2020届江苏省徐州市高三下学期考前模拟(四模)数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 24 页2020 届江苏省徐州市高三下学期考前模拟（四模）数学试题一、填空题1已知集合0,9A，1,2,9B，则集合AB中的元素个数为_.【答案】4【解析】直接根据并集的运算计算可得；【详解】解：因为集合0,9A，1,2,9B所以0,1,2,9AB，故集合AB中有 4 个元素，故答案为：4【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2复数(42)(1)zii(i为虚数单位)的实部为 _.【答案】6【解析】先化简复数z，再根据复数的定义求解【详解】2(42)(1)442262ziiiiii，所以实部为6故答案为：6【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数的概念，掌握乘法运算是解题关键

2、3从参加疫情防控知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示，则这60 名学生中成绩在区间79.5,89.5)的人数为_.第 2 页 共 24 页【答案】15【解析】根据频率分布直方图求出成绩在区间79.5,89.5)的频率，然后可得人数【详解】由频率分布直方图得(0.030.0150.0150.010.005)101a，0.025a，所求人数为0.025 106015故答案为：15【点睛】本题考查频率分布直方图，掌握频率分布直方图的性质是解题关键，频率分布直方图中所有小矩形面积和为1即所有频率之和为14执行如图所示的算法流程图，则输出的结果为_.【答

3、案】2 第 3 页 共 24 页【解析】循环进行赋值运算，直到退出循环，输出结果.【详解】当1n时，进入循环：1,32Sn；当3n时，进入循环：121,5Sn；当5n时，进入循环：1 12,7Sn；当76n时，退出循环，输出2S.故答案为：2【点睛】本题考查了利用循环结构计算变量的值，属于基础题.5将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于10 的概率为 _【答案】112【解析】先写出所有的基本事件个数36 个，利用列举法写出满足题意的有3 个，由此能求出满足题意的概率【详解】所有的基本事件可能如下：共有 36 种

4、，点数之和大于10 的有（5,6），（6,5），（6,6），共 3 种，所求概率为：P313612.故答案为112【点睛】本题考查古典概型概率的求法、考查运算求解能力，是基础题第 4 页 共 24 页6在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线221xym的一个焦点为(2,0)，则该双曲线的离心率为_.【答案】2 33【解析】由焦点求出m，即得a，由离心率定义得离心率【详解】由题意2c，am14m，3m，3a，离心率为22 333cea故答案为：2 33【点睛】本题考查求双曲线的离心率，根据双曲线方程求出,a c后由离心率定义可得离心率，本题属于中档题7已知2,3AB，1,ACm，若ABBC，则实数

5、m的值为 _.【答案】5【解析】先根据向量的减法法则计算BC，再根据向量垂直的坐标运算求解即可.【详解】解：由题知3,3BCACABm，又因为ABBC，所以=6330AB BCm，解得：5m故答案为：5.【点睛】本题考查向量的减法运算和向量垂直的坐标表示，是基础题.8已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，面积为4的扇形，则该圆锥的体积为_.【答案】153【解析】由侧面展开图求出圆锥底面半径，再求得圆锥的高，然后可得体积，【详解】由题意圆锥的母线长为4l，第 5 页 共 24 页扇形弧长为a，则1442a，2a，圆锥底面半径为r，则22r，1r，圆锥的高为2215hlr，所以圆锥体积为221115

6、115333Vr h故答案为：153【点睛】本题考查求圆锥的体积，掌握圆锥侧面展开图与解决问题问题的基本方法9已知公差不为0 的等差数列na，其前n项和为nS，首项12a，且1a，2a，4a成等比数列，则7S的值为 _.【答案】56【解析】根据题意，先设等差数列na的公差为0d d，由1a，2a，4a成等比数列，列出方程求出公差，再由等差数列前n项和公式，即可求出结果.【详解】由题意，设等差数列na的公差为0d d，因为1a，2a，4a成等比数列，所以2214aa a，即21113ada ad，即222 23dd，整理得：220dd，解得：2d或0d（舍），因此717671442562Sad.

7、故答案为：56.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，涉及等比中项的应用，熟记等差数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.10已知函数()sin()6f xx，(0,)23x，若函数()3()2g xf x的两个零点分别是12,x x，则12()g xx的值为 _.【答案】72【解析】根据三角函数的对称性及角的范围，可得1243xx，由此即可求得12()g xx第 6 页 共 24 页的值【详解】解：令()3()20g xf x，解得2()3fx，即2sin()63x，又3(0,)2x，4(,)663x，令4(,)663tx，则2sin3t，1222tt，即12433xx，124477

8、()()3()23sin23362g xxgf故答案为：72【点睛】本题考查三角函数的图象及性质的运用，涉及了函数的对称性及零点问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题11设函数()f x 是定义在R上的奇函数，且2log(1),0,()(),0,xxf xg xx则(7)g f的值为 _.【答案】2【解析】根据分段函数的解析式及函数的奇偶性，先求出7f，然后再求7gf即可.【详解】因为()f x 是定义在R上的奇函数，且2log(1),0,()(),0,xxf xg xx所以2(7)(7)log 83ff，所以2(7)(3)(3)(3)log 42g fgff，故答案为：2.【点睛】本题

9、主要考查分段函数求值，结合了奇函数的性质应用，属于简单题.12在平面直角坐标系xOy中，若圆1C：2220 xyy与圆2C：222 30 xyaxay上分别存在点P，Q，使POQ为以O为直角顶点的等腰第 7 页 共 24 页直角三角形，且斜边长为2 2，则实数a的值为_.【答案】2【解析】将圆的方程标准化可得圆心半径，由已知可得|2 2PQ，则|2OPOQ，数形结合得到,P Q的坐标，计算即可得解.【详解】由已知得圆1C的标准方程为22(1)1yx，得：圆心(,)1C 0 1，半径11r；圆2C的标准方程为22213(3)24aaxya，得：圆心2,32aCa，半径213|2ra；POQ为以O

10、为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为2 2，即|2 2PQ,|2OPOQ,又点P和点O都在圆1C上，且圆1C的半径11r，OP只能是圆1C的直径，即点P只能是圆1C与y轴的交点（0，2），又点O在圆2C上，点Q只能是圆2C与x轴的交点，在圆2C中，令0y，得：20 xax，解得：xa或0 x（舍去）(,0)Qa，由|2OPOQ，得：|2a，2a，故答案为：-2 或 2.第 8 页 共 24 页【点睛】本题考查圆的一般方程，考查直线和圆的位置关系，数形结合思想方法，属于中档题.13若ABC的内角满足123tantantanABC，则cosC的最小值为 _.【答案】23【解析】由同角三角函数的关

11、系切化弦得cos2cos3cossinsinsinABCABC，再运用三角恒等变换和正、余弦定理将角转化边可得222+230abc，根据余弦定理和基本不等式可求得cosC的最小值.【详解】由123tantantanABC得，cos2cos3cossinsinsinABCABC，即sincos2cossin3cossinsinsinBABACABC，sin()+cossin3cossinsinsinBABACABC，所以2sin+cossinsin3sinsincosCBACABC，由正弦定理和余弦定理得：22222222+32acbabccacabacab，化简得：222+230abc，222

12、22222222122122 223333cos2226+63ababababcababCababababab（当且仅当ab时取等号），所以cosC的最小值为23.第 9 页 共 24 页故答案为：23.【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，三角恒等变换，正、余弦定理，以及运用基本不等式求最值，关键在于运用合适的公式将角转化为边，属于较难题.14若函数()|ln|f xxxaa，(0,1x的最大值为0，则实数a的最大值为_.【答案】12e【解析】利用导数研究函数ln(0,1g xxxx，的单调性求出最值，分12ae、12ae两类进行绝对值运算，验证是否满足函数()|ln|f xxxaa，(0,

13、1x的最大值为 0 即可求得a 的范围从而求出最大值.【详解】不妨令ln(0,1g xxxx，则ln10gxx，解得1xe，当10,xe时，0gx，g x为单调递减函数；当1,1xe时，0gx，g x为单调递增函数.因为1000gxg x，所以maxmin1110g xgg xgee，当12ae时，fx在1x处取得最大值10faaaa，满足题意；当12ae时，fx在1xe处取得最大值1111120faaaeeeee，不满足题意.所以12ae，则 a 的最大值为12e.故答案为：12e【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值、含绝对值函数的性质，考查学生分类讨论思想，属于较难题.第 10

14、页 共 24 页二、解答题15如图，在三棱柱111ABCA B C中，侧面11ABB A底面ABC，ABAC，E，F分别是棱AB，BC的中点.求证：（1）11AC平面1B EF；（2）1ACB E.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）要证明11A C平面1B EF，只需证明11A CEF即可；（2）要证明1ACB E，只需证明AC平面11ABB A即可.【详解】（1）在ABC中，E，F分别是棱AB，BC的中点，所以EFAC.又在三棱柱111ABCA B C中，11ACAC，所以11ACEF.又因为11AC平面1B EF，EF平面1B EF，所以11AC平面1B EF.（2）因为侧面1

15、1ABB A底面ABC，侧面11ABB A底面ABCAB，ABAC，AC平面ABC，所以AC平面11ABB A.又因为1B E平面11ABB A，所以1ACB E.第 11 页 共 24 页【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面垂直的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.16如图，在ABC中，6AC，D为AB边上一点，2CDAD，且6cos4BCD（1）求sinB；（2）求ABC的面积【答案】（1）108；（2）3 152【解析】（1）由余弦定理结合题意可得1cos4ADC，根据同角三角函数的平方关系可得15sin4ADC、10sin4BCD，再利用sinsinBADCBCD即可

16、得解；（2）由正弦定理可得sinsinsinBDCDBCBCDBBDC，进而可求得4BD、2 6BC，利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）在ADC中，由余弦定理得2222222261cos22224ADCDACADCAD CD所以22115sin1cos144ADCADC因为6cos4BCD，BCD是三角形BCD的内角，所以22610sin1cos144BCDBCD所以sinsinBADCBCDsincoscossinADCBCDADCBCD第 12 页 共 24 页1561104444108；（2）在BCD中，由正弦定理得sinsinsinBDCDBCBCDBBDC，所以102sin4

17、4sin108CDBCDBDB，152sinsin42 6sinsin108CDBDCCDADCBCBB，所以6ABADBD，所以11103 15sin62 62282ABCSAB BCB【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角恒等变换的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.17如图，某市地铁施工队在自点M 向点 N 直线掘进的过程中，因发现一地下古城(如图中正方形ABCD所示区域)而被迫改道.原定的改道计划为：以M点向南，N点向西的交汇点O为圆心，OM为半径做圆弧MN，将MN作为新的线路，但由于弧线施工难度大，于是又决定自P点起，改为直道PN.已知3ONOM千米，点 A 到 OM，ON

18、 的距离分别为12千米和 1 千米，/AB ON，且1AB千米，记PON.（1）求sin的取值范围；（2）已知弧形线路MP的造价与弧长成正比，比例系数为3a，直道 PN 的造价与长度的平方成正比，比例系数为a，当 为多少时，总造价最少？第 13 页 共 24 页【答案】（1）240,25；（2）当 为6时，总造价最少.【解析】（1）以 O 为原点，ON 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，根据题意，求出直线 CN 的方程，MN所在圆的方程，联立直线与圆的方程，求出交点C 的坐标，当PN 过点 C 时，求出sin，结合图形，即可得出结果；（2）先由题意，得到MP的长为32，设(3cos,3sin

19、)P，得出()33(18 18cos)2faa，0(0,)，024sin25，用导数的方法求出其最小值即可.【详解】（1）以 O 为原点，ON 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(3,0)N，1,12A，3,22C，所以直线CN 的方程为4(3)3yx，MN所在圆的方程为229xy，联立224(3),39,yxxy解得21,2572,25xy，当 PN 过点 C 时，21,25 2725P，24sin25，所以sin的取值范围是240,25.第 14 页 共 24 页（2）由题意，MP的长为32，设(3cos,3sin)P，则222(3cos3)(3sin)1818cosPN，所以总造价(

20、)33(1818cos)2faa918918cos2a，0(0,)，024sin25，所以()(18sin9)fa，令()0f得，124sin0,225，所以6，列表如下：0,660,6()f0()f极小值所以当6时，()f有极小值，也是最小值.答：当为6时，总造价最少.【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记导数的方法求函数的最值即可，属于常考题型.18如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：22221(0)xyabab的右焦点为F，左顶点为A，下顶点为B，连结 BF 并延长交椭圆于点P，连结PAAB，.记椭圆的离心率为e.第 15 页 共 24 页（1）若12e，7AB，求椭圆C 的标准

21、方程；（2）若直线PA 与 PB 的斜率之积为16，求 e的值.【答案】（1）22143xy；（2）23.【解析】（1）利用12e，7AB以及222abc列方程组，解方程组求得22,ab的值，进而求得椭圆C的标准方程.（2）求得直线PB的方程，进而求得P点的坐标，由此求得直线PA的斜率，根据直线PA和PB的斜率之积列方程，化简后求得e的值.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c.由题意，得22222127ceaababc，解得2243.ab，所以椭圆的方程为22143xy.（2）因为 B，F在直线 PB上，所以直线PB的方程为1xycb.解方程组222211xycbxyab，得2122221222+

22、a cxacb acyac，或220 xyb，所以点 P 的坐标为22222222()b aca ca+ca+c，.因为直线PB 的斜率0()0PBbbkcc，第 16 页 共 24 页直线 P A 的斜率222222222222022()PAb acb aca+cka ca ca a+caa+c2222222(2()()()b acb acb acaaca+ca aca ac，又因为直线PA和 PB 的斜率之积为16，所以22221()()()6acacb acbacacb=a accac acac acac，化简得226136(32)(23)0aaccacac，因为ac，所以23ac，所以

23、椭圆的离心率23e.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆离心率的求法，属于难题.19已知函数2()xf xexax，e是自然对数的底数，aR.（1）当1a时，求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（2）若函数()f x 在1,2上单调递增，求a的取值范围；（3）若存在正实数b，使得对任意的(0,)xb，总有2()1f xx，求a的取值范围.【答案】（1）1y；（2）(,2e；（3）(1,).【解析】（1）代入a的值，求出(0)f，(0)f，求出切线方程即可；（2）问题转化为2xaex 在1，2 恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）令(

24、)1xg xeax，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，确定a的范围即可【详解】解：（1）当1a时，2()xf xexx，()21xfxex，则(0)1f，(0)0f，所以曲线()yfx在点(0,(0)f处的切线方程为1y.第 17 页 共 24 页（2）因为()f x 在1,2上单调递增，所以()0fx在1,2上恒成立，即()20 xfxexa在1,2上恒成立，所以2xaex在1,2上恒成立，又因为函数e2xyx在1,2上单调递增，所以2ae，当且仅当2ae，1x时，()01f，所以a的取值范围为(,2e.（3）不等式2()1f xx即1xeax，令()1xg xeax，则

25、()xgxea，当1a时，()0 xgxea在(0,)上恒成立，所以()g x在(0,)上单调增，所以()(0)0g xg，不符合题意；当1a时，由()0g x得lnxa，列表如下：x(0,ln)aln a(ln,)a()g x0()g x极小值令lnba，在(0,ln)a上，总有()(0)0g xg，符合题意，综上所述，a的取值范围为(1,).【点睛】本题考查了切线方程，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题20已知数列na满足16a，23a，312nnnnaaaa，*nN.（1）若34a，求4a，5a的值；第 18 页 共 24 页（2）证明：对

26、任意正实数m，221nnama成等差数列；（3）若1nnaa(*nN)，3433aa，求数列na的通项公式.【答案】（1）45a，52a；（2）证明见解析；（3）159nan，*nN.【解析】（1）1,2n分别代入可得45,aa；（2）由312nnnnaaaa，再写一次有121nnnnaaaa，两式相加后得1312nnnaaa，从而可得数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，从而可得证结论；（3）设奇数项所成等差数列的公差为1d，偶数项所成等差数列的公差为2d，按n在奇偶分类讨论写出1,nnaa，利用不等式关系得出12dd，从而求得12,d d，再按等差数列的性质得出结论【详解】（1）当1n时，1

27、423aaaa，所以45a，当2n时，2534aaaa，所以52a.（2）因为312nnnnaaaa，当2n时，121nnnnaaaa，两式相加得，1312nnnaaa，即3111nnnnaaaa，所以21na为等差数列，设公差为1d，2na为等差数列，设公差为2d.所以2223221222232121()()()()n+nnnn+nnnamaamaaam aadmd，所以221nnama成等差数列.（3）设奇数项所成等差数列的公差为1d，偶数项所成等差数列的公差为2d.当n为奇数时，1162nnad，12132nnad，则21116322nndd，即1221180n dddd，所以12122

28、10,1180,dddddd，故120dd.第 19 页 共 24 页当n为偶数时，23(1)2nnad，1162nnad，则213(1)622nndd，即122()1820n ddd，所以121220,2()1820,ddddd，故1210,9,ddd.综上可得，129dd.又34121213233aaaaddd，所以118d.所以当n为奇数时，16(18)1592nnan；当n为偶数时，3(1)(18)1592nnan.故数列na的通项公式为159nan，*nN.【点睛】本题考查的递推公式，考查证明等差数列，考查学生的分类讨论思想，运算求解能力，分析问题解决问题的能力属于难题21已知矩阵3

29、2abA，点(1,1)M在矩阵A对应的变换作用下变为点(4,4)N.（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的特征值.【答案】（1）12ab；（2）1 和 4.【解析】（1）利用矩阵乘法得31342124aabb，列方程组解得,a b；（2）写出其特征多项式，可解得特征值，【详解】（1）由条件知，31342124aabb，所以34,24,ab解得1,2.ab（2）由（1）知，3122A，矩阵A的特征多项式为31()(3)(2)2(1)(4)22f，令()0f，解得1或4，A的特征值为1 和 4.第 20 页 共 24 页【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，考查特征多项式和特征值，属于基础题22在极坐标系

30、中，已知两点(4,)6A，(2,)2B.以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，直线l的参数方程为2,32xtyt(t为参数).（1）求A，B两点间的距离；（2）求点A到直线l的距离.【答案】（1）2 3；（2）677.【解析】（1）在OAB中，应用余弦定理可求得AB；（2）消去参数得直线的普通方程，把A的极坐标化为直角坐标，由点到直线距离公式得距离【详解】（1）在OAB中，(4,)6A，(2,)2B，由余弦定理，得2242242cos()2 326 AB.（2）直线l的普通方程为3240 xy，点A的直角坐标为(23,2)，所以点A到直线l的距离为22|32 3224|6

31、77(3)(2).【点睛】本题考查极坐标的应用，考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标与直角坐标的互化，考查点到直线的距离公式与余弦定理掌握极坐标的意义是解题关键23设函数()|1|f xx.（1）解不等式()2fx；（2）设()()()(1)g xf xf axa，若()g x的最小值为12，求a的值.【答案】（1）(,3)(1,)；（2）2a.【解析】（1）根据绝对值的性质求解即由12x得12x或12x，解之可第 21 页 共 24 页得；（2）根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后得函数的单调性，从而得最小值，由最小值为12可求得a【详解】（1）不等式()2f x即|1|2x，则12x

32、或12x，解得1x或3x，所以不等式()2f x的解集为(,3)(1,).（2）(1)2,1,1()11(1),1,1(1)2,axxg xxaxa xxaaxxa1a，函数()g x在(1),a上单调减，在1(,)a上单调增，所以()g x的最小值为111()12gaa，解得2a.【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查求含绝对值的函数的最值，解题方法一般是根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号，化为分段函数后解决问题，如果只有一个绝对值符号的不等式还可以利用绝对值性质进行等价转换求解即xaxa或 xa，xaaxa24如图，在正三棱柱111ABCA B C中，12ABAA，E，F，G 分别为1AA

33、，11AC，AB 的中点.（1）求异面直线1BC与 EF 所成角的余弦值；（2）求二面角1BEGF的余弦值.第 22 页 共 24 页【答案】（1）34；（2）155.【解析】（1）取AC的中点O，连接FO，BO，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角；（2）直接利用空间向量法求二面角即可；【详解】解：（1）取AC的中点O，连接FO，BO，在正三棱柱111ABCA B C中，FO平面ABC，BOAC，以,OA OB OF为基底建立空间直角坐标系Oxyz如图所示，则(1 0 0)A，(03 0)B，(1 0 1)E，(0 0 2)F，1(03 2)B，1(1 0 2)C，所以(1

34、 0 1)EF，1(13 2)BC，所以1113cos4|EF BCEF BC=EFBC，所以异面直线1BC与EF所成角的余弦值为34；（2）因为G为AB的中点，所以13(0)22G，则(1 0 1)EF，13(1)22EG，设平面EFG的法向量为1111()nxyz，平面1EGB的法向量为2222()nxyz，第 23 页 共 24 页则1100nEFnEG，所以1111013022xzxyz，令11z，得1(131)n，同理2(3 1 0)n，所以12121215cos,5|n nn nnn，所以二面角的大小与向量12nn，所成的角相等或互补，由图形知，二面角1BEGF的余弦值为155【点

35、睛】本题考查利用向量法解决立体几何问题，属于中档题.25已知数列na满足112a，且21nnnaaa，*nN.（1）求证：1112nnaa；（2）求证：122(21)2(21)(21)(21)0kknnnnnnnnnnCaCakCanCa.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）先由21nnnaaa，得到11nnnaaa，将所证明结论转化为102na，再由数学归纳法证明，即可得出结论；（2）先由组合数的运算性质，得到11CCkknnkn，则111(21)(21)(21)kkkknnnnnkCaanCa，再由二项式定理，计算1122(21)2(21)(21)(21)(21)2n

36、kknnnnnnnnnnnnCaCakCanCaana，即可得出结论成立.【详解】（1）因为21nnnaaa，即11nnnaaa.要证1112nnaa，只需证102na.用数学归纳法证明：第 24 页 共 24 页当1n时，112a，命题成立；假设当nk(1k，*kN)时命题成立，即102ka，则当1nk时，有2211124kkkkaaaa，由于102ka，所以1104ka，显然有1102ka，所以当1nk时，命题也成立.所以对任意*nN，都有102na成立，即1112nnaa得证.（2）因为11!kkknnnAkCknCk，所以111(21)(21)(21)kkkknnnnnkCaanCa，因此122(21)2(21)(21)(21)kknnnnnnnnnnCaCakCanCa001111111(21)(21)(21)(21)(21)(21)kknnnnnnnnnanCaanCaanCa111(21)(21)nnnnnanCa111111111(21)1(21)(21)(21)kknnnnnnnnnanCaCaCa11(21)121(21)2nnnnnnanaana.由（1）知，102na，所以1(21)20nnnana，即原命题得证.【点睛】本题主要考查证明数列不等式，灵活运用数学归纳法以及二形式定理即可，属于中档题型.