高中数学第1章推理与证明1.3反证法学案北师大版选修2-2.pdf

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1、精品教案可编辑3反证法1.了解间接证明的一种基本方法反证法.2.理解反证法的概念及思考过程和特点.(难点)3.掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题.(重点、难点)基础初探 教材整理反证法阅读教材 P13P14“例 3”以上内容，完成下列问题.1.反证法的定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.2.反证法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，

2、导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：肯定条件p，否定结论q导致逻辑矛盾“p且q”为假“若p则q”为真判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法.()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理.()精品教案可编辑(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾.()【解析】(1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接问题的方法.(2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理.(3)错误.反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾.【答案】(1)(2)(3)质疑手记 预习完成后，请将你

3、的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：小组合作型 用反证法证明否定性命题等差数列 an的前n项和为Sn，a112，S3932.(1)求数列 an的通项an与前n项和Sn；(2)设bnSnn(nN)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【精彩点拨】第(1)问应用ana1(n1)d和Snna112n(n1)d两式求解.第(2)问先假设存在三项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明.【自主解答】(1)设等差数列 an的公差为d，由已知得精品教案可编辑a121，3a13d9 32，d2，故an2n12，Snn(n2).(2)证明：由(

4、1)得bnSnnn2.假设数列 bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b2qbpbr，即(q2)2(p2)(r2)，(q2pr)(2qpr)20.p，q，rN，q2pr0，2qpr0，pr22pr，(pr)2 0，pr，这与pr矛盾.所以数列 bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.1.当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.2.反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反

5、面出发进行推理，就不是反证法.3.常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在精品教案可编辑再练一题 1.已知方程f(x)axx2x1(a1)，证明：方程f(x)0 没有负数根.【证明】假设x0是方程f(x)0 的负数根，则x00，x01 且ax0 x02x010，所以ax0 x02x01.又当x00 时，0ax01，故 0 x02x011，即 0 13x011，13x012，解得12x02.这与x00 矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)0 没有负数根.用反证法证明“至多”“至少”问题已知x，y，z均大于零，求证：x4y，y4z，z4x这三

6、个数中至少有一个不小于 4.【精彩点拨】本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明.【自主解答】假设x4y，y4z，z4x都小于 4，即x4y4，y4z4，z4x4，于是得x4yy4zz4x12，而x4yy4zz4xx4xy4yz4z2 x4x 2 y4y 2 z4z12，精品教案可编辑这与x4yy4zz4x0，y0，且xy2，求证：1yx与1xy至少有一个小于2.【导学号：94210018】【证明】假设1yx与1xy都不小于 2，即1yx 2，1xy 2.x0，y0，1y2x，1x2y，两式相加得2(xy)2(xy)，xy 2，这与已知中xy2 矛盾，假设不成立，原命题成立.精品教

7、案可编辑故1yx与1xy至少有一个小于2.探究共研型 用反证法证明“唯一性”命题探究 1 用反证法证明数学命题的步骤是什么？【提示】(1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真.(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果.(3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立.探究 2 如何证明两条相交直线有且只有一个交点？【提示】假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.所以两条相交直线有且只有一个交点.已知一点A和平面.求证：经过点A只能有一条直线和平面

8、垂直.【精彩点拨】【自主解答】根据点A和平面的位置关系，分两种情况证明.(1)如图(1)，点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.精品教案可编辑(1)(2)如图(2)，点A在平面外，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB和AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为AB平面，AC平面，BC，

9、所以ABBC，ACBC.(2)在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.综上，经过一点A只能有一条直线和平面垂直.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了.再练一题 3.若函数f(x)在区间 a，b上的图像连续不断，且f(a)0，且f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.【证明】由于f(x)在a，b上的图像连续不断，且f(a)0，即f(a)f(b)m，则

10、f(n)f(m)，即 00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即 0B，则ab”的结论的否定应该是()A.abB.abC.abD.ab【解析】“大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选B.【答案】B精品教案可编辑4.用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为_.【导学号：94210019】【解析】a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”.【答案】a，b，c中至少有一个偶数5.若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax22bxc 0，bx22cxa0，cx22axb0 至少有一个方程有两个相异实根.【证明】假设三个方程

11、中都没有两个相异实根，则14b24ac 0，24c24ab 0，34a24bc 0.相加得a22abb2b22bcc2c22aca20，(ab)2(bc)2(ca)20，abc，这与a，b，c互不相等矛盾.假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(五)(建议用时：45 分钟)学业达标 一、选择题1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()精品教案可编辑A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角【解析】“最多有一个”的反设是“至少有两个”，

12、故选C.【答案】C2.下列命题错误的是()A.三角形中至少有一个内角不小于60 B.四面体的三组对棱都是异面直线C.闭区间 a，b上的单调函数f(x)至多有一个零点D.设a，bZ，若a，b中至少有一个为奇数，则ab是奇数【解析】ab为奇数?a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D 错误.【答案】D3.“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3 个都是奇数；(2)2 个奇数，1个偶数；(3)1 个奇数，2 个偶数；(4)

13、3 个都是偶数.所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数.【答案】D4.设x，y，z都是正实数，ax1y，by1z，cz1x，则a，b，c三个数()【导学号：94210020】A.至少有一个不大于2精品教案可编辑B.都小于 2C.至少有一个不小于2D.都大于 2【解析】若a，b，c都小于 2，则abc180，这与三角形内角和为180 相矛盾，AB90 不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设AB90，正确顺序的序号为()A.B.C.D.【解析】根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.【答案】D二、

14、填空题6.(2016南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_.【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”.【答案】任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7.(2016汕头高二检测)用反证法证明命题“如果ab，那么3a3b”时，假设的内容应是 _.【解析】3a与3b的关系有三种情况：3a3b，3a3b和3a3b”的反设应为“3a3b”.【答案】3a3b8.(2016石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 _(填序号).【解析】若a13，b23，则ab

15、1，但a1，b2，故不能推出.对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a1 且b 1，则ab2与ab2 矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.【答案】三、解答题9.已知xR，ax212，b 2x，cx2x1，试证明：a，b，c至少有一个不小于 1.【证明】假设a，b，c均小于 1，即a1，b1，c1，则有abc3.而与abc2x2 2x1232x122 33矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.10.已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列.【证明】假设a，b，c成等差数列，则ac2b，两边同时平方得ac2ac4b

16、.精品教案可编辑把b2ac代入ac2ac4b，可得ac2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾.所以a，b，c不成等差数列.能力提升 1.有以下结论：已知p3q32，求证pq 2，用反证法证明时，可假设pq 2；已知a，bR，|a|b|2，故的假设是错误的，而的假设是正确的.【答案】D2.已知命题“在ABC中，AB.求证 sin Asin B”.若用反证法证明，得出的矛盾是()A.与已知条件矛盾B.与三角形内角和定理矛盾C.与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D.与大边对大角定理矛盾【解析】证明过程如下：假设sin Asin B，因为 0A，0B，所以AB或AB.其中AB

17、与AB矛盾；AB 与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立.所以 sin A sin B.【答案】C精品教案可编辑3.(2016九江高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是_.【导学号：94210021】【解析】因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手.【答案】丙4.(2016温州高二检测)设an，bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，证明：数列 cn不是等比数列.【证明】假设数列 cn是等比数列，则(anbn)2(an 1bn 1)(an1bn1).因为 an，bn是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以a2nan1an1，b2nbn1bn1.代入并整理，得2anbnan1bn 1an1bn1anbnpqqp，即 2pqqp.当p，q异号时，pqqp2，与相矛盾.故数列 cn不是等比数列.精品教案可编辑