2019-2020学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1下列事件中，随机事件是（）A通常温度降到0以下，纯净的水结冰B随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C明天太阳从东方升起D三角形的内角和是3602抛物线y（x2）2+1 的顶点坐标为（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）3只有 1 和它本身两个因数且大于1 的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果从5，7，11 这 3 个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7 的概率是（）ABCD14把 Rt ABC 三边的长度都扩大为原来的3 倍，则锐角A 的余弦值（）A不变B

2、缩小为原来的C扩大为原来的3 倍D扩大为原来的9倍5如图，ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DEBC若 AD 1，BD2，则 ADE与 ABC 的面积之比为（）A1：2B1：3C1：4D1：96如图，在正方形网格中，MPN绕某一点旋转某一角度得到MPN，则旋转中心可能是（）A点 AB点 BC点 CD点 D7已知 O1，O2，O3是等圆，ABP 内接于 O1，点 C，E 分别在 O2，O3上如图，以 C 为圆心，AP 长为半径作弧交O2于点 D，连接 CD；以 E 为圆心，BP 长为半径作弧交O3于点 F，连接 EF；下面有四个结论：CD+EF AB CO2D+EO3F AO1B

3、CDO2+EFO3 P所有正确结论的序号是（）ABCD8如图，抛物线y 1与 x 轴交于 A，B 两点，D 是以点 C（0，4）为圆心，1 为半径的圆上的动点，E 是线段 AD 的中点，连接OE，BD，则线段OE 的最小值是（）A2BCD3二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9点（1，3）关于原点的对称点的坐标为10如图，在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的端点为（0，1），lx 轴，请写出一个图象与射线l 有公共点的反比例函数的表达式：11如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为 0.618），就称这个矩形为黄金矩形如图，矩形ABCD 为黄金矩形，宽AD，则长 AB 为12如图，线段

4、 AB 经过 O 的圆心，AC，BD 分别与 O 相切于点C，D若 ACBD 1，A45，则的长度为13如图，在正方形网格中，点A，B，C 在O 上，并且都是小正方形的顶点，P 是上任意一点，则P 的正切值为14抛物线yax22ax 3 与 x 轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n 的值为15为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A 地进行销售由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A 地村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300

5、350400450500完好柑橘质量m/kg92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50柑橘完好的频率0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919 估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为（结果保留小数点后三位）；若从该村运到A 地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A 地柑橘完好的概率为16如图，分别过第二象限内的点P 作 x，y 轴的平行线，与y，x 轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D下面三个结论，存在无数个点P 使 SAOCSBOD；存在无数个点P 使 SPOASPO

6、B；存在无数个点P 使 S四边形OAPBSACD所有正确结论的序号是三、解答题（本题共68 分，第 17-22 题，每小题5 分，第 23-26 题，每小题5 分，第 27，28 题，每小题5 分）17计算：sin60 cos30+tan4518如图，在 ABC 中，B30，tanC，AD BC 于点 D若 AB8，求 BC 的长19如图，ABC 为等边三角形，将BC 边绕点 B 顺时针旋转30，得到线段BD，连接AD，CD，求 ADC 的度数20已知一次函数y1kx+m（k 0）和二次函数y2ax2+bx+c（a0）部分自变量和对应的函数值如下表：x21012y101234y201038（1

7、）求 y2的表达式；（2）关于 x 的不等式ax2+bx+ckx+m 的解集是21筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P 表示筒车的一个盛水桶如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方若圆被水面截得的弦AB 长为 8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度22在平面内，O 为线段 AB 的中点，所有到点O 的距离等于OA 的点组成图形W取 OA的中点 C，过点 C 作 CDAB 交图形 W 于的点 D，D 在直线 AB 的上方，连接 AD，BD（1）求 ABD 的度数；（2）若点 E 在线段 CA 的

8、延长线上，且ADE ABD，求直线DE 与图形 W 的公共点个数23阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在ABC中，ABAC，P是ABC内一点，PAC PCB PBA若 ACB45，AP1，求 BP 的长小军的思路是：根据已知条件可以证明ACP CBP，进一步推理可得BP 的长请回答：ABAC，ABC ACB PCB PBA，PCA PAC PCB，ACP CBP ACB 45，BAC 90AP 1，PCPB参考小军的思路，解决问题：如图 2，在 ABC 中，ABAC，P 是 ABC 内一点，PAC PCB PBA若ACB 30，求的值；24点 A 是反比例函数y（x0）的图象l1上一

9、点，直线AB x 轴，交反比例函数y（x0）的图象 l2于点 B，直线 ACy 轴，交 l2于点 C，直线 CDx 轴，交 l1于点D（1）若点 A（1，1），求线段AB 和 CD 的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB 和 CD 的大小关系，并证明25如图，在矩形ABCD 中，E 是 BA 延长线上的定点，M 为 BC 边上的一个动点，连接ME，将射线 ME 绕点 M 顺时针旋转76，交射线CD 于点 F，连接 MD小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM 的长度之间的关系进行了探究下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M 在 BC 上的不同位置，画图、测量，得到

10、了线段BM，DF，DM 的长度的几组值，如下表：位置 1位置 2位置 3位置 4位置 5位置 6位置 7位置 8位置 9BM/cm0.000.531.001.692.172.963.463.794.00DF/cm0.001.001.742.492.692.211.140.001.00DM/cm4.123.613.162.522.091.441.141.021.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF 2cm 时，DM 的长度约为

11、cm26在平面直角坐标系xOy 中，抛物线yax2+bx 经过点（3，3）（1）用含a的式子表示b；（2）直线 yx+4a+4 与直线 y4 交于点 B，求点 B 的坐标（用含a 的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，直接写出 a（a0）的取值范围27已知 MON 120，点 A，B 分别在 ON，OM 边上，且OAOB，点 C 在线段 OB上（不与点O，B 重合），连接 CA 将射线 CA 绕点 C 逆时针旋转120得到射线CA，将射 线BO绕 点B逆时 针旋转150 与射线CA交于点D（1）根据题意补全图1；（2）求证：OAC DCB

12、；CDCA（提示：可以在OA 上截取 OEOC，连接 CE）；（3）点 H 在线段 AO 的延长线上，当线段OH，OC，OA 满足什么等量关系时，对于任意的点 C 都有 DCH 2DAH，写出你的猜想并证明28在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（0，2），点 B 在 x 轴上，以AB 为直径作 C，点 P 在 y 轴上，且在点A 上方，过点P 作C 的切线 PQ，Q 为切点，如果点Q 在第一象限，则称Q 为点 P 的离点例如，图1 中的 Q 为点 P 的一个离点（1）已知点 P（0，3），Q 为 P 的离点 如图 2，若 B（0，0），则圆心C 的坐标为，线段 PQ 的长为；若 B（2，0）

13、，求线段PQ 的长；（2）已知 1PA 2，直线 l：ykx+k+3（k 0）当 k1 时，若直线l 上存在 P 的离点 Q，则点 Q 纵坐标 t 的最大值为；记直线 l：ykx+k+3（k0）在 1x1 的部分为图形G，如果图形G 上存在 P 的离点，直接写出k 的取值范围参考答案一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1下列事件中，随机事件是（）A通常温度降到0以下，纯净的水结冰B随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C明天太阳从东方升起D三角形的内角和是360【分析】根据随机事件的意义，这个选项进行判断即可解：“通常温度降到0以下，纯净

14、的水结冰”是必然事件；“随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是偶数，也可能是奇数”因此选项B 符合题意；“明天太阳从东方升起”是必然事件，不符合题意；“三角形的内角和是180”因此“三角形的内角和是360”是确定事件中的不可能事件，不符合题意；故选：B2抛物线y（x2）2+1 的顶点坐标为（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）【分析】抛物线的顶点式为：ya（xh）2+k，其顶点坐标是（h，k），可以确定抛物线的顶点坐标解：抛物线y（x2）2+1 是以抛物线的顶点式给出的，其顶点坐标为：（2，1）故选：A3只有 1 和它本身两个因数且大于1 的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关

15、素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果从5，7，11 这 3 个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7 的概率是（）ABCD1【分析】根据概率所求情况数与总情况数之比解答即可解：共3 个素数，分别是5，7，11，抽到的数是7 的概率是；故选：C4把 Rt ABC 三边的长度都扩大为原来的3 倍，则锐角A 的余弦值（）A不变B缩小为原来的C扩大为原来的3 倍D扩大为原来的9倍【分析】根据相似三角形的性质解答解：三边的长度都扩大为原来的3 倍，则所得的三角形与原三角形相似，锐角 A 的大小不变，锐角 A 的余弦值不变，故选：A5如图，ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DEBC

16、若 AD 1，BD2，则 ADE与 ABC 的面积之比为（）A1：2B1：3C1：4D1：9【分析】由 DEBC 可得出 ADE ABC，利用相似三角形的性质即可求出ADE 与ABC 的面积之比解：DEBC，ADE ABC，（）2（）2故选：D6如图，在正方形网格中，MPN绕某一点旋转某一角度得到MPN，则旋转中心可能是（）A点 AB点 BC点 CD点 D【分析】连接PP、NN、MM，作 PP的垂直平分线，作NN 的垂直平分线，作MM 的垂直平分线，交点为旋转中心解：如图，MNP 绕某点旋转一定的角度，得到MNP，连接 PP、NN、MM，作 PP的垂直平分线，作NN 的垂直平分线，作MM 的垂

17、直平分线，三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B故选：B7已知 O1，O2，O3是等圆，ABP 内接于 O1，点 C，E 分别在 O2，O3上如图，以 C 为圆心，AP 长为半径作弧交O2于点 D，连接 CD；以 E 为圆心，BP 长为半径作弧交O3于点 F，连接 EF；下面有四个结论：CD+EF AB CO2D+EO3F AO1B CDO2+EFO3 P所有正确结论的序号是（）ABCD【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论解：由题意得，APCD，BPEF，AP+BPAB，CD+EF AB；O1，O2，O3是等圆，+，+；CO2D AO1P，EO3F BO1P，AO1

18、P+BO1P AO1P，CO2D+EO3F AO1B；CDO2 APO1，BPO1 EFO3，P APO1+BPO1，CDO2+EFO3 P，正确结论的序号是，故选：D8如图，抛物线y 1与 x 轴交于 A，B 两点，D 是以点 C（0，4）为圆心，1 为半径的圆上的动点，E 是线段 AD 的中点，连接OE，BD，则线段OE 的最小值是（）A2BCD3【分析】根据抛物线y1 与 x 轴交于 A，B 两点，可得A、B 两点坐标，D 是以点 C（0，4）为圆心，根据勾股定理可求BC 的长为 5，E 是线段 AD 的中点，再根据三角形中位线，BD 最小，OE 就最小解：抛物线y1 与 x 轴交于 A

19、，B 两点，A、B 两点坐标为（3，0）、（3，0），D 是以点 C（0，4）为圆心，根据勾股定理，得BC5，E 是线段 AD 的中点，O 是 AB 中点，OE 是三角形ABD 的中位线，OEBD，即点 B、D、C 共线时，BD 最小，OE 就最小如图，连接BC 交圆于点D，BD BC CD 514，OE 2所以线段OE 的最小值为2故选：A二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9点（1，3）关于原点的对称点的坐标为（1，3）【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案解：点（1，3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）故答案为：（1，3）10如图，在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的端

20、点为（0，1），lx 轴，请写出一个图象与射线l 有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y【分析】直接利用射线的特点得出符合题意的反比例函数解析式解：射线l 的端点为（0，1），lx 轴，写出一个图象与射线l 有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y故答案为：答案不唯一，如y11如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为 0.618），就称这个矩形为黄金矩形如图，矩形ABCD 为黄金矩形，宽AD，则长 AB 为2【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案解：矩形ABCD 是黄金矩形，且AD，AB 2，故答案为212如图，线段 AB 经过 O 的圆心

21、，AC，BD 分别与 O 相切于点C，D若 ACBD 1，A45，则的长度为【分析】连接OC、OD，根据切线性质和A45，易证得 AOC 和 BOD 是等腰直角三角形，进而求得OCOD1，COD90，根据弧长公式求得即可解：连接OC、OD，AC，BD 分别与 O 相切于点C，DOCAC，ODBD，A45，AOC 45，AC OC1，AC BD1，OCOD1，ODBD，BOD 45，COD180 45 45 90，的长度为：，故答案为：13如图，在正方形网格中，点A，B，C 在O 上，并且都是小正方形的顶点，P 是上任意一点，则P 的正切值为【分析】：连接OA、OB，作 ODAB 于 D，如图，

22、利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到 AOD APB，再利用正切的性质得到tan AOD，从而得到tan P 的值解：连接OA、OB，作 ODAB 于 D，如图，OAOB，ODAB，AOD AOB，APBAOB，AOD APB，在 Rt AOD 中，tanAOD，tan P故答案为14抛物线yax22ax 3 与 x 轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n 的值为2【分析】根据根与系数的关系解答即可解：抛物线yax22ax3 与 x 轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），m+n2故答案是：215为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A 地进行销售由于受道路条件的限制，

23、需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A 地村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量m/kg92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50柑橘完好的频率0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919 估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为0.920（结果保留小数点后三位）；若从该村运到A 地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A

24、 地柑橘完好的概率为【分析】（1）根据表格中频率的变化情况，估计概率即可；（2）根据完好的概率进行列方程求解即可解：（1）根据抽查的柑橘完好的频率，大约集中在0.920 上下波动，因此估计柑橘的完好的概率为0.920，故答案为：0.920；（2）设总质量为m 千克，从火车站运到A 地柑橘完好的概率为x，由题意得，m0.920 xm0.880，解得，x，故答案为：16如图，分别过第二象限内的点P 作 x，y 轴的平行线，与y，x 轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D下面三个结论，存在无数个点P 使 SAOCSBOD；存在无数个点P 使 SPOASPOB；存在无数个点P 使 S四边形OAP

25、BSACD所有正确结论的序号是【分析】如图，设C（m，），D（n，），则 P（n，），利用反比例函数k 的几何意义得到SAOC3，SBOD3，则可对 进行判断；根据三角形面积公式可对 进行判断；通过计算S四边形OAPB和 SACD得到 m 与 n 的关系可对对 进行判断解：如图，设C（m，），D（n，），则 P（n，），SAOC3，SBOD 3，SAOCSBOD；所以 正确；SPOAn，SPOBn，SPOASPOB；所以 正确；S四边形OAPB n，SACDm（）3，当3，即 m2 mn2n20，所以 m 2n（舍去）或m n，此时 P 点为无数个，所以 正确故答案为 三、解答题（本题共68

26、分，第 17-22 题，每小题5 分，第 23-26 题，每小题5 分，第 27，28 题，每小题5 分）17计算：sin60 cos30+tan45【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案解：原式118如图，在 ABC 中，B30，tanC，AD BC 于点 D若 AB8，求 BC 的长【分析】根据直角三角形中30角所对的直角边是斜边的一半可以求得AD 的长，然后即可求得BD 的长，再根据AD 的长和 tanC，可以求得CD 的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决解：ADBC，ADB ADC90在 Rt ADB 中，B30，AB8，AD 4，BD，在 Rt ADC 中，tanC，

27、AD4，CD3BC BD+CD19如图，ABC 为等边三角形，将BC 边绕点 B 顺时针旋转30，得到线段BD，连接AD，CD，求 ADC 的度数【分析】首先证明ABD 90，求出 BDC，ADB 即可解决问题解：ABC 为等边三角形，AB BC，ABC 60根据题意可知BD BC，DBC 30AB BD ABD 90，BDC 75 BDA 45 ADC 3020已知一次函数y1kx+m（k 0）和二次函数y2ax2+bx+c（a0）部分自变量和对应的函数值如下表：x21012y101234y201038（1）求y2的表达式；（2）关于 x 的不等式ax2+bx+ckx+m 的解集是x 2 或

28、 x1【分析】（1）根据题意设出y2的表达式，再把（0，0）代入，求出a 的值，即可得出y2的表达式；（2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（2，0）和（1，3），x 2 或 x1时，y2y1，从而得出不等式ax2+bx+ckx+m 的解集解：（1）根据题意设y2的表达式为：y2a（x+1）21，把（0，0）代入得a1，y2x2+2x；（2）当 x 2 时，y1y20；当 x1 时，y1y23；直线与抛物线的交点为（2，0）和（1，3），而 x 2 或 x1 时，y2y1，不等式ax2+bx+ckx+m 的解集是x 2 或 x1故答案为：x 2 或 x121筒车是我国古代发明的一种水利灌溉

29、工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P 表示筒车的一个盛水桶如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方若圆被水面截得的弦AB 长为 8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度【分析】过O 点作半径ODAB 于 E，如图，利用垂径定理得到AEBE 4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE 的长即可解：过 O 点作半径ODAB 于 E，如图，AE BEAB84，在 Rt AEO 中，OE3，ED ODOE532，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m22在平面内，O 为线段 AB 的中点，所有到点O 的距离等于OA 的点组

30、成图形W取 OA的中点 C，过点 C 作 CDAB 交图形 W 于的点 D，D 在直线 AB 的上方，连接 AD，BD（1）求 ABD 的度数；（2）若点 E 在线段 CA 的延长线上，且ADE ABD，求直线DE 与图形 W 的公共点个数【分析】（1）根据题意，图形W 为以 O 为圆心，OA 为直径的圆如图1，连接 OD，根据等边三角形的判定与性质即可求解；（2）根据切线的判定即可求解解：（1）根据题意，图形W 为以 O 为圆心，OA 为直径的圆如图 1，连接 OD，OAOD点 C 为 OA 的中点，CDAB，AD ODOAODAD OAD 是等边三角形 AOD 60 ABD 30（2）如图

31、 2，ADE ABD，ADE 30 ADO 60 ODE 90ODDEDE 是O 的切线直线 DE 与图形 W 的公共点个数为123阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在 ABC 中，AB AC，P 是 ABC 内一点，PAC PCB PBA若 ACB45，AP1，求 BP 的长小军的思路是：根据已知条件可以证明ACP CBP，进一步推理可得BP 的长请回答：ABAC，ABC ACB PCB PBA，PCAPBC PAC PCB，ACP CBP ACB 45，BAC 90AP 1，PCPB2参考小军的思路，解决问题：如图 2，在 ABC 中，ABAC，P 是 ABC 内一点，PAC P

32、CB PBA若ACB 30，求的值；【分析】阅读材料：证明ACP CBP 得出由等腰直角三角形的性质得出 CBAC 得出PCAP得出 PBPC2解决问题：证明ACP CBP得出，设 APa，则 PC，得出 PB3a即可得出【解答】阅读材料：解：ABAC，ABC ACB PCB PBA，PCA PBC PAC PCB，ACP CBP ACB 45，BAC 90CBAC，AP 1，PCAPPBPC2故答案为：PBC；2；解决问题：解：作 ADBC 于 D，如图 2 所示：AB AC，ABC ACB30 BDCDBC，AD AC，CDAD，AC 2AD，BC 2CD2AD，PCB PBA，PCA P

33、BC PAC PCB，ACP CBP，设 APa，则 PC，PB 3a24点 A 是反比例函数y（x0）的图象l1上一点，直线AB x 轴，交反比例函数y（x0）的图象 l2于点 B，直线 ACy 轴，交 l2于点 C，直线 CDx 轴，交 l1于点D（1）若点 A（1，1），求线段AB 和 CD 的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB 和 CD 的大小关系，并证明【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（，3），即可求得AB 和 CD的长度；（2）根据题意得到A（a，），B（3a，）C（a，），D（，），进一步求得 AB2a，CD即可求得AB CD解：（1）AB

34、x 轴，A（1，1），B 在反比例函数的图象上，B（3，1）同理可求：C（1，3），D（，3）AB 2，CD（2）ABCD证明：A（a，b），A 在反比例函数的图象上，A（a，）AB x 轴，B 在反比例函数的图象上，B（3a，）同理可求：C（a，），D（，）AB 2a，CDa0，2aAB CD25如图，在矩形ABCD 中，E 是 BA 延长线上的定点，M 为 BC 边上的一个动点，连接ME，将射线 ME 绕点 M 顺时针旋转76，交射线CD 于点 F，连接 MD小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM 的长度之间的关系进行了探究下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M 在 BC

35、 上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM 的长度的几组值，如下表：位置 1位置 2位置 3位置 4位置 5位置 6位置 7位置 8位置 9BM/cm0.000.531.001.692.172.963.463.794.00DF/cm0.001.001.742.492.692.211.140.001.00DM/cm4.123.613.162.522.091.441.141.021.00在 BM，DF，DM 的长度这三个量中，确定BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象

36、，解决问题：当DF 2cm 时，DM 的长度约为2.98 和 1.35cm【分析】（1）由函数的定义可得；（2）描点即可；（3）结合图象，即可求解解：（1）由函数的定义可得：BM 的长度是自变量，DF 的长度和 DM 的长度都是这个自变量的函数，故答案为：BM，DF，DM；（2）如图所示（3）由图象得到：当DF 2cm 时，DM 的长度约为2.98cm 和 1.35cm26在平面直角坐标系xOy 中，抛物线yax2+bx 经过点（3，3）（1）用含 a 的式子表示b；（2）直线 yx+4a+4 与直线 y4 交于点 B，求点 B 的坐标（用含a 的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（

37、1，4），若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，直接写出 a（a0）的取值范围【分析】（1）将点（3，3）代入解析式即可求得；（2）把 y4 代入 yx+4a+4 得到关于x 的方程，解方程即可求得；（3）根据抛物线与线段AB 恰有一个公共点，分两种情况讨论，即可得结论解：（1）将点（3，3）代入 yax2+bx，得9a+3b3b 3a+1（2）令 x+4a+44，得 x 4aB（4a，4）（3）a 0，抛物线开口向下，抛物线与线段AB 恰有一个公共点，A（1，4），B（4a，4）点 A、B 所在的直线为y4，由（1）得 b13a，则抛物线可化为：yax2+（13a）x，分两种情况讨论：当抛物线

38、yax2+（13a）x 与直线 y4 只有一个公共点时，且抛物线的顶点在点A、B 之间，则 1 4a或 4a 1，方程 ax2+（13a）x4 的根的判别式：0，即（13a）2+16a0，解得 a1，a2 1，当 a1时，6（不符合题意），当 a2 1时，2，则 1 4a 成立 当抛物线经过点A 时，即当 x1，y 4 时，a+1 3a4，解得 a；a时，抛物线与线段AB 恰有一个公共点，综上：a 的取值为：a 1 或 a时，抛物线与线段AB 恰有一个公共点27已知 MON 120，点 A，B 分别在 ON，OM 边上，且OAOB，点 C 在线段 OB上（不与点O，B 重合），连接 CA 将射

39、线 CA 绕点 C 逆时针旋转120得到射线CA，将射 线BO绕 点B逆时 针旋转150 与射线CA交于点D（1）根据题意补全图1；（2）求证：OAC DCB；CDCA（提示：可以在OA 上截取 OEOC，连接 CE）；（3）点 H 在线段 AO 的延长线上，当线段OH，OC，OA 满足什么等量关系时，对于任意的点 C 都有 DCH 2DAH，写出你的猜想并证明【分析】（1）根据题意即可补全图形；（2）由旋转得 ACD120，由三角形内角和得出DCB+ACO60，OAC+ACO60，即可得出结论；在 OA 上截取 OEOC，连接 CE，则 OEC OCE（180 MON）30，AEC150，得

40、出 AEC CBD，易证AEBC，由 ASA 证得 AEC CBD，即可得出结论；（3）猜想OHOCOA 时，对于任意的点C 都有 DCH 2DAH，在 OH 上截取OF OC，连接 CF、CH，则 FH OA，COF 180 MON 60，得出 OFC 是等边三角形，则CF OC，CFH COA 120，由 SAS 证得 CFH COA，得出 H OAC，由三角形外角性质得出BCH COF+H 60+H 60+OAC，则 DCH 60+H+DCB 60+2OAC，由 CACD，ACD 120，得出 CAD 30，即可得出DCH 2DAH【解答】（1）解：根据题意补全图形，如图1所示：（2）证

41、明：由旋转得：ACD 120，DCB+ACO180 120 60，MON 120，OAC+ACO180 120 60，OAC DCB；在 OA 上截取 OEOC，连接 CE，如图 2 所示：则 OEC OCE（180 MON）（180 120）30，AEC 180 OEC180 30 150，由旋转得：CBD150，AEC CBD，OAOB，OEOC，AE BC，在 AEC 和 CBD 中，AEC CBD（ASA），CDCA；（3）解：猜想OHOCOA 时，对于任意的点C 都有 DCH 2DAH；理由如下：在 OH 上截取 OF OC，连接 CF、CH，如图 3 所示：则 FH OA，COF1

42、80 MON 180 120 60，OFC 是等边三角形，CF OC，CFH COA 120，在 CFH 和 COA 中，CFH COA（SAS），H OAC，BCH COF+H60+H60+OAC，DCH 60+H+DCB60+2OAC，CA CD，ACD 120，CAD 30，DCH 2（CAD+OAC）2DAH 28在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（0，2），点 B 在 x 轴上，以AB 为直径作 C，点 P 在 y 轴上，且在点A 上方，过点P 作C 的切线 PQ，Q 为切点，如果点Q 在第一象限，则称Q 为点 P 的离点例如，图1 中的 Q 为点 P 的一个离点（1）已知点 P（

43、0，3），Q 为 P 的离点 如图 2，若 B（0，0），则圆心C 的坐标为（0，1），线段 PQ 的长为；若 B（2，0），求线段PQ 的长；（2）已知 1PA 2，直线 l：ykx+k+3（k 0）当 k1 时，若直线l 上存在 P 的离点 Q，则点 Q 纵坐标 t 的最大值为6；记直线 l：ykx+k+3（k0）在 1x1 的部分为图形G，如果图形G 上存在 P 的离点，直接写出k 的取值范围【分析】（1）如图可知：C（0，1），在 Rt PQC 中，CQ1，PC2；如图，过C 作 CMy 轴于点 M，连接 CP，CQ，M（0，1）在 RtACM 中，由勾股定理可得CA，CQ在 Rt P

44、CM 中，由勾股定理可得PC在 Rt PCQ 中，由勾股定理可得PQ（2）当 k1 时，yx+4，Q（t4，t），P 的纵坐标为4 时，PQ 与圆 C 相切，设 B（m，0），则圆心为C（，1），由 CQPQ，可求 CQ 的解析式为y x+1，Q点横坐标为 t4，则 C（2t5，1），再由CQAC，得到 t6 或 t2；ykx+k+3 经过定点（1，3），PQ 是圆的切线，AO 是圆的弦，则有PQ2PA?PO，当 k0 时，Q 点的在端点（1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ2，以 P 为圆心，PQ 长为半径的圆与y 轴交于点（0，42），此时 k12，当 P（0，3）时

45、，PQ，Q（1，2k+3），1+4k23，所以 12k；当 k0 时，当 P（0，4）时，PQ 2，以 P 为圆心，PQ 长为半径的圆与y 轴交于点（0，4+2），此时k1+2，当 P（0，3）时，PQ，Q（1，2k+3），1+4k23，所以k1+2解：（1）如图可知：C（0，1），在 Rt PQC 中，CQ1，PC 2，PQ，故答案为（0，1）；如图，过C 作 CM y 轴于点 M，连接 CP，CQA（0，2），B（2，0），C（1，1）M（0，1）在 Rt ACM 中，由勾股定理可得CACQP（0，3），M（0，1），PM2在 Rt PCM 中，由勾股定理可得PC在 Rt PCQ 中，由勾

46、股定理可得PQ（2）如图 1：当 k 1 时，yx+4，Q（t4，t），1PA2，P 的纵坐标为4 时，PQ 与圆 C 相切，设 B（m，0），C（，1），CQPQ，CQ 的解析式为y x+1，Q 点横坐标为，t 4，m4t10，C（2t5，1），CQAC，（2t5）2+12（t1）2，t6 或 t2，t 的最大值为6；故答案为6 1x1，y kx+k+3 经过定点（1，3），PQ 是圆的切线，AO 是圆的弦，PQ2PA?PO，当 k0 时，Q 点的在端点（1，3）和（1，2k+3）之间运动，当 P（0，4）时，PQ 2，以 P 为圆心，PQ 长为半径的圆与y 轴交于点（0，42），此时 k12，当 P（0，3）时，PQ，Q（1，2k+3），1+4k23，k，k，12k；当 k0 时，当 P（0，4）时，PQ 2，以 P 为圆心，PQ 长为半径的圆与y 轴交于点（0，4+2），此时 k1+2，当 P（0，3）时，PQ，Q（1，2k+3），1+4k23，k，k，k1+2