2020年广东省湛江市高考数学二模试卷(理科)(解析版).pdf

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1、2020 年湛江市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12 小题）.1设集合A2，5，6），Bx|x25x+m 0，若 AB2，则 B（）A2，3B2C3D1，6）2复数 z=51-2?+（2+4i）i 在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知 （?2，），tan2=34，则 sin2+cos2（）A32B12C-12D-324高二某班共有学生45 人，学号依次为1，2，3，45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5 的样本，已知学号为6，24，33 的学生在样本中，那么样本中还有两个学生的学号应为（）A15，42B15，43C14，42D14，435下列

2、图象为函数y=?，y=?3?，y=?2，y=?2?2的部分图象，则按顺序对应关系正确的是（）ABCD6函数 f（x）ax36x 的一个极值点为1，则 f（x）的极大值是（）A 4B2C4D 27我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异“意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为 3的圆的三分之一，则该几何体的体积为（）A2 23B4 23C4?D83?8执行如图所示的程序框图，若输出的y3，则输入的x 的值为（）A 2B2C5 或 2D7 或 29在

3、 ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a，b，c，若 A=?3，c1，asinC bsinB，则ABC 的面积为（）A 33B 32C 38D 3410 已知函数f（x）Acos（x+）（A0，0，0 ）的图象的一个最高点为（-?12，?)，与之相邻的一个对称中心为(?6，?)，将f（x）的图象向右平移?6个单位长度得到函数g（x）的图象，则（）Ag（x）为偶函数B g（x）的一个单调递增区间为-5?12，?12Cg（x）为奇函数D函数 g（x）在?，?2上有两个零点11 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，E 为 A1B1的中点，下列说法中正确的是（）AED1与 B1C 所成

4、的角大于60B点 E 到平面 ABC1D1的距离为1C三棱锥EABC1的外接球的表面积为125 224D直线 CE 与平面 ADB1所成的角为?412已知斜率为k（k0）的直线 l 与椭圆?24+y21 交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O 为坐标原点，设直线OA，OB 的斜率分别为k1，k2，且满足k2k1k2，设 OAB 的面积为 S，以 OA，OB 为直径的圆的面积分别为S1，S2，则?1+?2?的最小值为（）A5?2B5?6C5?4D5?8二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置.13已知向量?=（4，m），?=（m，3），若（?+

5、?）?，则|?|14若实数x，y 满足约束条件?-?-?+?+?，则 zx2y 的最大值为15已知F1（c，0），F2（c，0）分別为双曲线?2?2-?2?2=1（a0，b0）的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线在第二象限交于点P，若 tan PF1F2=?，则该双曲线的离心率为16若（1+x）10a0+a1x+a2x2+a10 x10，则 a2+a6+a8；a1+2a2+3a3+10a10三、解答题：本大题共5 小题，共70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一

6、）必考题：共60 分.17已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Snn2+an1（1）求 an的通项公式；（2）设 bn=1?+1，求数列 bn的前 n 项和 Tn18如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面为正方形，AB 1，AA1 3，?=2?，?=2?，N 是棱 C1D1的中点，平面AEC1与直线 DD1相交于点F（1）证明：直线MN 平面 AEC1F（2）求二面角EACF 的正弦值19冠状病毒是一个大型病毒家族，已知的有中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重的疾病，新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，某小区为进一步做好新型

7、冠状病毒肺炎疫情知识的教育，在小区内开展“新型冠状病毒防疫安全公益课”在线学习，在此之后组织了“新型冠状病毒防疫安全知识竞赛”在线活动已知进入决赛的分别是甲、乙、丙、丁四位业主，决赛后四位业主相应的名次为第1，2，3，4 名，该小区为了提高业主们的参与度和重视度，邀请小区内的所有业主在比赛结束前对四位业主的名次进行预测，若预测完全正确将会获得礼品，现用 a，b，c，d 表示某业主对甲、乙、丙、丁四位业主的名次做出一种等可能的预测排列，记 X|a1|+|b2|+|c3|+|d4|（1）求该业主获得礼品的概率；（2）求 X 的分布列及数学期望20已知函数f（x）ax2+bln?2+1，且 f（12

8、）4，f（1）5（1）求 f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线方程；（2）已知函数 g（x）ln?2+mlnx+3，若存在 x0（1，e，使得不等式f（x0）g（x0）成立，求实数m 的取值范围21已知顶点为原点O 的抛物线C，焦点F 在 x 轴上，直线yx 与抛物线C 交于 O，M两点，且线段OM 的中点为P（2，2）（1）求抛物线C 的标准方程（2）若直线 l 与抛物线C 交于异于原点的A，B 两点，交 x 轴的正半轴于点D，且有|FA|+1|FD|，直线 11l，且 l1和 C 有且只有一个公共点E，请问直线AE 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由（二）选考题：共10

9、 分请考生在第22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为?=-32+?=12+?（为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）设射线 l 的极坐标方程为=2?3，若射线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 AB 的长；（2）设 M，N 是曲线 C 上的两点，若MON=?2，求 OMN 的面积的最大值选修 4-5，不等式选讲23已知函数f（x）|2x+4|2x2|（1）求不等式|f（x）|4 的解集；（2）记 f（x）的最大值为m，设 a，b，c0，且 a+2b+

10、3cm，证明：1?+12?+13?32参考答案一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合A2，5，6），Bx|x25x+m 0，若 AB2，则 B（）A2，3B2C3D1，6）【分析】根据AB2即可求出m6，从而可得出集合B解：AB2，2 B，2252+m0，解得 m6，Bx|x25x+602，3故选：A【点评】本题考查了交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题2复数 z=51-2?+（2+4i）i 在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算

11、化简，求出z 的坐标得答案解：z=51-2?+（2+4i）i=5(1+2?)(1-2?)(1+2?)+?-?=-?+?，z 在复平面内对应点的坐标为（3，4），位于第二象限故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3已知 （?2，），tan2=34，则 sin2+cos2（）A32B12C-12D-32【分析】由已知利用二倍角的正切函数公式可求tan，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解解：tan2=2?1-?2?=34，（?2，），tan 3，或13（舍去），sin2+cos2=2?+?2?2?+?2?=2?+1?2?+1=-12故选：C【点

12、评】本题主要考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题4高二某班共有学生45 人，学号依次为1，2，3，45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5 的样本，已知学号为6，24，33 的学生在样本中，那么样本中还有两个学生的学号应为（）A15，42B15，43C14，42D14，43【分析】根据系统抽样的定义，算出每组人数即组距，再利用第一组抽到的学号依次加上组距即可求出所有抽得的学号解：由题意可知，每组人数为455=9，即组距为9，所以另外两个学生的学号为6+915，和 33+942，故选：A【点评】本题主要考查了系统抽样，是基

13、础题5下列图象为函数y=?，y=?3?，y=?2，y=?2?2的部分图象，则按顺序对应关系正确的是（）ABCD【分析】根据函数解析式及函数图象分别判断即可解：根据奇偶性可知函数?=?2对应的为图 ；由?4(?2)2=22?212，可知函数?=?2?2对应的为图 ；由?4?4?3?4?4，可知函数?=?，?=?3?对应的图分别为，；故选：B【点评】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题6函数 f（x）ax36x 的一个极值点为1，则 f（x）的极大值是（）A 4B2C4D 2【分析】求出函数的导数，通过函数的极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极大值即可解：f（x）ax

14、36x，可得f（x）3ax26，f（x）ax36x 的一个极值点为1，所以 3a 60，解得 a2，因为 f（x）6（x 1）（x+1），所以f（x）在（，1），（1，+）上是增函数，在（1，1）上是减函数，所以 x 1 时，函数取得极大值：f（1）4故选：C【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，是中档题7我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异“意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为 3的圆的三分之一，则该几何体的体积为（）A22

15、3B423C4?D83?【分析】由已知列式求得圆锥的底面半径与高，代入圆锥体积公式求解解：由题意可知，几何体的体积等于圆锥的体积，圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3 的圆的三分之一，圆锥的底面周长为2?33=?，故圆锥的底面半径为1，圆锥的高为?圆锥的体积V=13?=223?从而所求几何体的体积为V=223?故选：A【点评】本题考查祖暅原理的应用，考查圆锥体积的求法，正确理解题意是关键，是中档题8执行如图所示的程序框图，若输出的y3，则输入的x 的值为（）A 2B2C5 或 2D7 或 2【分析】由程序框图分x0 和 x0 时两种情况，分别求出输出y 的值为 3 的 x 值，进而可得答案解：由程

16、序框图可得：由?(?+?)=?，解得 x 7；由?-?-?=?，解得 x 2综上，输入的x 的值为 7 或 2故选：D【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9在 ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a，b，c，若 A=?3，c1，asinC bsinB，则ABC 的面积为（）A 33B 32C 38D 34【分析】利用正弦定理由已知可得acb2，又 c1，可求b2a，利用余弦定理可求a（a1）1-?，解得 a，可求 b的值，根据三角形的面积公式即可求解解：asinCbsinB，acb2，c 1，b2 a，A=?3，a2b2+c22b

17、ccosAa+1-?，整理可得a（a1）1-?，a1，b1，SABC=12bcsinA=12?32=34故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题10 已知函数f（x）Acos（x+）（A0，0，0 ）的图象的一个最高点为（-?12，?)，与之相邻的一个对称中心为(?6，?)，将f（x）的图象向右平移?6个单位长度得到函数g（x）的图象，则（）Ag（x）为偶函数B g（x）的一个单调递增区间为-5?12，?12Cg（x）为奇函数D函数 g（x）在?，?2上有两个零点【分析】先根据余弦函数的图象和性质求出f（x）

18、解析式，再根据图象的变换规律求得g（x）的解析式，最后根据余弦函数性质得出结论解：由题可得：?4=?6-（-?12）=?4；T?2；f（x）3cos（2x+）；因为 f（-?12）3cos（2（-?12）+3?-?6+K；0 ；=?6，f（x）3cos（2x+?6）；g（x）3cos2（x-?6）+?63cos（2x-?6）；是非奇非偶函数；令 +2k 2x-?6 2k?-5?12+k xk+?12，k z；当 k0 时，g（x）的一个单调递增区间为：-5?12，?12；2x-?6=k+?2?x=?2+?3，k z，函数g（x）在 0，?2上只有一个零点故选：B【点评】本题主要考查由函数yAs

19、in（x+）的部分图象求解析式，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题11 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，E 为 A1B1的中点，下列说法中正确的是（）AED1与 B1C 所成的角大于60B点 E 到平面 ABC1D1的距离为1C三棱锥EABC1的外接球的表面积为125 224D直线 CE 与平面 ADB1所成的角为?4【分析】对于 A，取 DC 的中点 F，连接 EF，D1F，则 D1EF 为 ED1与 B1C 所成的角，求出角的正切值与?比较判断；对于 B，把 B1到平面 ABC1D1的距离转化为点E 到平面 ABC1D1的距离，求出点E 到平面 ABC1D

20、1的距离判断；对于 C，三棱锥EABC1的外接球即四棱锥E ABC1D1的外接球，由勾股定理列式求出四棱锥E ABC1D1的外接球的半径为R，进一步求出外接球的表面积判断；对于 D，连接 DC1，取 DC1的中点 H，连接 DB1交 EC 于 K，连接 CH，HK，可得 CKH是直线 CE 与平面 ADB1所成的角，求解三角形得其正弦值判断解：如图，对于A，取 DC 的中点 F，连接 EF，D1F，则 D1EF 为 ED1与 B1C 所成的角，?=?=?，?=?，tan D1EF=32?，故 A 错误；对于 B，由于 A1B1平面 ABC1D1，故 B1到平面 ABC1D1的距离即点E 到平面

21、 ABC1D1的距离，连接 B1C 角 BC1于 G，可得 B1G平面 ABC1D1，而?=?，点 E 到平面 ABC1D1的距离为?，故 B 错误；对于 C，三棱锥EABC1的外接球即四棱锥EABC1D1的外接球，ABC1D1为矩形，且AB2，?=?，EAEB=?=?=?，四棱锥 EABC1D1的高为?，设四棱锥E ABC1D1的外接球的半径为R，则?=(?)?+(?-?)?，解得?=524三棱锥的外接球的表面积S=?(524)?=25?2，故 C 错误；对于 D，连接 DC1，取 DC1的中点 H，连接 DB1交 EC 于 K，连接 CH，HK，EB1DC，CKH 是直线 CE 与平面 A

22、DB1所成的角，在直角三角形CKH 中，CK=23CE2，CH=?，sinCKH=?=22，故 D 正确故选：D【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题12已知斜率为k（k0）的直线 l 与椭圆?24+y21 交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O 为坐标原点，设直线OA，OB 的斜率分别为k1，k2，且满足k2k1k2，设 OAB 的面积为 S，以 OA，OB 为直径的圆的面积分别为S1，S2，则?1+?2?的最小值为（）A5?2B5?6C5?4D5?8【分析】设直线l 的方程与椭圆联立求

23、出两根之和，两根之积，进而求出弦长AB，及 O到直线l 的距离，再求S1，S2之和，进而求出面积之比，由均值不等式求出面积之比的最小值解：设直线l 的方程为ykx+m，显然 m0，代入椭圆的方程可得（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）0，64k2m24（1+4k2）?4（m2 1）0，可得 m21+4k2，x1+x2=-8?1+4?2，x1x2=4(?2-1)1+4?2，由 k2k1k2=(?1+?)(?2+?)?1?2化简可得km（x1+x2）+m20，所以可得k2=14，因为k0，所以 k=12，所以 m22，所以 m（-?，0）（0，?）；则 S=12|AB|?d=12?+?|x1

24、x2|?|?|1+?2=?-?|m|，由?124+y12=?224+y22 1，所以 S1+S2=?4（x12+y12+x22+y22）=3?16（x1+x2）2 4x1x2+?2=5?4，所以?1+?2?=5?4?1 2-?2?|?|，因为?-?|m|=(?-?)?2-?2+?22=1，所以当且仅当m 1 时取等号，这时?1+?2?的最小值为54?；故选：C【点评】本题考查直线与椭圆的中及三角形的面积公式和圆的面积公式，及均值不等式的应用，属于中档题二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置.13已知向量?=（4，m），?=（m，3），若（?+?）?，

25、则|?|2?【分析】利用向量坐标运算性质、向量共线定理、模的计算公式即可得出解：?+?=（4+m，m+3），（?+?）?，m（m+3）3（m+4）0，解得 m212|?|=?+?=2?故答案为：2?【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14若实数x，y 满足约束条件?-?-?+?+?，则 zx2y 的最大值为4【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数zx2y 为直线方程的斜截式y=12?-?2由图可知，当直线 y=12

26、?-?2过点 A 时，直线在 y轴上的截距最小，z最大，?-?-?=?+?+?=?解得 A（2，1）最大值为：z22（1）4故答案为：4【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15已知F1（c，0），F2（c，0）分別为双曲线?2?2-?2?2=1（a0，b0）的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线在第二象限交于点P，若 tan PF1F2=?，则该双曲线的离心率为?+?【分析】由题意可得PF1PF2，设|PF1|t，因为 tan PF1F2=?，所以|PF2|=?，由勾股定理可得2c的值，再由双曲线的定义可得2a 的值，进而求出离心率的值解

27、：由题意可得：P，F1，F2在圆 x2+y2c2上，所以PF1PF2，设|PF1|t，因为tanPF1F2=?，所以|PF2|=?，由勾股定理可得t2+2t24c2，所以 4c23t2，所以 2c=?t，而 2a|PF2|PF2|=?-?=（?-?）t，所以双曲线的离心率e=2?2?=3?(2-1)?=?+?，故答案为：?+?【点评】本题考查双曲线的性质及圆的性质，属于中档题16若（1+x）10a0+a1x+a2x2+a10 x10，则 a2+a6+a8300；a1+2a2+3a3+10a105120【分析】（1）易知，展开式中每项的系数即为二项式系数，问题可解；（2）先对原式两边求导数，然后

28、令x 1，即可解决问题解：由已知通项为：?+?=?，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数故 a2+a6+a8=?+?+?=?对原式两边求导数得：10（1+x）9=?+?+?+?+?令 x1 得 a1+2a2+3a3+10a1010295120故答案为：300，5120【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式、二项式系数与系数的关系，属于基础题三、解答题：本大题共5 小题，共70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分.17已知数列 an的前 n

29、项和为 Sn，且 Snn2+an1（1）求 an的通项公式；（2）设 bn=1?+1，求数列 bn的前 n 项和 Tn【分析】（1）先由 Snn2+an1?Sn1（n1）2+an11，两式相减得an12（n1）+1，进而求得an；（2）利用裂项相消法求和即可解：（1）Snn2+an1，Sn1（n1）2+an11（n 2），由 可得：ann2（n 1）2+anan1，整理得：an12（n1）+1（n2），an2n+1，当 n2 时，有 S222+a21a1+a2?a13 也适合，故 an2n+1；（2）an2n+1，bn=1?+1=1(2?+1)(2?+3)=12（12?+1-12?+3），Tn

30、=12（13-15）+（15-17）+（12?+1-12?+3）=12（13-12?+3）=?6?+9【点评】本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法求前n 项和，属于中档题18如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面为正方形，AB 1，AA1 3，?=2?，?=2?，N 是棱 C1D1的中点，平面AEC1与直线 DD1相交于点F（1）证明：直线MN 平面 AEC1F（2）求二面角EACF 的正弦值【分析】（1）推导出C1EAF，D1F2FD，设点 G 为 D1F 的中点，连结GM，GN，推导出 GN平面 AEC1F，GM 平面 AEC1F，从而平面MNG 平面 AEC1F，由此能证明

31、MN 平面 AEC1F（2）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EACF 的正弦值解：（1）证明：平面BB1C1C平面 AA1D1D，平面 AEC1F平面 BB1C1C EC1，平面 AEC1F平面 AA1D1DAF，C1EAF，由题意得D1F2FD，设点 G 为 D1F 的中点，连结GM，GN，N 是棱 C1D1的中点，GN FC1，GN?平面 AEC1F，FC1?平面 AEC1F，GN平面 AEC1F，D1F2FD，?=?，GMAF，GM?平面 AEC1F，AF?平面 AEC1F，GM平面 AEC1F，GNGM G

32、，平面 MNG 平面 AEC1F，MN?平面 MNG，MN 平面 AEC1F（2）解：AB1，DD13，如图，以D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（0，1，0），F（0，0，1），E（1 1，2），?=（1，1，0），?=（0，1，2），?=（1，0，1），设平面 ACE 的法向量?=（x，y，z），则?=-?+?=?=?+?=?，取 z1，得?=（2，2，1），设平面 ACF 的法向量?=（a，b，c），则?=-?+?=?=-?+?=?，取 a1，得?=（1，1，1），设二面角E ACF 的平面角为，由|cos|=|?|?

33、|?|?|=|-2-2+1|33=33，sin=?-(33)?=63，二面角E ACF 的正弦值为63【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题19冠状病毒是一个大型病毒家族，已知的有中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重的疾病，新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，某小区为进一步做好新型冠状病毒肺炎疫情知识的教育，在小区内开展“新型冠状病毒防疫安全公益课”在线学习，在此之后组织了“新型冠状病毒防疫安全知识竞赛”在线活动已知进入决赛的

34、分别是甲、乙、丙、丁四位业主，决赛后四位业主相应的名次为第1，2，3，4 名，该小区为了提高业主们的参与度和重视度，邀请小区内的所有业主在比赛结束前对四位业主的名次进行预测，若预测完全正确将会获得礼品，现用 a，b，c，d 表示某业主对甲、乙、丙、丁四位业主的名次做出一种等可能的预测排列，记 X|a1|+|b2|+|c3|+|d4|（1）求该业主获得礼品的概率；（2）求 X 的分布列及数学期望【分析】（1）该业主预测的结果有?=?种可能，预测完全正确的结果只有1 种，然后根据古典概型求概率即可；（2）以（a，b，c，d）为一个基本事件，用列举法逐一写出每种情况，并列表，而X的所有可能取值为0，

35、2，4，6，8，从表可知每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望解：（1）该业主预测的结果有?=?种可能，预测完全正确的结果只有1 种，该业主获奖的概率为?=124（2）以（a，b，c，d）为一个基本事件，如下表所示：（a，b，c，d）X（a，b，c，d）X（a，b，c，d）X（1，2，3，4）0（2，3，1，4）4（3，4，1，2）8（1，2，4，3）2（2，3，4，1）6（3，4，2，1）8（1，3，2，4）2（2，4，1，3）6（4，1，2，3）6（1，3，4，2）4（2，4，3，1）6（4，1，3，2）6（1，4，2，3）4（3，1，2，4）4（4，2，1，3）6（1，

36、4，3，2）4（3，1，4，2）6（4，2，3，1）6（2，1，3，4）2（3，2，1，4）4（4，3，1，2）8（2，1，4，3）4（3，2，4，1）6（4，3，2，1）8X 的所有可能取值为0，2，4，6，8，分布列如下表：X02468P124187243816数学期望E（X）=?124+?18+?724+?38+?16=?【点评】本题考查排列数、古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题20已知函数f（x）ax2+bln?2+1，且 f（12）4，f（1）5（1）求 f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线方程；（2）已知函数 g（x）ln?2

37、+mlnx+3，若存在 x0（1，e，使得不等式f（x0）g（x0）成立，求实数m 的取值范围【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）由已知进行分离参数可得m2?2-2?在（1，e上有解，可考虑构造函数，转化为求解函数的范围问题，结合导数可求解：（1）因为?(?)=?+?，x0，f（12）a+2b4，f（1）2a+b5，解可得，a2，b1，?(?)=?+1?，则 f（2）=172，f（2）9，故 f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线方程y 9=172(?-?)即 17x2y 16 0，（2）若 f（x）g（x），则?+?2+?2+?+?，即

38、 m2?2-2?在（1，e上有解，令 h（x）=2?2-2?，x（1，e，则?(?)=4?-2?+2?(?)2，令 p（x）4xlnx 2x+2?，则?(?)=?+?-2?2，当 x（1，e时，p（x）0，p（x）单调递增，p（x）p（1）0，即 h（x）0，故 h（x）在（1，e上单调递增，故h（x）maxh（e）2e22，所以 m 的范围（，2e22【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用分离法求解不等式的存在性问题中参数范围的求解问题，体现了转化思想的应用21已知顶点为原点O 的抛物线C，焦点F 在 x 轴上，直线yx 与抛物线C 交于 O，M两点，且线段OM 的中点为P（2，2

39、）（1）求抛物线C 的标准方程（2）若直线 l 与抛物线C 交于异于原点的A，B 两点，交 x 轴的正半轴于点D，且有|FA|+1|FD|，直线 11l，且 l1和 C 有且只有一个公共点E，请问直线AE 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由【分析】（1）由 OM 的中点 D 的坐标，可得M 的坐标，将M 的坐标代入抛物线的方程可得 p 的值，进而求出抛物线的方程；（2）由（1）可得 F 的坐标，设A，D 的坐标，再由|FA|+1|FD|，可得 A，D 的坐标的关系，进而求出直线AB 的斜率，由直线11 l，可设直线l1的斜率，与抛物线联立由题意可得判别式等于0，设 E 的坐标，

40、求出直线AE 的斜率，设直线AE 的方程，由A 的坐标代入抛物线的方程可得y=4?0?02-6（x-32），可得恒定点（32，0）解：（1）由题意设抛物线的标准方程为：y22px，因为 OM 的中点为P（2，2），所以 M 的坐标为（4，4），由 422p?4，可得 p2，即抛物线C 的标准方程为：y24x；（2）由（1）知 F（1，0），设 A（x0，y0），（x0y00），D（xD，0）（xD0），因为|FA|+1|FD|，则|xD1|x0+2，由 xD0，得 xDx0+3，即 D（x0+3，0），所以直线AB 的斜率 kAB=-?03，因为直线11l，设直线l1的方程为：y=-?03x+

41、b，代入抛物线的方程可得y2+12?0y-12?0=0，因为且 l1和 C 有且只有一个公共点E，可得=144?02+48?0=0，解得：b=-3?0，设 E（xE，yE），则 yE=-6?0，xE=9?02，即 E（9?02，-6?0），当 y02 6 时 kAE=?-?0?-?0=4?0?02-6，可得直线AE 的方程为：yy0=4?0?02-6（xx0），由 x0=?024，代入整理y=4?0?02-6（x-32），即直线 AE 恒过点（32，0），当 y02 6，直线 AE 的方程：x=32，过点（32，0），综上，可知直线AE 过定点（32，0）【点评】本题考查求抛物线的方程及直线与

42、抛物线的综合，及求直线恒过定点的求法，属于中档题一、选择题22在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为?=-32+?=12+?（为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）设射线 l 的极坐标方程为=2?3，若射线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 AB 的长；（2）设 M，N 是曲线 C 上的两点，若MON=?2，求 OMN 的面积的最大值【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果解：（1）曲线 C 的参数方程为?=-32+?=12+?（为

43、参数），转换为直角坐标方程为(?+32)?+(?-12)?=?，整 理 得?+?+?-?=?，根 据?=?=?+?=?转 换 为 极 坐 标 方 程 为?=?(?-?3)射线 l 的极坐标方程为=2?3与曲线 C 相交于 A 和 B 两点，所以?=?(?-?3)?=2?3，解得|?|=?(2?3-?3)=?（2）设 M（1，），N（?，?+?2），由于直线OC 的斜率为-33，所以过原点与圆C 相切的切线的斜率为k=?，从而?(?3，5?6)则?=12?=12?(?-?3)?(?+?2-?3)=sin（?-2?3），当?(?-2?3)=?时，SOMN的最大值为1【点评】本题考查的知识要点：参数

44、方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型选修 4-5，不等式选讲23已知函数f（x）|2x+4|2x2|（1）求不等式|f（x）|4 的解集；（2）记 f（x）的最大值为m，设 a，b，c0，且 a+2b+3cm，证明：1?+12?+13?32【分析】（1）先将f（x）写为分段函数的形式，然后由|f（x）|4 得到|?+?|?-?，再解不等式组即可；（2）由（1）知 f（x）的最大值为6，从而得到a+2b+3c6，然后利用基本不等式求出1?+12?+13?的最小值，即可证明不等式1?+12?+13?32成立解：（1）f（x）|2x+4|2x2|=-?，?-?+?，-?，?|f（x）|4，|?+?|?-?，-32?12，不等式的解集为(-32，12)（2）由（1）知，f（x）的最大值为6，a+2b+3cm6，1?+12?+13=16(?+?+?)(1?+12?+13?)=16?+(2?+?2?)+(?3?+3?)+(3?2?+2?3?)?32，当且仅当a2b3c，即?=?，?=?，?=23时等号成立，1?+12?+13?32【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题