2020届高考数学(理)一轮复习讲练测专题4.7解三角形及其应用(练)【含答案】.pdf

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1、2020 年高考数学（理）一轮复习讲练测专题 4.7 解三角形及其应用1（陕西省华阴市2018-2019 学年度期末）在ABC中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，若sincoscosabcABC，则ABC是()A等边三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D任意三角形【答案】C【解析】由正弦定理得：sinsinsinabcABC，又sincoscosabcABC，sincos,sincosBBCC，于是,42BCA，即ABC是等腰直角三角形故选 C。2（江苏省宿迁市2018-2019 学年期末）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，若coscosaBbA，则ABC形状是（）A直

2、角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【答案】D【解析】coscosaBbA，由正弦定理可得sincossincosABBA，sinAcosA sinBcosB，sin2Asin2B，2A 2B 或 2A+2B ，AB 或 A+B 2，ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形，故选D。3（江西省高安中学2018-2019 学年期末）设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若2cossinsinBAC，则ABC的形状一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形【答案】C【解析】ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，2cos sin

3、sin2cos sinsin()sincoscossinBACBAABABABcos sincossin0sin()0BAABAB角 A，B，C 为 ABC 的内角AB故选 C。4（吉林省白山市2018-2019 学年期末）某船从A处向东偏北30方向航行2 3千米后到达B处，然后朝西偏南60的方向航行6 千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（）A3千米B2 3千米C3 千米D 6 千米【答案】B【解析】设A处与C处之间的距离为x千米，由余弦定理可得222(2 3)62 2 36cos 603012x，则2 3x.5（江苏省泰州市2018-2019 学年期末）在ABC中，若222sinsins

4、inBCA，则此三角形为（）三角形A等腰B直角C等腰直角D等腰或直角【答案】B【解析】由于在ABC中，有222sinsinsinBCA，根据正弦定理可得222bca；所以此三角形为直角三角形，故选B。6（湖南省醴陵市第一中学2018-2019 学年期末）在ABC中，4B，BC边上的高等于23BC,则sinA（）A3 1010B55C1010D310【答案】A【解析】由题意画出图形，ABD是等腰直角三角形，AD为BC边上的高，4BAD且23ADBDBC，设0ADx x，则32BCx，3122CDBCBDxxx，则221522ACxxx，设DAC，则152sin552xCDACx，2 5cos55

5、2ADxACx，则22252 53 10sinsinsincos42225510A.故答案为 A。7（河北省邢台市2018-2019 学年高一下学期第三次月考）某船在小岛A的南偏东75，相距20 千米的B处，该船沿东北方向行驶20 千米到达C处，则此时该船与小岛A之间的距离为（）A10(62)千米B10(62)千米C20 千米D20 3千米【答案】D【解析】由题意可得，在ABC中，20ABBC，120ABC，则222cosACABBCAB BCABC1400400220 2020 32，故选 D。8（四川省绵阳南山中学2018-2019 学年月考）在ABC中，2,2 2ACBC，则B的取值范围

6、是（）A04BB06BC04B或34BD06B或56B【答案】B【解析】设ABx，则23 2x，由余弦定理可得，2821613cos2 624 24 24 2xBxxx，根据余弦函数的性质可知，06B，故选 B。9（四川省成都市2019 届第二次诊断性检测）某小区打算将如图的一直三角形ABC区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形DEF,在其内建造文化景观.已知20ABm,10ACm,则DEF区域内面积(单位：2m)的最小值为（）A25 3B(,0)B mC1)D75 37【答案】D【解析】ABC 是直三角形，AB 20m，AC10m，可得 CB10 3m，DEF 是等边三角形，设CED；

7、DEx，那么 BFE6+；则 CE xcos，BFE 中由正弦定理，可得x10 3xcossinsin66可得 x10 310 33sin 2cos7sin ，其中 tan 2 33；x10 37；则 DEF 面积 S2175 3xsin237故选 D。10（四川省绵阳中学2018-2019 学年月考）在ABC中，2a，sin()sin2BCaABc，则ABC周长的最大值为（）A8 B7 C6 D 5【答案】C【解析】由题得sincos,2AaCc所以sinsinsincos,2AACC所以sincos,2sincoscos2222AAAAA,因为(0,),cos0,222AA所以1sin=2

8、23AA，.由余弦定理得22224=2cosbcbcAbcbc,所以22()43434bcbcbc（，当且仅当b=c=2 时取等.所以4,6bcabc.故选 C。11（福建省上杭县第一中学2018-2019 学年模拟）某炮兵阵地位于A点，两个观察所分别位于C，D两点，已知ACD为等边三角形，且3DCkm，当目标出现在B点（A，B两点位于CD两侧）时，测得45CDB，75BCD，则炮兵阵地与目标的距离约为（）A1.1kmB2.2kmC2.9kmD3.5km【答案】C【解析】如图所示：CBD 180 CDB BCD180 45 75 60，在 BCD 中，由正弦定理，得：3sin7532BD故 B

9、D=2sin 75在 ABD 中，ADB 45+60 105，由余弦定理，得AB2AD2+BD22AD?BDcos105 AB=52 32.9km故炮兵阵地与目标的距离为2.9km故选 C。12（重庆西南大学附属中学校2019 届模拟）在 ABC 中，点 D 为边 AB 上一点，若33 23 sin3BCCDACADABC，则 ABC 的面积是（）A6 2B15 22C9 22D12 2【答案】A【解析】由题在ADC中，3 2AC，3AD，3coscos()sin23ADCABCABC，代入2222cosACADDCAD DCADC可得22150DCDC，舍掉负根有3DC.cot3 2BCDC

10、ABC.33 34 3sinDCABADBDADABC.于是根据三角形面积公式有：113sin4 3 3 262223ABCSAB BCABC，故选 A。13（江苏省无锡市普通高中2018-2019 学年期末）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，若cosCcosacbbA，则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【答案】C【解析】因为cosCcosacbbA，所以，22222222abcbcaacbbabbc，22222222abcbcaacac，2222222()()()ac acc abca bca，2232232()ac ac

11、cacbcabaca，222222()()()()ac acc acbaca ac，（1）0ac，即ac；（2）0ac时，22()()acc acba ac，化简得：222bca，所以，角B为直角，所以，ABC为等腰三角形或直角三角形，故选C。14（四川省成都外国语学校2018-2019 学年模拟）如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km 的 C，D 两点，测得 ACB 75，BCD 45，ADC 30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为()km.A8 53B4 153C2 153D 25【答案】B【解析】由已知，ACD中，30C

12、AD，120ACD，由正弦定理，sinsinCDADCADACD，所以 sin4?sin1204 3sinsin30CDACDADCAD，在BCD中，60CBD，由正弦定理，sinsinCDBDCBDBCD，所以 sin4sin4546sinsin603CDBCDBDCBD，在ABD中，由余弦定理，2228023ABADBDAD BDADB，解得：4 153AB所以A与B的距离4 153AB.故选 B。15（福建省厦门外国语学校2018-2019 学年期末）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸,B C的俯角分别为75 30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC（）A24031 mB1802

13、1 mC12031 mD3031 m【答案】C【解析】如图，15DAB，tan45tan30tan15tan 4530231tan45 tan30，在Rt ADB中，又60AD，tan156023120603DBAD，在Rt ADC中，60,60DACAD，tan6060 3DCAD，60312060 312031BCDCDB，河流的宽度BC等于12031 m，故选 C。16（北京市朝阳区2018-2019 学年期末）如图，设A，B 两点在河的两岸，某测量者在A 同侧的河岸边选定一点C，测出 AC 的距离为 50 米，ACB 45，CAB 105，则 A，B 两点的距离为（）A502米B503

14、米C252米D50 63米【答案】A【解析】在ABC中50,45,105ACmACBCAB，则30ABC由正弦定理得sinsinABACACBABC，所以250sin250 21sin2ACACBABABCm，故选 A。17（四川省攀枝花市2018-2019 学年期末）如图，为了测量山坡上灯塔CD的高度，某人从高为=40h的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为=60，=30，若山坡高为=35a，则灯塔高度是（）A15B25C40D60【答案】B【解析】过点B作BEDC于点E，过点A作 AFDC 于点F，如图所示，在ABD中，由正弦定理得，sinsinABADADBABD，即sin90(90

15、)sin(90)hAD，cossin()hAD，在 Rt ADF 中，cossinsinsin()hDFAD，又山高为a，则灯塔CD的高度是3340cossin22356035251sin()2hCDDFEFa故选 B。18（安徽省安庆市第一中学2018-2019 学年期中）如图，某建筑物的高度mBC300，一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15，地面某处A的俯角为45，且60BAC，则此无人机距离地面的高度PQ为（）Am100B200mCm300Dm100【答案】B【解析】根据题意，可得Rt ABC中，60BAC，300BC，3002003sin 6032BCAC；ACQ中，45

16、1560AQC，180456075QAC，18045QCAAQCQAC，由正弦定理，得sin 45sin 60AQAC，解得2200 32200 232AQ，在Rt APQ中，2sin4520022002PQAQm，故选 B。19（福建省宁德市2019 届高三第二次质检）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得80CD，135ADB，15BDCDCA，120ACB，则A，B两点的距离为_【答案】80 5【解析】由已知，ACD 中，ACD 15，A

17、DC 150，DAC=15 由正弦定理得80sin150404062sin15624AC，BCD 中，BDC15，BCD 135，DBC=30 ，由正弦定理，CDBCsinCBDsinBDC，所以 BC80sin1516015406212CD sinBDCsinsinCBD；ABC 中，由余弦定理，AB2AC2+BC22AC?BC?cosACB 11600 84 31600 84 32 1600626221600 161600 4160020解得：AB80 5，则两目标A，B 间的距离为80 5。20（江苏省苏州市2019 届高三模拟）如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC，为响应国家

18、号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点 D 出发引出两条成60 角的线段 DE 和DF，与 AB 和 AC 围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设 BDE（1）当60 时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S的取值范围。【答案】（1）232km（2）3 33,82【解析】(1)当60a时，DEAC，DF AB，四边形AEDF是平行四边形，BDE和CDF均为边长为1km的等边三角形，面积都是234km，所以绿化面积为2233322442km.（2）由题意知，3090，在BDE中，120BED，由正弦定理是1sinsin 120BE，所以sinsin

19、120BE，在CDF中，120CDF，CFD，由正弦定理得1sinsin 120CF，所以sin 120sinCF，所以22sin 120sin120sinsinsinsin 120sinsin 120BECF2222231533cossinsinsinsincoscos224243131sincossinsincossin222222233sincos44113131sincossinsin2(1 cos2)224431112sin 2302.所以3()3()4ABCBDECOFSSSSBECF33 3133090148sin 2302，当3090，30230150，113sin 2301,

20、1sin 23022221113sin 2302，所以3 33()82S.地块的绿化面积S a的取值范围是3 33,82.【典例 2】【2019 年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥AB（AB 是圆 O 的直径）规划在公路l 上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA规划要求：线段PB、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径已知点 A、B 到直线 l 的距离分别为AC 和 BD（C、D 为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P

21、 和 Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和 QA 的长度均为d（单位：百米）.求当 d 最小时，P、Q 两点间的距离。【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+3 21（百米）.【解析】解法一：（1）过 A 作AEBD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6,8DEBEACAECD.因为 PBAB，所以84cossin105PBDABE.所以12154cos5BDPBPBD.因此道路PB 的长为 15（百米）.（2）若 P 在 D 处，由（1）可得 E 在圆上，则线段BE 上的点（除B，E）到点 O 的距离均小于圆 O 的半径，所

22、以P 选在 D 处不满足规划要求.若 Q 在 D 处，连结AD，由（1）知2210ADAEED，从而2227cos0225ADABBDBADADAB，所以 BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在 D 处也不满足规划要求.综上，P 和 Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当 OBP90 时，在1PPB中，115PBPB.由上可知，d15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA15，点 Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当 QA=15 时，22221563 21CQQAAC.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PBAB，点 Q 位于点 C 右侧，且CQ=3 21时，d 最小，此时P，Q 两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3 21.因此，d 最小时，P，Q 两点间的距离为17+3 21（百米）。