2019-2020年江苏省扬州市高邮市高三(文科)数学上学期开学考试试题【含解析】.pdf

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1、2019-2020 年江苏省扬州市高邮市高三（文科）数学上学期开学考试试题一、填空题（请把答案填写在答题卡相应位置上）1.已知集合1,0,1,3A，0,Bx xxR，则AB_.【答案】0,1,3【解析】【分析】根据交集定义直接可得结果.【详解】因为集合1,0,1,3A，0,Bx xxR所以，由交集的定义得：0,1,3AB本题正确结果：0,1,3【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知复数(2i)(1i)a的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是 _.【答案】2.【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z，然后根据复数的概念，令实部为0 即得a的值.【详解】2(a2

2、)(1i)222(2)iaaiiiaai，令20a得2a.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.函数2()log1f xx的定义域为 _【答案】2，+）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数fx有意义，则2log10 x，解得2x，即函数fx的定义域为2,).点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.4.已知直线l1：210axya和l2：3(2)50 xay平行，则实数a的值为 _【答案】1；【解析】【分析】首先利用两直线平行时方程中系数所满足的条件，列出对应的等式和

3、不等式，最后求得结果.【详解】当两直线平行时，有(2)353(21)a aaa，解得1a，故答案是1.【点睛】该题考查的是有关直线平行时，方程的系数所满足的条件，需要注意的是需要将重合的情况排除，属于简单题目.5.设命题:4p x；命题2:540q xx，那么p是q的_条件.（选填“充分不必要”、“充要”、“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【解析】【分析】解不等式得到命题q中x的范围，根据集合的包含关系可得结果.【详解】由2540 xx得：1x或4x，可知4x x是1x x或4x的真子集p是q的充分不必要条件本题正确结果：充分不必要【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，关键是能够明确

4、充分必要条件与集合包含关系之间的关系.6.已知ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，若2,2,4abA，则=B_.【答案】6【解析】【分析】直接利用正弦定理求解即可.【详解】22ab,AB,B是锐角，由正弦定理可得221sinsin222BB，6B，故答案为6.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形以及特殊角的三角函数，属于基础题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.7.已知函数2log,0(

5、)21,0 x xf xxx，若1()2f a，则实数a_.【答案】2【解析】【分析】分别讨论0a和0a两种情况，构造方程求得结果.【详解】当0a时，21log2faa，解得：2a当0a时，1212faa，解得：34a（舍）综上所述：2a本题正确结果：2【点睛】本题考查根据函数值求解参数值的问题，属于基础题.8.设曲线()lnf xaxx的图象在点(1，(1)f)处的切线斜率为2，则实数a的值为 _【答案】3【解析】【分析】首先对函数求导，根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，从而将相应的量代入，求得结果.【详解】函数()lnf xaxx，可得1()fxax，所以切线的斜率

6、为(1)12kfa，解得3a，故答案是3.【点睛】该题考查的是有关函数图象在某个点处的切线的斜率问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，根据题意，得到参数所满足的等量关系，求得结果，属于简单题目.9.若“122x，使得2210 xx成立”是假命题，则实数的取值范围是 _【答案】2 2，【解析】若“122x，使得2210 xx成立”是假命题，即“122x，使得12xx成立”是假命题，由122x，当22x时，函数取最小值2 2，故实数的取值范围为2 2（，故答案为2 2（，.点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题，函数恒成立问题，对勾函数的图象和性质等知识点，难度中档；考查恒成立问题

7、，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为ah x或ah x恒成立，即maxahx或minahx即可，利用导数知识结合单调性求出maxhx或minhx即得解.10.在平面直角坐标系xOy中，将函数sin 23yx的图像向右平移02个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则的值为 _.【答案】6【解析】函数sin23yx的图像向右平移02个单位得sin 223yx，因为过坐标原点，所以-2()036226kkkZ点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言.函数si

8、n()()yAxxR是奇函数()kkZ；函数sin()()yAxxR是偶函数+()2kkZ；函数cos()()yAxxR是奇函数+()2kkZ；函数cos()()yAxxR是偶函数()kkZ.11.已知4cos65，02，则sin 212的值为 _.【答案】17250【解析】【分析】根 据 角 的 范 围 和 同 角 三 角 函 数 关 系 可 求 得sin6；利 用 二 倍 角 公 式 可 求 得cos 23和sin23；将所求角拆为sin 2sin21234，利用两角和差正弦公式求得结果.【详解】022663，又4cos653sin6527cos 22cos13625，24sin 22si

9、ncos36625sin 2sin2sin 2coscos 2sin123434342427217225225250本题正确结果：17250【点睛】本题考查三角恒等变换的求值问题，涉及到同角三角函数关系、二倍角的正弦和余弦公式、两角和差正弦公式的应用；关键是能够将所求角拆分为两个已知三角函数值的角的形式，从而利用两角和差公式来进行求解.12.如下图，在ABC中，1,2,2ABAC BCADDC AEEB若12BD AC，则CEAB_【答案】43【解析】因为12ADDCBDBABC，所以,又因为ACABCB，所以111222BD ACBABCABCBBABCABCB。即，也即221ABCB，所以

10、2145ABABAC，又13CEABCA，故13CE ABAB ABCA AB，由余弦定理得5543cos255A，则CE AB13455353，应填答案43。点睛：本题综合考查向量的几何运算法则、数量积公式、余弦定理等许多重要基础知识和基本方法，同时也考查了等价转化与化归、函数方程等重要数学思想的综合运用。13.在平面直角坐标系xOy中，己知直线1:lymx与曲线3()2f xxx从左至右依次交于,A B C三点，若直线2:2lykx上存在点P，满足2PAPC，则实数k的取值范围为_.【答案】,33,【解析】【分析】根据奇偶性可知fx关于原点对称，从而可知,A C关于原点对称；根据向量加法运

11、算法则可知2PAPCPO，从而根据模长可得P点轨迹为圆；根据圆与直线2l有交点，利用圆心到直线距离小于等于半径可构造不等式求得结果.【详解】3322fxxxxxfxfx为奇函数，图象关于原点对称又ymx关于原点对称,A C两点必关于原点对称，则O为AC中点根据向量加法运算法则可知：2PAPCPO，又2PAPC1PO即P点轨迹是以O为圆心，1为半径圆：221xy直线2:2lykx与221xy有交点圆心O到直线2l的距离：2211dk，解得：,33,k本题正确结果：,33,【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题；关键是能够根据直线与曲线的对称性得到两交点关于原点对称，利用对称性和

12、向量运算法则可得到P点轨迹方程.14.已知函数24,0,5,0,xxxfxex若关于x的方程50fxax恰有三个不同的实数解,则满足条件的所有实数a的取值集合为_【答案】55,2,ln 52e【解析】根据分段函数解析式作出函数|()|yfx的图像如图，5yax是过定点(0,5)的动直线，关于x的方程50fxax恰有三个不同的实数解，就是直线5yax与曲线|()|yfx有三个交点，所以当直线5yax过点(2,0)或(ln 5,0)或5yax与|()|yfx在(2,ln 5)x上的图像相切时有三个交点，当直线过(2,0)时，52a，当直线过(ln 5,0)时，5ln 5a，当直线与|()|yf x

13、在(2,0)上相切时，可得2a，当直线与|()|yf x在(0,ln 5)上相切时，可得ae，故填：55,2,ln 52e点睛：本题涉及分段函数，二次函数，指数函数，以及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于难题一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高二、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.己知，为钝角，且3sin5，3cos25.（1）求 tan的值：（2）求cos()的值.【答案】（1）-2；（

14、2）2 525【解析】【分析】（1）根据为钝角可知cos0，利用二倍角公式可构造方程求出cos，根据同角三角函数关系可求得结果；（2）根据同角三角函数关系和为钝角可求得cos，利用两角和差余弦公式可求得结果.【详解】（1）23cos22cos15，解得：21cos5,2cos05cos522 5sin1cos52 5sin5tan2cos55（2）,2，3sin524cos1 sin54532 52 5coscoscossinsin555525【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角和差余弦公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解同角三角函数值时出现符号错误.16.已知4a，3b，2324

15、3abab.（1）求a与b的夹角；（2）求ab；（3）若abab，求实数的值.【答案】（1）3；（2）37；（3）103【解析】【分析】（1）根据向量数量积的运算律，利用23243abab可求得6a b；根据数量积的定义可求得cos，根据0,可求得结果；（2）先利用平方运算，根据数量积运算律可求得2ab，开方得到结果；（3）利用垂直关系可知0abab，根据数量积运算律可构造出关于的方程，解方程求得结果.【详解】（1）222324836482743ababaa bba b6a b，即cos12cos6ab1cos20,3（2）222221612937ababaa bb37ab（3）abab0ab

16、ab即221166190aa bb，解得：103【点睛】本题考查向量数量积的综合应用，涉及到向量数量积的运算律、已知数量积求向量夹角、向量模长的求解、垂直关系的向量表示等知识.17.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，(sinsin)()(sinsin)aABcbBC.（1）求角C的值：（2）设函数3()cossin34f xxx，求(A)f的取值范围.【答案】（1）23C（2）10,2【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cosC的值，进而求得C的值.（2）首先化简fx为sinAx的形式，在根据A的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得fA的取值范围.

17、【详解】解：（1）在ABC中，因为(sinsin)()(sinsin)aABcbBC，由正弦定理sinsinsinabcABC，所以()()()a abbc cb即222abcab，由余弦定理2222coscababC，得1cos2C又因为0C，所以23C（2）因为3()cossin34f xxx2133sincoscos224xxx133sin 2(cos21)444xx1sin223x1()sin 223f AA由（1）可知23C，且在ABC中，ABC所以03A，即233A所以0sin213A，即10()2f A所以(A)f的取值范围为10,2【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解

18、三角形，考查降次公式、辅助角公式，考查三角函数值域的求法，属于中档题.18.在平面直角坐标系xOy中，己知圆22:240CxyxyF，且圆C被直线320 xy截得的弦长为2.（1）求圆C的标准方程；（2）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，求切线l的方程；（3）若圆22:()(1)2Dxay上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足2PMPO，求实数a的取值范围.【答案】（1）22(1)(2)2xy；（2）26yx或26yx或30 xy或10 xy；（3）24a【解析】【分析】（1）将圆方程整理为标准方程形式，可知5F，得到圆心坐标和半径；由垂径定理可利用弦长构造出关于F的方程，

19、解方程求得F，从而得到标准方程；（2）分为直线l过原点和不过原点两种情况，分别假设直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果；（3）设,P x y，根 据222PMPO且222PMPCr可 整 理 出P点 轨 迹 方 程 为：22128xy；根据P在圆2212xay上，则两圆有公共点，根据圆与圆位置关系的判定可构造不等式，解不等式求得结果.【详解】（1）圆C方程可整理为：22125xyF5F圆C的圆心坐标为1,2C，半径5rF圆心C到直线320 xy的距离：123212d截得的弦长为：2222 512rdF，解得：3F圆C的标准方程为：22122xy（2）若直线l过原点，可假设直线

20、l方程为：ykx，即0kxy直线l与圆相切圆心到直线距离2221kdrk，解得：26k切线l方程为：26yx若直线l不过原点，可假设直线l方程为：1xyaa，即0 xya圆心到直线距离1222adr，解得：1a或3切线l方程为10 xy或30 xy综上所述，切线l方程为26yx或10 xy或30 xy（3）假设,P x y2PMPO，即222PMPO又直线PM与圆C相切，切点为M2222222PMPCrPCPO即：22222122xyxy，整理得：22128xyP又在圆2212xay上两圆有公共点2221213 2a，解得：24a即a的取值范围为：2,4【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与

21、圆的位置关系的应用问题；关键是明确直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离与半径之间的大小关系来确定；圆与圆的位置关系通过圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来确定.19.如图，在P地正西方向16km的A处和正东方向2km的B处各一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F.（1）若在P处看E，F的视角45EPF，在B处看E测得45ABE，求AE，BF；（2）为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设EPA，公路PF的每千米建设成本为a万元，公路PE的每千米建设成本为8a万元.为节省建设成本，试确定E，F的位置，使公路的总建设成本最小.【答案】（1）

22、18kmAE，34kmBF；（2）当AE为4km，且BF为8km时，成本最小【解析】【分析】（1）根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 到AE，利 用135APEBPF，以 及tanAPEBPF的展开公式列方程，解方程求得BF的值.（2）利用表示出,PE PF，由此求得总成本的表达式，利用导数求得,AE BF为何值时，总成本最小.【详解】解：（1）在Rt ABE中，由题意可知18AB，45ABE，则18AE在Rt APE中，189tan168AEAPEAP，在Rt BPF中tan2BFBFBPFBP因为45EPF，所以135APEBPF，于是tantantan()1tantanA

23、PEBPFAPEBPFAPEBPF98219182BFBF所以34BF答：18kmAE，34kmBF（2）在RtPAE中，由题意可知APE，则16cosaPE同理Rt PBF中，PFB，则2sinPF令1082()8cossinfPEPFa，02，则22108sin2cos()cossinfa332264sincos2sincosa，令()0f，得1tan4，记01tan4，002，当0(0,)时，()0f，()f单调减；当0,2时，()0f，()f单调增所以1tan4时，()f取得最小值，此时1tan1644AEAP，8tanBPBF所以当AE为4km，且BF为8km时，成本最小【点睛】本小

24、题主要考查两角和的正切公式，考查解直角三角形，考查利用角度表示边长，考查实际应用问题的求解策略，考查利用导数求最小值，属于中档题.20.己知函数2()()xf xxaeb在0 x处的切线方程为10 xy，函数()(ln1)g xxkx.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()g x的极值；（3）设()min(),()F xf xg x（min,p q表示p，q中的最小值），若()F x在(0,)上恰有三个零点，求实数k的取值范围.【答案】（1）21xfxxe；（2）极小值2lnkkk，无极大值（3）2,e【解析】【分析】（1）先求得函数fx导数，利用切点坐标和函数在0 x时切线的斜率

25、也即导数列方程组，解方程组求得,a b的值，进而求得函数fx的解析式.（2）先求得g x的定义域和导函数，对k分成0,0kk两种情况，通过函数的单调性讨论函数g x的极值.（3）先根据（1）判断出fx有且仅有一个零点1，故需g x在0,上有仅两个不等于1 的零点.根据（2）判断出当2ke时，F x没有三个零点；当2ke时，通过零点存在性定理以及利用导数的工具作用，证得g x分别在,e k，2,k k分别有1个零点，符合题意.由此求得实数k的取值范围.【详解】解：（1）22()(22)2xfxxa xaa e因为fx在0 x处的切线方程为10 xy所以2202101faafab，解得10ab所以

26、21xfxxe（2）g x的定义域为0,，xkgxx若0k时，则0gx在0,上恒成立，所以g x在0,上单调递增，无极值若0k时，则当0 xk时，0gx，g x在0,k上单调递减；当xk时，0gx，g x在,k上单调递增；所以当xk时，g x有极小值2lnkkk，无极大值（3）因为0fx仅有一个零点1，且0fx恒成立，所以g x在0,上有仅两个不等于1 的零点当0k时，由（2）知，g x在0,上单调递增，g x在0,上至多一个零点，不合题意，舍去当20ke时，min2ln0g xg kkk，g x在0,无零点当2ke时，0g x，当且仅当2xe等号成立，g x在0,仅一个零点当2ke时，2ln

27、0g kkk，0g ee，所以0g kg e，又g x图象不间断，g x在0,k上单调递减故存在1,xe k，使10g x又22ln1g kk kk下面证明，当2xe时，2ln10h xxx20 xhxx，h x在2,e上单调递增2230h xh ee所以22ln10g kkkk，20g kg k又g x图象在0,上不间断，g x在,k上单调递增，故存在22,xk k，使20g x综上可知，满足题意的k的范围是2,e【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用函数图像上某点的切线方程求函数解析式，考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.