2020届江苏省南通市通州区高三下学期复学返校联考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 22 页2020届江苏省南通市通州区高三下学期复学返校联考数学试题一、填空题1已知集合1,2,3,2,4AB，则ABU_.【答案】1,2,3,4【解析】直接根据并集定义得到答案.【详解】集合1,2,3,2,4AB，则1,2,3,4AB.故答案为：1,2,3,4.【点睛】本题考查了并集计算，属于简单题.2已经复数z满足(2)1zii（i 是虚数单位），则复数z的模是 _【答案】10【解析】【详解】(2)1ziiQ，11323,iiziii10z，故答案为10.3根据如图所示的伪代码，可这输出的S_.【答案】21【解析】根据伪代码依次计算得到答案.【详解】第 2 页 共 22 页根

2、据题意：1,1Si；3,2Si；7,3Si；13,4Si；21,5Si，结束.故答案为：21.【点睛】本题考查了伪代码，意在考查学生的计算能力和理解能力.4函数2lnfxxx的单调减区间为_【答案】2,2或2,2【解析】求出函数yfx的定义域和导数fx，然后解不等式0fx或0fx，即可得出函数yfx的单调递减区间.【详解】函数2lnfxxx的定义域为0,，21122xxxxfx，0 xQ，解不等式0fx，即2120 x，得22x.因此，函数2lnfxxx的单调减区间为2,2或2,2.故答案为：2,2或2,2.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也要注意求出函数定义域的求解，考查计算能

3、力，属于基础题.5从 0、2 中选一个数字.从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为_.【答案】30.【解析】讨论选择的数字是0 和 2 两种情况，分别计算得到答案.【详解】若从 0、2 中选一个数字是0，则组成三位数有122312C A个；若从 0、2 中选一个数字是2，则组成三位数有233318C A个，故一共有30 个故答案为：30.第 3 页 共 22 页【点睛】本题考查了排列组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.6若函数3()2ln2f xxx的图像在1x处的切线l与两坐标轴分别交于点,A B，则线段AB的长为 _.【答案】2 2【解析】求导，

4、计算切线方程2yx，得到AB坐标，得到答案.【详解】3()2ln2f xxx，故22()3fxxx，则(1)1kf，(1)3f，所以31yx，2yx，与坐标轴两交点分别为(0，2)，(2，0)，故 AB2 2故答案为：2 2.【点睛】本题考查了切线方程，线段长度，意在考查学生的计算能力.7已知各项均不相等的数列na为等差数列，且1a，4a，10a恰为等比数列nb的前三项.若6kab，则 k_.【答案】94.【解析】根据等差数列等比数列公式计算2nandd，132nnbd，代入等式计算得到答案.【详解】1a，4a，10a恰为等比数列nb的前三项，故211193aadad，0d，解得13ad.11

5、2naandndd，故41623adqad，132nnbd，6kab，即5232kddd，解得94k.故答案为：94.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.第 4 页 共 22 页8在 ABC 中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则 sinC=_【答案】154【解析】由 sinA：sinB：sinC=2：3：4 及由正弦定理，得 a：b：c=2：3：4，不妨设 a=2，b=3，c=4，由余弦定理和同角的三角函数关系即可求出【详解】解：sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理，得a：b：c=2：3：4，不妨设a=2，b=3，c=4，

6、cosC=22294 161222 34bacab，则 sinC=21 cos C=1116=154，故答案为：154【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，属基础题，准确记忆定理的内容是解题关键9若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S、2,S则有12:SS【答案】3:2【解析】试题分析：设球的直径为2R，则2212:(222):43:2.SSRRRR【考点】球的表面积10 唐代诗人李颀的诗古从军行 开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最

7、短？在如图所示的直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域的边界为224xy，河岸线所在直线方程为60 xy，假定将军从点3,2P处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为_.第 5 页 共 22 页【答案】732【解析】求出点P关于直线60 xy的对称点P的坐标，于是将问题转化为点P到圆224xy上一点距离的最小值，即为2OP，可得出答案.【详解】如下图所示：设点P关于直线60 xy的对称点为点,Pa b，则线段PP的中点坐标为32,22ab，直线PP的斜率为23PPbka，由题意可得326022213abba，解得83ab，所以点P的坐标为8,3.因此，将军行走的最短路程为

8、222832732OP.故答案为：732.【点睛】本题考查与圆有关的距离的最值问题的求解，涉及圆的几何性质和对称思想的应用，考第 6 页 共 22 页查数形结合思想的应用，属于中等题.11在ABCV中0,3,AB ACBDDC ACAE ADuu u r u uu ruuu ruuu r uu u ruuu r与BE交于点F.若|4,3ABACuuu ruu u r，则BF ACuuu r uuu r的值为 _.【答案】94【解析】以 A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，如图，计算得到F点坐标，计算得到答案.【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，如图，则 A(0，0)

9、，B(0，4)，C(3，0)，D(1.5，2)，E(1，0)，直线 AD 为43yx，BE 为44yx，联立解得34x，1y，即 F(34，1)，BFuuu r(34，3)，ACuuu r(3，0)，故94BFACu uu r uu u r故答案为：94.【点睛】本题考查了向量的数量积，建立直角坐标系可以简化运算，是解题的关键.12已知0a，0b，且31126abab，则3abab的最大值为 _.【答案】19【解析】将不等式两边同乘以31ab，再将不等式两边化简，然后利用基本不等式即可求得最大值.【详解】0a，0b，且31126abab23131126ababab第 7 页 共 22 页313

10、61863631126312156babaababaabbabab313631311261526276baababababab，当且仅当6ab时取等号.令310t tab，原不等式转化为2276tt，解得9t.1113139ababtab故答案为：19.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.13已知椭圆2222

11、1(0)xyabab的离心率，A,B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A,B 的一点，直线 PA,PB 倾斜角分别为,，则cos()=cos+（）.【答案】17【解析】试题分析：由题意，(,0)Aa，(,0)B a，设(,)P x y，则tanyxa，tanyxa，222tantanyyyxa xaxa，椭圆22221(0)xyabab的离心率，22214aba，2243ab，2222143xybb，22234xyb，22234yxa，3tantan4，第 8 页 共 22 页31cos()coscossinsin1tantan14=3cos+coscossinsin1tantan714

12、（）【考点】（1）椭圆的简单性质；（2）两角和与差的余弦函数.14已知函数4()ln2f xxxx，曲线()yf x上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线()yf x在 M、N 两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为_【答案】8+，【解析】求出导函数24()1fxxx，根据题意转化为212121244xxxxx x对2恒成立，即可得解.【详解】4()ln2f xxxx，24()1fxxx，曲线()yf x上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线()yf x在 M、N 两点处的切线互相平行，即121212()(),0,0fxfxxxxx，2211224411xx

13、xx，22121244xxxx，212121244xxxxx x所以1216xx对2恒成立所以 x1+x2的取值范围为8+，.故答案为：8+，【点睛】此题考查导数的几何意义，根据导数的几何意义解决切线斜率相等的问题，求切点横坐标之和的取值范围，利用基本不等式构造不等关系求解.二、解答题15如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PD的中点，PA平面ABCD.第 9 页 共 22 页（1）求证：/PB平面 AEC；（2）若四边形ABCD是矩形且PAAD，求证：AE平面PCD.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连接BD交AC于O，可得知点O为BD的中点，

14、利用中位线的性质得出/PB OE，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出/PB平面 AEC；（2）证明出CD平面PAD，可得出AECD，由等腰三角形三线合一的思想得出AEPD，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AE平面PCD.【详解】（1）连接BD交AC于O，因为ABCD是平行四边形，所以O是BD的中点，因为E为PD的中点，所以/OEPB，又因为 PB平面 AEC，OE平面 AEC，所以/PB平面 AEC；（2）因为PAAD且E是PD的中点，所以AEPD，又因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD，因为四边形ABCD是矩形，所以CDAD，因为PA、AD平面PAD且PAADA

15、，所以CD平面PAD，又因为AE平面PAD，所以CDAE，第 10 页 共 22 页PDQ、CD平面PCD且PDCDD，所以AE平面PCD.【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直的证明，在证明时要严格根据判定定理组织论据，考查推理论证能力，属于中等题.16在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，cosB45（）若c2a，求sinsinBC的值；（）若CB4，求 sinA 的值【答案】（1）3 510（2）31 250【解析】试题分析：（1）由余弦定理cos45B及2ca得出 b,c关系，再利用正弦定理即可求出；（2）根据正余弦的二倍角公式及同角三角函数之间的关系，即可解出.试

16、题解析：（1）解法 1：在ABC中，因为cos45B，所以222425acbac.因为2ca，所以222()42522ccbcc，即22920bc，所以3 510bc.又由正弦定理得sinsinBbCc，所以sin3 5sin10BC.解法 2：因为4cos,(0,)5BB，所以23sin1cos5BB.因为2ca，由正弦定理得sin2sinCA，所以68sin2sin()cossin55CBCCC，即sin2cosCC.又因为22sincos1,sin0CCC，解得2 5sin5C，所以sin3 5sin10BC.（2）因为cos45B，所以27cos22cos125BB.又0B，所以23s

17、in1cos5BB，所以3424sin22sincos25525BBB.因为4CB，即4CB，所以3()24ABCB，所以第 11 页 共 22 页3332722431 2sinsin(2)sincos2cossin 2()44422522550ABBB试题点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系与两角和的正弦公式，以及三角形中角之间的关系17如图，圆O 是一半径为10 米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B 两点在 O 上，A，B，C，D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A，B，C，

18、D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路 OA，OB，OC，OD.（1）若正方形边长为10 米，求广场的面积；（2）求铺设的4 条线路 OA，OB，OC，OD 总长度的最小值.【答案】（1）1005025 33（平方米）（2）20 2（米）【解析】（1）连接 AB，广场面积等于正方形面积加上弓形面积，计算得到答案.（2）过 O 作 OKCD，垂足为 K，过 O 作 OHAD（或其延长线），垂足为 H，设OAD （04），OD300200 224sin，计算得到答案.【详解】（1）连接 AB，AB10，正方形 ABCD 的面积为100，又 OAOB10，A

19、OB 为正三角形，则3AOB，而圆的面积为100，扇形 AOB 的面积为1005063，又三角形AOB 的面积为1105 325 32.弓形面积为5025 33，则广场面积为1005025 33（平方米）；（2）过 O 作 OKCD，垂足为 K，过 O 作 OHAD（或其延长线），垂足为H，设 OAD（0 4），则 OH10sin ，AH10cos，第 12 页 共 22 页 DH|ADAH|2OHAH|20sin 10cos|，OD22100(2010)300200 224sinsincossin.当 8时，1021minOD.4 条线路 OA，OB，OC，OD 总长度的最小值为2 1021

20、20202（米）.【点睛】本题考查了弓形面积，距离的最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力和计算能力.18在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：22221(0)xyabab的左、右顶点分别为1A、2A，上、下顶点分别为1B、2B设直线11A B倾斜角的余弦值为223，圆C与以线段2OA为直径的圆关于直线11A B对称（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B与圆C的位置关系，并说明理由；（3）若圆C的面积为 4，求圆C的方程【答案】（1）144e（2）直线11A B与圆C相切，理由见解析（3）228 22433xy【解析】（1）根据直线11A B的倾斜角的余弦值为2 23，

21、求出 a,b 的等量关系即可求解第 13 页 共 22 页离心率；（2）通过计算可得直线11A B与以2OA为直径的圆相切，所以直线11A B与圆C相切；（3）根据面积求出半径，依次列方程组求解参数的值.【详解】解：（1）设椭圆E 的焦距为2c（c0），因为直线11A B的倾斜角的余弦值为2 23，所以222 23aab，于是228ab，即2228()aac，所以椭圆E 的离心率22147.84cea（2）由144e可设40ak k，14ck，则2bk，于是11A B的方程为：2 240 xyk，故2OA的中点20k,到11A B的距离 d2423kkk，又以2OA为直径的圆的半径2rk，即有

22、dr，所以直线11A B与以2OA为直径的圆相切因为圆C与以线段2OA为直径的圆关于直线11A B对称，所以直线11A B与圆C相切（3）由圆C的面积为 4知，圆半径为2，从而1k，设2OA的中点2 0,关于直线11A B：2 240 xy的对称点为m n,，则21,2422 24022nmmn解得82233mn,所以，圆C的方程为228 22433xy【点睛】此题考查直线与椭圆和圆的综合应用，涉及求椭圆离心率，判断直线与圆的位置关系，根据已知条件求解圆的方程.19已知函数212(),()xfxaxbxc fxe（1）当1,1,02abc时，设21()()()f xmfxfx，且函数()f x

23、 在R上单调递第 14 页 共 22 页增.求实数m的取值范围；设22()(3)()h xxm fx，当实数m取最小值时，求函数()h x的极小值.（2）当0,1,1abc时，证明：函数21()()()g xfxfx有两个零点.【答案】（1）1,)2e（2）证明见解析【解析】（1）求导得到()1 0 xfxmex恒成立，即1xxme在R上恒成立，设1()xxxe，求函数的最大值得到答案；2()(3)xh xxe，求导得到函数单调性，得到极小值.（2）()1(1)xg xebxb，计算函数单调性得到min()(ln)0g xgb，故存在唯一1lnxb，使得1()0g x，又(0)0g，得到答案.

24、【详解】（1）21()2xf xmexx，得()1xfxmex，由题意知()0fx在R上恒成立，1xxme在R上恒成立.令1()xxxe，则max(),()xxmxxe，令()0 x，得0 x，令()0 x，得0 x，()x在(,0)上单调递增，在(0,)单调递减，max()(0)1x，1m，即实数m的取值范围是1,).当实数m取最小值时，21,()(3)xmh xxe.22()2(3)(23)xxxh xxexexxe，令()0h x，解得1x或3x，当3x或1x时，()0h x；当31x时，()0h x.()h x在(,3)上单调递增，在(3,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，当1x时

25、，()h x取得极小值，极小值为2e.第 15 页 共 22 页（2）当0,1ac时，函数()1(1),()xxg xebxbg xeb.令()0g x，解得lnxb，当lnxb，时()0,()g xg x在,ln b上单调递减，当lnxb时，()0,()g xg x在ln,b上单调递增，min()(ln)ln1(1).g xgbbbbb令()ln1(1)p bbbbb则()1ln1ln0p bbb，()p b在(1,)上单调递减，()0,p b即min()(ln)0g xgb.当x时，g x，由零点存在性定理，存在唯一1lnxb，使得1()0g x，又(0)0,()gg x有两个零点.【点睛

26、】本题考查了根据单调性求参数，极值问题，零点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20已知无穷数列na的前n项中的最大项为nA，最小项为nB，设nnnbAB（1）若21nan，求数列nb的通项公式；（2）若212nnna，求数列nb的前n项和nS；（3）若数列nb是等差数列，求证：数列na是等差数列.【答案】（1）2nbn（2）123971,42SSS，当4n时，19323842nnnnS（3）证明见解析【解析】（1）根据数列为递增数列得到答案.（2）计算11322nnnnaa，2n时，数列单调递减，故4n时，32142nnnb，利用分组求和与错位相减法计算得到答案.（3）设数列nb的公

27、差为d，则111nnnnnnbbAABBd，讨论0d，0d，0d三种情况，分别证明等差数列得到答案.【详解】（1）na是递增数列，所以121,1nnnAanBa，所以2nnnbABn.第 16 页 共 22 页（2）由212nnna得111212132222nnnnnnnnaa，当11,0nnnaa，即12aa；当12,0nnnaa，即234aaaL又1231411357,24816aaaa aa，所以123551,44bbb，当4n时，32142nnnb，所以123971,42sss，令212nnnc，对应的前n项和为nT，则21113.21.22.2nnTn，23111113.222212

28、nnnT，两式相减化简整理得到：2332nnnT，当4n时，333331934238442nnnSnTTSnn.综上所述，123971,42sss，当4n时，19323842nnnns.（3）设数列nb的公差为d，则111nnnnnnbbAABBd，由题意11,nnnnAABB，10,nndAA，对任意*nN都成立，即11nnnnAaAa，na是递增数列.所以1,nnnAaBa，所以111nnnnnndAABBaa，所以na是公差为d的等差数列；当0d时，1nnBB对任意*nN都成立，进而11nnnnBaBa，所以na是递减数列.1,nnnAa Ba，所以111nnnnnndAABBaa所以n

29、a是公差为d的等差数列；当0d时，110nnnnAABB，因为1nnAA与1nnBB中至少有一个为0，所以二者都为0，进而na为常数列，综上所述，数列na等差数列.第 17 页 共 22 页【点睛】本题考查了数列的通项公式，前n项和，证明等差数列，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.21设 a，b R，若直线l：axy70 在矩阵 A301b对应的变换作用下，得到的直线为l：9x y 910，求实数a，b 的值【答案】a2，b13.【解析】设矩阵 A 对应的变换把直线l 上的任意点P(x，y)变成直线l 上的点 P1(x1，y1)，将x1，y1用x，y表示由9x1y1910，得x，y的方程

30、，此方程也是l的方程【详解】设矩阵 A 对应的变换把直线l 上的任意点P(x，y)变成直线l上的点 P1(x1，y1)，则301bxy11xy，即113xxxbyy因为 9x1 y1 910，所以 27x(xby)910，即 26xby91 0.因为直线l 的方程也为axy70，所以261ba=917，解得 a2，b 13.【点睛】本题考查了矩阵的线性变换，考查了两条直线重合的条件，考查了运算求解能力，属于基础题.22 在极坐标系中，已知1,9,33AB，线段AB的垂直平分线l与极轴交于点C，求l的极坐标方程及ABC的面积【答案】l的极坐标方程及cos53,20 3ABC的面积.【解析】将1,

31、9,33AB转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB的中点与直线AB的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线 AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC的面积.【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy 中，第 18 页 共 22 页1,9,33AB的坐标为139 9 3(,),(,)2222AB线段AB的中点为5 5 3(,)22A，3ABk故线段AB中垂线的斜率为133ABkk，所以AB的中垂线方程为：5 335()232yx化简得：3100 xy，所以极坐标方程为co

32、s3sin100，即cos()53，令0y，则10 x，故在平面直角坐标系xoy 中，C（10,0）点 C 到直线 AB：3yx的距离为10 35 33 1d，线段8AB，故ABC的面积为15 3820 32S.【点睛】本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.23已知实数,a b满足2ab，求证：22224(2)aabba【答案】证明见解析【解析】对2222aabb进行转化，转化为含有2ab形式，然后通过不等关系得证.【详解】解：因为2ab，所以2222aabb2222abab第 19 页 共 22 页2ababab2ab

33、 ab22abaab22abaab2 2222 244242aaaa,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.24由数字 0，1，2，3，4 组成一个五位数.（1）若的各数位上数字不重复，求是偶数的概率；（2）若的各数位上数字可以重复，记随机变量X表示各数位上数字是0 的个数，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）58（2）详见解析【解析】（1）计算五位数共有5454AA96，偶数共有60 个，计算概率得到答案.（2）确定1(4,)5XB，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）由 0，1，2，3，

34、4 组成的五位数共有5454AA96（个），其中是偶数的，第一类，个位是0，有44A24（个）；第二类，个位是 2 或 4，有113233C C A36(个)，所以是偶数的概率为24365968P.（2）因为首位一定不为0，第 2 位至第 5 位，各数位上数字为0 的概率均是15，且相互独立，所以1(4,)5XB.所以4411()C()(1),0,1,2,3,455iiiP Xii，所以X的概率分布列为X0 1 2 3 4 第 20 页 共 22 页P2566252566259662516625162514()455E X.【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力

35、和应用能力.25如图，F是抛物线220ypx p的焦点，过点F且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于11,A x y、22,B xy两点，交抛物线的准线于点H，其中10y，124y y过点H作y轴的垂线交抛物线于点P，直线PF交抛物线于点Q.（1）求p的值；（2）求四边形APBQ的面积S的最小值【答案】（1）2p；（2）25 159.【解析】（1）设直线AB的方程为2pxty，将该直线方程与抛物线的方程联立，消去x，得到关于y的二次方程，利用韦达定理结合124y y可求出正数p的值；（2）由直线AB与坐标轴不垂直，所以设AB方程为10 xtyt，并设点33,Q xy，将直线AB的方程与抛物线的方程联

36、立，列出韦达定理，并求出AB，求出点H的坐标，可得出点P的坐标，并可得出直线PF的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点Q的坐标，并分别计算出点P、Q到直线AB的距离1d、2d，利用三角形的面积公式可得出S关于t的表达式，设20kt，构造函第 21 页 共 22 页数2fkS，利用导数求出函数yf k的最小值，即可得出S的最小值.【详解】（1）设AB方程为2pxty，与22ypx联立，消去x整理得2220yptyp，所以2124y yp，得2p（舍去）或2p；（2）由（1）知抛物线方程为24yx，1,0F，准线方程为1x.因为直线AB与坐标轴不垂直，所以设AB方程为10 xt

37、yt，33,Q xy，由214xtyyx得2440yty，124y y，124yyt，所以2212141ABtyyt，令1x，则2yt，所以21,Ht，212,Ptt，直线PF的方程为2112txyt，由221124txytyx得222140tyyt，所以324ty，32yt，代入24yx，得23xt，所以2,2Q tt.Q到直线AB的距离为21211tdt，P到直线AB的距离为222211dttt，所以四边形APBQ的面积5322122221112221tSAB ddtttt，令20tk，则5224 1kSk，令524 1kf kk，则432 132kkfkk.当203k时，0fk，函数yfk单调递减，当23k时，0fk，函数yf k单调递增.所以，当23k时，yfk有最小值5527，因此，四边形APBQ的面积S的最小值为25 159.【点睛】本题考查抛物线方程中参数的计算，同时也考查了抛物线中四边形面积最值的计算，一第 22 页 共 22 页般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，涉及了利用导数求最值，考查运算求解能力，属于难题.