2020届湖南、河南、江西高三下学期3月线上联考数学(文)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 20 页2020 届湖南、河南、江西高三下学期3 月线上联考数学（文）试题一、单选题1已知集合AxZ|1x 5，Bx|0 x 2，则 A B（）Ax|1 x 2B x|0 x5 C0，1，2 D1，2【答案】D【解析】列举法表示集合A，直接进行交集运算.【详解】集合 A xZ|1x5 0，1，2，3，4，Bx|0 x 2，A B1，2故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2已知 a，bR，3(21)aibai，则（）Ab3aBb6aCb9aDb12a【答案】C【解析】两复数相等，实部与虚部对应相等.【详解】由3(21)aibai，得312baa，即 a13，b3

2、b9a故选：C【点睛】本题考查复数的概念，属于基础题.3设双曲线22227xymm（0m）的焦距为12，则m（）A1 B 2 C3 D4【答案】B 第 2 页 共 20 页【解析】根据222cab可得关于m的方程，解方程即可得答案.【详解】因为22227xymm可化为221414xymm，所以221241418362cmmm，则2m.故选：B.【点睛】本题考查已知双曲线的焦距求参数的值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.4若,x y满足约束条件0210 xyxyx，则4zxy的最大值为（）A5B1C5D6【答案】C【解析】作出可行域，根据平移法即可求出4zxy的最大值【详解】画

3、出可行域，如图所示：由图可知，当直线4zxy经过点1,1时，z 取最大值5.故选：C【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法，属于基础题5如图所示的程序框图，当其运行结果为31 时，则图中判断框处应填入的是（）第 3 页 共 20 页A3?iB4?iC5?iD6?i【答案】C【解析】根据程序框图的运行，循环算出当31S时，结束运行，总结分析即可得出答案.【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31，当1S时，9i；当1910S时，8i；当19818S时，7i；当198725S时，6i；当1987631S时，5i.此时输出31S.故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求

4、条件框，属于基础题.6在正方体1111ABCDA B C D中，E，F分别为1CC，1DD的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为（）A14B154C2 65D15【答案】D【解析】连接BE，BD，因为/BE AF，所以BED为异面直线AF与DE所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，取BD的中点为G，连接EG，在等腰BED中，求出3cos5EGBEGBE，在利用二倍角公式，求出cosBED，即可得出答案.【详解】连接BE，BD，因为/BE AF，所以BED为异面直线AF与DE所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，则5BEDE，2 2BD，在等腰BED中，取BD的中点为G，连接E

5、G，第 4 页 共 20 页则523EG，3cos5EGBEGBE，所以2coscos22cos1BEDBEGBEG，即：31cos2155BED，所以异面直线AF，DE所成角的余弦值为15.故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.7某班 45 名同学都参加了立定跳远和100 米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100 米跑合格的人数分别为30 和 35，两项都不合格的人数为5.现从这 45 名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100 米跑合格、两项都不合格四种）抽出9 人进行复测，那么抽出来复测的

6、同学中两项都合格的有（）A1 人B 2 人C5 人D6 人【答案】C【解析】根据分层抽样先求抽样比，再确定两项都合格的25 人中应该抽取的人数.【详解】由题意知两项都不合格的有5人，两项都合格的有25人，仅立定跳远合格的有5 人，仅 100 米跑合格的有10 人.从 45 人中抽取9 人进行复测，则抽样比为91455，故两项都合格的25 人中应该抽取25155人.故选：C.第 5 页 共 20 页【点睛】本题考查分层抽样，考查对概念的理解与应用，属于基础题.8 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水

7、深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1 丈见方（即10CD尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设BAC，现有下述四个结论：水深为12 尺；芦苇长为15 尺；2tan23；17tan47.其中所有正确结论的编号是（）ABCD【答案】B【解析】利用勾股定理求出BC的值，可得tanBCAB，再利用二倍角的正切公式求得tan2，利用两角和的正切公式求得tan4的值.【详解】设BCx，则1ACx，5AB，2225(1)xx，12x.即水深为12 尺，芦苇长为12 尺；12tan5BCAB，由22tan2tan1 t

8、an2=-，解得2tan23（负根舍去）.12tan5，1tan17tan41tan7.故正确结论的编号为.故选：B.第 6 页 共 20 页【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题.9 将函数36fxsinx的图像向右平移0m m个单位长度，得到函数g x的图像，若g x为奇函数，则m的最小值为（）A9B29C18D24【答案】C【解析】根据平移法则可知，3()36g xsinxm，再根据g x为奇函数，即可得到3,6mkkZ，由此解出【详解】由题意知3()36g xsinxm，因为g x是奇函数，所以3,6mkkZ.解得,183kmkZ，因为0m，所以m的最小值为

9、18.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换以及函数sinyA x的性质应用，属于基础题10一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r，大圆柱底面半径为2r，如图 1 放置容器时，液面以上空余部分的高为1h，如图 2 放置容器时，液面以上空余部分的高为2h，则12hh（）A21rrB212rrC321rrD21rr【答案】B 第 7 页 共 20 页【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在图 1 中，液面以上空余部分的体积为211r h；在图 2 中，液面以上空余部分的体积为222r h.因为221122r hr h，所以21221hrhr.故

10、选：B【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.11已知定义在R上的函数fx满足fxfx，且在(0,)上是增函数，不等式21faxf对于1,2x恒成立，则a的取值范围是A3,12B11,2C1,02D0,1【答案】A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在,0上是减函数，由此可将不等式化为121ax；利用分离变量法可得31axx，求得3x的最大值和1x的最小值即可得到结果.【详解】fxfxQfx为定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称又fx在0,上是增函数fx在,0上是减函数21f axfQ21ax，即121ax121axQ对于1,2x恒成立31axx在1,2 上恒成立312a，即a的

11、取值范围为：3,12本题正确选项：A【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.第 8 页 共 20 页12已知函数()exf xa（0a）与2()2g xxm（0m）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为（）A24,eB28,eC240,eD280,e【答案】D【解析】设切点为00,A xy，则00200e2,e4,xxaxmax通过代入法将m用0 x表示，再构造函数进行求值域，即可得答案.【详解】设切

12、点为00,A xy，则00200e2,e4,xxaxmax整理得200042,0,0,xxmxm由200240mxx，解得02x.由上可知004exxa，令4()exxh x，则4(1)()xxh xe.因为2x，所以4(1)()0exxh x，4()exxh x在(2,)上单调递减，所以280()eh x，即280,ea.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数判断函数的单调性及求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.二、填空题13设非零向量ar，br满足3abrr，1cos,3a br r，16aabrrr，则br_.【答案】2【解析】由题知，3abrr

13、，1cos,3a br r，利用向量的数量积公式化简16aabrrr，即可求出br.【详解】第 9 页 共 20 页3abrr，1cos,3a br r，2aabaa brrrrrr，29cos,3 bbabbrrr rr2229816bbbrrr2br.故答案为：2.【点睛】本题考查向量的数量积公式和向量的模，属于基础题.14中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从1 5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为_【答案】110【解析】根据古典概型的概率计算公式即可求出【详解】从这5个数

14、中随机抽取3个整数，所有基本事件个数为10，其中的勾股数为3,4,5，共1个，故概率110P.故答案为：110【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题15设a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边.已知3A，1b，且22222sin4sin8 sinsinsinAB cBCA，则a_.【答案】2【解析】利用正弦定理角化边公式化简22222sin4sin8 sinsinsinAB cBCA，再运用余弦定理得出2248cos2abA，即可求出a.【详解】第 10 页 共 20 页因为22222sin4sin8 sinsinsinAB cBCA，所以2222248abcbca，

15、又3A，1b，所以2222248abbcbca，所以22222488cos422abbcaAbc，则2442a，解得2a.故答案为：2.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题.16过抛物线C：24xy的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB，切点分别为A，B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是_.【答案】4【解析】先求出直线PA，PB的方程，联立解得122Pxxx，由点P是两切线的公共点求得AB的方程为12Px xy，表示出A，B两点到准线的距离之和并化简为21244xx，从而求得最小值.【详解】设11,A x y，22,B xy，则直线PA，PB的方程分别为2

16、1124xxyx，22224xxyx，联立解得122Pxxx，124Px xy.又直线PA，PB的方程分别可表示为112xyxy，222xyxy，将P点坐标代入两方程，得1122,2,2PPPPxxyyxxyy所以直线AB的方程为12Px xy，即12Px xy，所以A点到准线的距离与B点到准线的距离之和为1212211222PPxxyyxx2121244 424Pxxxxx.故答案为：4 第 11 页 共 20 页【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系应用，属于较难题.三、解答题17某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早

17、、晚读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50 名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表：考试分数85,9595,105105,115115,125125,135135,145频数510155105赞成人数469364（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？（2）依据第1 问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2 2 列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.参考公式及数据：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，nabcd.20P Kk0.1000.05

18、00.0250.0100k2.7063.8415.0246.635【答案】（1）125 分（2）列联表见解析；没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系【解析】（1）根据题意，测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为50 30%15，即可得答案；（2）完成列联表，再代入卡方系数计算公式，即可得答案.【详解】（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为50 30%15，所以优秀分数线应定为125 分.第 12 页 共 20 页（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有50 0.315人，其中“赞成的”有 10 人；测试成绩不优秀的学生有501535人，其中“赞成的”有

19、22 人.2 2 列联表如下：赞成不赞成合计优秀10 5 15 不优秀22 13 35 合计32 18 50 2250(10 13522)250.0662.7063218 1535378K因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.【点睛】本题考查独立性检验、卡方系数计算，考查数据处理能力，属于基础题.18已知数列na满足11a，且113nnnaaa.(1)证明数列11na是等差数列，并求数列na的通项公式.(2)若21nnnba，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）见解析，21nan（2）121nnSn g【解析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列11na是等差数列，

20、并通过数列11na的通项公式得到数列na的通项公式；(2)因为1221nnnnbna，根据错位相减法即可求出数列nb的前n项和nS【详解】(1)因为113nnnaaa第 13 页 共 20 页两边都加上1，得12113nnnaaa所以111211112121nnnaaa，即1111112nnaa，所以数列11na是以12为公差，首项为11112a的等差数列所以112nna，即21nan(2)因为1221nnnnbna，所以数列nb的前n项和，1211 12232.2nnSn则12321 2223 2.2nnSn，由 ，得1211 1 1 21 21 22121nnnnSnn-，所以1 21nn

21、Sn【点睛】本题主要考查等差数列的证明，等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题19如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，/AD BC，90DAB，122ABBCPAAD，E为PB的中点，F是PC上的点.（1）若/EF平面PAD，证明：F是PC的中点.（2）求点C到平面 PBD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】（1）根据线面平行的性质定理可证得/EFBC，即可得答案；（2）利用等积法可求得点C到平面 PBD 的距离.【详解】第 14 页 共 20 页（1）证明：因为/BC AD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以/BC平面

22、PAD.因为P平面PBC，P平面PAD，所以可设平面PBC I平面PADPM，又因为BC平面PBC，所以/BC PM.因为/EF平面PAD，EF平面PBC，所以/EFPM，从而得/EFBC.因为E为PB的中点，所以F为PC的中点.（2）解：因为PA底面ABCD，90DAB，122ABBCPAAD，所以222 2PBPAAB，222 5PDPAAD，222 5BDBAAD，所以2211622DPBSPBDPPB.设点C到平面PBD的距离为d，由CPBDPBCDVV，得11113332DPBBCDSdSPABCABPA，解得23d.【点睛】本题考查线线平行性质定理的运用、点到面距离的求解，考查转化

23、与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.20已知椭圆C：22211xyaa的左顶点为A，右焦点为F，斜率为 1 的直线与椭圆C交于A，B两点，且OBAB，其中O为坐标原点.（1）求椭圆C的标准方程；第 15 页 共 20 页（2）设过点F且与直线AB平行的直线与椭圆C交于M，N两点，若点P满足3OPPMuuu vuu uu v，且NP与椭圆C的另一个交点为Q，求|NPPQ的值.【答案】（1）2213xy（2）257【解析】(1)由题意知ABO是以AO为斜边的等腰直角三角形，从而求得B 点坐标，代入椭圆方程求出a，即可得解；(2)设点11,Mx y，22,N xy，33,Q x y，直线MN

24、的方程与椭圆方程联立求出123 22xx，1234x x，1214y y，利用计算出点 Q 的坐标,因为点Q在椭圆C上，所以223313xy，整理得2222211221212222913111111163323mmxyxyx xy ymmm，因为1212103x xy y，221113xy，222213xy，方程解得257m，即|25|7NPPQ.【详解】解：（1）因为直线AB的斜率为1，且OBAB，所以ABO是以AO为斜边的等腰直角三角形，从而有,2 2a aB，代人椭圆C的方程，得21144a，解得23a，所以椭圆C的标准方程为2213xy.（2）由（1）得2,0F，所以直线MN的方程为2

25、yx.设点11,Mx y，22,N xy，33,Q x y，将2yx代入2213xy，得246 230 xx，所以123 22xx，1234x x，第 16 页 共 20 页所以12121224y yxx.因为3OPPMu uu ru uuu r，所以34OPOMu uu ru uuu r，所以1133,44Pxy.设|NPmPQ，则NPmPQuuu ruuu r，121231313333,4444xxyym xx yy，所以3123123(1)1,43(1)1.4mxxxmmmyyymm因为点Q在椭圆C上，所以223313xy，所以22121231311111344mmxxyymmmm，整理

26、得，2222211221212222913111111163323mmxyxyx xy ymmm.由上得1212103x xy y，且可知221113xy，222213xy，所以222911116mmm，整理得2718250mm，解得257m或1m（舍去），即|25|7NPPQ.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，向量共线的坐标表示，属于难题.21已知函数(1)(1ln)()3xxf xmx，()lng xmxx(R)m.(1)求函数()g x的单调区间与极值.(2)当0m时，是否存在12,1,2x x，使得12()()f xg x成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，

27、请说明理由.【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）3ln 20,2.【解析】（1）求出函数()g x的定义域，接着求导，对参数m分类讨论。（2）假设存在12,1,2x x，使得12()()f xg x成立，则对1,2x，满足第 17 页 共 20 页maxmin()()f xg x，将问题转化为求max()fx与min()g x。【详解】解：（1）1()(0)g xmxx，当0m时，1()0gxmx恒成立，即函数()g x的单调增区间为（0，+），无单调减区间，所以不存在极值当0m时，令1()0gxmx，得1xm,当10 xm时，()0gx，当1xm时，()0g x，故函数()g x的单调增

28、区间为10m（，），单调减区间为1m（，），此时函数()g x在1xm处取得极大值，极大值为111()ln1lngmmmmm，无极小值综上，当0m时，函数()g x的单调增区间为0，无单调减区间，不存在极值 当0m时，函数()g x的单调增区间为10m，单调减区间为1m，极大值为1ln m，无极小值（2）当0m时，假设存在12,1,2x x，使得12()()f xg x成立，则对1,2x，满足maxmin()()f xg x由(1)(1ln)()3xxf xmx1,2x（）可得，221(1 ln1)(1)(1 ln)ln()xxxxxxxfxxx.令()ln1,2h xxx x（），则1()1

29、0h xx，所以()h x在1,2上单调递增，所以()(1)1h xh，所以()0fx，所以()f x 在1,2上单调递增，所以max(21)(1ln 2)3(1 ln 2)()(2)3322f xfmm由（1）可知，当101m时，即m1时，函数()g x在1,2 上单调递减，所以()g x的最小值是(2)2ln 2gm 当12m，即102m时，函数()g x在1,2上单调递增，所以()g x的最小值是(1)gm第 18 页 共 20 页 当112m时，即112m时，函数()g x在11,m上单调递增，在1,2m上单调递减.又(2)(1)ln 22ln 2ggmmm，所以当1ln 22m时，(

30、)g x在1,2 上的最小值是(1)gm.当ln 21m时，()g x在1,2上的最小值是(2)ln 22gm所以当0ln 2m时，()g x在1,2上的最小值是(1)gm，故3(1 ln 2)32mm，解得3(1ln 2)4m,所以ln 20m当ln 2m时，函数()g x在1,2上的最小值是(2)ln 22gm，故3(1 ln 2)3ln 222mm，解得3ln 22m，所以3ln 2ln 22m.故实数m的取值范围是3ln 20,2【点睛】本题利用导数求函数的单调区间、极值问题，以及导数与函数的综合应用，属于难题。22在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为cos,3sinxy（为参

31、数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sincos6.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若射线m的极坐标方程为3（0）.设m与C相交于点M，m与l相交于点N，求|MN.【答案】（1）曲线C的普通方程为2219yx；直线l的直角坐标方程为60 xy（2）|5 36MN【解析】（1）利用消去参数，将曲线C的参数方程化成普通方程，利用互化公式cossinxy，将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；第 19 页 共 20 页（2）根据（1）求出曲线C的极坐标方程，分别联立射线m与曲线C以及射线m与直线l的极坐标方程，求出1和2，即可求出|MN

32、.【详解】解：（1）因为cos,3sinxy（为参数），所以消去参数，得2219yx，所以曲线C的普通方程为2219yx.因为cos,sin,xy所以直线l的直角坐标方程为60 xy.（2）曲线C的极坐标方程为2222sincos19.设,M N的极径分别为1和2，将3（0）代入2222sincos19，解得13，将3（0）代入sincos6”，解得26 36.故12|5 36MN.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式cossinxy将极坐标方程化为直角坐标方程，还考查极径的运用和两点间距离，属于中档题.23设函数1()1|1|2f xxx（xR）的最小值为m.（1

33、）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且1112233mambmc，证明：21993abc.【答案】（1）32m（2）证明见解析【解析】（1）分类讨论，去绝对值求出函数fx的解析式，根据一次函数的性质，得出()f x 的单调性，得出()f x 取最小值，即可求m的值；第 20 页 共 20 页（2）由（1）得出111123abc，利用“乘1法”，令11123(23)23abcabcabc，化简后利用基本不等式求出239abc的最小值，即可证出21993abc.【详解】（1）解：1()1|1|2f xxx3,2,212,21,23,1,2x xxxx x当(,1)x时，()f x 单调递减；当1,x时，()f x 单调递增.所以当1x时，()f x 取最小值32m.（2）证明：由（1）可知111123abc.要证明：21993abc，即证232319999abcabc，因为a，b，c为正实数，所以11123(23)23abcabcabc223332332aabbccbcacab232332332abacbcbacacb32229.当且仅当23abc，即3a，32b，1c时取等号，所以21993abc.【点睛】本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘 1 法”和分类讨论思想，属于中档题.