2019-2020学年上海市交大附中高二下学期期中数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年上海市交大附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（共12 小题）.1若 P l，P，Q l，Q?，则直线l 与平面 有个公共点；2给出下列命题：三条平行直线最多可以确定三个平面；任意三点确定一个平面；不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行其中，说法正确的有（填序号）3若异面直线a，b所成的角为70，则过空间上任一点P 可做不同的直线与a，b 所成的角都是 55，可做直线有条4平行六面体ABCD A1B1C1D1中，已知底面四边形为正方形，且 A1AB A1AD=?3，其中，设|AB|AD|1，|AA1

2、|c，体对角线|A1C|2，则 c 的值是5如图，在三棱锥ABCD 中，底面是边长为2 的正三角形，AB ACAD 4，且 E，F分别是 BC，AD 中点，则异面直线AE 与 CF 所成角的余弦值为6在棱长为2 的正方体ABCD A1B1C1D1中，E 是正方形BB1C1C 的中心，M 为 C1D1的中点，过A1M 的平面 与直线 DE 垂直，则平面截正方体ABCD A1B1C1D1所得的截面面积为7如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点 P 在线段 A1C 上运动，异面直线BP 与 AD1所成的角为，则 的最小值为8如右图所示的几何体ABCDEF中，ABCD 是平行四边形且AECF，

3、六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是9直线 l 在平面 上，直线m 平行于平面，并与直线l 异面，动点P 在平面 上，且到直线 l、m 距离相等，则点 P 的轨迹为（如：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线）10如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1棱长为 4，点 H 在棱 AA1上，且 HA1 1，在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形 EFGC1，P是侧面 BCC1B1内一动点，且点 P到平面 CDD1C1距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，|HP|2的范围是11在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCACa，AA1b，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且a+b2，则该球的表

4、面积的最小值为12已知异面直线a，b 所成角为60，直线AB 与 a，b 均垂直，且垂足分别是点A，B若动点 P a，Q b，|PA|+|QB|m，则线段 PQ 中点 M 的轨迹围成的区域的面积是二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，满分20 分）13下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，则能得出AB平面 MNP 的图形个数是（）A1 个B2 个C3 个D4 个14如图，两正方形ABCD，CDFE 所在的平面垂直，将EFC 沿着直线FC 旋转一周，则直线 EC 与 AC 所成角的取值范围是（）A?12，5?12B?12，7?12C?12，?2D?

5、6，?215如图，N、S 是球 O 直径的两个端点，圆C1是经过 N 和 S 点的大圆，圆C2和圆 C3分别是所在平面与NS 垂直的大圆和小圆，圆 C1和 C2交于点 A、B，圆 C1和 C3交于点 C、D，设 a、b、c 分别表示圆C1上劣弧 CND 的弧长、圆C2上半圆弧AB 的弧长、圆C3上半圆弧 CD 的弧长，则a、b、c 的大小关系为（）AbacBbcaCbacDbc a16三条直线两两异面，有几条直线同时与这三条直线相交？（）A一条B两条C无数条D没有三、解答题（本大题共5 题，满分76 分，12+14+16+16+18 76）17 现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，

6、高是 b；2 号容器的底面边长是b，高是 a；3 号容器的底面边长是a，高是 a；4 号容器的底面边长是b，高是 b假设 ab，问是否存在一种必胜的4 选 2 的方案（与a、b 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由18如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，ABAA1=12BC2，P，Q 分别为 B1C1与 BB1中点（1）经过 P，Q 作平面 ，平面 与长方体ABCD A1B1C1D1六个表面所截的截面可能是 n 边形，请根据n 的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型，例如 n3 只需要画一种，下面给

7、了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；（2）若 R 为直线 AD 上的一点，且AR2，求过 PQR 截面图形的周长；19（16 分）如图，圆锥的顶点是S，底面中心为OOC 是与底面直径AB 垂直的一条半径，D 是母线 SC 的中点（1）求证：BC 与 SA 不可能垂直；（2）设圆锥的高为4，异面直线AD 与 BC 所成角的余弦值为 26，求圆锥的体积20（16 分）如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，BCD 135，侧面 PAB底面 ABCD，BAP90，ABACPA 6，E，F 分别为 BC，AD 的中点，点 M 在线段 PD 上（）求证：EF平面

8、PAC；（）若M 为 PD 的中点，求证：ME 平面 PAB；（）当?=12时，求四棱锥MECDF 的体积21（18 分）已知梯形ABCD 中，AD BC，ABC BAD=?2，G 是 BC 的中点 ABBC 2AD4，E、F 分别是 AB、CD 上的动点，且 EFBC，设 AEx（0 x2），沿 EF 将梯形 ABCD 翻折，使使平面AEFD 平面 EBCF，如图（1）当 x2 时，求证：BD EG；（2）若以 B、C、D、F 为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求 f（x）的最大值；（3）当 f（x）取得最大值时，求二面角DBF C 的余弦值参考答案一、填空题（本大题共12 题，1-6 题每

9、题 4 分，7-12 题每题 5 分，满分 54 分）1若 P l，P，Q l，Q?，则直线l 与平面 有1个公共点；【分析】判断出直线和平面的位置关系为相交，得出结论解：根据题意，P，Q 点在直线l 上，P 是 l 与 的交点，Q 不在平面上，所以直线和平面相交，只有一个交点，故答案为：1【点评】考查直线和平面的位置关系，基础题2给出下列命题：三条平行直线最多可以确定三个平面；任意三点确定一个平面；不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行其中，说法正确的有（填序号）【分析】利用空间的基本定理和推论，以及面面平行的判断定理即可

10、判断出结果解：对于 ：当三条平行直线共面时，确定一个平面，当三条平行直线不共面时，可以确定三个平面，故 正确；对于 ：因为任意不共线的三点确定一个平面；故 错误；对于 ：因为垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故 正确；对于 ：因为一个平面内的两条相交直线都平行于另外一个平面，则这两个平面平行，故 错误，所以命题正确的是：，故答案为：【点评】本题主要考查了空间的基本定理和推论，命题的真假的判断，是中档题3若异面直线a，b所成的角为70，则过空间上任一点P 可做不同的直线与a，b 所成的角都是 55，可做直线有3条【分析】在空间取一点M，经过点 M 分别作 aa，b b，设直线 a、b确定平面

11、由异面直线所成角的定义，得 a、b 所成锐角等于70，经过 M 的直线 MP 的射影 MQ 在a、b所成锐角的平分线上时，存在两条直线与a，b所成的角都是55，当 MP 的射影MQ 在 a、b所成钝角的平分线上时，存在1 条直线与a，b所成的角都是55，由此可得本题答案解：在空间取一点M，经过点M 分别作 aa，bb，设直线 a、b确定平面，当直线 MP 满足它的射影MQ 在 a、b所成角的平分线上时，MP 与 a所成的角等于MP 与 b所成的角因为直线a，b 所成的角为70，得 a、b所成锐角等于70所以当 MP 的射影 MQ 在 a、b所成锐角的平分线上时，MP 与 a、b所成角的范围是3

12、5，90）这种情况下，过点M 有两条直线与a，b 所成的角都是55当 MP 的射影 MQ 在 a、b所成钝角的平分线上时，MP 与 a、b所成角的范围是55，90）这种情况下，过点M 有且只有一条直线（即MP?时）与 a，b 所成的角都是55综上所述，过空间任意一点M 可作与 a，b 所成的角都是55的直线有3 条故答案为：3【点评】本题给出两条直线所成角为70，求过空间任意一点M 可作与 a，b 所成的角都是 55的直线的条数着重考查了空间两条异面直线所成角及其求法等知识，属于中档题4平行六面体ABCD A1B1C1D1中，已知底面四边形为正方形，且 A1AB A1AD=?3，其中，设|AB

13、|AD|1，|AA1|c，体对角线|A1C|2，则 c 的值是1+?【分析】推导出?=?+?+?，从而?=（?+?+?）2c2+1+1+?2?3+?2?3=c2 2c+2，再由体对角线|A1C|2，能求出c 的值解：平行六面体ABCD A1B1C1D1中，底面四边形为正方形，且 A1AB A1AD=?3，其中，设|AB|AD|1，|AA1|c，?=?+?+?，?=（?+?+?）2=?+?+?+?+?+?c2+1+1+?2?3+?2?3c22c+2，体对角线|A1C|2，c22c+24，由 c0，解得 c1+?c 的值是 1+?故答案为：1+?【点评】本题考查线段长的求法，考查空间向量加法法则、

14、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题5如图，在三棱锥ABCD 中，底面是边长为2 的正三角形，AB ACAD 4，且 E，F分别是 BC，AD 中点，则异面直线AE 与 CF 所成角的余弦值为4 1015【分析】连结DE，到 DE 中点 P，连结 PF、PC，则 PFAE，从而 PFC 是异面直线AE 和 CF 所成角的余弦值，由此能求出异面直线AE 和 CF 所成角的余弦值解：因为三棱锥ABCD 中，底面是边长为2 的正三角形，ABACAD 4，所以三棱锥ABCD 为正三棱锥；连结 DE，取 DE 中点 P，连结 PF、PC，正三棱锥ABCD 的侧棱长都等于4，底面正三角形的边

15、长2，点 E、F 分别是棱BC、AD 的中点，PF AE，PFC 是异面直线AE 和 CF 所成角的余弦值，AE?-?=?，DE?-?=?，cosCAF=?2+?2-?22?=16+16-42 44=78，CF=?+?-?78=?PF=12?=152，PC=(32)?+?=72，cos PFC=154+6-7421526=41015异面直线AE 和 CF 所成角的余弦值为4 1015故答案为：4 1015【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题6在棱长为2 的正方体ABCD A1B1C1D1中

16、，E 是正方形BB1C1C 的中心，M 为 C1D1的中点，过A1M 的平面 与直线 DE 垂直，则平面截正方体ABCD A1B1C1D1所得的截面面积为2?【分析】由已知可得所找截面形状，进而得到答案解：如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，记 AB 的中点为N，连接 MC，CN，NA1，则平面 A1MCN 即为平面 证明如下：由正方体的性质可知，A1M NC，则 A1，M，C，N 四点共面，记 CC1的中点为F，连接 DF，易证 DF MC连接 EF，则 EF MC，所以 MC 平面 DEF，则 DE CM同理可证，DENC，NC MCC，则 DE 平面 A1MCN，所以平面面A1M

17、CN 即平面 ，且四边形面A1MCN 即平面 截正方体所得的截面因为正方体的棱长为2，易知四边形面A1MCN 是菱形，其对角线AC12?，MN 2?，所以其面积S=12 2?2?=2?故答案为：2?【点评】本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题以及截面的形状判断，是中档题7如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点 P 在线段 A1C 上运动，异面直线BP 与 AD1所成的角为，则 的最小值为?4【分析】当B 与 C 重合时，取最小值?4当 P 是 A1C 中点时，取最大值?2，当 B 与A1重合时，取?3由此能求出的最小值解：在正方体ABCD A1B1C1D1中，点 P 在线段

18、A1C 上运动，异面直线BP 与 AD1所成的角为，则当 B 与 C 重合时，取最小值?4当 P 是 A1C 中点时，取最大值?2，当 B 与 A1重合时，取?3则 的最小值为?4故答案为：?4.?4【点评】本题考查异面直线所成角的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题8如右图所示的几何体ABCDEF中，ABCD 是平行四边形且AECF，六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是39【分析】根据三棱锥的结构特征可得：每个三棱锥中有三对异面直线，因为六个点一共形成 C64213 个三棱锥（计算三棱锥的个数时应该做到不重不漏），所以得到答案为3（

19、C642）39解：由题意可得：因为题中共有六个点，所以一共形成C64213 个三棱锥，又因为每个三棱锥中有三对异面直线，所以异面直线的对数是3（C642）39故答案为：39【点评】本题把排列组合和立体几何挂起钩来，因此解决此类问题的关键是熟练掌握立体几何中一共几何体的结构特征，并且结合排列与组合的有关知识解决问题9直线 l 在平面 上，直线m 平行于平面，并与直线l 异面，动点P 在平面 上，且到直线 l、m 距离相等，则点P 的轨迹为双曲线（如：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线）【分析】作出直线m 在平面 内的射影直线n，假设 l 与 n 垂直，建立坐标系，求出P点轨迹即可得出答案解：设直线m

20、 在平面 的射影为直线n，则 l 与 n 相交，不妨设l 与 n 垂直，设直线 m 与平面 的距离为d，在平面内，以 l，n 为 x 轴，y 轴建立平面坐标系，则 P 到直线 l 的距离为|y|，P 到直线 n 的距离为|x|，P 到直线 m 的距离为|?|?+?，|y|=|?|?+?，即 y2x2d2，P 点的轨迹为双曲线故答案为：双曲线【点评】本题主要考查圆锥曲线在立体几何中的应用，属于中档题10如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1棱长为 4，点 H 在棱 AA1上，且 HA1 1，在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形 EFGC1，P是侧面 BCC1B1内一动点，且点 P到平面 C

21、DD1C1距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，|HP|2的范围是22，1134【分析】建立空间直角坐标系，过点H 作 HM BB，垂足为M，连接 MP，得出 HP2HM2+MP2，利用空间直角坐标系求出MP2的取值范围，则答案可求解：建立空间直角坐标系如图所示，过点 H 作 HM BB，垂足为M，连接 MP，则 HM PM，HP2HM2+MP2过 P 作 PNCC，垂足为N，设 P（x，4，z），则 F（1，4，3），M（4，4，3），N（0，4，z），且 0 x4，0 z4PN PF，(?-?)?+(?-?)?=x，化简得2x1（z3）2，则 2x1 0，即12?MP2（x4）2+（z

22、 3）2（x4）2+2x1x2 6x+15 6，494，此时 HP2 HM2+MP216+MP2 22，1134故答案为：22，1134【点评】本题考查空间直角坐标系的应用问题，考查数学转化思想方法，训练了利用二次函数求最值，属难题11在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCACa，AA1b，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且a+b2，则该球的表面积的最小值为16?7【分析】由底面为正三角形找到外接圆的圆心O，求出 AO的长度，又因为OO垂直于底面ABC，所以构造直角三角形OOA，则 AO 即为半径r，求出半径的平方的表达式，把a+b 2 代入，求出最值，利用球的表面积公式求出结果解：设

23、该球的半径为r，则 r2（?2）2+（23 32a）2=?24+?23=?24+13（2b）2=712（b-87）2+4747，当且仅当b=87，a=67时取等号，则该球的表面积的最小值为4 47=16?7，故答案为：16?7【点评】本题考查了球的组合体问题，考查了球的表面积计算公式，棱柱的性质，属于中档题12已知异面直线a，b 所成角为60，直线AB 与 a，b 均垂直，且垂足分别是点A，B若动点P a，Q b，|PA|+|QB|m，则线段PQ 中点M 的轨迹围成的区域的面积是 3?24【分析】作直线a，b 以及点 P、Q 在线段 AB 的中垂面上的投影，记为直线a，b认及点 P，Q，由线段

24、PQ的中点即为点M，这样把空间问题转化成平面问题解：设线段AB 的中垂面为，则 M 的轨迹在平面内，在平面内分别作直线a，b的投影 a，b，则两直线的夹角为60设 A，B 在平面 的投影为O，P，Q 在平面 内的投影分别为P，Q，则 M 为 PQ的中点，OP PA，OQ BQ|PA|+|QB|m，OP+OQ m在直线 a，b上分别取点E，F，G，H 四点，使得OEOF OG OH=?2OE+OHOP+OQ m，PEHQ 过 P作 PREH 交 OQ于 R，则 HRPEHQ，PQ的中点M 在 EH 上，同理可得M 在 EF，FG，GH 上，M 的轨迹为矩形EHGH EOH 60，OEOF OGO

25、H=?2，S矩形EFGH=12?2?2?+12?2?2?=3?24故答案为：3?24【点评】本题考查了点的轨迹的判断，解题时要认真审题，合理地化空间问题为平面问题，注意数形结合思想的合理运用，是中档题二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，满分20 分）13下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，则能得出AB平面 MNP 的图形个数是（）A1 个B2 个C3 个D4 个【分析】分别利用线面平行的判定定理，在平面 MNP 中能否寻找一条直线和AB 平行即可解：在（4）中 NP 平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行AB，所以 AB平面MNP；在（1

26、）中设过点B 且垂直于上底面的棱与上底面交点为C，则由 NPCB，MN AC 可知平面MNP 平行平面ABC，即 AB平面 MNP 故选：B【点评】本题主要考查线面平行的判定，利用线面平行的判定，只要直线AB 平行于平面 MNP 内的一条直线即可14如图，两正方形ABCD，CDFE 所在的平面垂直，将EFC 沿着直线FC 旋转一周，则直线 EC 与 AC 所成角的取值范围是（）A?12，5?12B?12，7?12C?12，?2D?6，?2【分析】如图所示，两正方形ABCD，CDFE 所在的平面垂直，将EFC 沿着直线FC旋转一周，可得：直线 EC 与 AC 所成角的最大值为ACE=?2 由于

27、ACF=?3 ECF=?4即可得出直线EC 与 AC 所成角的最小值解：如图所示，两正方形ABCD，CDFE 所在的平面垂直，将EFC 沿着直线FC 旋转一周，则直线 EC 与 AC 所成角的最大值为ACE=?2由于 ACF=?3 ECF=?4直线 EC 与 AC 所成角的最小值=?3-?4=?12直线 EC 与 AC 所成角的取值范围是?12，?2故选：C【点评】本题考查正方体与圆锥的性质、异面直线所成角、直角三角形的边角关系，考查空间想象能力、运算求解能力，属于中档题15如图，N、S 是球 O 直径的两个端点，圆C1是经过 N 和 S 点的大圆，圆C2和圆 C3分别是所在平面与NS 垂直的

28、大圆和小圆，圆 C1和 C2交于点 A、B，圆 C1和 C3交于点 C、D，设 a、b、c 分别表示圆C1上劣弧 CND 的弧长、圆C2上半圆弧AB 的弧长、圆C3上半圆弧 CD 的弧长，则a、b、c 的大小关系为（）AbacBbcaCbacDbc a【分析】分别计算a，b，c，即可得出结论解：设球的半径为R，球心角 COD2，则 b R，a2 R，CDAB，cb，CD2Rsin，c 2 Rsin，0?4，?=?1，c a，bc a，故选：D【点评】本题考查球中弧长的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键16三条直线两两异面，有几条直线同时与这三条直线相交？（）A一条B两条C无数条D没有【分

29、析】三条直线a，b，c 两两异面，在a、b、c 上取三条线段AB、CC、AD，作一个平行六面体ABCD A BCD，在 c 上，即在直线AD上取一点P，过a、P作一个平面，平面 与 DD交于 Q、与 CC交于 R，由面面平行的性质定理，得 QRa，推导出直线PR 是与 a，b，c 都相交的一条直线根据点P 的任意性，得与a，b，c 都相交的直线有无穷多条解：三条直线a，b，c 两两异面，在 a、b、c 上取三条线段AB、CC、AD，作一个平行六面体ABCD A BCD，如右图所示在 c 上，即在直线AD上取一点P，过 a、P 作一个平面平面 与 DD交于 Q、与 CC交于 R，则由面面平行的性

30、质定理，得QRa，于是 PR 不与 a 平行，但PR 与 a 共面故PR 与 a 相交，得直线PR 是与 a，b，c 都相交的一条直线根据点 P 的任意性，得与a，b，c 都相交的直线有无穷多条故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题（本大题共5 题，满分76 分，12+14+16+16+18 76）17 现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是 b；2 号容器的底面边长是b，高是 a；3 号容器的底面边长是a，高是 a；4 号容器的底面边长是b，高是 b假设 ab，问是否存在一种必胜的4 选 2

31、 的方案（与a、b 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由【分析】存在一种必胜的4 选 2 的方案（与a、b 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和理由如下：若选中 3 号容器与4号容器，则 V3+V4V1+V2，即 a3+b3a2b+ab2（ab，a，b0）通过作差即可证明结论解：存在一种必胜的4 选 2 的方案（与 a、b 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和理由如下：若选中 3 号容器与4 号容器，则 V3+V4V1+V2，即 a3+b3a2b+ab2（a b

32、，a，b 0）证明如下：a3+b3（a2b+ab2）（a+b）（a2ab+b2）ab（a+b）（a+b）（a b）2ab，a，b0，（a+b）（ab）20a3+b3 a2b+ab2（ab，a，b0），即 V3+V4V1+V2因此存在必胜方案是：选中3 号容器与4 号容器【点评】本题考查了乘法公式、不等式的性质、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，ABAA1=12BC2，P，Q 分别为 B1C1与 BB1中点（1）经过 P，Q 作平面 ，平面 与长方体ABCD A1B1C1D1六个表面所截的截面可能是 n 边形，请根据n 的不同的取值分别作

33、出截面图形形状（每种情况找一个代表类型，例如 n3 只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；（2）若 R 为直线 AD 上的一点，且AR2，求过 PQR 截面图形的周长；【分析】（1）平面与长方体ABCD A1B1C1D1表面所截的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形；（2）若 R 为直线 AD 上的一点，且AR2，可得过PQR 截面图形为六边形，由已知结合勾股定理求周长解：（1）平面与长方体ABCD A1B1C1D1表面所截的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形如图：其中三角形时，四边形，六边形时，点均取所在棱的中点；五边形时，G 取 C1D1的

34、四等分点（靠近C1），E 为 AB 的四等分点（靠近B），F 为CD 的四等分点（靠近D）（2）若R为 直 线AD上 的 一 点，且AR 2，过PQR截 面 图 形 的 周 长4?+?+2?+?=?+?【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查作图能力，是中档题19（16 分）如图，圆锥的顶点是S，底面中心为OOC 是与底面直径AB 垂直的一条半径，D 是母线 SC 的中点（1）求证：BC 与 SA 不可能垂直；（2）设圆锥的高为4，异面直线AD 与 BC 所成角的余弦值为 26，求圆锥的体积【分析】（1）法一应用反证法，若BCSA，推出 SCB 是锐角与BCSC 矛盾法二建立空间直角坐标系，求?=

35、?说明两条直线不垂直（2）利用空间直角坐标系数量积求出底面半径，然后求体积解：（1）证法一：反证法：若BC SA，连 AC，由 AB 是直径则 ACBC，所以BC平面 SAC则 BCSC又圆锥的母线长相等，SCB 是等腰三角形SBC 的底角，则 SCB 是锐角与 BCSC 矛盾，所以BC 与 SA 不垂直证法二：建立如图坐标系，设圆锥的高为h，底面半径为r，则 B（0，r，0），C（r，0，0），A（0，r，0）S（0，0，h），?=(?，-?，-?)，?=(?，-?，?)，?=?，所以 BC 与 SA 不垂直（2）建立如图坐标系，设底面半径为r，由高为 4则D（?2，?，?），则?=(?2，

36、?，?)，?=(?，-?，?)?，?=-?222?2?4+5?24=-?22?16+5?2=26，解得r2，所以 V=13?=16?3【点评】本题考查组合体及旋转体的体积，空间直角坐标系，直线与平面所成的角，考查反证法，是中档题20（16 分）如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，BCD 135，侧面 PAB底面 ABCD，BAP90，ABACPA 6，E，F 分别为 BC，AD 的中点，点 M 在线段 PD 上（）求证：EF平面 PAC；（）若M 为 PD 的中点，求证：ME 平面 PAB；（）当?=12时，求四棱锥MECDF 的体积【分析】（）证明 AB AC得到 EF

37、AC证明 PA底面 ABCD，可得 PAEF 然后证明 EF平面 PAC（）证明MF PA，即可证明MF 平面 PAB，同理 EF 平面 PAB 然后证明平面MEF 平面 PAB，得到 ME 平面 PAB（）证明MN 底面 ABCD，然后求解四棱锥MECDF 的体积【解答】（本小题满分14 分）（）证明：在平行四边形ABCD 中，因为ABAC，BCD 135，ABC 45，所以 ABAC由 E，F 分别为 BC，AD 的中点，得EFAB，所以 EF AC（1 分）因为侧面PAB底面 ABCD，且 BAP 90，所以 PA底面 ABCD 又因为 EF?底面 ABCD，所以 PAEF 又因为 PA

38、ACA，PA?平面 PAC，AC?平面 PAC，所以 EF 平面 PAC（）证明：因为M 为 PD 的中点，F 分别为 AD 的中点，所以 MF PA，又因为 MF?平面 PAB，PA?平面 PAB，所以 MF 平面 PAB同理，得EF平面 PAB又因为 MF EF F，MF?平面 MEF，EF?平面 MEF，所以平面MEF 平面 PAB又因为 ME?平面 MEF，所以 ME 平面 PAB（）解：在PAD 中，过 M 作 MN PA 交 AD 于点 N（图略），由?=12，得?=23，又因为 PA6，所以 MN 4，因为 PA底面 ABCD，所以 MN 底面 ABCD，所 以 四 棱 锥M E

39、CDF的 体 积?-?=13?平行四边形?=13662?=?【点评】本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理以及性质定理的应用，平面与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力21（18 分）已知梯形ABCD 中，AD BC，ABC BAD=?2，G 是 BC 的中点 ABBC 2AD4，E、F 分别是 AB、CD 上的动点，且 EFBC，设 AEx（0 x2），沿 EF 将梯形 ABCD 翻折，使使平面AEFD 平面 EBCF，如图（1）当 x2 时，求证：BD EG；（2）若以 B、C、D、F 为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求 f（x）的最大值；（3）当 f（

40、x）取得最大值时，求二面角DBF C 的余弦值【分析】（1）利用面面垂直的性质证线面垂直，由线面垂直?线线垂直，再由线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质证得线线垂直；（2）根据题意先求得棱锥的高，再根据体积公式求三棱锥的体积即可（3）可利用空间向量求解根据条件可得AEEF，AEBE，BEEF 故可建立如图所示的空间直角坐标系然后求出面DBF 和面 EBF 的法向量则两个法向量的夹角即为二面角的平面角然后利用向量夹角公式即可求出二面角D BFE 的余弦值【解答】（1）证明：作DH EF，垂足 H，连结 BH，GH，平面 AEFD 平面 EBCF，交线 EF，DH?平面 AEFD，DH 平面 EB

41、CF，又 EG?平面 EBCF，故 EGDH EH AD=12BCBG，EFBC，ABC90四边形BGHE 为正方形，EGBH 又BH、DH?平面DBH，且BHDHH，故EG平面DBH 又 BD?平面 DBH，EGBD（2）AEEF，平面 AEFD 平面 EBCF，交线 EF，AE?平面 AEFD AE面 EBCF 又由（1）DH 平面 EBCF，故 AEGH，四边形AEHD 是矩形，DH AE，故以 F、B、C、D 为顶点的三棱锥 DBCF 的高 DH AEx又 SBCF=12BC?BE=124（4x）82x，（0 x4）三棱锥DBCF 的体积 f（x）=13 SBFC?DH=13 SBFC

42、 AE=13（82x）?x=8?3-2?23，（0 x4）（3）f（x）8?3-2?23，（0 x 4）当 x2 时，f（x）取最大值83，（2）AE面平面EBCF，AEEF，AEBE，又 BEEF，故可如图建立空间坐标系E xyz则 A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）设平面 DBF 的法向量为?=（x，y，z）AE 2，B（2，0，0），D（0，2，2），F（0，3，0）?=（2，3，0），?=（2，2，2）则?=?=?即-?+?+?=?-?+?=?取 x3，则 y2，z1?=（3，2，1）平面 BCF 的一个法向量为?=（0，0，1）记此二面角的平面角为，则?1?2|?1|?|?2|=1 14=1414，二面角DBFC 是钝二面角此二面角的余弦值为cos=-1414【点评】本题主要考察了三棱锥体积和二面角的求解解题的关键是在求三棱锥体积时主要是高的求解这要充分分析题中条件找到高或“等价的高”而对于二面角的求解可采用空间向量的方法即求出二面角的两个半平面的法向量然后利用向量的夹角公式求出法向量的夹角的余弦值再结合图形特征和法向量的夹角的余弦值的正负得出二面角的大小是法向量的夹角还是其补角，但此法计算量较大，因此在以后的学习中要加强计算能力的训练！