2020届高考数学(文)一轮复习讲练测专题4.6正弦定理和余弦定理(讲)【含答案】.pdf

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1、2020 年高考数学（文）一轮复习讲练测专题 4.6 正弦定理和余弦定理1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识点一正弦定理和余弦定理1.在ABC 中，若角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式asin Absin Bcsin C2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC常见变形(1)a2Rsin A，b2RsinB，c2RsinC；(2)sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；(3)abcsinAsinBsinC；(4)asin Bbsin A，bsin C

2、csin B，asin Ccsin Acos Ab2c2a22bc；cos Bc2a2b22ac；cos Ca2b2c22ab2.S ABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R12(abc)r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.3.在ABC 中，已知a，b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin Absin Aaba b解的个数一解两解一解一解无解知识点二三角函数关系和射影定理1.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sinAB2cosC2；(4)cosAB2si

3、nC2.2.三角形中的射影定理在 ABC 中，abcos C ccos B；b acos Cccos A；c bcos Aacos B.3.在ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，AB?ab?sin A sin B?cos Acos B.考点一利用正、余弦定理解三角形【典例 1】【2019 年高考浙江卷】在ABC中，90ABC，4AB，3BC，点D在线段AC上，若45BDC，则BD_，cosABD_【答案】1225，7 210【解析】如图，在ABD中，由正弦定理有：sinsinABBDADBBAC，而34,4ABADB,225AC=AB+BC=，34sin,cos55BCABBA

4、CBACACAC，所以1225BD.7 2coscos()coscossinsin4410ABDBDCBACBACBAC.【举一反三】(2018 全国卷)在 ABC 中，cosC255，BC1，AC5，则 AB()A4 2 B.30 C.29 D25【答案】A【解析】cosC255，cos C2cos2C212552135.在 ABC 中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC BC cos C52122 5 1 3532，AB 4 2.【举一反三】(2018 天津卷)在 ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知 bsinAacosB6.求角 B 的大小；设 a2，c3，求

5、b 和 sin(2AB)的值【解析】在ABC 中，由正弦定理asin Absin B，可得 bsin A asin B.又由 bsin A acos B6，得 asin Bacos B6，即 sin Bcos B6，可得 tan B3.又因为 B(0，)，所以 B3.在 ABC 中，由余弦定理及a2，c3，B3，得 b2a2c22accos B7，故 b7.由 bsin Aacos B6，可得 sin A37.因为 ac，所以 cos A27.因此 sin 2A 2sin Acos A4 37，cos 2A2cos2A117.所以 sin(2A B)sin 2Acos Bcos 2Asin B

6、4 371217323314.【方法技巧】正、余弦定理的应用技巧1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数。考点二判断三角形的形状【典例 2】（福建省永安市第一中学2018-2019 学年月考）在ABC中，角,A B C的对边分别是,a b c，2cos22Abcc，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰三角形

7、或直角三角形C等腰直角三角形D正三角形【答案】A【解析】因为2cos22Abcc，所以1cosA22bcc,ccosAb,sinCcosAsinBsin AC,sinAcosC0,因此cosC0C2，故选 A。【方法技巧】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【变式 2】（上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019 学年期中）在ABC中，三个内

8、角,A B C所对的边分别为,a b c已知2 cosaBc，且满足21sinsin(2cos)sin22CABC，则ABC为（）A锐角非等边三角形B等边三角形C等腰直角三角形D钝角三角形【答案】C【解析】将已知等式2 cosaBc，利用正弦定理化简得：2sincossinABC，sinsin()sincoscossinCABABAB2sincossincoscossinABABAB，即sincoscossinsin()0ABABAB，因为 A 与 B 都为ABC的内角，0AB，即AB，已知第二个等式变形得：sinsin(2cos)ABC11(1 cos)22C11cos2C，1cos()co

9、s2AB()(2cos)1ABC1cos2C，1(cos1)2C1(2cos)1cos2CC，即(cos1)(2cos)CC2cosC，整理得：2cos2cos0CC，即coscos(2)0CC，cos0C或cos2C（舍去），90C，则ABC为等腰直角三角形故选 C。考点三与三角形面积有关的问题【典例 3】【2019 年高考全国卷】ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c.若6,2,3bac B，则ABC的面积为 _【答案】6 3【解析】由余弦定理得2222cosbacacB，所以2221(2)2262cccc，即212c，解得2 3,2 3cc（舍去），所以24 3ac，113si

10、n4 32 36 3.222ABCSacB。【举一反三】(2019 高考全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 asin AC2bsin A。(1)求 B；(2)若 ABC 为锐角三角形，且c1，求 ABC 面积的取值范围。【解析】(1)由题设及正弦定理得sin AsinAC2sin Bsin A.因为 sin A0，所以 sinAC2sin B.由 ABC180，可得sinAC2 cosB2，故 cosB22sinB2cosB2.因为 cosB20，故 sinB212，因此 B60.(2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC34a.由正弦定理得acsin Asi

11、n Csin（120 C）sin C32tan C12.由于 ABC 为锐角三角形，故0 A90，0C90.由(1)知 A C120，所以 30C90，故12a2，从而38SABC32.因此，ABC 面积的取值范围是38，32。【举一反三】(2018 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.若 ABC 的面积为a2b2c24，则 C()A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】S12absin Ca2b2c242abcos C412abcos C，sin Ccos C，即 tan C1.C(0，)，C4.【方法技巧】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小

12、或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键2已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解【变式 3】(2018 北京卷)若 ABC 的面积为34(a2c2b2)，且 C 为钝角，则 B_；ca的取值范围是_【解析】由已知得34(a2c2b2)12acsin B，所以3a2 c2 b22acsin B，由余弦定理得3cos

13、Bsin B，所以 tan B3，所以 B60，又 C90，B 60，所以 A30，且 AC120，所以casin Csin Asin120 Asin A1232tan A.又 A30，所以 0 tan A3，所以ca12322.【答案】60(2，)考点四平面图形中的计算问题【典例 4】(2018 全国卷)在平面四边形ABCD 中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求 cos ADB；(2)若 DC22，求 BC.【解析】(1)在 ABD 中，由正弦定理得BDsin AABsin ADB，即5sin 452sin ADB，所以 sin ADB 25.由题设知，ADB90，所以 cos

14、ADB1225235.(2)由题设及(1)知，cos BDCsin ADB25.在 BCD 中，由余弦定理，得 BC2BD2DC2 2BD DC cos BDC2582 5 2225 25，所以 BC5。【方法技巧】平面图形中计算问题的解题关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果【变式 4】（黑龙江省哈尔滨市三中2018-2019 学年期中）ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若coscos0aAbB，则ABC的形状一定是（）A直角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由coscos0aAbB结合正弦定理，可得sincossincos0AABB，则sin 2sin 2AB.所以22AB或22AB.所以AB或2AB，所以ABC是等腰三角形或直角三角形，故选D。