2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨中学实验班高二下学期期中数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年绍兴市诸暨中学实验班高二下学期期中数学试卷一、选择题（共10 小题）.1如果全集UR，Ay|yx2+2，x R，By|y2x，x 0），则（?UA）B（）A1，2B（1，2）C（1，2D1，2）2设复数Z 的共轭复数为?，且 2Z+?=-?+?，则|Z|（）A2B?C?D53 已知等比数列 an的各项均为正，且 5a3，a2，3a4成等差数列，则数列 an的公比是（）A12B2C13D?4已知 a，b 是正实数，则“a+2b6”是“?(?+?)?”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5若平面向量?，?的夹角为60，且|?|2|?|，则（

2、）A?（?+?）B?（?-?）C?（?+?）D?（?-?）6如图，已知函数f（x）的图象关于坐标原点对称，则函数 f（x）的解析式可能是（）Af（x）x2ln|x|Bf（x）xlnxC?(?)=?|?|?D?(?)=?|?|?7已知 log43p，log325q，则 lg5（）A?+?B?+?C1+?+?D?1+?8已知?，?夹角为60，且|?|=?，若?=-12?+?(?)，则|?|+|?-?|的最小值（）A?B4C?D9 349定义域为R 的偶函数f（x）满足对?x R，有 f（x+2）f（x）f（1），且当x 2，3时，f（x）2x2+12x18，若函数yf（x）loga（|x|+1）至

3、少有6 个零点，则a的取值范围是（）A（0，22）B（0，33）C（0，55）D（0，66）10已知数列 an满足：an=?，?-?-?，?（n N*）若正整数k（k5）使得 a12+a22+ak2 a1a2 ak成立，则k（）A16B17C18D19二、填空题（单空题每空4 分，多空题每空3 分，共 36 分）11计算：cos870；若 cos22，则 12已知函数f（x）sin（x+?3）（0）的最小正周期是4，则，若f（+?3）=35，则 cos 13设函数f（x）=?+?，?+?，?，若 a1，则 f（f（2）；若 f（x）的值域为 R，则实数a 的取值范围是14 在四边形 ABCD

4、中，AB 1，BC2，CD3，AD4，且 ABC120，则 AC，cosBCD 15在 ABC 中，AB 3，AC4，BC 边的中垂线分别交BC、AC 于 D、E，点 P 是 DE的中点，则?=16已知实数a，b，c，满足 a2+b2+2c2 1，则 2ab+c的最小值是17已知函数f（x）lnxax b，对于任意的a0，b R，都存在 x0 1，m使得|f（x0）|1 成立，则实数m 的取值范围为三、解答题（本大题共5 题，总分74 分）18已知函数f（x）4cosxsin（x+?6）1（1）求 f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）将 y f（x）图象上所有的点向右平行移动?6个单位长

5、度，得到 yg（x）的图象 若g（x）在（0，m）内是单调函数，求实数m 的最大值19已知 Sn是正项数列 an的前 n 项和，满足a12，anan+16Sn2，n N*（）求证：an是等差数列；（）记bn2n，求数列|anbn|的前 n 项和 Tn20在 ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知 c1，C=?3（1）若 cos（+C）=-35，0 ，求 cos；（2）若 sinC+sin（AB）3sin2B，求 ABC 的面积21已知等差数列an的公差不为零，且a3 3，al，a2，a4成等比数列，数列bn满足b1+2b2+nbn2an（n N*）（）求数列an，bn的通项公

6、式；（）求证：?2?1+?3?2+?+?+1?an+1-?+?（n N*）22已知函数f（x）x2+axa+b（）若b3，函数 ylgf（x）在区间 1，4上有意义且不单调，求a 的取值范围；（）若Mx|f（x）0，Nx|f（f（x）+1）1且 MN?，求 a 的取值范围参考答案一、选择题（每题4 分，共 40 分）1如果全集UR，Ay|yx2+2，x R，By|y2x，x 0），则（?UA）B（）A1，2B（1，2）C（1，2D1，2）【分析】化简集合A、B，根据补集和交集的定义写出（?UA）B解：全集UR，Ay|yx2+2，x R y|y2，B y|y 2x，x0）y|y1，?UAy|y2

7、，（?UA）By|1 y2（1，2）故选：B2设复数Z 的共轭复数为?，且 2Z+?=-?+?，则|Z|（）A2B?C?D5【分析】设Z a+bi（a，b R），代入 2Z+?=-?+?，化简后利用复数相等的条件求得 a，b 的值，则|Z|可求解：设 Za+bi（a，b R），则?=a bi，由 2Z+?=-?+?，得 2a+2bi+abi3a+bi 3+2i，?=-?=?，即 a 1，b2|Z|=(-?)?+?=?故选：C3 已知等比数列 an的各项均为正，且 5a3，a2，3a4成等差数列，则数列 an的公比是（）A12B2C13D?【分析】利用各项均为正数的等比数列an，5a3，a2，3

8、a4成等差数列，建立方程，即可求出等比数列an的公比解：设等比数列an的公比为q，则各项均为正数的等比数列an，5a3，a2，3a4成等差数列，2a2 5a3+3a4，3q2+5q20，q0，q=13，故选：C4已知 a，b 是正实数，则“a+2b6”是“?(?+?)?”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】a，b 是正实数，由“a+2b6”，可得：a+2（b+1）8，2?(?+?)8，可得“?(?+?)?”反之不成立，可举例否定解：a，b 是正实数，由“a+2b6”，可得：a+2（b+1）8，2?(?+?)8，化为：?(?+?)2?，可得“?(?+?)

9、?”反之不成立，若?(?+?)?，取 a 1，b8，可得 a+2b176“a+2b 6”是“?(?+?)?”的充分不必要条件故选：A5若平面向量?，?的夹角为60，且|?|2|?|，则（）A?（?+?）B?（?-?）C?（?+?）D?（?-?）【分析】由题意可得?=|?|?，再根据?（?-?）0，可得?（?-?），从而得到答案解：由题意可得?=2|?|?|?|cos60=|?|?，?（?-?）=?-?=0，?（?-?），故选：B6如图，已知函数f（x）的图象关于坐标原点对称，则函数 f（x）的解析式可能是（）Af（x）x2ln|x|Bf（x）xlnxC?(?)=?|?|?D?(?)=?|?|?

10、【分析】据题意可知f（x）是奇函数，从而可以排除A，B；当 x0 时，?(?)=?|?|?，从而排除选项D，只能选C解：f（x）的图象关于原点对称；函数 f（x）是奇函数；f（x）x2ln|x|为偶函数，f（x）xlnx 是非奇非偶函数，A，B 都错误；x0时，?(?)=?|?|?，D 错误故选：C7已知 log43p，log325q，则 lg5（）A?+?B?+?C1+?+?D?1+?【分析】利用对数换底公式、对数运算性质即可得出解：（换底公式）?=?=?3?4?25?3=2?52?2=?51-?5，?=?1+?，故选：D8已知?，?夹角为60，且|?|=?，若?=-12?+?(?)，则|?

11、|+|?-?|的最小值（）A?B4C?D9 34【分析】设?=(?，?)，则?=(?，?)，所以?=(?-12，-32)，?-?=(?-32，-332)，由平面向量的模长计算方法可知，|?|+|?-?|=(?-12)?+(-32)?+(?-32)?+(-332)?，该式子可以看作点A（tm，0）到点 B（12，32）和点 C（32，332）的距离之和，设点 B 关于 x 轴的对称点为D（12，-32），则|AB|+|AC|AD|+|AC|CD|，然后利用两点间的距离公式算出|CD|的长度即可得解解：设?=(?，?)，则?=(?，?)，?=-12(?，?)+?(?，?)=(?-12，-32)，?

12、-?=-32?+?=(?-32，-332)，|?|+|?-?|=(?-12)?+(-32)?+(?-32)?+(-332)?，该式子可以看作点A（tm，0）到点 B（12，32）和点 C（32，3 32）的距离之和，如图所示，由于点（tm，0）在 x 轴上，且点B 关于 x 轴的对称点为D（12，-32），所以|AB|+|AC|AD|+|AC|CD|=(32-12)?+(332+32)?=?|?|+|?-?|的最小值为?故选：A9定义域为R 的偶函数f（x）满足对?x R，有 f（x+2）f（x）f（1），且当x 2，3时，f（x）2x2+12x18，若函数yf（x）loga（|x|+1）至少

13、有6 个零点，则a的取值范围是（）A（0，22）B（0，33）C（0，55）D（0，66）【分析】令x 1，求出 f（1）0，得出函数f（x）的周期为2，画出 f（x）和 yloga（|x|+1）的图象，利用数形结合的方法进行求解；解：f（x+2）f（x）f（1），f（1+2）f（1）f（1），即 f（1）f（1）f（1），2f（1）f（1）f（x）是定义域为R 的偶函数，f（1）f（1），2f（1）f（1），f（1）0f（x+2）f（x），f（x）是周期为2 的偶函数作出 f（x）和 yloga（|x|+1）的图象如图所示：函数 yf（x）loga（|x|+1）至少有6 个零点，0a1log

14、a（2+1）2，解得 0a33故选：B10已知数列 an满足：an=?，?-?-?，?（n N*）若正整数k（k5）使得 a12+a22+ak2 a1a2 ak成立，则k（）A16B17C18D19【分析】由题意可得a1a2a3a4a52，a6a1a2a3a5125131，n6 时，a1a2an11+an，将 n 换为 n+1，两式相除，an2 an+1 an+1，n6，累加法求得a62+a72+ak2ak+1 a6+k5 即有a12+a22+ak2 20+ak+1 a6+k 5ak+1+k16，结合条件，即可得到所求值解：an=?，?-?-?，?（n N*），即 a1a2a3 a4a52，a

15、6 a1a2a3 a5125 131，n 6时，a1a2an11+an，a1a2an1+an+1，两式相除可得1+?+11+?=an，则 an2an+1an+1，n6，由 a62a7a6+1，a72a8a7+1，ak2ak+1ak+1，k5，可得 a62+a72+ak2 ak+1 a6+k5a12+a22+ak220+ak+1a6+k5ak+1+k16，且 a1a2ak1+ak+1，正整数 k（k5）时，要使得a12+a22+ak2a1a2ak成立，则 ak+1+k16ak+1+1，则 k17，故选：B二、填空题（单空题每空4 分，多空题每空3 分，共 36 分）11计算：cos870-32；

16、若 cos22，则 2k-?4，2k+?4，k Z【分析】运用诱导公式化简后，根据特殊角的三角函数值即可得解，由余弦函数的性质可得 的范围解：cos870 cos（360 2+150）cos150 cos30=-32若 cos22，则由余弦函数的性质可得 2k-?4，2k+?4，k Z，故答案为：-32，2k-?4，2k+?4，k Z12已知函数f（x）sin（x+?3）（0）的最小正周期是4，则 12，若 f（+?3）=35，则 cos-725【分析】由题意利用正弦函数的周期性求得，可得函数的解析式，从而由题意求得cos?2的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos的值解：函数f（x）sin（

17、x+?3）（0）的最小正周期是2?=4，则 =12，f（x）sin（?2+?3）；若 f（+?3）sin（12+?2）cos?2=35，则 cos 2cos2?2-1=-725，故答案为：12；-72513设函数f（x）=?+?，?+?，?，若 a1，则 f（f（2）9；若 f（x）的值域为 R，则实数a 的取值范围是3，+）【分析】结合分段函数解析式即可直接求解f（f（2），分别结合指数函数与一次函数的性质分别求出每段函数的值域，然后结合函数值域的性质可求解：若 a1，则 f（f（2）f（3）23+19，当 x2 时，f（x）2x+a4+a，当 x2 时，由函数的值域为R 可知，a0，此时

18、f（x）2a+1，结合分段函数的性质可知，2a+1a+4 即 a3故答案为：9，3，+）14在四边形ABCD中，AB1，BC2，CD3，AD4，且 ABC120，则AC?，cosBCD-2114【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出AC 的值，再利用勾股定理的逆定理判断 ACD 90，由正弦定理和诱导公式求出cosBCD 的值解：如图所示，四边形 ABCD 中，AB1，BC2，CD3，AD 4，且 ABC 120，则 AC212+22212cos120 7，所以 AC=?；又 AC2+CD27+916AD2，所以 ACD 90；由?=?，sinACB=1?1207=327=2114，cos

19、BCD cos（ACB+90）sinACB=-2114故答案为：?，-211415在 ABC 中，AB 3，AC4，BC 边的中垂线分别交BC、AC 于 D、E，点 P 是 DE的中点，则?=72【分析】设?=?，则?=?-?=?-(?+12?)=-12?+(?-12)?，因为 DE 垂直 BC，所以?=?，代入运算化简整理得，12?+(?-12)?-?=?，所以?=12?+(?-12)?=?-72又因为点P 是 DE 的中点，且?=?，所 以?=(?-12?)?=?=?(?-?)=?-?，代入已知数据和所得结论即可得解解：如图所示，设?=?，?=?-?=?-(?+12?)=?-?+12(?-

20、?)=-12?+(?-12)?，DE 垂直 BC，?=?，即-12?+(?-12)?(?-?)=?，12?+(?-12)?-?=?，?=12?+(?-12)?=92+(?-12)?=?-72点 P 是 DE 的中点，且?=?，?=(?-12?)?=?=?(?-?)=?-?=?-(?-72)=72故答案为：7216已知实数a，b，c，满足 a2+b2+2c2 1，则 2ab+c的最小值是-98【分析】先分离出a2+b2，应用基本不等式转化为关于c 的二次函数，进而求出最小值解：若 ab+c 取最小值，则ab 异号，c0，根据题意得：12c2a2+b2，又由 a2+b22|ab|2ab，即有 12

21、c2 2ab，则 2ab+c2c2+c12（c+14）2-98，即 2ab+c的最小值为-98，故答案为：-9817已知函数f（x）lnxaxb，对于任意的a0，b 一、选择题，都存在x0 1，m使得|f（x0）|1 成立，则实数m 的取值范围为e2，+）【分析】求出函数的导数，问题转化为存在x0 1，m使的f（1）1 或 f（m）1成立，故 ab 1 或 lnmamb1，然后通过转化为其否命题，再求出m 的范围即可解：f（x）lnx ax b 的定义域为（0，+），f（x）=1?-a，a0，f（x）=1?-a 0，函数 f（x）在 x 1，m上单调递增，f（x）maxf（m）lnm amb，

22、f（x）minf（1）ab，存在 x0 1，m使得|f（x0）|1 成立，存在 x0 1，m使的 f（1）1 或 f（m）1 成立，ab 1 或 lnmam b1，即 a+b1，或 lnm amb1若 a+b1 且 lnm amb1，则不存在x0 1，m使得|f（x0）|1 成立则 lnma（m+1）2，即 lma（m+1）+2，a0，lnm20me2，故当存在x0 1，m使得|f（x0）|1 成立时，me2，故答案为：e2，+）三、解答题（本大题共5 题，总分74 分）18已知函数f（x）4cosxsin（x+?6）1（1）求 f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）将 y f（x）图象上

23、所有的点向右平行移动?6个单位长度，得到 yg（x）的图象 若g（x）在（0，m）内是单调函数，求实数m 的最大值【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性求得 f（x）的最小正周期和单调递减区间（2）利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得m 的最大值解：（1）依题意，得函数f（x）4cosxsin（x+?6）14cosx?（32sinx+12cosx）1=?sin2x+2cos2x12（32sin2x+12cos2x）2sin（2x+?6）它的最小正周期为2?2=令 2k+?2 2x+?62k+3?2，

24、求得 k+?6x k+2?3，故函数的减区间为k+?6，k+2?3，k Z（2）将 yf（x）图象上所有的点向右平行移动?6个单位长度，得到 y g（x）2sin（2x-?6）的图象若 g（x）在（0，m）内是单调函数，则g（x）在（0，m）内是单调增函数，2m-?6?2，求得 m?3，故 m 的最大值为?319已知 Sn是正项数列 an的前 n 项和，满足a12，anan+16Sn2，n N*（）求证：an是等差数列；（）记bn2n，求数列|anbn|的前 n 项和 Tn【分析】（）由anan+16Sn2?当 n2 时，有an1an6Sn12，两式相减得an+1an16，再由数列的前几项推证

25、出结果；（）由（）可得an 3n1，记 cnbnan，研究其单调性，判断其符号，再求前n项和 Tn解：（）证明：a12，anan+16Sn2，当 n2 时，有 an1an6Sn12，由 整理得 an+1 an16，数列 an的奇数项、偶数项均是公差为6 的等差数列，又由题设条件可得a12，a25，a38，a411，所以 an+1an 3，故数列 an是首项为2，公差为3 的等差数列；（）解：由（）可得 an 3n1，又 bn2n，记?=?-?+?，则?+?-?=?-?，当 n2 时，cn单调递增，且c10，c2 1，c30，从第 4 项起，cn0，当 n1 时，有 T10；当 n2 时，有 T

26、21；当 n 3 时，有 Tn c1c2+c3+c4+cn1+（23+24+2n）+n23（3+4+5+n）n1+23(1-2?-2)1-2-3(?-2)(3+?)22n+1-3?22-12?，故 Tn=?，?=?+?-3?2+?2，?20在 ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知 c1，C=?3（1）若 cos（+C）=-35，0 ，求 cos；（2）若 sinC+sin（AB）3sin2B，求 ABC 的面积【分析】（1）根据题意，得出sin（+C）sin（+?3）45结合配角（+?3）-?3利用两角差的余弦公式，即可算出的值（2）利用 sinCsin（A+B），结合两角

27、和与差的正弦公式化简整理，得cosB（sinA3sinB）0，从而 cosB0 或 sinA3sinB再分 cosB0 和 a3b 两种情况加以讨论，即可分别求出两种情况下ABC 的面积 S解：（1）0 ，C=?3，cos（+C）=-35，可得 +C+?3(?2，4?3)，sin（+C）sin（+?3）45cos cos（+?3）-?3=-351245 32=4 3-310即?=43-310（2）A+B C，可得 sinCsin（A+B）由 sinC+sin（AB）3sin2B，得 sin（A+B）+sin（AB）3sin2B，即 2sinAcosB6sinBcosB，可得 cosB（sinA

28、3sinB）0cosB0 或 sinA3sinB cosB 0，得 B=?2，结合 C=?3得 A=?6a=33，b=233ABC 的面积 S=12absinC36 若 sinA3sinB，则 a3b，由余弦定理c2a2+b2 2abcosC，得 110b26b2cos?3即 7b21，解之得b=77，从而 a=377ABC 的面积 S=12absinC=332821已知等差数列an的公差不为零，且a3 3，al，a2，a4成等比数列，数列bn满足b1+2b2+nbn2an（n N*）（）求数列an，bn的通项公式；（）求证：?2?1+?3?2+?+?+1?an+1-?+?（n N*）【分析】

29、（）设等差数列的公差为d，d 0，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到an；可令 n1，求得 b1，再将 n 换为 n1，相减可得bn；（）原不等式转化为12+23+?+?+1n+1-?+?，应用数学归纳法证明，注意检验 n1 不等式成立，再假设 nk 时不等式成立，证明 nk+1 时，不等式也成立，注意运用分析法证明解：（）等差数列an的公差 d 不为零，a33，可得 a1+2d 3，al，a2，a4成等比数列，可得a1a4 a22，即 a1（a1+3d）（a1+d）2，解方程可得a1d1，则 ann；数列 bn满足 b1+2b2+nbn2an，可得 b

30、1 2a12，将 n 换为 n 1可得 b1+2b2+（n 1）bn1 2an1，联立 b1+2b2+nbn2an，相减可得nbn 2an2an12，则 bn=2?，对 n1 也成立，则 bn=2?，n N*；（）证明：不等式?2?1+?3?2+?+?+1?an+1-?+?（n N*）即为12+23+?+?+1n+1-?+?，下面应用数学归纳法证明（1）当 n1 时，不等式的左边为12=22，右边为2-?，左边右边，不等式成立；（2）假设 nk 时不等式 12+23+?+?+1k+1-?+?，当 n k+1 时，12+23+?+?+1+?+1?+2k+1-?+?+?+1?+2，要 证 12+2

31、3+?+?+1+?+1?+2k+2-?+?，只 要 证k+1-?+?+?+1?+2k+2-?+?，即证?+?-?+?1-?+1?+2，即证（?+?-?+?）（1-1?+2）0，由 k N*，可得上式成立，可得n k+1 时，不等式也成立综上可得，对一切n N*，12+23+?+?+1n+1-?+?，故?2?1+?3?2+?+?+1?an+1-?+?（n N*）22已知函数f（x）x2+axa+b（）若b3，函数 ylgf（x）在区间 1，4上有意义且不单调，求a 的取值范围；（）若Mx|f（x）0，Nx|f（f（x）+1）1且 MN?，求 a 的取值范围【分析】（）当b3 时，f（x）x2+a

32、xa+3，由题知：二次函数f（x）的对称轴在（1，4）之间，且f（x）在 1，4上恒为正，列出不等式组，即可求出a 的取值范围；（）因为N?，设 m，n（mn）为方程f（x）1 的两个根，所以Mx|ff（x）+1 1x|mf（x）+1nx|m1f（x）n1，由 MN?，解得 a 0 或 a 4，又 m，n（mn）为方程 f（x）1 的两个根，所以 m 1a，即可求出a 的取值范围解：（）当b3 时，f（x）x2+axa+3，由题知：二次函数f（x）的对称轴在（1，4）之间，且f（x）在 1，4上恒为正，?-?2?(-?2)=-?24-?+?，解得：6a 2；（）因为N?，设 m，n（mn）为方程f（x）1 的两个根，Nx|ff（x）+11x|m f（x）+1nx|m1f（x）n 1，由 AB?，得 n10 且 f（x）minm1，由 f（n）f（1）1 得 b0，所以 f（x）x2+axa，因为 Af（x）0?，a2+4a0，解得 a0 或 a 4，又 m，n（mn）为方程f（x）1 的两个根，所以m 1a，f（x）min=-4?-?24-a 2，解得 2?a2?，综上所述：0a?