2020年青海省西宁市高考数学第一次模拟试卷(解析版).pdf

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1、2020 年青海省西宁市高考数学模拟试卷（一）一、选择题（共14 小题）.1已知集合Ax N|0 x6，B2，4，6，则 A B（）A0，1，3，5B0，2，4，6C1，3，5D2，42已知 a+bi（a，b R）是1-?1+?的共轭复数，则a+b（）A 1B-12C12D13已知向量?=（2，1），?=（1，3），则（）A?B?C?(?-?)D?(?-?)4下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）Aycos2x，x RBylog2|x|，x R 且 x 0Cy=?-?-?2，?Dyx3+1，x R5设函数f（x）cosx+bsinx（b 为常数），则“b1”是“f（x）为

2、偶函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6 周髀算经 是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一 书中记载了借助“外圆内方”的钱币（如图1）做统计概率得到圆周率的近似值的方法现将其抽象成如图 2 所示的图形，其中圆的半径为2cm，正方形的边长为1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是p，则圆周率的近似值为（）A14(1-?)B11-?C11-4?D41-?7函数?(?)=?-?2+1在，的图象大致为（）ABCD8如图，在平面直角坐标系xOy 中，角 ，的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A

3、，B 两点，若点A，B 的坐标为（35，45）和（-45，35），则 cos（+）的值为（）A-2425B-725C0D24259函数 f（x）Asin（x+）(?，?，|?|?2)的部分图象如图所示，若?，?(-?6，?3)，且 f（x1）f（x2）（x1x2），则 f（x1+x2）（）A1B12C 22D 3210某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4?的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4，则该球的半径是（）A2B4C2?D4?11关于 x 的方程 cos2xsinx+a0，若?2时

4、方程有解，则a的取值范围（）A1，1B（1，1C1，0D（，-54）12已知点 A 为曲线 yx+4?（x0）上的动点，B 为圆（x2）2+y21 上的动点，则|AB|的最小值是（）A3B4C3?D4?13已知 P 是抛物线y24x 上的一个动点，Q 是圆（x3）2+（y1）21 上的一个动点，N（1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A3B4C5D?+114设 f（x），g（x）是定义在R 上的两个周期函数，f（x）周期为 4，g（x）的周期为2，且 f（x）是奇函数 当 x（0，2时，f（x）=?-(?-?)?，g（x）=?(?+?)，?-12，?，其中 k0若在区间（0，

5、9上，关于x 的方程 f（x）g（x）有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是（）A(?，24)B(13，24)C13，24)D13，24二、填空题本题共5 小题，每小题5 分，共 20 分15在 ABC 中，如果sinA：sinB：sinC2：3：4，那么 cosC16某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和 y 须满足约束条件?-?-?.则该校招聘的教师人数最多是名17如图，圆柱OO1中，两半径OA，O1B 等于 1，且 OAO1B，异面直线AB 与 OO1所成角的正切值为24，则该圆柱OO1的体积为18（文科）已知双曲线C：?2?2-?2?2=1（a0，b0）的右焦点为F，

6、以 F 为圆心，以|OF|为半径的圆交双曲线C 的右支于 P，Q 两点（O 为坐标原点），OPQ 的一个内角为60，则双曲线C 的离心率的平方为19是 P 为双曲线?：?2?2-?2?2=?(?，?)上的点，F1，F2分别为C 的左、右焦点，且PF2F1F2，PF1与 y 轴交于 Q 点，O 为坐标原点，若四边形OF2PQ 有内切圆，则C 的离心率为三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分20已知数列 an满足：a11，an+12an+n1（1）设 bnan+

7、n，证明：数列 bn是等比数列；（2）设数列 an的前 n 项和为 Sn，求 Sn21哈师大附中高三学年统计学生的最近20 次数学周测成绩（满分150 分），现有甲乙两位同学的20 次成绩如茎叶图所示；（）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；（）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（）现从甲乙两位同学的不低于140 分的成绩中任意选出2 个成绩，记事件A 为“其中 2 个成绩分别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率22某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每满100 元可转动如

8、图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置若指针停在 A 区域返券 60 元；停在B 区域返券30 元；停在 C 区域不返券例如：消费218元，可转动转盘2 次，所获得的返券金额是两次金额之和（）若某位顾客消费128 元，求返券金额不低于30 元的概率；（）若某位顾客恰好消费280 元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）求随机变量X 的分布列和数学期望23如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD 60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（）证明：MN 平面 C1DE；（）（文科）求点C 到平面 C1DE

9、 的距离（理科）求二面角AMA1N 的正弦值24（文科）已知椭圆C：?2?2+?2?2=1（a b0）的左、右焦点为F1，F2，点 P 在椭圆 C上，且 PF1F2面积的最大值为?，周长为6（）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（）已知直线l：ykx+1（k 0）与椭圆C 交于不同的两点A，B，若在x 轴上存在点 M（m，0），使得M 与 AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围25（理科）已知椭圆M：?2?2+?2?2=1 的两个焦点为F1（c，0），F2（c，0）（abc 0），椭圆上一动点P 到 F1，F2距离之和为4，当 P 到 x 轴上的射影恰为F1时，|OP|=1

10、32，左、右顶点分别为A，B，O 为坐标原点，经过点F1的直线 l 与椭圆 M 交于 C，D两点（）求椭圆M 的方程；（）记 ABD 与 ABC 的面积分别为S1，S2，求|S1S2|的最大值26设函数f（x）lnx2mx2n（m，n R）（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）有最大值ln2，求 m+n 的最小值27已知函数f（x）lnx mx（m R）（I）讨论 f（x）的单调性；（）若方程f（x）0 存在两个不同的实数根x1，x2，证明：m（x1+x2）2二、选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程28

11、在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为?=?=?+?(?为参数)，以坐标原点为极点，xOy 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）设 A，B 为曲线C 上不同两点（均不与O 重合），且满足?=?4，求 OAB的最大面积选修 4-5：不等式选讲29已知函数f（x）|x|2x2|（1）求不等式f（x）3 的解集；（2）若 a R，且 a 0，证明：|4a1|+|1?+?|4f（x）参考答案一、选择题：本题共14 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax N|0 x6，B2，4，6，则 A B（）A0，1，3

12、，5B0，2，4，6C1，3，5D2，4【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可解：A1，2，3，4，5，B 2，4，6，AB2，4故选：D2已知 a+bi（a，b R）是1-?1+?的共轭复数，则a+b（）A 1B-12C12D1【分析】先利用复数的除法运算法则求出1-?1+?的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b 的值，求出a+b解：1-?1+?=(1-?)2(1+?)(1-?)=-2?2=-i，a+bi（i）i，a0，b1，a+b1，故选：D3已知向量?=（2，1），?=（1，3），则（）A?B?C?(?-?)D?(?-?)【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式依次

13、分析选项，验证选项中结论是否成立，即可得答案解：根据题意，依次分析选项：对于 A、向量?=(-?，?)，?=(-?，?)，有（2）31（1），则?不成立，A 错误；对于 B、向量?=(-?，?)，?=(-?，?)，?=（2）（1）+130，则?不成立，B 错误；对于 C、向量?=(-?，?)，?=(-?，?)，?-?=（1，2），有（2）（2）1（1），则?（?-?）不成立，C 错误；对于 D、向量?=(-?，?)，?=(-?，?)，?-?=（1，2），?（?-?）（2）（1）+1（2）0，则?（?-?）成立，D 正确；故选：D4下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）Ay

14、cos2x，x RBylog2|x|，x R 且 x 0Cy=?-?-?2，?Dyx3+1，x R【分析】利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由在区间（1，2）内有增区间，有减区间，可排除A，从而可得答案解：对于A，令 yf（x）cos2x，则 f（x）cos（2x）cos2xf（x），为偶函数，而 f（x）cos2x 在0，?2上单调递减，在?2，上单调递增，故 f（x）cos2x 在（1，?2上单调递减，在?2，2）上单调递增，故排除A；对于 B，令 yf（x）log2|x|，x R 且 x0，同理可证f（x）为偶函数，当x（1，2）时，yf（x）log2|x|log2x，为增函数，故B

15、满足题意；对于 C，令 yf（x）=?-?-?2，?，f（x）f（x），为奇函数，故可排除C；而 D，为非奇非偶函数，可排除D；故选：B5设函数f（x）cosx+bsinx（b 为常数），则“b1”是“f（x）为偶函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由b1 不能得到f（x）为偶函数，反之，由f（x）为偶函数不能得到b1可知“b1”是“f（x）为偶函数”的既不充分也不必要条件解：若 b1，则函数f（x）cosx+sinx=?(?+?4)，f（0）=?4=?，f（0）?，函数图象不关于y 轴对称，函数表示偶函数；若 f（x）cosx+bsinx

16、是偶函数，则f（x）f（x）0 恒成立，即 cosx bsinxcosxbsinx0 恒成立，则2bsinx0 对任意实数x 恒成立则 b0“b1”是“f（x）为偶函数”的既不充分也不必要条件故选：D6 周髀算经 是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一 书中记载了借助“外圆内方”的钱币（如图1）做统计概率得到圆周率的近似值的方法现将其抽象成如图 2 所示的图形，其中圆的半径为2cm，正方形的边长为1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是p，则圆周率的近似值为（）A14(1-?)B11-?C11-4?D41-?【分析】计算圆的面积和正方形的面积，求出对应面积比得P，则

17、可求解：圆的半径为2cm，面积为S圆?22 4；正方形边长为1cm，面积为S正方形121在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是P=?圆-?正方形?圆=1-14?，则 =14(1-?)故选：A7函数?(?)=?-?2+1在，的图象大致为（）ABCD【分析】先利用函数的奇偶性的定义得知f（x）f（x），所以函数f（x）为奇函数，可排除选项A 和 B，对比选项C 和 D，发现当x(?，?2时，f（x）0，可得所求图象解：f（x）=?(-?)-(-?)(-?)2+1=-?-?2+1=-f（x），函数f（x）为奇函数，排除选项 A 和 B，而当 x(?，?2时，sinxx，可得 f（x）0，故选：

18、D8如图，在平面直角坐标系xOy 中，角 ，的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B 两点，若点A，B 的坐标为（35，45）和（-45，35），则 cos（+）的值为（）A-2425B-725C0D2425【分析】根据A 与 B 的坐标，利用任意角的三角函数定义求出sin，cos，sin，cos的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值解：点A，B 的坐标为（35，45）和（-45，35），sin=45，cos=35，sin=35，cos=-45，则 cos（+）cos cos sin sin=35（-45）-4535

19、=-2425故选：A9函数 f（x）Asin（x+）(?，?，|?|?2)的部分图象如图所示，若?，?(-?6，?3)，且 f（x1）f（x2）（x1x2），则 f（x1+x2）（）A1B12C 22D32【分析】由图象可得A1，由周期公式可得2，代入点（?3，0）可得 值，进而可得 f（x）sin（2x+?3），再由题意可得x1+x2=?6，代入计算可得解：由图象可得A1，2?2?=?3-(-?6)，解得 2，f（x）sin（2x+），代入点（?3，0）可得 sin（2?3+）02?3+k，k-2?3，k Z又|?2，=?3，f（x）sin（2x+?3），sin（2?12+?3）1，即图中点

20、的坐标为（?12，1），又?，?(-?6，?3)，且 f（x1）f（x2）（x1x2），x1+x2=?122=?6，f（x1+x2）sin（2?6+?3）=32，故选：D10某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4?的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4，则该球的半径是（）A2B4C2?D4?【分析】由题意画出图形，由圆的周长公式求得圆的半径，再由勾股定理求球的半径解：作出截面图如图，则 OA=?，由截面圆的周长为4，得 2?AB4，则 AB 2球的半径是?+?=(?)?+?=?故选：B11

21、关于 x 的方程 cos2xsinx+a0，若?2时方程有解，则a的取值范围（）A1，1B（1，1C1，0D（，-54）【分析】cos2xsinx+a0?a sinxcos2x=(?+12)?-54；当 0 x?2时，利用正弦函数的单调性可求得1(?+12)?-541，从而可得a 的取值范围解：cos2xsinx+a0，asinxcos2xsinx（1 sin2x）=(?+12)?-54；0 x?2，0sinx1，12sinx+1232，14(?+12)?94，1(?+12)?-541，即 1a1a 的取值范围为（1，1故选：B12已知点 A 为曲线 yx+4?（x0）上的动点，B 为圆（x2

22、）2+y21 上的动点，则|AB|的最小值是（）A3B4C3?D4?【分析】作出对勾函数的图象，利用圆的性质，判断当 A，B，C 三点共线时，|AB|最小，然后进行求解即可解：作出对勾函数y x+4?（x0）的图象如图：由图象知函数的最低点坐标为A（2，4），圆心坐标C（2，0），半径R1，则由图象知当A，B，C 三点共线时，|AB|最小，此时最小值为413，即|AB|的最小值是3，故选：A13已知 P 是抛物线y24x 上的一个动点，Q 是圆（x3）2+（y1）21 上的一个动点，N（1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A3B4C5D?+1【分析】由题意画出图形，根据N 为

23、抛物线的焦点，可过圆（x3）2+（y1）2 1 的圆心 M 作抛物线的准线的垂线MH，交圆于 Q 交抛物线于P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|1解：如图，由抛物线方程y24x，可得抛物线的焦点F（1，0），又 N（1，0），N 与 F 重合过圆（x3）2+（y1）2 1的圆心 M 作抛物线的准线的垂线MH，交圆于 Q 交抛物线于 P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|13故选：A14设 f（x），g（x）是定义在R 上的两个周期函数，f（x）周期为 4，g（x）的周期为2，且 f（x）是奇函数 当 x（0，2时，f（x）=?-(?-?)?，g（x）=?(?+?)，?-12，?，

24、其中 k0若在区间（0，9上，关于x 的方程 f（x）g（x）有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是（）A(?，24)B(13，24)C13，24)D13，24【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案解：作出函数f（x）与 g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与 g（x）=-12（1 x 2，3 x 4，5 x 6，7 x 8）仅 有2个 实 数 根；要使关于x 的方程 f（x）g（x）有 8 个不同的实数根，则 f（x）=?-(?-?)?，x（0，2与 g（x）k（x+2），x（0，1的图象有 2 个不同交点，由（1，0）到直线kx y+2k0 的距离为1，得|

25、3?|?2+1=1，解得 k=24（k 0），两点（2，0），（1，1）连线的斜率k=13，13k24即 k 的取值范围为13，24）故选：C二、填空题本题共5 小题，每小题5 分，共 20 分15在 ABC 中，如果sinA：sinB：sinC2：3：4，那么 cosC-14【分析】已知等式利用正弦定理化简得到三边之比，表示出三边长，利用余弦定理表示出 cosC，将三边长代入即可求出cosC 的值解：在 ABC 中，sinA：sinB：sinC2：3：4，利用正弦定理化简得：a：b：c 2：3：4，设 a2k，b3k，c4k，cosC=?2+?2-?22?=4?2+9?2-16?212?2=

26、14故答案为：-1416某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和 y 须满足约束条件?-?-?.则该校招聘的教师人数最多是7名【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，且 x 和 y 须满足约束条件?-?-?.，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令zx+y，则题意求解在可行域内使得z 取得最大解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师 y 名，且 x和 y须满足约束条件?-?-?.，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令 zx+y?y x+z 则题意转化为，在可行域内任意去x，y 且为整数使得目标函数代表的斜率为定值1，截距最大时的直线

27、为过?=?-?-?=?（4，3）时使得目标函数取得最大值为：z7故答案为：717如图，圆柱OO1中，两半径OA，O1B 等于 1，且 OAO1B，异面直线AB 与 OO1所成角的正切值为 24，则该圆柱OO1的体积为4【分析】过B 作 BC底面 O，交底面圆O 于点 C，连结 OC，则 OA OC，AC=?，OO1=BC，由 ABC 是异面直线AB 与 OO1所成角，得到 tanABC=?=2?=24，从而 OO1BC4，由此能求出该圆柱OO1的体积解：过 B 作 BC底面 O，交底面圆O 于点 C，连结 OC，圆柱 OO1中，两半径OA，O1B 等于 1，且 OAO1B，异面直线AB 与 O

28、O1所成角的正切值为 24，OAOC，AC=?+?=?，OO1=BC，ABC 是异面直线AB 与 OO1所成角，tan ABC=?=2?=24，OO1 BC4，该圆柱OO1的体积：V r2?OO1 4 故答案为：4 18（文科）已知双曲线C：?2?2-?2?2=1（a0，b0）的右焦点为F，以 F 为圆心，以|OF|为半径的圆交双曲线C 的右支于 P，Q 两点（O 为坐标原点），OPQ 的一个内角为60，则双曲线C 的离心率的平方为8+279【分析】由双曲线的对称性及OPQ 的一个内角为60，可得 OPQ 为等边三角形，进而求点P 的坐标，再由 P 在双曲线上，代入双曲线方程，结合隐含条件即可

29、求得答案解：如图所示OPOQ，且 OPQ 的一个内角为60，则 OPQ 为等边三角形，OP PQ，设圆与 x 轴交于 G，连接 PF，PG，则 OPG90，由 POG 30，可得 OGP60，可得 PGPFFGc，由 OG2c，可得 OP=?c，PQ=?c，则 PH=32c，可得 OH=32c，故 P（32c，32c），又 P 为双曲线上一点，9?24?2-3?24?2=?，由 b2c2a2，e=?，且 e1，可得 9e416e2+40，解得 e2=8+279故答案为：8+2 7919是 P 为双曲线?：?2?2-?2?2=?(?，?)上的点，F1，F2分别为C 的左、右焦点，且PF2F1F2

30、，PF1与 y 轴交于 Q 点，O 为坐标原点，若四边形OF2PQ 有内切圆，则C 的离心率为2【分析】求出圆的圆心、半径和直线PF1的方程，根据切线的性质列方程求出a，b，c的关系，得出离心率解：F1（c，0），F2（c，0），P（c，?2?），直线 PF1的方程为y=?22?x+?22?，即 b2x2acy+b2c0，四边形 OF2PQ 的内切圆的圆心为M（?2，?2），半径为?2，M 到直线 PF1的距离 d=|3?2?2-?2|4?2?2+?4=?2，化简得：9b212abcb40，令 b1 可得 ac=23，又 c2a21，a=33，c=23e=?=2故答案为：2三、解答题：共70

31、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分20已知数列 an满足：a11，an+12an+n1（1）设 bnan+n，证明：数列 bn是等比数列；（2）设数列 an的前 n 项和为 Sn，求 Sn【分析】（1）由 bnan+n，那么 bn+1an+1+n+1，利用定义证明即可；（2）根据（1）求解数列 an的通项，即可求解Sn解：（1）数列 an满足：a11，an+12an+n1由 bnan+n，那么 bn+1an+1+n+1，?+1?=?+1+?+1?+?=2?+?-1+?+1?

32、+?=2；即公比 q2，b1a1+12，数列 bn是首项为2，公比为2 的等比数列；（2）由（1）可得 bn2n，an+n2n那么数列 an的通项公式为：an 2n n数列 an的前 n 项和为 Sn21+22 2+233+2nn（21+22+2n）（1+2+3+n）2n+1 2-?22-?221哈师大附中高三学年统计学生的最近20 次数学周测成绩（满分150 分），现有甲乙两位同学的20 次成绩如茎叶图所示；（）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；（）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（）现从

33、甲乙两位同学的不低于140 分的成绩中任意选出2 个成绩，记事件A 为“其中 2 个成绩分别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率【分析】（I）甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128（II）从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中（III）甲同学的不低于140 分的成绩有2 个设为 a，b，乙同学的不低于140 分的成绩有3 个，设为 c，d，e，现从甲乙两位同学的不低于14（0 分）的成绩中任意选出2 个成绩，利用列举法能求出事件A 发生的概率解：（I）甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128（II）从茎叶图可以看出，

34、乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中（III）甲同学的不低于140 分的成绩有2 个设为 a，b，乙同学的不低于140 分的成绩有3 个，设为c，d，e现从甲乙两位同学的不低于14（0 分）的成绩中任意选出2 个成绩有：（a，b），（a，c）（a，d）（a，e）（b，c）（b，d）（b，e）（c，d）（c，e）（d，e）共 10 种，其中 2 个成绩分属不同同学的情况有：（a，c）（a，d）（a，e）（b，c）（b，d）（b，e）共 6 种因此事件A 发生的概率P（A）=610=3522某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每满100 元

35、可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置若指针停在 A 区域返券 60 元；停在B 区域返券30 元；停在 C 区域不返券例如：消费218元，可转动转盘2 次，所获得的返券金额是两次金额之和（）若某位顾客消费128 元，求返券金额不低于30 元的概率；（）若某位顾客恰好消费280 元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）求随机变量X 的分布列和数学期望【分析】（）返券金额不低于30 元包括指针停在A 区域和停在B 区域，而指针停在哪个区域的事件是互斥的，先根据几何概型做出停在各个区域的概率，再用互斥事件的概率公式得到结果（）若某位顾客恰好消费28

36、0 元，该顾客可转动转盘2 次随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120做出各种情况的概率，写出分布列，算出期望解：设指针落在A，B，C 区域分别记为事件A，B，C则?(?)=16，?(?)=13，?(?)=12（）若返券金额不低于30 元，则指针落在A 或 B 区域?=?(?)+?(?)=16+13=12即消费 128 元的顾客，返券金额不低于30 元的概率是12（）由题意得，该顾客可转动转盘2 次随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120?(?=?)=1212=14；?(?=?)=1213?=13；?(?=?)=1216?+1313=518；?(?=?)=1316?=19；

37、?(?=?)=1616=136所以，随机变量X 的分布列为：X0306090120P141351819136其数学期望?=?14+?13+?518+?19+?136=?23如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD 60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（）证明：MN 平面 C1DE；（）（文科）求点C 到平面 C1DE 的距离（理科）求二面角AMA1N 的正弦值【分析】（）连结B1C，ME，推导出四边形MNDE 为平行四边形，MN ED，由此能证明 MN平面 C1DE（）（文科）过 C 作 C1E 的垂线，垂足为 H，推导出 DE平面 C1

38、CE，从而 DE CH，CH平面 C1DE，CH 的长为 C 到平面 C1DE 的距离，由此能求出点C 到平面 C1DE 的距离（）（理科）以D 为原点，DA 为 x 轴，DE 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角AMA1N 的正弦值解：（）证明：连结B1C，ME，M，E 分别是 BB1，BC 的中点，MEB1C，且 ME=12B1C，N 为 A1D 的中点，ND=12?，由题设知A1B1=DC，B1C=A1D，ME=ND，四边形MNDE 为平行四边形，MN ED，MN?平面 C1DE，MN 平面 C1DE（）（文科）解：过C 作 C1E 的垂线，垂足为H，

39、由已知可得DE BC，DE C1C，DE 平面 C1CE，DE CH，CH平面 C1DE，CH 的长为 C 到平面 C1DE 的距离，由已知得CE1，C1C4，?=?，CH=41717，点 C 到平面 C1DE 的距离为4 1717（）（理科）解：以D 为原点，DA 为 x 轴，DE 为 y 轴，DD1为 z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），M（1，?，2），A1（2，0，4），N（1，0，2），?=（1，-?，2），?=（1，-?，2），?=（0，-?，0），设二面角AMA1的法向量?=（x，y，z），则?=?-?-?=?=?-?+?=?，取 x=?，得?=（?，1，0），设平面 M

40、A1N 的法向量?=（a，b，c），则?=?-?+?=?=-?=?，取 a2，得?=（2，0，1），cos?，?=?|?|?|?|=2325=155，二面角A MA1N 的正弦值为?-(155)?=10524（文科）已知椭圆C：?2?2+?2?2=1（a b0）的左、右焦点为F1，F2，点 P 在椭圆 C上，且 PF1F2面积的最大值为?，周长为6（）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（）已知直线l：ykx+1（k 0）与椭圆C 交于不同的两点A，B，若在x 轴上存在点 M（m，0），使得M 与 AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围【分析】（）由 PF1F2面积的最大值为

41、?，周长为 6 及 a，b，c 之间的关系求出a，b 的值，进而求出椭圆的方程，及离心率的值；（）设AB 的坐标，将直线l 的方程与椭圆联立求出两根之和，可得AB 的中点坐标，进而求出线段AB 的中垂线的方程，令y 0，求出 x 轴的点 M 的横坐标的表达式，由均值不等式可得m 的取值范围解：（）由PF1F2面积的最大值为?，周长为6可得 12?=?+?=?=?-?，解得：a24，b23所以椭圆的方程为：?24+?23=1；离心率 e=?=12；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l 与椭圆的方程：?=?+?24+?23=?，整理可得（3+4k2）x2+8kx8 0，x1+x2=

42、-8?3+4?2，y1+y2k（x1+x2）+2=63+4?2，所以 AB 的中点坐标为：（-4?3+4?2，33+4?2），所以线段AB 的中垂线的方程为：x k（y-33+4?2）-4?3+4?2，令 y0，可得 x=-?3+4?2，所以由题意可得m=-?3+4?2，因为 k0，所以 m=-13?+4?，因为 k0，所以3?+4k?=4?，所以 0m-312，所以实数m 的取值范围-312，0）25（理科）已知椭圆M：?2?2+?2?2=1 的两个焦点为F1（c，0），F2（c，0）（abc 0），椭圆上一动点P 到 F1，F2距离之和为4，当 P 到 x 轴上的射影恰为F1时，|OP|=

43、132，左、右顶点分别为A，B，O 为坐标原点，经过点F1的直线 l 与椭圆 M 交于 C，D两点（）求椭圆M 的方程；（）记 ABD 与 ABC 的面积分别为S1，S2，求|S1S2|的最大值【分析】（）由P 到 F1，F2距离之和为4，可得 2a 的值，再由P 到 x 轴上的射影恰为 F1时，|OP|=132，所以|OP|2|PF1|2+|OF1|2，即134=?4?2+c2，再由a，b，c 之间的关系求出b 的值，进而求出椭圆的方程；（）设过F1的直线，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出面积之差的表达式，由均值不等式求出面积之差的最大值解：（）由椭圆的定义可得：2a4，即 a2，由题

44、意可得|PF1|=?2?，所以|OP|2|PF1|2+|OF1|2，由题意可得134=?4?2+c2，a2，c2a2 b24b2，解得：b21 或 3，由 a bc，可得 b2 3，所以椭圆的M 的方程为：?24+?23=1；（）由（）可得A（2，0），B（2，0），左焦点F1（1，0），由题意可得直线CD 的斜率不为0，设直线CD 的方程为：xmy1，设 C（x1，y1），D（x2，y2），直线与椭圆联立?=?-?24+?23=?，整理可得：（4+3m2）y26my9 0，y1+y2=6?4+3?2，y1y2=-94+3?2，|S1S2|=12|AB|?|y1|y2|=124?|y1+y2|

45、2?|6?|4+3?2，当 m0 时|S1S2|0，当 m0，所以|S1S2|=124|?|+3|?|1224|?|?3|?|=?，当且仅当4|?|=3|m|时取等号，即m=233取等号；所以|S1 S2|的最大值为?26设函数f（x）lnx2mx2n（m，n 一、选择题）（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）有最大值ln2，求 m+n 的最小值【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+），?(?)=1?-?=1-4?2?，对 m分类讨论即可得出（2）由（1）利用单调性即可得出解：（1）函数 f（x）的定义域为（0，+），?(?)=1?-?=1-4?2?，当 m0 时，f（x）0，

46、f（x）在（0，+）上单调递增；当 m0 时，解 f（x）0 得?12?，f（x）在(?，?2?)上单调递增，在(?2?，+)上单调递减（2）由（1）知，当m0 时，f（x）在(?，?2?)上单调递增，在(?2?，+)上单调递减?(?)?=?(?2?)=?2?-?14?-?=-?-12?-12-?=-?，?=-12?-12，?+?=?-12?-12，令?(?)=?-12?-12，则?(?)=?-12?=2?-12?，h（m）在(?，12)上单调递减，在(12，+)上单调递增，?(?)?=?(12)=12?，m+n 的最小值为12?27已知函数f（x）lnx mx（m R）（I）讨论 f（x）的

47、单调性；（）若方程f（x）0 存在两个不同的实数根x1，x2，证明：m（x1+x2）2【分析】（）求出函数f（x）的导数，讨论m 的取值，利用导数判断函数f（x）的单调性与单调区间；（）问题转化为证x1+x22?，当 x22?时，显然成立，当 x22?时，此时0 x11?x22?，设 F（x）f（x）f（2?-x），x（0，2?），根据函数的单调性证明即可解：（）f（x）=1?-m=1-?，x0当 m0 时，由 1mx 0，解得 x1?，即当 0 x1?时，f（x）0，f（x）单调递增，由 1mx 0，解得 x1?，即当 x1?时，f（x）0，f（x）单调递减；当 m0 时，f（x）=1?0，

48、即 f（x）在区间（0，+）内单调递增；当 m0 时，1mx0，故 f（x）0，即 f（x）在区间（0，+）内单调递增综上，当m0 时，f（x）的单调递增区间为（0，1?），单调递减区间为（1?，+）；当 m0 时，f（x）的单调递增区间为（0，+）（）方程f（x）0 存在两个不同的实数根x1，x2和（）知m0，且 f（x）在（0，1?）递增，在（1?，+）递减，不妨设0 x11?x2，要证 m（x1+x2）2，即证 x1+x22?，当 x22?时，显然成立，当 x22?时，此时0 x11?x22?，设 F（x）f（x）f（2?-x），x（0，2?），则 F（x）f（x）f（2?-x）=1?-

49、m+12?-?-m=2?(?-1?)2?(2?-?)0，F（x）在（0，2?）上递增，且F（1?）0，F（x1）F（1?）0，即 f（x1）f（2?-x1），又 f（x1）f（x2），f（x2）f（2?-x1），x11?，2?-x11?，又 f（x）在（1?，+）递减，x22?-x1，即 x1+x22?即 m（x1+x2）2二、选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程28在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为?=?=?+?(?为参数)，以坐标原点为极点，xOy 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 C 的

50、极坐标方程；（2）设 A，B 为曲线C 上不同两点（均不与O 重合），且满足?=?4，求 OAB的最大面积【分析】（1）把曲线C 中的参数消去，可得曲线的直角坐标方程，结合直角坐标与极坐标的互化公式可得曲线C 的极坐标方程；（2）由点 A，B 在曲线 C 上，分别求得A，B 的极径，代入三角形面积公式，然后利用三角函数求最值解：（1）由?=?=?+?(?为参数)，消去参数，得曲线 C 的普通方程为x2+（y2）24，即 x2+y24y 0，设曲线 C 上任意点的极坐标为（，），则 24 sin，故曲线 C 的极坐标方程为 4sin（2）设 A（1，），则?(?，?+?4)，故?(?，3?4)，