2013年北京市中考数学试题及答案.pdf

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1、-1-2013 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷学校姓名准考证号考生须知1本试卷共6 页，共五道大题，25 道小题，满分120 分。考试时间120 分钟。2在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。3试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。5考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题（本题共32 分，每小题4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1.在关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）中，北 京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。将

2、3 960 用科学计数法表示应为A.39.6 102B.3.96 103C.3.96104D.3.961042.43的倒数是A.34B.43C.43D.343.在一个不透明的口袋中装有5 个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2 的概率为A.51B.52C.53D.544.如图，直线a，b被直线c所截，ab，1=2，若 3=40，则 4 等于A.40B.50C.70D.805.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得 AB BC，CDBC，点 E 在 BC 上，并且点A，E，D 在同一条直线上。若测得 BE=

3、20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB 等于A.60m B.40m C.30m D.20m 6.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是-2-7.某中学随机地调查了50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时）5 6 7 8 人数10 15 20 5 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是A.6.2 小时B.6.4 小时C.6.5 小时D.7 小时8.如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦 AP 的长为x，APO 的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共16 分，每

4、小题4 分）9.分解因式：aabab442=_ 10.请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_10 11.如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，若 AB=5，AD=12，则四边形ABOM 的周长为 _ 12.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：1xt，双曲线xy1。在l上取点 A1，过点 A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点 B1作y轴的垂线交l于点 A2，请继续操作并探究：过点A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过点 B2作y轴的垂线交l于点 A3，这样依次得到l上的点 A1，A2，A3，An，。记点An的横坐标为na，若

5、21a，则2a=_，2013a=_；若要将上述操作无限次地进行下去，则1a不能取的值是_-3-三、解答题（本题共30 分，每小题5 分）13.如图，已知D 是 AC 上一点，AB=DA，DEAB，B=DAE。求证：BC=AE。14.计算：10)41(45cos22)31(。15.解不等式组：xxxx2312316.已知0142xx，求代数式22)()32(yyxyxx的值。17.列方程或方程组解应用题：某园林队计划由6 名工人对180 平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2 名工人，结果比计划提前 3 小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积。-4-18已知关于x的一元

6、二次方程04222kxx有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值。四、解答题（本题共20 分，每小题5 分）19如图，在ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE=21BC，连结 DE，CF。（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）若 AB=4，AD=6，B=60，求 DE 的长。20如图，AB 是 O 的直径，PA，PC 分别与 O 相切于点A，C，PC 交AB 的延长线于点D，DE PO 交 PO 的延长线于点E。（1）求证：EPD=EDO（2）若 PC=6，tanPDA=43，求 OE 的长。-5-21第

7、九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013 年 5 月 18 日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分：（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04 平方千米，牡丹园面积为_平方千米；（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18 倍，水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根据小娜的发现，请估计将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的

8、停车位数量（直接写出结果，精确到百位）。第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表日均接待游客量（万人次）单日最多接待游客量（万人次）停车位数量（个）第七届0.8 6 约 3 000 第八届2.3 8.2 约 4 000 第九届8（预计）20（预计）约 10 500 第十届1.9（预计）7.4（预计）约_-6-22阅读下面材料：小 明 遇到 这样 一个 问题：如图1，在 边长 为)2(aa的正 方形ABCD各边 上分 别 截取AE=BF=CG=DH=1，当 AFQ=BGM=CHN=DEP=45 时，求正方形MNPQ 的面积。小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交 FA，GB，HC，ED

9、 的延长线于点R，S，T，W，可得 RQF，SMG，TNH，WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为 _；（2）求正方形MNPQ 的面积。参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在等边 ABC 各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F 作 BC，AC，AB 的垂线，得到等边RPQ，若33RPQS，则AD 的长为 _。-7-五、解答题（本题共22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23在平面直角坐标系xOy中，抛物线222mxmxy（0m）

10、与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点 B。（1）求点 A，B 的坐标；（2）设直线l与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在12x这一段位于直线l的上方，并且在32x这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式。-8-24在 ABC 中，AB=AC，BAC=（600），将线段BC 绕点 B 逆时针旋转60得到线段BD。图 1 图 2（1）如图 1，直接写出 ABD 的大小（用含的式子表示）；（2）如图 2，BCE=150，ABE=60，判断 ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若 DEC=45，求的值。-9-25 对于平面直角坐标系

11、xOy中的点 P和 C，给出如下定义：若 C 上存在两个点A，B，使得 APB=60，则称 P 为 C 的关联点。已知点 D（21，21），E（0，-2），F（32，0）（1）当 O 的半径为1 时，在点 D，E，F 中，O 的关联点是 _；过点 F 作直线l交y轴正半轴于点G，使 GFO=30，若直线l上的点 P（m，n）是 O 的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。-10-2013 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程

12、正确写出即可2若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分3评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数一、选择题（本题共32 分，每小题4 分）题 号1 2 3 4 5 6 7 8 答 案B D C C B A B A 二、填空题（本题共16 分，每小题4 分）题 号9 10 11 12答 案a(b 2)2答案不唯一，如：x2 1203213-1，0 三、解答题（本题共30分，每小题 5分）13（本小题满分5分）证明：DE AB，BAC=ADE.1 分在 ABC 和 DAE 中，BAC=ADE，AB=DAB=DAE ABC DAE 4 分BC=AF5 分14（本小题满

13、分5分）解：011(13)22cos 45()4=2122424 分=55 分15（本小题满分5分）解：3x2x，13x2x，解不等式，得x-12 分解不等式，得x154 分不等式组的解集为-1x0 k521 分(2)k 为正整数，k=1，22 分当 k=1 时，方程2220 xx的根13x不是整数3 分当 k=2 时，方程220 xx的根12x，20 x都是整数4 分综上所述，k=25 分四、解答题（本题共20分，每小题 5分）19（本小题满分5 分）（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，ADBC，AD=BCF 是 AD 的中点，FD=12ADCE=12BCFD=CE1 分FDCE四边形

14、CEDF 是平行四边形2 分（2）解：过点D 作 DGCE 于点 G四边形ABCD 是平行四边形，ABCD，CD=AB=4，BC=AD=6 1=B=60在 RtDGC 中，DGC=90，-12-CG=CDcos1=2，DG=CDsin 1=2 33 分CE=12BC=3GE=14 分在 RtDGE 中，DGE=90，2213DEDGGE5 分20（本小题满分5 分）（1）证明：PA，PC 与 O 分别相切于点A，C，PA=PC，APO=EPDAB 是 O 的直径，PAABDEPO，A=E=90 POA=DOE，APO=EDO EPO=EDO2 分（2）解：连结OC，则 OCPD在 RtPAD

15、中，A=90，PA=PC=6，tan PDA=34，可得 AD=8，PD=10CD=4在 RtOCD 中，OCD=90，CD=4，tanODC=34，可得 OC=3，OD=5在 Rt PCO 中，由勾股定理得，PO=3 5可证 RtDEORt PCOOEODOCOP，即533 5OE OE=55 分21（本小题满分5 分）解：（1）0.031 分（2）补全条形统计图如下图3 分-13-（3）3 600，3 700，3 800，3 900 其中之一5 分22（本小题满分5 分）解：（1）这个新正方形的边长为a 1 分（2）由（1）可知，由 RQF，SMG，TNH，WPE 拼成的新正方形的面积与正

16、方形ABCD的面积相等 RAE，SBF，TCG，WDH 这四个全等的等腰直角三角形的面积之和等于正方形MNPQ的面积2 分 AE=BF=CG=DH=1，正方形 MNPQ 的面积 S=141 1223 分解决问题：AD 的长为235 分五、解答题（本题共22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23（本小题满分7分）解：（1）当 x=0 时，y=-2 点 A 的坐标为（0，-2）1 分将222ymxmx配方，得2(1)2ym xm，抛物线的对称轴为直线x=1 点 B 的坐标为（1，0）2 分（2 由题意，点A 关于直线x=1 对称点的坐标为（2，-2）3 分设直

17、线 l 的解析式为y=kx+b 点（1，0）和点（2，-2）在直线l 上，0,22.kbkb解得2,2.kb 直线 l 的解析式为y=-2x+24 分（3）由题意可知，抛物线关于直线x=1 对称，直线AB 和直线 l 也关于直线x=1 对称-14-抛物线在2x3 这一段位于直线AB 的下方，抛物线在-1x0 这一段位于直线l 的下方又抛物线在-2x2 时，点 P不是 O 的关联点 F3（2,0），且 GFO=30，OGF=60，OF=2 3，OG=2-15-如图，以 O 为圆心，OG 为半径作圆，设该圆与 l 的另一个交点为M当点 P 在线段 GM 上时，OP2，点 P 是 O 的关联点；当点 P 在线段 GM 的延长线或反向延长线上时，OP2，点 P 不是 O 的关联点连结 OM，可知 GOM 为等边三角形3 分过点 M 作 MNx 轴与点 N，可得 MON=30，ON=3 0m35分（2）设该圆的圆心为C根据可得，若点P 是 C 的关联点，则0PC2r由题意，点E，F 都是 C 的关联点，EC2r，FC2r6 分 EC+FC4r又EC+FCEF（当点 C 在线段 EF 上时，等号成立），4rEF7 分 E（0，-2），F3（2,0），EF=4 r1事实上，当点C 是 EF 中点时，对所有r1 的 C，线段 EF 上的所有点都是 C 的关联点综上所述，r18 分