2018版高中数学三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式导学案新人教A版必修4含解析.pdf

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1、3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点一二倍角公式的推导思考 1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用的三角函数表示2的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案sin 2 sin()sin cos cos sin 2sin cos；cos 2cos()cos cos sin sin cos2sin2；tan 2tan()2tan 1tan2.思考 2 根据同角三角函数的基

2、本关系式sin2cos21，你能否只用sin 或 cos 表示 cos 2？答案cos 2 cos2sin2cos2(1 cos2)2cos21；或 cos 2 cos2sin2(1 sin2)sin21 2sin2.知识点二二倍角公式的变形1.公式的逆用2sin cos sin 2，sin cos 12sin 2，cos2sin2cos 2，2tan 1 tan2tan 2.2.二倍角公式的重要变形升幂公式和降幂公式升幂公式1cos 22cos2，1cos 22sin2，1cos 2cos22，1cos 2sin22.降幂公式cos21cos 22，sin21cos 22.类型一给角求值例

3、1 求下列各式的值：(1)cos 72 cos 36；(2)1323cos215；(3)1tan275tan 75；(4)1sin 10 3cos 10.解(1)cos 36 cos 72 2sin 36 cos 36 cos 72 2sin 36 2sin 72 cos 72 4sin 36 sin 144 4sin 36 14.(2)1323cos21513(2cos215 1)13cos 30 36.(3)1tan275tan 75 21tan2752tan 75 21tan 150 23.(4)1sin 10 3cos 10 cos 10 3sin 10 sin 10 cos 10 2

4、12cos 10 32sin 10 sin 10 cos 10 4 sin 30 cos 10 cos 30 sin 10 2sin 10 cos 10 4sin 20 sin 20 4.反思与感悟对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos 27cos 47cos 67；(2)1sin 50

5、 3cos 50.解(1)原式2sin 27cos 27cos 47cos 672sin 27sin 47cos 47cos 672sin 27sin 87cos 674sin 27sin 7cos 74sin 27sin 278sin 2718.(2)原式cos 50 3sin 50 sin 50 cos 50 212cos 50 32sin 50 122sin 50 cos 50 2sin 80 12sin 100 2sin 80 12sin 80 4.类型二给值求值例 2(1)若 sin cos 13，则 sin 2 .答案89解析(sin cos)2sin2cos22sin cos 1

6、sin 2132?sin 2113289.(2)若 tan 34，则 cos22sin 2等于()A.6425B.4825C.1 D.1625答案A 解析cos22sin 2cos24sin cos cos2sin214tan 1 tan2.把 tan 34代入，得cos22sin 214341342425166425.故选 A.引申探究在本例(1)中，若改为sin cos 13，求 sin 2.解由题意，得(sin cos)219，1 2sin cos 19，即 1sin 219，sin 289.反思与感悟(1)条件求值问题常有两种解题途径：对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、

7、函数名靠拢；对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.(2)一个重要结论：(sin cos)21sin 2.跟踪训练2 已知 tan 2.(1)求 tan4的值；(2)求sin 2sin2sin cos cos 21的值.解(1)tan4tan tan 41tan tan 421121 3.(2)sin 2sin2sin cos cos 212sin cos sin2sin cos 2cos22tan tan2tan 2224221.类型三利用倍角公式化简例 3 化简2cos212tan4sin24.解方法一原式2cos212sin4cos4sin2

8、42cos2 12sin4cos4cos242cos21sin22cos 2cos 21.方法二原式cos 221 tan 1 tan 22sin 22cos 2cos 2cos sin cos sin sin cos 2cos 2cos sin cos sin cos 2cos2sin2 1.反思与感悟(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使三角函数式中的项数尽量少；尽量使分母不含有三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角.降幂或升幂.一个重要结论：(sin cos)21sin 2.跟踪训练3 化简下

9、列各式：(1)42，则1sin 2；(2)为第三象限角，则1cos 2cos 1cos 2sin .答案(1)sin cos(2)0 解析(1)(4，2)，sin cos，1sin 21 2sin cos sin22sin cos cos2sin cos 2sin cos.(2)为第三象限角，cos 0，sin 0，1cos 2cos 1cos 2sin 2cos2cos 2sin2sin 2cos cos 2sin sin 0.1.12sin 12cos 12的值等于()A.14B.18C.116D.12答案B 解析原式14sin 618.2.sin412cos412等于()A.12 B.3

10、2 C.12 D.32答案B 解析原式sin212cos212 sin212cos212 cos212sin212 cos 632.3.tan 7.5 1tan27.5 .答案132解析tan 7.5 1tan27.5 122tan 7.5 1tan27.5 12tan 15 132.4.设 sin 2 sin，2，则 tan 2的值是 .答案3 解析sin 2 sin，sin(2cos 1)0，又2，sin 0，2cos 10 即 cos 12，sin 32，tan 3，tan 22tan 1tan2231 323.5.已知 sin4x513，0 x4，求cos 2xcos4x的值.解原式s

11、in22xcos4x2sin4xcos4xcos4x2sin4x.sin4xcos4x513，且 0 x4，4x4，2，sin4x1cos24x1213，原式 212132413.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8是 4的二倍；6是 3的二倍；4是 2的二倍；3是32的二倍；2是4的二倍；3是6的二倍；2n22n1(nN*).2.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：1 cos 22cos2；cos21cos 22；1 cos 22sin2；sin21cos 22.课时作业一、选择题1.已知是第三象限角，cos 513，则 si

12、n 2等于()A.1213B.1213C.120169D.120169答案D 解析由是第三象限角，且cos 513，得 sin 1213，所以 sin 22sin cos 2 1213 513120169，故选 D.2.若 tan 13，则 cos 2等于()A.45 B.15 C.15 D.45答案D 解析tan 13，则 cos 2 cos2sin2cos2sin2cos2sin21 tan21 tan245.3.已知x(2，0)，cos x45，则 tan 2x等于()A.724 B.724 C.247 D.247答案D 解析由 cos x45，x(2，0)，得 sin x35，所以 t

13、an x34，所以 tan 2x2tan x1tan2x2 341 342247，故选 D.4.已知 sin 223，则 cos24等于()A.16B.13C.12D.23答案A 解析因为 cos241cos 2421cos 2221 sin 22，所以 cos241sin 22123216，故选 A.5.如果|cos|15，523，则 sin 2的值是()A.105B.105C.155D.155答案C 解析523，|cos|15，cos 0，cos 15.又54232，sin 20.sin221cos 235，sin 2155.6.已知为第二象限角，sin cos 33，则 cos 2等于(

14、)A.53B.59C.59D.53答案A 解析由题意得(sin cos)213，1 sin 213，sin 223.为第二象限角，cos sin 0，cos 0，且|cos|sin|，cos 2cos2sin20，cos 21sin221 23214953，故选 A.7.若 cos435，则 sin 2等于()A.725B.15C.15D.725答案D 解析因为 sin 2cos222cos241，又因为 cos435，所以 sin 229251725，故选 D.二、填空题8.2sin222.5 1 .答案22解析原式 cos 45 22.9.sin 6 sin 42 sin 66 sin 7

15、8 .答案116解析原式 sin 6 cos 48 cos 24 cos 12 sin 6 cos 6 cos 12 cos 24 cos 48 cos 6 sin 96 16cos 6 cos 6 16cos 6 116.10.设是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos 15x，则 tan 2 .答案247解析cos xx242x5，x29，x3.又是第二象限角，x 3，cos 35，sin 45，tan 43，tan 22 431 43283116983797221247.11.已知 tan x2，则 tan 2(x4).答案3412.若 tan 1tan 103，4，2，则

16、sin242cos 4cos2 .答案0 解析由 tan 1tan 103，得 tan 13或 tan 3.又4，2，tan 3.sin 310，cos 110.sin242cos 4cos2sin 2cos 4cos 2sin 42cos 4cos2222sin cos 22(2cos21)2cos22sin cos 22cos2222310110221102225210220.三、解答题13.已知角在第一象限且cos 35，求12cos 24sin2的值.解cos 35且在第一象限，sin 45.cos 2cos2sin2725，sin 22sin cos 2425，原式12 cos 2c

17、os 4sin 2sin 4cos 1cos 2sin 2cos 145.四、探究与拓展14.等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为 .答案459解析设A是等腰ABC的顶角，则 cos B23，sin B1cos2B123253.所以 sin Asin(180 2B)sin 2B2sin Bcos B25323459.15.已知 32，化简：1sin 1 cos 1cos 1sin 1cos 1cos.解32，2234，1cos 2|cos 2|2cos 2，1 cos 2|sin 2|2sin 2.1sin 1cos 1cos 1sin 1cos 1 cos 1sin 2 cos 2sin 21sin 2 sin 2cos 2cos 2sin 222 cos 2sin 2sin 2cos 222 sin 2cos 22cos 2.