2020年江苏省宿迁市高考数学模拟试卷(5月份)(解析版).pdf

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1、2020 年宿迁市高考数学模拟试卷（5 月份）一、选择题（共14 小题）.1已知集合Ax|x0，B1，0，1，2，则 AB 等于2若复数z 满足 iz2+4i（i 是虚数单位），则复数z的模等于3运行如图流程图，若输入值x 2，则输出的y值为4已知一组数据4，5，6，6，9，则该组数据的方差是5从 2 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是6过双曲线?23-y21 的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则AB 的长度为7等差数列 an中，a1 3，11a55a8，则其前n 项和 Sn的最小值为8已知函数

2、f（x）sin x（04）的图象向左平移?12个单位后，关于点（5?12，0）对称，则实数 的值为9已知圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，记圆锥和球体的体积分别为V1，V2，则?1?2的值为10已知 是第二象限角，且?=45，则?(?2-?4)的值为11设 f（x）log121+?1-2?是定义在区间（a，a）上的奇函数，且为单调函数，则ba的取值范围是12如图，在ABC 中，AB4，AC2，BAC60，已知点E，F 分别是边 AB，AC的中点，点D 在边 BC 上，若?=134，则线段 BD 的长为13在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动

3、点，若以AB 为直径的圆C 与直线 2x+y100 相切，当圆C 面积最小时，圆C 的标准方程为14函数 f（x）=2|?|+1，?|?|，?，若任意t（a1，a），使得 f（t）f（t+1），则实数a 的取值范围为二、解答题：本大题共6 小题，15-17 题每题 14 分，18-20 题每题 16 分，共计90 分15如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，且AD BC，ABBC，BC2AD，已知平面PAB平面 ABCD，E，F 分别为BC，PC 的中点求证：（1）AB平面 DEF；（2）BC平面 DEF 16如图，在ABC 中，AC=?，D 为 AB 边上一点，CD AD

4、2，且 cosBCD=64（1）求 sinB；（2）求 ABC 的面积17某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆O1、半圆 O2和正方形ABCD组成的，且AB8cm设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH，标签的其中两个顶点E，F 在 AM 上，另外两个顶点G，H 在 CN 上（M，N 分别是?，?的中点）设EF 的中点为P，FO1P，矩形 EFGH 的面积为Scm2（1）写出 S 关于 的函数关系式S（）；（2）当 为何值时，矩形EFGH 的面积最大？18（16 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：?2?2+?2?2=1（ab0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为

5、32（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B两点，若PA2+PB2的值与点P 的位置无关，求k 的值19（16 分）已知函数f（x）=?+12x-2?+12?+a（1）当 a0 时，求函数f（x）在 x1 处的切线方程；（2）若函数 f（x）在定义域上单调增，求a 的取值范围；（3）若函数 f（x）在定义域上不单调，试判定f（x）的零点个数，并给出证明过程20（16 分）已知数列 an的前 n 项和为 Sn，把满足条件an+1Sn（n N*）的所有数列 an构成的集合记为 M（1）若数列 an的通项为an=12

6、?，则 an是否属于M？（2）若数列 an是等差数列，且an+n M，求 a1的取值范围；（3）若数列 an的各项均为正数，且an M，数列 4?中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列an的通项：若不存在，说明理由【选做題】本题包括21、22、23 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换 21已知矩阵A=?（1）求 A 的逆矩阵A1（2）求圆 x2+y2 144 经过 A1变换后所得的曲线的方程选修 4-4：坐标系与参数方程22 已知圆的参数方程为?=-?+?=?+?（为

7、参数），以平面直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的单位建立极坐标系，求过圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|+|x2|，若a+2b+c3?（a，b，c R），且不等式a2+b2+c2f（x）恒成立，求实数x 的取值范围【必做题】第24 题、第 25 题，每小题10 分，共计20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤24如图，底面为正方形的四棱柱ABCD A1B1C1D1中，设 AD 1，DD13，点 P 在 CG上，且 C1P 2PC（1）求直线 A1P 与平面 PDB 所成角

8、的正弦值；（2）求二面角ABD P 的余弦值25已知抛物线C：y2 2x 的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l1，l2分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点（）若F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明ARFQ；（）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程参考答案一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知集合Ax|x0，B1，0，1，2，则 AB 等于1，2【分析】直接由交集的运算性质得答案解：由集合Ax|x0，B1，0，1，2，则 ABx|x01，0，1，21，2

9、故答案为：1，22若复数z 满足 iz2+4i（i 是虚数单位），则复数z的模等于2?【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解解：iz2+4i，z=2+4?=(2+4?)(-?)-?2=?-?，则|z|=?+(-?)?=?故答案为：?3运行如图流程图，若输入值x 2，则输出的y值为3【分析】根据输入的x 值，知道x0，则 y 3，从而求解解：根据如图的流程图可知：当x0 时，yx（x2），当 x0 时，y 3，x 2 0，y 3，故答案为：34已知一组数据4，5，6，6，9，则该组数据的方差是145【分析】先求平均数?，再代入方差公式求出结果解：?=

10、4+5+6+6+95=6，S2=15（46）2+（56）2+（66）2+（66）2+（9 6）2=145故答案是：1455从 2 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是56【分析】基本事件总数n=?=?，选出的2 名同学中至少有1 名女同学包含的基本事件个数 m=?+?=5，由此能求出选出的2 名同学中至少有1 名女同学的概率解：从 2名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，基本事件总数n=?=?，选出的 2名同学中至少有1 名女同学包含的基本事件个数m=?+?=5，则选出的2 名同学中至少有1 名女同学的概率p=?

11、=56故答案为：566过双曲线?23-y21 的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则AB 的长度为4 33【分析】由双曲线的方程可得右焦点F 的坐标，及直线 AB 的方程，代入渐近线的方程求出 A，B 的纵坐标，进而求出弦长AB 的值解：由双曲线的方程可得右焦点F（2，0），渐近线的方程为x?y0，由题意设直线AB 的方程为x2，代入渐近线的方程可得y2 33，所以|AB|=433，故答案为：4 337等差数列 an中，a1 3，11a55a8，则其前n 项和 Sn的最小值为4【分析】先求出其公差，代入求出其通项公式；根据其单调性即可分析出何时有最小值并求出其最小

12、值解：由 11a55a8，得 6a1+9d0，又 a1 3，故 d2故 an 3+（n1）22n5，故此数列为递增数列故等差数列 an的前 2 项为负数，从第三项开始为正数，故前 2 项的和最小为3+（1）4，故答案为 48已知函数f（x）sin x（04）的图象向左平移?12个单位后，关于点（5?12，0）对称，则实数 的值为2【分析】先利用“左加右减”求出平移后的解析式，然后根据图象的对称中心在图象上，代入解析式解方程即可解：f（x）sinx（04）的图象向左平移?12个单位得：g（x）=?(?+?12)，因为 g（x）的图象关于点（5?12，0）对称，?(5?12+?12)=?2=?，?

13、2=?，?，由 0 4 知，当 k1 时，2 符合题意故答案为：29已知圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，记圆锥和球体的体积分别为V1，V2，则?1?2的值为94【分析】设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，根据题意画出图形，结合图形求出R与 r 的关系，再计算球与圆锥的体积和它们的比值解：设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R 的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，所以 r=33R，V2=43 r3=43?（33R）3=4327 R3，V1=13 R2（?R）=33 R3，所以球与圆锥的体积之比为?1?2=33?34 3

14、27?3=94故答案为：9410已知 是第二象限角，且?=45，则?(?2-?4)的值为13【分析】由是第二象限角，及sin的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos的值，进而确定出tan 的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan?2的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把 tan?2的值代入计算，即可求出值解：是第二象限角，且sin=45，cos=-?-?=-35，tan =-43，tan=2?21-?2?2=-43，即 2tan2?2-3tan?2-20，解得：tan?2=-12（不合题意，舍去）或tan?2=2，则 tan（?2-?4）=?2-?4

15、1+?2?4=2-11+2=13故答案为：1311设 f（x）log121+?1-2?是定义在区间（a，a）上的奇函数，且为单调函数，则ba的取值范围是(?，?【分析】由奇函数的性质可得?121+?1-2?+?121-?1+2?=?，进而求得b 2，而函数f（x）为单调函数，故 b2，进而得出函数f（x）的解析式，由1+2?1-2?，求得定义域，进而得到?(?，12，由此求出ba的取值范围解：依题意，?121+?1-2?+?121-?1+2?=?，即1+?1-2?=1+2?1-?，1b2x214x2，b24，b 2，又 f（x）单调，故b2，?(?)=?121+2?1-2?，令1+2?1-2?

16、，解得-12?12，则?(?，12，?=?(?，?故答案为：(?，?12如图，在ABC 中，AB4，AC2，BAC60，已知点E，F 分别是边 AB，AC的中点，点D 在边 BC 上，若?=134，则线段 BD 的长为32【分析】先由平面向量数量积的运算可得：?=4，再由余弦定理可得：BC2?，然后设?=?（0 1），结合平面向量的线性运算可得：?=（?-?）?（?+?）12218+7=134，解得：?=14，即可得解解：因为在ABC 中，AB4，AC2，BAC 60，所以?=4，又在 ABC 中，由余弦定理可得：BC2AB2+AC2 2AB?AC?cosCAB，又 AB4，AC2，BAC 6

17、0，得 BC2?，设?=?（0 1），则?=（?-?）?（?+?）（-12?-?）?（1 ）?-12?）（?-12）?-?（12-?）?-（1）?（?-12）（1）?2（12-）?-（222+14）?12218+7=134，解得：?=14，即?=14?，即线段 BD 的长为 32，故答案为：3213在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线 2x+y100 相切，当圆C 面积最小时，圆C 的标准方程为（x2）2+（y 1）25【分析】首先利用原点在圆上，求出圆的最小半径，进一步利用过圆心的直线和圆的切线的位置关系的应用求出圆心坐标，最后求出圆的

18、方程解：A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆C 与直线 2x+y100 相切，所以原点（0，0）在圆上，原点（0，0）到直线2x+y100 的距离 d=|-10|12+22=105，当原点（0，0）到直线的距离为直径时，该圆最小即?=?2=?，直线 2x+y100 与圆的切点坐标满足?+?-?=?=12?，解得?=?=?，所以圆心坐标为?=4+02=?=2+02=?，故圆的方程为（x 2）2+（y1）25故答案为：（x2）2+（y1）2514函数 f（x）=2|?|+1，?|?|，?，若任意t（a1，a），使得 f（t）f（t+1），则实数a 的取值范围为1-?，?

19、-1【分析】先根据t（a1，a）?t+1（a，a+1），再结合f（t）f（t+1）求出实数t的取值范围，进而求出结论解：因为：f（x）=2|?|+1，?|?|，?，由 t（a1，a）?t+1（a，a+1），f（t）=2|?|+1；f（t+1）|t+1|；任意 t（a1，a），使得f（t）f（t+1），2|?|+1|t+1|?|t+1|（|t|+1）20；当 t0 时，式转化为（t+1）（t+1）20?0t?-?；1t0 时 式转化为（t+1）（t+1）20?（t+1）2+20，1t0；t 1 时 式转化为（t+1）（t+1）20?t230?-?t0；综上可得-?t?-1；若任意t（a 1，a）

20、，使得f（t）f（t+1），a1-?且 a?-1；1-?a?-1；故答案为：1-?，?-1二、解答题：本大题共6 小题，15-17 题每题 14 分，18-20 题每题 16 分，共计90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，且AD BC，ABBC，BC2AD，已知平面PAB平面 ABCD，E，F 分别为BC，PC 的中点求证：（1）AB平面 DEF；（2）BC平面 DEF【分析】（1）推导出四边形ADEB 是平行四边形，从而ABDE，由此能证明AB平面 DEF（2）推导出 BC平面 PAB，BCPB，

21、EF PB，BCEF，从而 BCDE，由此能证明 BC平面 DEF【解答】证明：（1）因为 AD BC，BC2AD，E 为 BC 的中点，所以?，所以四边形ADEB 是平行四边形，所以ABDE，又因为 AB?平面 DEF，DE?平面 DEF所以 AB平面 DEF（2）因为平面PAB平面 ABCD平面 PAB平面 ABCD ABAB BC，BC?平面 ABCD所以 BC平面 PAB因为 PB?平面 PAB 所以 BCPB因为 E，F 分别为 BC，PC 的中点，所以 EF PB，所以 BCEF，因为 ABDE，BCAB，所以 BCDE，因为 DE?平面 DEF，EF?平面 DEF，DE EFE，

22、所以 BC平面 DEF 16如图，在ABC 中，AC=?，D 为 AB 边上一点，CD AD 2，且 cosBCD=64（1）求 sinB；（2）求 ABC 的面积【分析】（1）在 ADC 中，由余弦定理得cosADC，再求出 sinADC，由 cosBCD求出 sinBCD，再利用三角形内角和为，结合两角和与差的正弦公式即可求出结果；（2）在 BCD 中，由正弦定理即可求出BC，再利用三角形面积公式即可算出结果解：（1）在 ADC 中，由余弦定理得?=?2+?2-?22?=22+22-(6)22 22=14，所以?=?-?=?-(14)?=154，因为?=64，BCD 是三角形BCD 的内角

23、，所以?=?-?=?-(64)?=104，所以sin B sin（ADC BCD）sinADC cosBCD cos ADC sin BCD=15464-14104=108；（2）在 BCD 中，由正弦定理得?=?=?，?=?=2104108=?=?=2154108=?，所以?=12?=12?108=315217某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆O1、半圆 O2和正方形ABCD组成的，且AB8cm设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH，标签的其中两个顶点E，F 在 AM 上，另外两个顶点G，H 在 CN 上（M，N 分别是?，?的中点）设EF 的中点为P，FO1P

24、，矩形 EFGH 的面积为Scm2（1）写出 S 关于 的函数关系式S（）；（2）当 为何值时，矩形EFGH 的面积最大？【分析】（1）依题意，可得EF 8sin，?=?+?，则?(?)=?=?(?+?)，?(?，?4；（2）由于?(?)=?(?+?)+?(-?)=?(?+?-?)0 恒成立，故当?=?4时，?(?)?=?(?4)=?4(?4+?)=?解：（1）由题意知?(?，?4，EF8sin，?=?+?，则?(?)=?=?(?+?)，即?(?)=?(?+?)，?(?，?4（2）?(?)=?(?+?)+?(-?)=?(?-?+?)=?(?+?-?)?因为?(?，?4，所以?，?，所以?+?-

25、?，故当?(?，?4时，S（）0 恒成立，所以 S（）在(?，?4上单调递增，故当?=?4时，?(?)?=?(?4)=?4(?4+?)=?答：当 为?4时，矩形EFGH 的面积最大，最大值为6418（16 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：?2?2+?2?2=1（ab0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为 32（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B两点，若PA2+PB2的值与点P 的位置无关，求k 的值【分析】（1）由题意知，a2，e=?=32，故 c=?，b1；从而写出椭圆方程；（2）设直线 l 的方

26、程为y k（xm）A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得（4k2+1）x28mk2x+4（k2m21）0，利用韦达定理及两点间的距离公式可化简|PA|2+|PB|2（x1m）2+y12+（x2 m）2+y22=?2(-8?4-6?2+2)+(1+4?2)(8?2+8)(1+4?2)2，从而由|PA|2+|PB|2的值与点 P 的位置无关得8k46k2+20，从而求解解：（1）由题意知，a2，e=?=32，故 c=?，b1；故椭圆的方程为?24+?=1（2）设直线 l 的方程为y k（xm）A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l 与椭圆 C 的方程，化简可得（4k2+1）x2 8m

27、k2x+4（k2m21）0，则 x1+x2=8?24?2+1，x1x2=4(?2?2-1)4?2+1，y1+y2=-2?4?2+1，y1y2=?2?2-4?24?2+1，则|PA|2+|PB|2（x1m）2+y12+（x2m）2+y22=34（x1+x2）2-32x1x2 2m（x1+x2）+2m2+2=?2(-8?4-6?2+2)+(1+4?2)(8?2+8)(1+4?2)2，|PA|2+|PB|2的值与点P 的位置无关，即 式取值与m 无关，8k46k2+20，解得 k=12，故 k 的值是 1219（16 分）已知函数f（x）=?+12x-2?+12?+a（1）当 a0 时，求函数f（x

28、）在 x1 处的切线方程；（2）若函数 f（x）在定义域上单调增，求a 的取值范围；（3）若函数 f（x）在定义域上不单调，试判定f（x）的零点个数，并给出证明过程【分析】（1）当a0 时，?(?)=?，则?(?)=1-?2，求出斜率，利用点斜式即可得出切线方程（2）因为?(?)=?+?2-2?+12?+?(?)所以 f（x）的定义域为（0，+）；?(?)=?2-2?+2?+3?2，根据函数f（x）在定义域上为单递增函数，可得?(?)=?2-2?+2?+3?2?在 x 0 时恒成立，即x22lnx+2a+30 在 x0 时恒成立，设g（x）x2 2lnx+2a+3（x0），利用导数研究其单调性

29、即可得出（3）由?(?)=?2-2?+2?+3?2，可得?(?)=?2?+32?2?，因此f（x）0 不可能对x0 恒成立，即f（x）在定义域上不可能始终都为减函数，函数f（x）为增函数?a2，所以若函数f（x）在定义域上不是单调函数?a 2又因为f（1）0，所以 x1是函数 f（x）0 一个零点，令 f（x）0，得 2lnx+x2+2ax2a10 设 h（x）2lnx+x2+2ax2a1，则 f（x）与 h（x）有相同的零点，令?(?)=2(?2+?+1)?=?，得 x2+ax+10，因为 a 2，所以 a240，所以 x2+ax+10 有两个不相等实数解x1，x2，利用根与系数的关系分类讨

30、论即可得出解：（1）当 a0 时，?(?)=?，则?(?)=1-?2，在 x1 处的切点为（1，0），切线斜率为f（1）1，所以函数f（x）在 x1 处的切线方程为yx1（2）因为?(?)=?+?2-2?+12?+?(?)所以 f（x）的定义域为（0，+）；?(?)=?2-2?+2?+3?2，又因为函数f（x）在定义域上为单递增函数，所以?(?)=?2-2?+2?+3?2?在 x0 时恒成立，即 x22lnx+2a+3 0 在 x0时恒成立，设 g（x）x22lnx+2a+3（x0），则?(?)=2?2-2?，当 0 x 1 时，g（x）0，则 g（x）在（0，1上为减函数，当 x1 时，g（

31、x）0，则 g（x）在 1，+）上为增函数，x22lnx+2a+30 在 x0 时恒成立?g（x）ming（1）4+2a0，所以 a 2（3）因为?(?)=?2-2?+2?+3?2，所以?(?)=?2?+32?2?，则 f（x）0 不可能对x 0恒成立，即 f（x）在定义域上不可能始终都为减函数，由（2）知函数f（x）为增函数?a 2，所以若函数f（x）在定义域上不是单调函数?a 2又因为 f（1）0，所以 x1 是函数 f（x）0 一个零点，令 f（x）0，得 2lnx+x2+2ax2a10设 h（x）2lnx+x2+2ax2a1，则 f（x）与 h（x）有相同的零点，令?(?)=2(?2+

32、?+1)?=?，得 x2+ax+10，因为 a 2，所以 a240，所以 x2+ax+1 0 有两个不相等实数解x1，x2，因为 x1?x2 1，x1+x2 a2，所以不妨设0 x1 1x2，当 x（0，x1）时，h（x）0，h（x）在（0，x1）为增函数当 x（x1，x2）时，h（x）0，h（x）在（0，x1）为减函数当 x（x1，+）时，h（x）0，h（x）在（0，x1）为增函数则 h（x1）h（1）0，h（x2）h（1）0又因为a 2 时，0ea1，2a4h（ea）e2a1+2ae2a0，h（2a）2ln（2a）+4a26a10，又因为 f（x）在（0，1）图象不间断，所以f（x）在（0

33、，1）有唯一一个零点又因为 f（x）在（1，+）图象不间断，所以f（x）在（1，+）有唯一一个零点又因为 x1 是函数 f（x）0 一个零点，综上函数f（x）必有三个不同零点（16 分）20（16 分）已知数列 an的前 n 项和为 Sn，把满足条件an+1Sn（n N*）的所有数列 an构成的集合记为 M（1）若数列 an的通项为an=12?，则 an是否属于M？（2）若数列 an是等差数列，且an+n M，求 a1的取值范围；（3）若数列 an的各项均为正数，且an M，数列 4?中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列an的通项：若不存在，说明理由【分析】（1）直接利用数列

34、的通项公式的应用和前n 项和公式的应用求出结果（2）利用等差数列的性质的应用求出首项的取值范围（3）利用假设法的应用，建立不等量关系，进一步求出结果解：（1）因为 an=12?，所以 Sn=121-(12)?1-12=1（12）n，所以 an+1Sn（12）n+11+（12）n=32（12）n 13212-1=-140，所以 an+1Sn，即 an M（2）设 an的公差为d，因为 an+n M，所以 an+1+n+1（a1+1）+（a2+2）+（an+n）（*）特别的当n1 时，a2+2a1+1，即 d 1，由（*）得 a1+nd+n+1na1+?(?-1)2d+?(?+1)2，整理得?+1

35、2n2+（a1-32d-12）na110，因为上述不等式对一切n N*恒成立，所以必有?+12 0，解得 d 1，又 d 1，所以 d 1，于是（a1+1）na110，即（a1+1）（n1）0，所以 a1+10，即 a1 1，（3）由 an+1Sn得 Sn+1SnSn，所以 Sn+12Sn，即?+1?2，所以?+1?1=?2?1?3?2?+1?2n，从而有Sn+1S1 2na12n，又 an+1Sn，所以 an+2Sn+1a12n，即 ana12n2（n3），又 a2S1 a1 222，a1a1212，所以有an a12n2（n N*），所以4?4?12n，假设数列 4?中存在无穷多项依次成等

36、差数列，不妨设该等差数列的第n 项为 dn+b（b 为常数），则存在 m N，mn，使得 dn+b=4?4?1 2m4?1 2n，即 da1n+ba12n+2，设 f（n）=?22?+2，n N*，n3，则 f（n+1）f（n）=(?+1)22?+3-?22?+2=2-(?-1)22?+30，即 f（n+1）f（n）f（3）=9321，于是当 n3 时，2n+2n2，从而有：当n3 时 da1n+ba1n2，即 n2 da1nba10，于是当 n3 时，关于n 的不等式n2da1nba10 有无穷多个解，显然不成立，因此数列 4?中是不存在无穷多项依次成等差数列【选做題】本题包括21、22、2

37、3 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换 21已知矩阵A=?（1）求 A 的逆矩阵A1（2）求圆 x2+y2 144 经过 A1变换后所得的曲线的方程【分析】（1）利用矩阵与逆矩阵的运算法则，转化求解即可（2）设变换后新曲线上任一点P（x，y），变换前对应点P（x，y），13?14?=?，推出?=13?=14?，代入圆的方程求解即可解：（1）由条件?=?，?13?14=?，得?-?=13?14（2）设变换后新曲线上任一点P（x，y），变换前对应点P（x，y），则13?14?=?，即?=

38、13?=14?，将?=?=?，代入 x2+y2 144 得：?216+?29=?所以曲线x2+y2144 在 A1的作用下的新曲线的方程为?216+?29=?选修 4-4：坐标系与参数方程22 已知圆的参数方程为?=-?+?=?+?（为参数），以平面直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的单位建立极坐标系，求过圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程【分析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换求出结果解：由?=-?+?=?+?(?为参数)消去参数得圆的普通方程为（x+1）2+（y3）2 4，圆心坐标为（1，3），过圆心且与极轴垂直的直线的直角坐

39、标方程为x 1，化为极坐标方程为 cos 1选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|+|x2|，若a+2b+c3?（a，b，c R），且不等式a2+b2+c2f（x）恒成立，求实数x 的取值范围【分析】由柯西不等式求出 a2+b2+c2取最小值 3，因为不等式a2+b2+c2f（x）恒成立，所以只要f（x）|x+1|+|x2|3，解不等式求出x 即可解：（3?）2（a+2b+c）2（a2+b2+c2）（12+22+12），当且仅当?1=?2=?1即?=22，?=?，?=22时 a2+b2+c23，即取最小值3不等式a2+b2+c2f（x）恒成立，f（x）3，即|x+1|+|x2|

40、3，当 x 1 时，x1x+23，x 1，x?，当 1x 2 时，x+1 x+2 3，1x2当 x2 时，x+1+x23，x2，x?故实数 x 的取值范围：1x2【必做题】第24 题、第 25 题，每小题10 分，共计20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤24如图，底面为正方形的四棱柱ABCD A1B1C1D1中，设 AD 1，DD13，点 P 在 CG上，且 C1P 2PC（1）求直线 A1P 与平面 PDB 所成角的正弦值；（2）求二面角ABD P 的余弦值【分析】以点D 为原点 O，DA，DC，DD1分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz，（

41、1）求出平面PDB 一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线A1P 与平面 PDB 所成角的正弦值即可（2）求出平面PDB 一个法向量，平面 ABD 一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角 ABD P 的余弦值解：如图，以点D 为原点O，DA，DC，DD1分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz，则 D（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，3），P（0，11）（1）所以?=(-?，?，-?)，?=(?，?，?)，?=(?，?，?)，设平面 PDB 一个法向量为?=(?，?，?)，（由?=?=?得?+?=?+?=?，取?=(?，-?，?)，设直线 A1P 与平面 PDB 所成

42、角为，所以?=|?，?|=|-1-1-263|=223，所以直线A1P 与平面 PDB 所成角的正弦值为2 23（2）由（1）知平面 PDB 一个法向量为?=(?，-?，?)，取平面 ABD 一个法向量?=(?，?，?)，?，?=?1?2|?1|?2|=13=33，由图知二面角ABD P 的余弦值为 3325已知抛物线C：y2 2x 的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l1，l2分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点（）若F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明ARFQ；（）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程【分析】（）连接RF，PF

43、，利用等角的余角相等，证明PRA PQF，即可证明ARFQ；（）利用 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求出 N 的坐标，利用点差法求AB 中点的轨迹方程【解答】（）证明：连接RF，PF，由 APAF，BQBF 及 APBQ，得 AFP+BFQ 90，PFQ 90，R 是 PQ 的中点，RF RPRQ，PAR FAR，PAR FAR，PRA FRA，BQF+BFQ 180 QBF PAF 2PAR，FQB PAR，PRA PQF，AR FQ（）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（12，0），准线为x=-12，SPQF=12|PQ|=12|y1y2|，设直线 AB 与 x 轴交点为N，SABF=12|FN|y1y2|，PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，2|FN|1，xN1，即 N（1，0）设 AB 中点为 M（x，y），由?=?=?得?-?=2（x1x2），又?1-?2?1-?2=?-1，?-1=1?，即 y2x 1AB 中点轨迹方程为y2x1