2020年中考数学一轮复习培优训练：《一次函数》.pdf

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1、2020 年中考数学一轮复习培优训练：一次函数1如图1，已知直线y2x+2 与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰RtABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图 2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若ADAC，求证：BEDE（3）如图 3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使BPN面积等于BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由2如图，A（2，2）、ABx轴于点B，ADy轴于点D，C（2，1）为AB的中点，直线CD交x轴于点F（1）求直线CD的函数关系

2、式；（2）过点C作CEDF且交x轴于点E，求证：ADCEDC；（3）求点E坐标；（4）点P是直线CE上的一个动点，求PB+PF的最小值3如图，一次函数yx+2 的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，直线ykx+b经过点B与点C（2，0）（1）点A的坐标为；点B的坐标为；（2）求直线ykx+b的表达式；（3）在x轴上有一动点M（t，0），过点M做x轴的垂线与直线yx+2 交于点E，与直线ykx+b交于点F，若EFOB，求t的值（4）当点M（t，0）在x轴上移动时，是否存在t的值使得CEF是直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，直接答不存在4如图直线ykx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴

3、于点B，且AB 2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1 个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB（BQOP），求此时直线PQ的解析式5【模型建立】（1）如图 1，等腰 RtABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过点A作ADED于点D，过点B作BEED于点E，求证：BECCDA；【模型应用】（2）如图 2，已知直线l1：yx+3 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45至直线l2；

4、求直线l2的函数表达式；（3）如图 3，平面直角坐标系内有一点B（3，4），过点B作BAx轴于点A、BCy轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y 2x+1 上的动点且在第四象限内试探究CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由6如图，一次函数ykx+b（k0）的图象与x轴，y轴分别交于A（9，0）、B（0，6），过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分（1）求一次函数ykx+b（k0）的解析式；（2）求直线l的解析式；（3）若CBE与ABO相似，求点E的坐标7如图，直线ykx+6 与x轴、y轴分别相交于点E、F，点E的坐标为（8，0

5、），点A的坐标为（6，0），点P是直线EF上的一个动点（1）求k的值；（2）点P在第二象限内的直线EF上的运动过程中，写出OPA的面积S与x的函整表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究，当点P在直线EF上运动到时，OPA的面积可能是15 吗，若能，请求出点P的坐标；若不能，说明理由8如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线ykx+3 与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B（1）求k的值及AOB的面积；（2）点C在x轴上，若ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标；（3）点M（3，0）在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当PBM的面积与AOB的面积相等时，求点P的坐标9

6、【模型建立】（1）如图 1，等腰 RtABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过点A作ADED于点D，过点B作BEED于点E，求证：BECCDA；【模型应用】（2）如图 2，已知直线l1：y2x+3 与x轴交于点A、与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45至直线l2；求直线l2的函数表达式；（3）如图 3，平面直角坐标系内有一点B（3，4），过点B作BAx轴于点A、BCy轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y 2x+1 上的动点且在第四象限内试探究CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由10在平面直角坐标系xoy中，直线AB交x轴于点A，交

7、y轴于点B，tan OAB1，点A的坐标是（4，0）（1）如图 1，求直线AB的解析式；（2）如图 2，点P在第 一象限内，连接OP，过点P作PCOP交BA延长线于点C，且OPPC，过点C作CDx轴于点D，连接PD，设点C的横坐标为t，OPD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图 3，在（2）的条件下，过点B作BEy轴，连接CE、PE，若PEB+POD45，CE5AD时，求S的值11在平面直角坐标系上，已知点A（8，4），ABy轴于B，ACx轴于C，直线yx交AB于D（1）直接写出B、C、D三点坐标；（2）若E为OD延长线上一动点，记点E横坐标为a，BCE

8、的面积为S，求S与a的关系式；（3）当S20 时，过点E作EFAB于F，G、H分别为AC、CB上动点，求FG+GH的最小值12直线yx+4 与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是OB的中点，D是线段AB上一点（1）求点A、B的坐标；（2）若四边形OEDC是菱形，如图1，求AOE的面积；（3）若四边形OEDC是平行四边形，如图2，设点D的横坐标为x，AOE的面积为S，求S关于x的函数关系式13【模型建立】（1）如图 1，等腰直角三角形ABC中，ACB90，CACB，直线ED经过点C，过A作ADED于点D，过B作BEED于点E求证：CDABEC【模型运用】（2）如图 2，直线l1：yx+4 与坐标轴

9、交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90至直线l2，求直线l2的函数表达式【模型迁移】如图 3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，OCB30，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标14如图 1，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，已知A（4，0）、C（0，3），将其绕点A顺时针旋转，得到矩形OABC，旋转一周后停止（1）当边OA所在直线将矩形分成面积比为5：1 的两部分时，求OA所在直线的函数关系式（2）在旋转过程中，若以C，O，B，A四点为顶点的四边形是平行四

10、边形，求点O 的坐标（3）取CB 中点M，连接CM，在旋转过程中，当CM取得最大值时，直接写出ABM的面积15如图，在平面直角坐标系中，直线ykx+b经过点A（4，0）、B（0，2），点P是x轴正半轴上的动点，过点P作PCx轴，交直线AB于点C，以OA、AC为边构造平行四边形OACD设点P的横坐标为m（1）若四边形OACD恰是菱形，请求出m的值；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在点Q，连结CQ，使得OQC+ODC180？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由参考答案1解：（1）令x0，则y2，令y0，则x 2，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（1，0），过点C作C

11、Hx轴于点H，HCB+CBH 90，CBH+ABO 90，ABOBCH，CHBBOA90，BCBA，CHBBOA（AAS），BHOA 2，CHOB，则点C（3，1），将点A、C的坐标代入一次函数表达式：ymx+b得：，解得：，故直线AC的表达式为：yx+2；（2）同理可得直线CD的表达式为：yx，则点E（0，），直线AD的表达式为：y 3x+2，联立并解得：x1，即点D（1，1），点B、E、D的坐标分别为（1，0）、（0，）、（1，1），故点E是BD的中点，即BEDE；（3）将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：yx，将点P坐标代入直线BC的表达式得：k，直线AC的表达式

12、为：yx+2，则点M（6，0），SBMCMByC5 1，SBPNSBCMNBkNB，解得：NB，故点N（，0）或（，0）2解：（1）四边形ABOD为正方形，A（2，2）、ABBOODAD 2，D（0，2），C为AB的中点，BC1，C（2，1），设直线CD解析式为ykx+b（k0），则有，解得直线CD的函数关系式为yx+2；（2）C是AB的中点，ACBC，四边形ABOD是正方形，ACBF90，在ACD和BCF中，ACDBCF（ASA），CFCD，CEDF，CE垂直平分DF，DEFE，EDCEFC，ADBF，EFCADC，ADCEDC；（3）由（2）可BFAD2，且BC1，CBFCBEFCE90，

13、CFB+FCBFCB+ECB90，CFBBCE，BCFBEC，BEOEOBBE2E点坐标为（，0）；（4）如图，连接BD交直线CE于点P由（2）可知点D与点F关于直线CE对称，PDPF，PB+PFPB+PDBD，PB+PF的最小值为BD的长，B（2，0），D（0，2），BD2，PB+PF的最小值为 23解：（1）一次函数yx+2 的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，令y0，则x 3；令x0，则y2，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，2），故答案为：（3，0），（0，2）（2）直线ykx+b经过点B与点C（2，0）解得：直线ykx+b的表达式为yx+2（3）MEx轴，点M、E、F的横坐标

14、都是t，点E（t，t+2），点F（t，t+2）EF|t|，EFOB 2，2|t|t（4）当点M在点C左边时，点E与点A重合时，CEF90，CEF是直角三角形，t 3；当点M在点C右边，且ECF90时，ECF90，ECM+FCM 90，且ECM+CEF 90，CEFFCM，且CMFCME90，CMEFMC，（t2）2（t+2）（t2）t2（不合题意舍去），t12 综上所述：t 3 或t 12 时，CEF是直角三角形4解：（1）对于直线ykx+k，令y0，可得x 1，A（1，0），OA1，AB 2，OB，k（2）如图，tan BAO，BAO60，PQAB，APQ90，AQP30，AQ2AP2t，当

15、 0t时，S?OQ?Py（12t）?tt2+t当t时，SOQ?Py（2t1）?tt2t（3）OQ+AB（BQOP），2t1+2（），2t+1?，4t2+4t+1 7t27t+7，3t2 11t+60，解得t3 或（舍弃），P（，），Q（5，0），设直线PQ的解析式为ykx+b，则有，解得，直线PQ的解析式为yx+5解：（1）如图 1 所示：ADED，BEED，ADCCEB90，又ACD+ACB+BEC180，ACB90，ACD+BEC 90，又ACD+DAC90，DACECB，在CDA和BEC中，CDABEC（AAS）；（2）过点B作BCAB交AC于点C，CDy轴交y轴于点D，如图 2 所示：

16、CDy轴，x轴y轴，CDBBOA90，又BCAB，ABC90，又ABO+ABC+CBD180，ABO+CBD 90，又BAO+ABO90，BAOCBD，又BAC45，ACB45，ABCB，在ABO和BCD中，ABOBCD（AAS），AOBD，BOCD，又直线l1：yx+3 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A、B两点的坐标分别为（2，0），（0，3），AO2，BO3，BD2，CD3，点C的坐标为（3，5），设l2的函数表达式为ykx+b（k0），点A、C两点在直线l2上，依题意得：，解得：，直线l2的函数表达式为y 5x10；（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，若点P为直角时，如图3 甲所示

17、：设点P的坐标为（3，m），则PB的长为 4+m，CPD90，CPPD，CPM+CDP+PDH180，CPM+PDH 90，又CPM+DPM90，PCMPDH，在MCP和HPD中，MCPHPD（AAS），CMPH，PMPD，点D的坐标为（7+m，3+m），又点D在直线y 2x+1 上，2（7+m）+1 3+m，解得：m，即点D的坐标为（，）；若点C为直角时，如图3 乙所示：设点P的坐标为（3，n），则PB的长为 4+n，CACD，同理可证明PCMCDH（AAS），PMCH，MCHD，点D的坐标为（4+n，7），又点D在直线y 2x+1 上，2（4+n）+1 7，解得：n0，点P与点A重合，点M

18、与点O重合，即点D的坐标为（4，7）；若点D为直角时，如图3 丙所示：设点P的坐标为（3，k），则PB的长为 4+k，CDPD，同理可证明CDMPDQ（AAS），MDPQ，MCDQ，点D的坐标为（，），又点D在直线y 2x+1 上，2，解得：k，点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（，）；综合所述，点D的坐标为（，）或（4，7）或（，）6解：（1）一次函数ykx+b（k0）的图象与x轴，y轴分别交于A（9，0），B（0，6）两点，解得，一次函数ykx+b的表达式为yx+6；（2）如图 1，直线l与y轴的交点为D，BCl，BCD90BOC，OBC+OCBOCD+OCB，OBCOCD，B

19、OCCOD，OBCOCD，B（0，6），C（2，0），OB6，OC2，OD，D（0，），C（2，0），设直线l的函数解析式为ymx+n，得直线l的解析式为y；（3）CBE与ABO相似，当CBE1OAB时，则，点A（9，0）、B（0，6），点C（2，0），OA9，OB6，OC2，BOD90，BC，解得，CE1，设点的E1坐标为（a，），则且a0，解得，a6，点E1坐标为（6，）；当CBE2OBA时，则，点A（9，0）、B（0，6），点C（2，0），OA9，OB6，OC2，BOD90，BC，解得，CE23，设点的E2坐标为（c，），则且c0，解得，c11，则点E2坐标为（11，3）；由上可得，E点

20、坐标为或（11，3）7解：（1）点E的坐标为（8，0），且在直线ykx+6 上，则 8k+60，解得，；（2）点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，；（3）当点P在x轴的上方时，由题意得，15，整理，得，解得，则此时点P的坐标是；当点P在x轴的下方时，y 5，此时综上所述，OPA的面积是15 时，点P的坐标为或8解：（1）将点A（2，0）代入直线ykx+3，得0 2k+3，解得k，yx+3当x0 时，y3B（0，3），OB3当y0 时，x+30，x2，A（2，0），OA2，SAOBOA?OB233（2）如图 2，当ABBC时，点C与点A（2，0）关于y轴对称，故C（2，0）符合题意；当

21、ABAC时，由A（2，0），B（0，3）得到AB，由ACAC得到C（+2，0）、C（2，0）综上所述，符合条件的点C的坐标是（2，0）或（+2，0）或（2，0）；（3）M（3，0），OM3，AM321由（1）知，SAOB3，SPBMSAOB3；当点P在x轴下方时，SPBMSPAM+SABM+?AM?|yP|+1|yP|3，|yP|3，点P在x轴下方，yP 3当y 3 时，代入yx+3 得，3x+3，解得x4P（4，3）；当点P在x轴上方时，SPBMSAPMSABM?AM?|yP|1|yP|3，|yP|9，点P在x轴上方，yP3当y9 时，代入yx+3 得，9x+3，解得x 4P（4，9）9解：

22、（1）如图 1 所示：ADED，BEED，ADCCEB90，又ACD+ACB+BEC180，ACB90，ACD+BEC 90，又ACD+DAC90，DACECB，在CDA和BEC中，CDABEC（AAS）；（2）过点B作BCAB交AC于点C，CDy轴交y轴于点D，如图 2 所示：CDy轴，x轴y轴，CDBBOA90，又BCAB，ABC90，又ABO+ABC+CBD180，ABO+CBD90，又BAO+ABO90，BAOCBD，又BAC45，ACB45，ABCB，在ABO和BCD中，ABOBCD（AAS），AOBD，BOCD，又直线l1：y2x+3 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A、B两点的

23、坐标分别为（，0），（0，3），AO，BO3，BD，CD3，点C的坐标为（3，），设l2的函数表达式为ykx+b（k0），点A、C两点在直线l2上，依题意得：，解得：，直线l2的函数表达式为y 3x；（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，若点P为直角时，如图3 甲所示：设点P的坐标为（3，m），则PB的长为 4+m，CPD90，CPPD，CPM+CDP+PDH180，CPM+PDH 90，又CPM+DPM90，PCMPDH，在MCP和HPD中，MCPHPD（AAS），CMPH，PMPD，点D的坐标为（7+m，3+m），又点D在直线y 2x+1 上，2（7+m）+1 3+m，解得：m，即点D的坐

24、标为（，）；若点C为直角时，如图3 乙所示：设点P的坐标为（3，n），则PB的长为 4+n，CACD，同理可证明PCMCDH（AAS），PMCH，MCHD，点D的坐标为（4+n，7），又点D在直线y 2x+1 上，2（4+n）+1 7，解得：n0，点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（4，7）；若点D为直角时，如图3 丙所示：设点P的坐标为（3，k），则PB的长为 4+k，CDPD，同理可证明CDMPDQ（AAS），MDPQ，MCDQ，点D的坐标为（，），又点D在直线y 2x+1 上，2，解得：k，点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（，）；综合所述，点D的坐标为（，）或（

25、4，7）或（，）10解：（1）点A的坐标是（4，0），OA4，tan OAB1，OAB45，OBOA 1，B（0，4），设直线AB的解析式为ykx+b，解得：，直线AB的解析式为yx+4；（2）过P作PHOB于H，延长CD交HP于G，CDx轴，HPx轴，CDHP，G90，四边形HODG是矩形，OHDG，HPO+CPG 90，HPO+HOP 90，HOPCPG，OPPC，HOPGPC（AAS），HPCG，OHPGDG，点C的横坐标为t，CDt4，设DGm，则CGHGPGtm，mt4tm，m2，PN2，SOD?PNt；（3）延长EB，OP交于K，过P作PHOB于H，由（2）知，OHBH2，PHBK

26、，OPPK，连接OC，CK，OPPC，POCPCOOKC45，PCPK，OCCK，延长EP交CK于T，PEB+POD 45，DOC+POD 45，DOCPEB，OCKODC90，DOCDCK，CQKODC90，OCCK，KCQCOD（AAS），QKCDAD，DCKPEB，PTK90，CTTK，ECEK，CAD45，ADDC 4t，CE5AD5（t4），EQEKQK4（t4），由勾股定理得，CQ3（t4），CQQD+CDt，3（t4）t，解得：t6，S611解：（1）ABy轴于B，ACx轴于C，ABOACOCOB90，四边形ABOC是矩形，A（8，4），ABOC 8，ACOB4，B（0，4），C

27、（8，0），直线yx交AB于D，BOD45，OBDB 4，D（4，4）（2）由题意E（a，a），SSOBE+SOECSOBC4a+8a486a16（3）当S20 时，206a16，解得a6，E（6，6），EFAB于F，F（6，4），如图二中，作点F关于直线AC的对称点F，作FHBC于H，交AC于G此时FG+GH的值最小ABCFBH，BACFHB，ABCHBF，AC4，BC 4，BFAB+AF 8+210，FH2，FG+GH的最小值FH212解：（1）直线yx+4 与x轴、y轴分别交于A、B两点，当x0 时，y4，当y0 时，x4点A（4，0），点B（0，4）（2）如图，过点D作DHBC于点H，

28、OA4，OB4 tan ABOABO60C是OB的中点，BCOC 2，四边形OEDC是菱形，OCODDE2 CDBC，CBD60BCD是等边三角形BD2，DHBC，ABO60BH1，HDBH当x时，y3 D（，3）SAOE 4（32）2（3）由点D是线段AB上一点，设点D（x，x+4）四边形OEDC是平行四边形OCDE 2，点E（x，x+2）当x+20，即 0 x 2时，S（x+2）2x+4当x+20，即 2x4S4（x2）2x413证明：【模型建立】（1）ADDE，BEDE，DE90ACB90，ACD90BCECBE，且CABC，DE90CDABEC（AAS）【模型运用】（2）如图 2，在l

29、2上取D点，使ADAB，过D点作DEOA，垂足为E直线yx+4 与坐标轴交于点A、B，A（3，0），B（0，4），OA3，OB4，由（1）得BOAAED，DEOA 3，AEOB4，OE7，D（7，3）设l2的解析式为ykx+b，得解得直线l2的函数表达式为：【模型迁移】（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BEOC，BE2，BCO30，BEOCBC4，将线段AP绕点P顺时针旋转30得到BP，APBP，APB30，APCAOC+OAPAPB+BPC，OAPBPC，且OACPCB30，APBP，OAPCPB（AAS）OPBC 4，点P（4，0）若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BEOC，BE

30、2，BCO30，BEOCBC4，将线段AP绕点P顺时针旋转30得到BP，APBP，APB30，APE+BPE 30，BCE30BPE+PBC，APEPBC，AOEBCO30，AOPBCP150，且APEPBC，PAPBOAPCPB（AAS）OPBC 4，点P（4，0）综上所述：点P坐标为（4，0）或（4，0）14解：（1）矩形OABC中，A（4，0），C（0，3）OABB90，BCOA4，ABOC3 OA所在直线将矩形分成面积比为5：1 的两部分小的部分面积为矩形面积的如图 1，当直线OA交OC边于点D，则SAODS矩形OABCOA?ODOA?OCODOC1 D（0，1）设直线OA关系式为：y

31、kx+b解得：直线OA关系式为：yx+1 如图 2，当直线OA交BC边于点E，则SABES矩形 OABCAB?BEAB?BCBEBCCEBCE（，3）设直线OA关系式为：ykx+b解得：直线OA关系式为：yx+9 综上所述，OA所在直线的函数关系式为yx+1 或yx+9（2）若四边形AOCB 为平行四边形，则O 与O重合，还没开始旋转，不符合题意若四边形COBA为平行四边形，如图3，过点O 作OFx轴于点F，交BC于点G，OA交BC于E四边形OFGC是矩形OFCG，FGOC3 CO AB，且CO AB CO AB3，COEOAB ABE90在COE与ABE中，COEABE（AAS）CEAE，O

32、EBE设CEa，则OEBE4aRtCOE中，CO2+OE2CE232+（4a）2a2解得：aCE，OEsin OCE，cosOCERtCOG中，sin OCE，cosOCEOGCO，OFCGCO OFOG+FG+3O（，）若四边形CAOB 为平行四边形，如图4，过点O 作OFx轴于点F，CB 交x轴于点HCB AO，且CB AO CB AO BC4，CBAOAB B 90，AHB OAF在 RtABC与 RtABC中RtABC与 RtABC（HL）ACBACB BCOAACBOACACB OACCHAH设OHh，则CHAH4hRtCOH中，CO2+OH2CH232+h2（4h）2解得：aOH，

33、CH，sin CHO，cosCHOOAFAHB CHOsin OAF，cosOAFOFAO，AFAO OFOA+AF4+O（，）综上所述，点O 的坐标为（，）或（，）（3）如图 5，B 90，AB 3，BMCB 2 AM点M在以A为圆心、为半径长的圆上运动当点M运动到线段CA延长线上时，CM最长，如图6 过M作MNAB于BA延长线上的点NMNBCAMNACBACMNSABMAB?MN15解：（1）A（4，0）、B（0，2），OA4，OB2，AP4m，PCOB，OABPAC，即，PC2，AC，四边形OACD恰是菱形，OAAC，即|4 m|4，解得，m；（2）存在，设点Q的坐标为（0，n），当m时，如图1 所示四边形OACD恰是菱形，ODCCAO，CDO+OQC 180，OQC+BQC180，BQCBAO，QBCABO，BQCBAO，ACAO 4，AB，BCABAC24，BQ104，2n104，n48，Q（0，48）当m时，如图2 所示，四边形OACD恰是菱形，ODCCAO，CDO+OQC180，OAC+OAB180，OQCBAO，AOBPOQ90，PQOBAO，即，解得，n或，此时，Q（0，）或（0，）综上，Q点的坐标为（0，48）或（0，）或（0，）