【最新】2020届山西省太原市高三高考数学(文)模拟试题(三)(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 20 页2020 届山西省太原市高三高考数学（文）模拟试题（三）一、单选题1已知集合220Ax xx，210Bxx，则AB（）A1，B1 12，C1 22，D12，【答案】A【解析】确定出集合,A B中的元素后，由并集定义计算【详解】由题意|12axx，1|2Bx x，|1ABx x故选：A.【点睛】本题考查集合的并集运算，确定集合中的元素是解题关键2某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120 件，80 件，60 件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了4 件，则n（）A9 B 10 C

2、12 D13【答案】D【解析】由题意结合分层抽样的性质可得4120806080n，即可得解.【详解】由题意4120806080n，解得13n.故选：D.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，考查了运算求解能力，牢记分层抽样的性质是解题关键，属于基础题.3设复数z满足1izz（i为虚数单位），z 在复平面内对应的点为（x，y），则（）AyxByxC22111xyD22111xy【答案】B 第 2 页 共 20 页【解析】设(,)zxyi x yR，代入已知等式化简即可【详解】设(,)zxyi x yR，1izz，1xyixyii，即2222(1)(1)xyxy，化简得yx故选：B.【点睛】本题考查复

3、数模的运算，直接代入复数的代数形式由模的定义化简即得也可由模的几何意义求解4已知等差数列na的前n项和为nS，且282,10aa，则9S（）A45 B42 C25 D36【答案】D【解析】由等差数列的性质可知1928aaaa,进而代入等差数列的前n项和的公式即可.【详解】由题,192899()9()9(210)36222aaaaS.故选:D【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前n项和.5“1x”是“2log0 x”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】2log01xx“1x”是“2log0 x”的充要条件，选C.6宋元时期数学

4、名著算学启蒙中有关于“松竹并生 的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为 3，1，则输出的n等于第 3 页 共 20 页A5 B 4 C3 D2【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：当 n1 时，a33922，b2，满足进行循环的条件，当 n 2时，a9927244，b4，满足进行循环的条件，当 n 3时，a272781488，b8，满足进行循环的条件，当 n 4时，a818124381616，b1

5、6，不满足进行循环的条件，故输出的n 值为 4，故选：B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答7已知sincos2，(0,)，则tan=A1 B22C22D1【答案】A 第 4 页 共 20 页【解析】【详解】2sincos，0,，12sincos2，即sin21，故341tan故选A8已知向量12,e e是夹角为3的两个单位向量，则122aee与1232bee的夹角为（）A6B3C23D56【答案】C【解析】由题意结合单位向量的性质、平面向量数量积的定义可得1212e e，利用平面向量数量积的运算可得a、b、a b，再利用cos,a ba

6、bab即可得解.【详解】向量12,e e是夹角为3的两个单位向量，11e，21e，12121cos32e eee，又122aee，1232bee，2221211222447aeeee ee，2221211223291247beeee ee，22121211227232622a beeeeee ee，712cos,277a ba bab，又,0,a b，2,3a b.故选：C.【点睛】本题考查了单位向量的性质及平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，熟练使用平面向量数量积的运算律是解题关键，属于中档题.第 5 页 共 20 页9把函数f（x）sin2x的图象向右平移12个单位后，得到函数yg（

7、x）的图象.则g（x）的解析式是（）A212g xsinxB12212g xcosxC112262g xcosxD112262g xsinx【答案】C【解析】利用函数sin()yAwx的图象变换规律，即可求解，得到函数的解析式.【详解】由题意，把函数211sincos222fxxx的图象向右平移12个单位后，得到函数1111cos2()cos(2)2212226yg xxx的图象.故选：C.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求解三角函数的解析式，其中解答中利用余弦的倍角公式，化简得到fx的解析式，再结合三角函数的图象变换求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10已知函数f（x）是

8、定义在R 上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增，若实数a 满足212loglog21fafaf，则 a 的取值范围是（）A122，B 1，2 C102，D（0，2【答案】A【解析】由偶函数的性质将212loglog21fafaf化为：2(log)(1)faf，再由 f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围.【详解】第 6 页 共 20 页解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以1222(log)(log)(log)fafafa，则212loglog21fafaf为2(log)(1)faf，因为函数f（x）在区间 0，+）上单调递增，所以|log2a|1，解得12

9、a2，则 a 的取值范围是12，2，故选：A.【点睛】此题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题.11设12,FF分别是双曲线22221xyab的左、右焦点若双曲线上存在点M，使1260F MF，且122MFMF，则双曲线离心率为（）A3B2C2D5【答案】A【解析】根据双曲线的定义、余弦定理以及122MFMF这三个条件，列方程组，化简求得离心率的值.【详解】根据双曲线的定义、余弦定理以及122MFMF这三个条件，列方程组得2221212121222cos6022cMFMFMFMFMFMFMFMFa，化简得223ca，故离心率3ca，选 A.【点睛】本小题主要考查双曲线

10、的定义，考查利用余弦定理解三角形，还考查了双曲线离心率的求解.对于圆锥曲线的问题，首先要把握住圆锥曲线的定义，如本题中双曲线的定义：到两个定点距离之差的绝对值为常数的点的轨迹.根据双曲线的定义可得到一个方程，再结合其他的条件可求得有关,a c的表达式，由此可求出离心率.12在三棱锥PABC中，PA、PB、PC 两两垂直，112PAPB，Q 是棱 BC 上一第 7 页 共 20 页个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为52，则该三棱锥外接球的表面积为（）A6B 7C8D 9【答案】A【解析】由已知得PA平面PBC，因此当PQBC时，直线AQ 与平面 PBC 所成角最大，此时可求得P

11、Q，从而求得PC，又以,PA PB PC为棱的长方体的对角线就是三棱锥PABC外接球直径，从而可求得其表面积【详解】PA与 PB、PC 垂直，PA平面PBC，PQ是AQ在平面PBC内的射影，AQP就是直线PA与平面PBC所成的角，由PA平面PBC得PAPQ，tanPAAQPPQ，要使tanAQP最大，则PQ最小，显然当PQBC时，PQ最小，此时5tan2AQP，又1PA，25PQ，而2PB，45BQ，由PBPC，得25PBBCBQ，从而1PC，如图，以,PA PB PC为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥PABC的外接球，外接球直径等于长方体的对角线长2222221216PAPBPC，球

12、表面积为22644()62SR故选：A【点睛】第 8 页 共 20 页本题考查求球表面积，解题关键是要求出球的半径由于,PA PB PC两两垂直，因此以它们为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥PABC的外接球，长方体的对角线就是球的直径由此可得解二、填空题13已知函数122log01()11xxf xxx，则18ff_.【答案】8.【解析】依题意得f（18）3，从而f（f（18）f（3），由此能求出结果.【详解】解：函数122log01()11xxf xxx，则1211()log388f；18fff（3）321 8.故答案为：8.【点睛】此题考查的是分段函数求值问题，属于基础题.14抛物

13、线2ypx经过点（1，4），则抛物线的焦点到准线的距离等于_.【答案】18【解析】由点在抛物线上可得抛物线的方程为214xy，结合抛物线的性质可得抛物线的准线方程与焦点坐标，即可得解.【详解】由点1,4在抛物线2ypx上可得4p，所以该抛物线方程为214xy，所以该抛物线的焦点为10,16，准线方程为116y，第 9 页 共 20 页所以抛物线的焦点到准线的距离等于11116168.故答案为：18.【点睛】本题考查了抛物线方程的求解与性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15已知数列na的前n项和为nS且满足2nnSa，则数列na的通项na_【答案】112n【解析】先求得1n时11a；再

14、由2nnSa可得2n时112nnSa,两式作差可得120nnaa,进而求解.【详解】当1n时,11122Saa,解得11a；由2nnSa,可知当2n时,112nnSa,两式相减,得120nnaa,即11(2)2nnaan,所以数列na是首项为1,公比为12的等比数列,所以112nna,故答案为:112n【点睛】本题考查由nS与na的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用.三、双空题16对任意正整数n，函数32()27cos1f nnnnn，若(2)0f，则的取值范围是 _；若不等式()0f n恒成立，则的最大值为 _【答案】13,2132第 10 页 共 20 页【解析】将2n代入求解即

15、可；当n为奇数时,cos1n,则转化32()2710f nnnn为2127nnn,设21()27g nnnn,由单调性求得g n的最小值；同理,当n为偶数时,cos1n,则转化32()2710f nnnn为2127nnn,设21()27(2)h xxxxx,利用导函数求得h x的最小值,进而比较得到的最大值.【详解】由题,(2)1628210f,解得132.当n为奇数时,cos1n,由32()2710f nnnn,得2127nnn,而函数21()27g nnnn为单调递增函数,所以min()(1)8g ng,所以8；当n为偶数时,cos1n,由32()2710f nnnn,得2127nnn,设

16、21()27(2)h xxxxx,212,()470 xh xxx,()h x单调递增,min13()(2)2h xh,所以132,综上可知,若不等式()0f n恒成立,则的最大值为132.故答案为:(1)13,2；(2)132【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想.四、解答题17垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.太原市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现有甲、乙两个小区采取不同的宣传与倡导方式对各自小区居民进行了有关垃圾分类知识的培训，并参加了评比活动，评委会随机从两个小区各选出20 户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100 分，评

17、分后得到如下茎叶图.第 11 页 共 20 页（1）依茎叶图判断哪个小区的平均分高？（2）现从甲小区不低于80 分的家庭中随机抽取两户，求分数为87的家庭至少有一户被抽中的概率；（3）如果规定分数不低于85 分的家庭为优秀，请填写下面的22列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025 的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关？”甲乙合计优秀ab不优秀cd合计参考公式和数据：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，其中nabcd.20P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.

18、87910.828【答案】（1）乙小区的平均分高；（2）35；（3）填表见解析；可以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关.【解析】（1）由茎叶图中数据直接判断即可得解；（2）由题意列出所有基本事件，分别求出所有的基本事件的个数、满足要求的基本事件的个数，再由古典概型概率公式即可得解；（3）由题意完成列联表，代入公式求出2K，再与 5.024 比较即可得解.【详解】第 12 页 共 20 页（1）甲小区分数集中于6090 之间，乙小区分数集中于80100 之间，所以乙小区的平均分高；（2）记分数为87 的家庭为A B、，其他不低于80 的家庭为,C D

19、 E F，则从甲小区不低于80 分的家庭中随机抽取两户的基本事件有：(,)A B，(A,C)，(,)A D，(,)A E，(,)A F，(,)B C，(,)B D，(,)B E，(,)B F，(,)C D，(,)C E，(,)C F，(,)D E，(,)D F，(,)E F，共 15 种；分数为 87的家庭至少有一户被抽中的基本事件有：(,),(,),(,)A BA CA D，(,)A E，(,)A F，(,)B C，(,)B D，(,)B E，(,)B F，共 9 种；故所求概率93155P；（3）列联表如下：甲乙合计优秀3 10 13 不优秀17 10 27 合计20 20 40 2240

20、3 10 17 105.5845.02420 20 13 27K，因此可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关.【点睛】本题考查了茎叶图的应用及古典概型概率的求解，考查了独立性检验的应用与运算求解能力，属于中档题.18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cossinabCcB1求B的值；2设BAC 的平分线AD与边BC交于点D，已知177AD，7cos25A，求b的值.第 13 页 共 20 页【答案】14B；2sinsinADADCbC.【解析】1利用正弦定理化简求值即可；2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b的值.【详

21、解】解：1cossinabCcB，由正弦定理得：sinsincossinsinABCCB，sinsincossinsinBCBCCB，sinsincossinsinBCBCCB，sincossincossincossinsinBCCBBCCB，sinCcossinsinBCB，又B，C为三角形内角，故sin0B，sin0C，则cossin0BB，故tan1B，4B；（2）AD平分BAC，设BADCADx，则20,Ax,0,2x,27coscos22cos125Axx，3cos5x，则24sin1cos5xx，224sin1cos25AA，又4B，则33317 2sinsinsincoscoss

22、in44450CAAA7 2sinsinsinsincoscos sin44410ADCBxxxx在ACD中，由正弦定理：sinsinbADADCC，sinsinADADCbC.【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.19如图，在直三棱柱111ABCA B C中，1111A BAC，D是11BC的中点，1112A AA B.第 14 页 共 20 页（）求证：1AB/平面1ACD；（）异面直线1AB和BC所成角的余弦值为2613，求几何体11A B DCA的体积.【答案】（）证明见解析；（）2【解析】（）连结1AC交1AC于点E，连结DE，

23、证出1/DEAB，利用线面平行的判定定理即可证出.（）根据题意可求出12 2AB，在11AB C中，利用余弦定理求出1113BC，由1 1111A B DCADA ABDAACVVV结合三棱锥的体积公式即可求解.【详解】（）如图，连结1AC交1AC于点E，连结DE，因为在直三棱柱111ABCA B C中，四边形11AAC C是矩形，所以点E是1AC的中点，因为D是11B C的中点，所以1/DEAB.因为1AB平面1ACD，DE平面1ACD，所以1AB/平面1ACD.第 15 页 共 20 页（）因为棱柱111ABCA B C是直三棱柱，所以111AAAC，因为1111A BAC，111A AA

24、 B，所以111ACB C，因为异面直线1AB和BC所成角的余弦值为2613.所以1126cos13AB C，因为1112A AA B，111A AA B，所以12 2AB.根据余弦定理，在11ABC中，2221111111112cosACB CABB CABAB C，可得1113BC，因为1111A BAC，112A B，所以由勾股定理可得113AC，因为1111C AA B，111C AA A，1111A AA BA，所以11C A平面1A B，同理11A B平面1AC，所以11111A B DCADA ABDAA CVVV113112223 1322322.所以几何体11A B DCA的

25、体积为 2.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式，在证明线面平行时，需先证线线平行，此题属于中档题.20已知椭圆C：221xyab（ab0）的焦距为2，且过点312，.（1）求椭圆C 的方程；第 16 页 共 20 页（2）已知 BMN 是椭圆 C 的内接三角形，若坐标原点O 为 BMN 的重心，求点 O 到直线 MN 距离的最小值.【答案】（1）22143xy（2）32【解析】（1）由题意焦距的值可得c 的值，再由椭圆过点312，及 a，b，c 之间的关系求出 a，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分 B 的纵坐标为0和不为 0 两种情况讨论，设B 的坐标，由O 是三

26、角形的重心可得MN的中点的坐标，设M，N的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN的斜率，求出直线MN 的方程，求出 O 到直线 MN 的距离的表达式，再由 B 的纵坐标的范围求出d 的取值范围，进而求出d 的最小值.【详解】解：（1）由题意可得：椭圆的焦距为2，则1c，又椭圆过点312，222221914abcab，解得：a2 4，b23，所以椭圆的方程为：2243xy1；（2）设 Bmn，记线段 MN 中点 D，因为 O 为BMN 的重心，所以BO2OD，则点 D 的坐标为：22，nm，若 n 0，则|m|2，此时直线MN 与 x 轴垂直，故原点 O 到直线 MN 的距离为2m，即为 1，若

27、 n 0，此时直线MN 的斜率存在，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2m，y1+y2n，又221143xy1，222243xy1，两式相减1212121243xxxxyyyy0，第 17 页 共 20 页可得：kMN1212yyxx34mn，故直线 MN 的方程为：y34mn（x2m）2n，即 6mx+8ny+3m2+4n20，则点 O 到直线 MN 的距离 d2222343664mnmn，将2243mn1，代入得d239n，因为 0n23，所以 dmin32，又321，故原点 O 到直线 MN 的距离的最小值为32.【点睛】本题考查求椭圆的方程，点到直线的距离，考查椭圆中的最

28、值问题，注意直线的斜率的讨论，属于难题.21已知两数()lnf xxkx（1）当1k时，求函数()f x 的极值点；（2）当0k时，若()0(,)bf xaa bRx恒成立，求11aeb的最大值【答案】（1）唯一的极大值点1，无极小值点（2）1【解析】（1）求出导函数，求得()0fx的解，确定此解两侧导数值的正负，确定极值点；（2）问题可变形为lnbaxx恒成立，由导数求出函数lnbyxx的最小值，0b时，lnbyxx无最小值，因此只有0b，从而得出,a b的不等关系，得出所求最大值【详解】第 18 页 共 20 页解：（1）()fx定义域为(0,)，当1k时，1()ln,()1f xxx f

29、xx，令()0fx得1x，当()0,01;()0,1fxxfxx所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，所以()f x 有唯一的极大值点1x，无极小值点（2）当0k时，()lnbbf xaxaxx若()0,(,)bf xaa bRx恒成立，则ln0(,)bxaa bRx恒成立，所以lnbaxx恒成立，令lnbyxx，则2xbyx，由题意0b，函数在(0,)b上单调递减，在(,)b上单调递增，所以ln1ab，所以1 lnab所以1aeb，所以11 1aeb，故11aeb的最大值为1【点睛】本题考查用导数求函数极值，研究不等式恒成立问题在求极值时，由()0fx确定的0 x不一

30、定是极值点，还需满足在0 x两侧()fx的符号相反 不等式恒成立深深转化为求函数的最值，这里分离参数法起关键作用22 已知曲线C的极坐标方程是6cos0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点0,2M，倾斜角为34（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求11MAMB的值【答案】（1）22(3)9xy，22222xtyt(t为参数)；（2）524.第 19 页 共 20 页【解析】（1）将曲线C的极坐标方程两边同乘，根据公式即可化简为直角坐标方程；根据已知信息，直接写出直线的参数方程，整理化简即可；（2）联立曲线C的直角

31、坐标方程和直线l的参数方程，得到关于t的一元二次方程，根据直线参数方程中参数的几何意义，求得结果.【详解】（1）因为6cos，所以26cos，所以226xyx，即曲线C的直角坐标方程为：22(3)9xy，直线l的参数方程3cos432sin4xtyt(t为参数)，即22222xtyt(t为参数).（2）设点A，B对应的参数分别为1t，2t，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2222(3)(2)922tt，整理，得2405 2tt，所以1212524ttt t，因为1212210,0,0,0tttttt所以12MAMBtt12()tt=5 2，MAMB1 2t t=4，所以11MAM

32、B=MAMBMAMB5 24.【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，以及直线参数方程的求解，涉及利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题，属综合基础题.23已知函数12fxxxa.第 20 页 共 20 页（1）若1a，解不等式4fx；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得224mmfx，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3 5,2 2（2）2,1【解析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，最后求并集得结果；（2）先根据绝对值三角不等式得fx值域，再根据二次函数性质得值域，最后根据两个值域关系列不等式，解得结果.【详解】解：（1）当1a时，4124fxxx，化为123xx或1234x或2214xx，解得312x或12x或522x，3522x.即不等式4fx的解集为3 5,2 2.（2）根据题意，得224mm的取值范围是fx值域的子集.2224133mmm，又由于1221fxxxaa，fx的值域为21,a故213a，21a.即实数 a 的取值范围为2,1【点睛】本题考查分类讨论求解含绝对值不等式、绝对值三角不等式、方程恒有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.