2020届河南省新乡市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 20 页2020届河南省新乡市高三第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1设集合|214Axx，2|412 0Bx xx，则ABRU e（）A2,1B3,6C3,6D6,2【答案】B【解析】算出集合B，求出BRe，直接进行交集运算即可.【详解】因为|31Axx，|26BxxRe，所以|36ABxxRU e.故选：B【点睛】本题考查集合的并集、补集运算，属于基础题.2已知复数1zi，z为 z的共轭复数，则1zz（）A32iB12iC132iD132i【答案】C【解析】求出z，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】121 312ziizi.故选：C【点睛】本题考查复数的代

2、数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.3已知向量()0,2=ra，2 3,bxr，且ar与br的夹角为3，则 x=（）A-2 B2 C1 D-1【答案】B【解析】由题意cos3a ba brrr r，代入解方程即可得解.【详解】第 2 页 共 20 页由题意221cos32212a bxa bxr rr r，所以0 x，且2212xx，解得2x.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.4若x，y满足约束条件0,2,10,xyxyx，则4zxy的取值范围为（）A5,1B5,5C1,5D7,3【答案】B【解析】根据约束条件作出可行域，找到使直线4yxz的截距取最值得

3、点，相应坐标代入4zxy即可求得取值范围.【详解】画出可行域，如图所示：由图可知，当直线4zxy经过点1,1A时，z 取得最小值 5；经过点1,1B时，z取得最大值5，故55z剟.故选：B【点睛】本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.5如图所示的程序框图，当其运行结果为31 时，则图中判断框处应填入的是（）第 3 页 共 20 页A3?iB4?iC5?iD6?i【答案】C【解析】根据程序框图的运行，循环算出当31S时，结束运行，总结分析即可得出答案.【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31，当1S时，9i；当1910S时，8i；当19818S时，7i；当198725S时，6i；当19876

4、31S时，5i.此时输出31S.故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.6函数3()cosln|f xxxxx在,0)(0,U的图象大致为（）ABCD【答案】B【解析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.【详解】()f x 是奇函数，排除C，D；2()ln0f，排除 A.故选：B.第 4 页 共 20 页【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.7山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布280,5N，则直径在75,90内的概率为（）附

5、：若2,XN，则0.6826PX,，220.9544PX,.A0.6826 B 0.8413 C0.8185 D0.9544【答案】C【解析】根据服从的正态分布可得80，5，将所求概率转化为2PX，结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意，80，5，则75850.6826PX,，70900.9544PX,，所以185900.95440.68260.13592PX,，75900.6826 0.13590.8185PX,.故果实直径在75,90内的概率为0.8185.故选：C【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.8已知椭圆22ya+22xb

6、=1(ab0)与直线1yaxb交于 A，B 两点，焦点F(0，-c)，其中c 为半焦距，若ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A5-12B3-12C314D514【答案】A【解析】联立直线与椭圆方程求出交点A，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,a b c的关系式，解方程求解即可.第 5 页 共 20 页【详解】联立方程222211yxabyxab，解方程可得0 xya或0 xby，不妨设 A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，BAuu u rBFuuu r=0，因为,BAb au uu r，,BFbcuu u r，由平面向量垂直的坐标表示可得，0b bac，因为222b

7、ac，所以 a2-c2=ac，两边同时除以2a可得，210ee，解得 e=5-12或152e（舍去），所以该椭圆的离心率为5-12.故选：A【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,a b c的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.9将函数f(x)=sin 3x-3cos 3x+1 的图象向左平移6个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：它的图象关于直线x=59对称；它的最小正周期为23；它的图象关于点(1118，1)对称；它在 51939，上单调递增.其中所有正确

8、结论的编号是（）ABCD【答案】B【解析】根据函数sinyA x图象的平移变换公式求出函数()g x的解析式，再第 6 页 共 20 页利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】因为 f(x)=sin 3x-3cos 3x+1=2sin(3x-3)+1，由sinyA x图象的平移变换公式知，函数 g(x)=2sin3(x+6)-3+1=2 sin(3x+6)+1，其最小正周期为23T，故 正确；令 3x+6=k+2，得 x=3k+9(kZ)，所以 x=59不是对称轴，故 错误；令 3x+6=k，得 x=3k-18(kZ)，取 k=2，得 x=1118，故函数 g(x)的图象关于

9、点(1118，1)对称，故 正确；令 2k-23 x+62 k+2，k Z，得23k-29 x23k+9，取 k=2，得109 x139，取 k=3，得169 x199，故 错误；故选：B【点睛】本题考查sinyA x图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型10如图，在正四棱柱1111ABCDA B C D中，12ABAA，EF，分别为ABBC，的中点，异面直线1AB与1C F所成角的余弦值为m，则()A直线1A E与直线1C F异面，且23mB 直线

10、1A E与直线1C F共面，且23mC直线1A E与直线1C F异面，且33mD直线1A E与直线1C F共面，且33m【答案】B 第 7 页 共 20 页【解析】连接EF，11AC，1C D，DF，由正四棱柱的特征可知11EFACP，再由平面的基本性质可知，直线1A E与直线1C F共面.，同理易得11ABC DP，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线1AB与1C F所成角为1DC F，然后再利用余弦定理求解.【详解】如图所示：连接EF，11AC，1C D，DF，由正方体的特征得11EFACP，所以直线1A E与直线1C F共面.由正四棱柱的特征得11ABC DP，所以异面直线1AB与1C

11、 F所成角为1DC F.设12AA，则AB122AA，则5DF，13C F，16C D，由余弦定理，得1cosmDC F36523236.故选：B【点睛】本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.11南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19 项为（）（注：2222(1)(2

12、1)1236n nnnL）A1624 B 1024 C1198 D1560【答案】B 第 8 页 共 20 页【解析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列nc的通项公式和前n项和，利用累加法求得数列na的通项公式，进而求得19a.【详解】依题意na：1，4，8，14，23，36，54，两两作差得nb：3，4，6，9，13，18，两两作差得nc：1，2，3，4，5，设该数列为na，令1nnnbaa，设nb的前n项和为nB，又令1nnncbb，设nc的前n项和为nC.易ncn，22nnnC，进而得21332nnnnbC，所以2(1)133222nn nnbn，则(1)(1)36nn nnBn，所以

13、11nnaB，所以191024a.故选：B【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12已知函数2()lnf xaxxx有两个不同的极值点1x，2x，若不等式12122fxfxxxt有解，则t的取值范围是（）A(,2ln 2)B,2ln 2C(,112ln 2)D,112ln 2【答案】C【解析】先求导得221()axxfxx（0 x），由于函数fx有两个不同的极值点1x，2x，转化为方程2210axx有两个不相等的正实数根，根据，12xx，第 9 页 共 20 页12xx，求出a的取值范围，而12122fxfxxxt有

14、解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h aaaa，通过利用导数研究h a单调性、最值，即可得出t的取值范围.【详解】由题可得：221()axxfxx（0 x），因为函数2()lnf xaxxx有两个不同的极值点1x，2x，所以方程2210axx有两个不相等的正实数根，于是有12121 80,10,210,2axxax xa解得108a.若不等式12122fxfxxxt有解，所以1212max2tfxfxxx因为12122fxfxxx2211122212lnln2axxxaxxxxx21212121223lnaxxx xxxx x51ln(2)4aa.设51()1ln(2)0

15、48h aaaa，254()04ah aa，故()h a在10,8上单调递增，故1()112ln 28h ah，所以112ln 2t，所以t的取值范围是(,112ln 2).故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.第 10 页 共 20 页二、填空题13已知数列na是等比数列，131,36aa，则2a_.【答案】6【解析】根据等比数列通项公式，首先求得q，然后求得2a.【详解】设na的公比为q，由131,36aa，得236,6qq，故26a.故答案为：6【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基

16、本量计算，属于基础题.14已知双曲线22xa-22yb=1(a0，b0)与抛物线y2=8x 有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点 F 到双曲线的渐近线的距离为_.【答案】3【解析】设点P为00,xy，由抛物线定义知，025FPx，求出点P 坐标代入双曲线方程得到,a b的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题意得F(2，0)，因为点P 在抛物线y2=8x 上，|FP|=5，设点P为00,xy，由抛物线定义知，025FPx，解得0032 6xy，不妨取 P(3，26)，代入双曲线22xa-22yb=1，得29a-224b=1，又因为

17、 a2+b2=4，解得 a=1，b=3，因为双曲线的渐近线方程为byxa，所以双曲线的渐近线为y=3x，由点到直线的距离公式可得，点 F 到双曲线的渐近线的距离222 3313d.故答案为：3第 11 页 共 20 页【点睛】本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.15如图，在三棱锥ABCD 中，点 E 在 BD 上，EAEBECED，BD2CD，ACD 为正三角形，点M，N 分别在 AE，CD 上运动（不含端点），且 AM CN，则当四面体 CEMN 的体积取得最大值23时，三棱锥 A BCD

18、 的外接球的表面积为_.【答案】32【解析】设 EDa，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE ED.AMx，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出AM 的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可.【详解】设 EDa，则 CD2a.可得 CE2+DE2CD2，CEED.当平面ABD平面BCD时，当四面体CEMN的体积才有可能取得最大值，设AMx.则四面体CEMN 的体积13（ax）12a x22212ax（a x）222()1223xaxa，当且仅当x2a时取等号.解得 a22.此时三棱锥ABCD 的外接球的表面积4a232.故答案为：32【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考

19、查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力.三、双空题16若5250125(2)(2)(2)xaa xaxax，则1a_；第 12 页 共 20 页125aaa_.【答案】80 211【解析】根据5522xx，利用通项公式求解51412aC.再利用赋值法，令3x，得0125aaaa，令2x，得0a即可.【详解】因为5522xx，则5141280aC.令3x，得501253243aaaa；令2x，得50232a，故12524332211aaa.故答案为：(1).80(2).211【点睛】本题主要二项展开式的通项公式和系数和问题，还考查了赋值法运算求解的能力，属于基础题.四、解答题17A

20、BC的内角,A B C的对边分别为,a b c，且(sinsin)()sinsinABabbCcC.（1）求A；（2）若2bc，点D为边BC的中点，且7AD，求ABC的面积.【答案】（1）3A；（2）2 3ABCS.【解析】(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.(2)为AD为ABC的中线,所以2ADABACuuu ruu u ruuu r再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入2bc可解得2,4cb,再代入面积公式求解即可.【详解】（1）由(sinsin)()sinsinABabbCcC,可得222abbcc,由余弦定理可得2221cos22bcaAbc,第 13 页 共 20

21、 页故3A.（2）因为AD为ABC的中线,所以2ADABACuuu ruu u ruuu r,两边同时平方可得22242|cosADABACABACAuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r,故2228cbbc.因为2bc,所以2,4cb.所以ABC的面积1sin2 32ABCSbcA.【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.18追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100 天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如下：AQI0,50

22、50,100100,150150,200200,250250,300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510（1）从空气质量指数属于0,50，50,100的天数中任取3 天，求这 3 天中空气质量至少有 2 天为优的概率；（2）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为0,0100,220,100250,1480,250300,xyxx剟,，试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望.【答案】（1）23114（2）9060 元【解析】(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2)任选一天，设该天的经济损失为X元，分

23、别求出0P X，220P X，1480P X，进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.第 14 页 共 20 页【详解】解：（1）设为选取的3 天中空气质量为优的天数，则223PPP213061461433202023114C CC CCC.（2）任选一天，设该天的经济损失为X元，则X的可能取值为0，220，1480，201001001005P XPx剟，70722010025010010P XPx,，101148025030010010P XPx,，所以1710220148030251010EX（元），故该企业一个月的经济损失的数学期望为309060EX（元）.【点睛】本题

24、考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.19如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上（P不与B，C重合），E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD平面BCP.（1）证明：BP平面DCP.（2）三棱锥DBPC的体积最大时，求二面角BPDE的余弦值.【答案】（1）见解析（2）155【解析】（1）利用面面垂直的性质定理证得CD平面BPC，由此证得DCBP，根据圆的几何性质证得BPPC，由此证得BP平面DCP.（2）判断出三棱锥DBPC的体积最大时P点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面BPD和平面EPD的法向量，计算出二面角BPDE的余弦值.【

25、详解】（1）证明：因为平面ABCD平面,BPC ABCD是正方形，所以DC平面BPC.第 15 页 共 20 页因为BP平面BPC，所以DCBP.因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BPPC.又DCPCC，所以BP平面DCP.（2）解：显然，当点P位于?BC的中点时，BCP的面积最大，三棱锥DBPC的体积也最大.不妨设2BC，记AD中点为G，以E为原点，分别以,EB EP EGuu u r uu u r uuu r的方向为x轴、y轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0)EBDP，(2,0,2),(1,0,2),

26、(1,1,2)BDEDPDuuu ruuu ruuu r设平面BDP的法向量为111,mx y zr，则11111220,20,BD mxzPD mxyzuuu vruuu vr令11x，得(1,1,1)mr.设平面DEP的法向量为222,nxyzr，则2222220,20,ED nxzPS nxyzuuu vruu u vr令22x，得(2,0,1)nr，所以2115cos,|535m nm nm nrrr r rrr.由图可知，二面角BPDE为锐角，故二面角BPDE的余弦值为155.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20 设

27、抛物线2:20C ypx p的焦点为F，准线为l，AB为抛物线C过焦点F的第 16 页 共 20 页弦，已知以AB为直径的圆与l相切于点1,0.（1）求p的值及圆的方程；（2）设M为l上任意一点，过点M作C的切线，切点为N，证明：MFNF.【答案】（1）2，2214xy；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意得l的方程为2px，根据AB为抛物线C过焦点F的弦，以AB为直径的圆与l相切于点1,0.利用抛物线和圆的对称性，可得12p，圆心为1,0F，半径为2.（2）设01,My，MN的方程为01yk xy，代入C的方程，得20440kyyyk，根据直线与抛物线相切，令016160k yk，得01y

28、kk，代入20440kyyyk，解得2yk.将2yk代入C的方程，得21xk，得到点N 的坐标为212,kk，然后求解FMFNu uu u r u uu r.【详解】（1）解：由题意得l的方程为2px，所以12p，解得2p.又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为1,0F，半径为2.所以圆的方程为2214xy.（2）证明：易知直线MN的斜率存在且不为0，设01,My，MN的方程为01yk xy，代入C的方程，得20440kyyyk.令016160k yk，得01ykk，所以222044440k ykykyyykk，解得2yk.将2yk代入C的方程，得21xk，即点 N 的坐标为212,kk，

29、所以02122,1,FMyFNkku uuu ruuu r，第 17 页 共 20 页02222212220FMFNykkkkkkuuuu ru uu r，故MFNF.【点睛】本题主要考查抛物线的定义几何性质以及直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.21已知函数22()1exf xaxax.（1）若函数()()g xfx，试讨论()g x的单调性；（2）若(0,)x，()0f x，求a的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）,2【解析】（1）由于函数2()()22exg xxaxfa，得出2()2 2exg xa，分类讨论当0a和0a时，()

30、g x的正负，进而得出g x的单调性；（2）求出22e(21)21xfxxax，令()0fx，得22e21xax，设22()21xeh xx，通过导函数hx，可得出h x在(0,)上的单调性和值域，再分类讨论2a和2a时，()f x 的单调性，再结合(0,)x，()0f x恒成立，即可求出a的取值范围.【详解】解：（1）因为2()()22exg xxaxfa，所以22()24e2 2exxg xaa，当0a时，()0gx，()g x在R上单调递减.当0a时，令()0gx，则1ln22ax；令()0g x，则1ln22ax，所以()g x在1,ln22a单调递增，在1ln,22a上单调递减.综上

31、所述，当0a时，()g x在R上单调递减；当0a时，()g x在1,ln22a上单调递增，在1ln,22a上单调递减.第 18 页 共 20 页（2）因为22()1exf xaxax，可知(0)0f，2()22exfxaxa222e(21)2e(21)21xxaxxax，令()0fx，得22e21xax.设22()21xeh xx，则228 e()(21)xxh xx.当0 x时，()0h x，()h x在(0,)上单调递增，所以()h x在(0,)上的值域是(2,)，即22221xex.当2a时，()0fx没有实根，且()0fx，()f x 在(0,)上单调递减，()(0)0f xf，符合题

32、意.当2a时，(0)2ha，所以22e()21xh xax有唯一实根0 x，当00,xx时，()0fx，()f x 在00,x上单调递增，()(0)0f xf，不符合题意.综上，2a，即a的取值范围为,2.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题.22在直角坐标系xOy中，已知点31,2M，1C的参数方程为123xtyt（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2232cos.（1）求1C的普通方程和2C的直角坐标方程；第 19 页 共 20 页（2）设曲线1C

33、与曲线2C相交于A，B两点，求11MAMB的值.【答案】（1）332yx；22213yx（2）4【解析】（1）消去1C参数方程中的参数t，求得1C的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得2C的直角坐标方程.（2）求得曲线1C的标准参数方程，代入2C的直角坐标方程，写出韦达定理，根据直线参数中参数的几何意义，求得11MAMB的值.【详解】（1）由1C的参数方程123xtyt（t为参数），消去参数可得332yx，由曲线2C的极坐标方程为232cos，得2222cos3，所以2C的直角坐方程为22323xy，即22213yx.（2）因为31,2M在曲线1C上，故可设曲线1C的参数方程为112

34、3322xtyt（t为参数），代入22323xy化简可得23820tt.设A，B对应的参数分别为1t，2t，则1283tt，1 223t t，所以12121214111tttttMAtMB.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用利用和直线参数方程中参数的几何意义进行计算，属于中档题.23已知函数31fxxx.第 20 页 共 20 页（1）求不等式6fx的解集；（2）设fx的最小值为M，正数a，b满足224abM，证明：24abab.【答案】（1）1,5（2）证明见解析【解析】（1）将fx表示为分段函数的形式，由此求得不等式6fx的解集.（2）利用

35、绝对值三角不等式求得fx的最小值M，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式24abab成立.【详解】（1）42,12,1324,3x xfxxxx，不等式6fx，即1426xx或3246xx或1326x，即有11x或35x或13x，所以所求不等式的解集为1,5.（2）31312fxxxxx，2M，因为0a，0b，所以要证24abab，只需证222216aba b，即证22224416ababa b，因为2242ab，所以只要证222416aba b，即证28210abab，即证41210abab，因为410ab，所以只需证12ab，因为22244abab，所以12ab成立，所以24abab.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题.