b0 的解集是（）Ax0Bx0Cx2Dx2【分析】一次函数的ykx+b 图象经过点（2，0），由函数表达式可得，kx+b0 其实就是一次函数的函数值y0，结合图象可以看出答案解：由图可知：当 x2 时，y0，即 kx+b0；故关于 x

12、的不等式kx+b0 的解集为x2故选：C5如图，公路AC，BC 互相垂直，公路AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得AB 的长为2.4km，则 M，C 两点间的距离为（）A0.6kmB1.2kmC1.5kmD2.4km【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM AB，代入求出即可解：ACBC，ACB 90，M 为 AB 的中点，CMAB，AB 2.4km，CM1.2km，故选：B6下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（分）92959592方差3.63.67.48.1要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（）A甲B乙C丙D丁

13、【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛解：3.67.48.1，甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定，9592，乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高，要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙故选：B7下列函数的图象不经过第二象限，且y 随 x 的增大而增大的是（）Ay 2xByx+2Cy x+2Dy2x1【分析】鼓励用正比例函数的性质和一次函数的性质进行分析即可解：A、y 2x 的图象经过第二、四象限，y 随 x 的增大而

14、减小，故此选项不合题意；B、yx+2 的图象经过第一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大，故此选项不合题意；C、yx+2 的图象经过第一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小，故此选项不合题意；D、y2x1 的图象经过第一、三、四象限，y 随 x 的增大而增大，故此选项符合题意；故选：D8如图，两把完全一样的直尺叠放在起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：这个四边形可能是正方形 这个四边形一定是菱形 这个四边形不可能是矩形 这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）ABCD【分析】由条件可知ABCD，AD BC，再证明ABBC 即可解决问题解：过点D 作 DE AB 于 E，

15、DF BC 于 F两张长方形纸条的宽度相等，DE DF，又平行四边形ABCD 的面积 AB?DEBC?DF，AB BC，平行四边形ABCD 为菱形当 DAB 90时，这个四边形是正方形，这个四边形一定是轴对称图形，故选：C9如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形 ABCD 的顶点 D 在 x 轴上，边 BC 在 y 轴上，若点 A 的坐标为（12，13），则点 C 的坐标是（）A（0，5）B（0，6）C（0，7）D（0，8）【分析】在Rt ODC 中，利用勾股定理求出OC 即可解决问题；解：A（12，13），OD12，AD 13，四边形ABCD 是菱形，CDAD13，在 Rt ODC 中，OC

16、5，C（0，5）故选：A10如图，矩形ABCD 中，E，F 分别是线段BC，AD 的中点，AB2，AD4，动点 P 沿EC，CD，DF 的路线由点E 运动到点F，则 PAB 的面积 s 是动点 P 运动的路径总长x的函数，这个函数的大致图象可能是（）ABCD【分析】根据题意分析PAB 的面积的变化趋势即可解：根据题意当点P 由 E 向 C 运动时，PAB 的面积匀速增加，当P 由 C 向 D 时，PAB 的面积保持不变，当P 由 D 向 F 运动时，PAB 的面积匀速减小但不为0故选：C二、填空题11函数 y中自变量x 的取值范围是x2【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解

17、解：依题意，得x2 0，解得：x2，故答案为：x212如图，在ABC 中，点 D、E 分別是 AB，AC 的中点，若BC6，则 DE3【分析】根据三角形中位线定理解答解：点D、E 分別是 AB，AC 的中点，DE BC63，故答案为：313若 A（2，y1），B（3，y2）是一次函数y2x3 的图象上的两个点，则y1与 y2的大小关系是y1y2（填“”，“”或“”）【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质解决问题亦可）解：当 x2 时，y1223 1；当 x3 时，y223 3313，y1y2故答案为：14如图，在数轴上点A 表示的实数

18、是【分析】根据勾股定理，可得圆的半径，根据圆的性质，可得答案解：如图，由勾股定理，得OB，由圆的性质，得OA OB，点 A 表示的实数是，故答案为：15如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l1，l2分别是函数y k1x+b1和 yk2x+b2的图象，则可以估计关于x 的不等式k1x+b1k2x+b2的解集为x 2【分析】观察函数图象得到当x 2 时，直线yk1x+b1在直线yk2x+b2的上方，于是可得到不等式k1x+b1k2x+b2的解集解：当 x 2 时，k1x+b1k2x+b2，所以不等式k1x+b1k2x+b2的解集为x 2故答案为x 216如图，点A，B，E 在同一条直线上，正方形

19、ABCD，BEFG 的边长分别为3，4，H 为线段 DF 的中点，则BH【分析】作辅助线，连接BD，BF，可得三角形DBF 为直角三角形，求出DF，根据直角三角形斜边中线可得结论解：连接BD、BF，四边形ABCD，BEFG 是正方形，且边长分别为3 和 4，DBC GBF 45，BD3，BF4，DBF 90，由勾股定理得：DF 5，H 为线段 DF 的中点，BH DF 故答案为：17若函数，则当函数值y8 时，自变量x 的值等于4 或【分析】因为不知道x 的取值范围，所以需要讨论，x2，x2，从而在两种情况下分别求出符合条件的x 的值解：当 x 2 时，x2+28，解得：x；当 x2 时，2x

20、8，解得：x4故答案为：4 或18下面是“利用直角三角形作矩形”尺规作图的过程已知：如图1，在 RtABC 中，ABC 90求作：矩形ABCD 小明的作法如下：做法：如图2，（1）分别以点A、C 为圆心，大于AC 同样长为半径作弧，两弧交于点E、F；（2）作直线 EF，直线 EF 交 AC 于点 O；（3）作射线 BO，在 BO 上截取 OD，使得 ODOB；（4）连接 AD，CD四边形ABCD 就是所求作的矩形老师说，“小明的作法正确”请回答，小明作图的依据是：到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90的平行四边形为矩形【分析】先

21、利用作法判定OAOC，ODOB，则根据平行四边形的判定方法判断四边形 ABCD 为平行四边形，然后根据矩形的判定方法判断四边形ABCD 为矩形解：由作法得EF 垂直平分AC，则 OAOC，而 ODOB，所以四边形ABCD 为平行四边形，而 ABC 90，所以四边形ABCD 为矩形故答案为：到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90的平行四边形为矩形三、解答题（19、20 每题 5 分，21、22 每题 6 分，23、24 每题 7 分，25 题 8 分，共 44 分）19已知 a+1，求代数式a22a+7 的值【分析】将a 的值代入

22、a22a+7（a1）2+6 计算可得解：a22a+7（a 1）2+6，当时，原式（+11）2+65+61120已知：如图，在?ABCD 中，点 E 在 AB 上，点 F 在 CD 上，且 DEBF 求证：BEDF【分析】根据平行四边形的性质和判定，可以得到四边形DEBF 是平行四边形，然后即可得到 BEDF【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形，DCBA，DF BE，又 DE BF，四边形DEBF 是平行四边形，BE DF 21如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的表达式为y2x 6，点 A，B 的坐标分别为（1，0），（0，2），直线AB 与直线 l 相交于点P（1）求直线 AB

23、的表达式；（2）求点 P 的坐标；（3）若直线 l 上存在一点C，使得 APC 的面积是 APO 的面积的2 倍，直接写出点C的坐标【分析】（1）利用待定系数法即可得到直线AB 的表达式；（2）通过解方程组即可得到点P 的坐标；（3）设点 C 的坐标为（x，2x6），依据 APC 的面积是 APO 的面积的2 倍，即可得出 x1 或 3，进而得到C（3，0）或（1，4）解：（1）设直线AB 的表达式为ykx+b由点 A，B 的坐标分别为（1，0），（0，2），可知，解得，所以直线AB 的表达式为y 2x+2（2）由题意，得，解得，所以点 P 的坐标为（2，2）（3）直线 l 的表达式为y 2x

24、6，令 y0，则 x 3，直线 l 与 x 轴交于（3，0），设点 C 的坐标为（x，2x6），APC 的面积是 APO 的面积的2 倍，（31）|2x6（2）|2 12，解得 x1 或 3，C（3，0）或（1，4）22已知：如图，在矩形ABCD 中，AB3，BC4将 BCD 沿对角线BD 翻折得到BED，BE 交 AD 于点 O（1）判断 BOD 的形状，并证明；（2）直接写出线段OD 的长【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质可得结论；（2）设 ODx，则 AO4 x，BOODx，根据勾股定理列方程可得结论【解答】（本小题满分5 分）解：（1）BOD为等腰三角形，证明如下：（1 分）矩形

25、 ABCD，AD BC ADB DBC又 BCD 沿对角线BD 翻折得到 BED，OBD DBC OBD ADB OBODBOD为等腰三角形（2）设 ODx，则 AO4 x，BOODx，由勾股定理得：OB2AB2+AO2，x232+（4 x）2，x，OD23甲、乙两校的学生人数基本相同，为了解这两所学校学生的数学学业水平，在同一次测试中，从两校各随机抽取了30 名学生的测试成绩进行调查分析，其中甲校已经绘制好了条形统计图，乙校只完成了一部分甲校93 82 76 77 76 89 89 89 83 87 88 89 84 92 87 89 79 54 88 92 90 87 68 76 94 8

26、4 76 69 83 92乙校84 63 90 89 71 92 87 92 85 61 79 91 84 92 92 73 76 92 84 57 87 89 88 94 83 85 80 94 72 90（1）请根据乙校的数据补全条形统计图；（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示，请补全表格；平均数中位数众数甲校83.48789乙校83.28692（3）两所学校的同学都想依据抽样的数据说明自己学校学生的数学学业水平更好一些，请为他们各写出一条可以使用的理由；甲校：我们学校的平均分高于乙校，所以我们学校的成绩好乙校：我们学校的众数高于甲校，所以我们学校的成绩好（4）综合来看，可以

27、推断出甲校学生的数学学业水平更好一些，理由为甲校学生的数学学业水平更好一些，理由：甲校的平均分高于乙校，说明总成绩甲校好于乙校，中位数甲校高于乙校，说明甲校一半以上的学生成绩较好【分析】（1）根据表格中的数据可以得到乙校，7079 的和 6069 的各有多少人，从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据表格中的数据将乙校的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数和众数；（3）答案不唯一，理由需包含数据提供的信息；（4）答案不唯一，理由需支撑推断结论解：（1）由表格可得，乙校，7079的有5人，6069的有2人，补全条形统计图，如下图（2）由条形统计图可得，乙校数据按照从小到大排列是：57、

28、61、63、71、72、73、76、79、80、83、84、84、84、85、85、87、87、88、89、89、90、90、91、92、92、92、92、92、94、94、这组数据的中位数是：86，众数是92，故答案为：86、92；（3）甲校：我们学校的平均分高于乙校，所以我们学校的成绩好；乙校：我们学校的众数高于甲校，所以我们学校的成绩好；故答案为：我们学校的平均分高于乙校，所以我们学校的成绩好；我们学校的众数高于甲校，所以我们学校的成绩好；（4）综合来看，甲校学生的数学学业水平更好一些，理由：甲校的平均分高于乙校，说明总成绩甲校好于乙校，中位数甲校高于乙校，说明甲校一半以上的学生成绩较好

29、故答案为：甲、甲校学生的数学学业水平更好一些，理由：甲校的平均分高于乙校，说明总成绩甲校好于乙校，中位数甲校高于乙校，说明甲校一半以上的学生成绩较好24如图，在菱形ABCD 中，CEAB 交 AB 延长线于点E，点 F 为点 B 关于 CE 的对称点，连接CF，分别延长DC，CF 至点 G，H，使 FH CG，连接 AG，DH 交于点 P（1）依题意补全图1；（2）猜想 AG 和 DH 的数量关系并证明；（3）若 DAB 70，是否存在点G，使得 ADP 为等边三角形？若存在，求出CG的长；若不存在，说明理由【分析】（1）根据题意补全图形；（2）AGDH 根据全等三角形：ADG DCH（SAS

30、）的对应边相等证得：AGDH（3）不存在由（2）可知，DAG CDH，G GAB，根据 ADP 的一内角大于 60，即 DPA PDG+G DAG+GAB70 60，推知 ADP 不可能是等边三角形【解答】J 解：（1）补全的图形，如图所示（2）AGDH 证明：四边形ABCD 是菱形，AD CDCB，ABDC，ADC ABC 点 F 为点 B 关于 CE 的对称点，CE 垂直平分BFCB CF，CBF CFB CDCF又 FH CG，DGCH ABC+CBF 180，DCF+CFB 180，ADC DCF ADG DCH（SAS），AGDH（3）不存在理由如下：由（2）可知，DAG CDH，G

31、 GAB，DPA PDG+G DAG+GAB 70 60 ADP 不可能是等边三角形25对于平面直角坐标系xOy 中的点 P 和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形当原点正方形上存在点Q，满足 PQ1 时，称点P 为原点正方形的友好点（1）当原点正方形边长为4 时，在点P1（0，0），P2（1，1），P3（3，2）中，原点正方形的友好点是P?和 P?；点 P 在直线 yx 的图象上，若点P 为原点正方形的友好点，求点P 横坐标的取值范围；（2）一次函数y x+2 的图象分别与x 轴，y 轴交于点A，B，若线段AB 上存在原点正方形的友

32、好点，直接写出原点正方形边长a 的取值范围【分析】（1）由已知结合图象，找到点P 所在的区域；（2）分别求出点A 与 B 的坐标，由线段AB 的位置，通过做圆确定正方形的位置解：（1）原点正方形边长为4，当 P1（0，0）时，正方形上与P1的最小距离是2，故不存在Q 使 P1Q1；当 P2（1，1）时，存在Q（2，1），使 P2Q1；当 P3（3，2）时，存在Q（2，2），使 P3Q1；故答案为P?、P?；如图所示：阴影部分就是原点正方形友好点P 的范围，由计算可得，点P 横坐标的取值范围是：1 x2+或 2x 1；（2）一次函数y x+2 的图象分别与x 轴，y 轴交于点A，B，A（0，2），B（2，0），线段 AB 上存在原点正方形的友好点，如图所示：原点正方形边长a 的取值范围2 a6