《函数的单调性》说课稿(附教案).pdf

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1、函数的单调性说课稿一、教学内容分析:函数的单调性是学生在掌握了函数概念等基础知识后，学习函数的第一个性质，主要刻画了函数在某区间上图象的变化趋势（上升或下降），为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。而且在解决解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。二、教学目标的确定：根据本课教材内容的特点、学生现有知识基础、认知能力以及所任教班级学生的特点，本节课从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调

2、性概念的形成过程和对概念本质的理解；强调判断、证明函数单调性的方法的落实；突出逻辑思维能力、类比化归、数形结合能力的培养。三、教学诊断分析:在函数单调性这节课中，对于函数的单调性，学生在认知过程中主要存在两个方面的困难：（1）“图象是上升的，函数是单调递增的；图象是下降的，函数是单调递减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难。困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述。即把某区间上“随着x的增大，y也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的21xx，有)()(21xfxf”（单调增）进行刻画其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小

3、不等的12xx、。（2）利用定义证明函数的单调性过程中，对学生在代数方面严格推理能力的要求对高一的学生同样比较困难。针对这两方面学生存在的困难，在教学中我所采用的教师启发引导，学生探究学习的教学方法，以及多媒体直观教学和反例的恰当应用，较好的解决了学生在这两方面的困惑。此外，在教学过程中，单调性定义还需要注意以下易错点和疑点：（1）单调性是函数的一个区间上的性质，函数在不同的区间上可以有不同的单调性。在此需特别注意单调区间一般不能合并，在一般情况下，（端点处也满足单调性时）单调区间端点取舍对单调性没有影响。（2）单调性相对于函数定义域可以是一个局部性质，（3）定义中的取值12xx、必须是区间上

4、任意的，不可由特殊的取值来代替。四、教学方法以及手段的选择：本节课是函数单调性的第一课时，主要采用教师启发引导、学生探究学习的教学方法。通过学生熟悉的现实问题创设情境，引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念。同时借助多媒体的直观演示，帮助学生更好的理解概念。在整个教学过程中，充分发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，成为课堂的主人；同时教师对范例进行恰当变形，并对学生进行点拨引导，发挥自身在教学中的主导地位。在完成本节课教学目标的前提下，更好地完成了新课标对课堂教学中学生主体和教师主导的双重要求，可以达到良好的教学效果。五、教学过程设计说明：为实现本

5、节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上我主要采取了以下的策略：（1）在创设情境阶段，让学生通过观察世界杯进球折线图以及绵阳市某天的气温变化曲线图观察图像的变化趋势，完成学生对单调性直观上的一种认识，并为概念的引入提供了必要性。并让学生带着问题（什么是函数的单调性？怎样判定函数的单调性？）进入新课。（2）在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认知的提升，使得学生对概念的认识层层深入。（3）在概念应用阶段，通过对定义法证明单调性过程的具体分析，以及证明过程的严格板书，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，培养学生清晰地思维、

6、严谨的数学推理能力。（4）针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生，对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更深层次的理解，同时也为在高三阶段中利用导函数研究函数的单调性奠定了良好的知识基础。如果想在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解可能是不现实的。在今后，学生通过判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习活动可以逐步加深对这个概念的理解。函数的单调性教案一、教学目标：1、理解增函数和减函数的定义；2、会利用定义证明函数的单调性；3、了解函数单调区间的概念，并能根据图象说出函数的单调区间；4、通过本节知识的学习，使学生理解数形结合等思

7、想方法在分析解决问题中的作用,领会从特殊到一般,从直观到抽象,从感性到理性的数学思维方法。二、重点和难点:1、教学重点:函数单调性的概念和判断；2、教学难点:利用函数单调性的定义或者函数的图象判断函数的单调性。三、教学方法和手段:1、教学方法:采用探索发现法和启发式讲解法；2、教学手段:利用多媒体直观、形象的动态功能，为函数单调性概念的理解提供直观、形象的认知基础;同时对函数在某一区间内的变化趋势进行动态演示，帮助学生理解。四、教学过程：（一）问题情境：(1)近六届世界杯进球数如下表：画成折线图：年份进球数1990 115 1994 137 1998 171 2002 161 年份球数2010

8、20062002199819941990150130110170 x y 2 4-2 1 1-1 0 问题 1：随着年份的不同，进球数有什么变化？进球数的变化和图象的变化有什么联系？(2)绵阳市某天的气温变化曲线图：问题变化趋势是？（上升？下降？）事实上，在生活中，有很多数据的变化是有规律的，了解这些数据的变化规律，对我们的生活很有帮助。观察满足函数关系的数据变化规律往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的，这就是我们今天要研究的函数的单调性。（板书课题）（二）建构定义:1、引入直观性定义：观察下列函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）问题 3:这两个函数图象有怎样

9、的变化趋势？（上升？下降？）2006 147 2010 145 o x y-1 1 1 2(2)()f xx(1)()1f xx问题 4:函数2()f xx在区间内 y 随 x 的增大而增大，在区间内y 随 x 的增大而减小；总结到一般情况下：在区间 D内在区间 D内图象图象特征从左到右，图象上升从左到右，图象下降数量特征y 随 x 的增大而增大y 随 x 的增大而减小教师说明直观性定义：称左边的函数在区间D上单调递增函数，右边的函数则称为区间 I 上单调递减函数。2、严格数学语言定义：多媒体展示：图象在区间D内呈上升趋势当 x 的值增大时，函数值y 也增大区间内有两个点1x、2x，当21xx

10、时，有)()(21xfxf问题 5：若区间内有两点21xx时，有)()(21xfxf，能否推出()fx是单调递增函数？构造反例，动画演示，引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。定义：一般地，设函数)(xf的定义域为 I:如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量的值12xx、，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是单调递增函数。y2()f x1()f x01x2xxyx2()fx1()f x01x2x3 2 yfx-4 2 1 5 4 3 1-1-2-1-5-3-2 o x 由学生类比得到减函数的定义：如果对于定义域 I 内某个区间D上的任意两个自

11、变量的值21xx、，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是单调递减函数。注:(1)21,xx三大特征：属于同一区间；任意性；有大小：通常规定21xx；(2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。举例：2xy在),0(上是单调增函数，但在整个定义域上不是增（减）函数。(三)定义应用:例 1、下图是定义在 5，5 上的函数)(xfy的图象，根据图象说出函数)(xfy的单调区间，以及在每一单调区间上，)(xfy是增函数还是减函数。分析：动画演示，帮助学生理解。解：)(xfy的单调区间有 5，2），2，1），1，3），3，5。其中)(xfy在 5，2）,1，

12、3）上是减函数；在 2，1），3，5）上是增函数。强调单调区间的写法：问题 6：可否写成 5，2）U2，1）？问题 7：写成 5，2）还是写成 5，2？多媒体展示构造反例说明：（1）单调区间一般不能求并集；（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。例 2、试判断函数xxxf2)(在区间（0，）上是增函数还是减函数？并给予证明。分析：问 1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？2：如何用定义法判定函数单调性？3：用定义判定函数单调性的关键是什么？（提示如何比较3 和 2 的大小，从而引入作差法）证明：函数xxxf2)(在（0，）上是增函数设21xx、是(0,)上的任意两个值,且21xx，则)()

13、()()(22212121xxxxxfxf）（212221)(xxxx）（212121)(xxxxxx)1)(2121xxxx又210 xx，故021xx，0121xx则0)()(21xfxf，即：)()(21xfxf因此，函数xxxf2)(在（0，）上是增函数。总结定义法证明函数单调性的步骤：1、取值:设任意21xx、属于给定区间，且21xx；2、作差变形:)()(21xfxf变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；3、定号:确定)()(21xfxf的正负号；4、下结论:由定义得出函数的单调性。思考题：在上面证明中，你能理解12xx、的任意性的意义吗？解答：有了“任意性”在区间内不管取哪两

14、个值，其证明过程都是一样的。四、课堂练习：（1）课本 P65页 1，取值下结论定号作差变形（2）证明:函数xy3在），（0上是减函数。（动画演示帮助理解）课堂思考：函数)0(kxky)0(kkxy0k0k0k0k单调区间单调性课后思考：函数)(xf在 R上单调递增，那么，2121)()(xxxfxf的符号有什么规律？若单调递减，又该如何?五、回顾小结：1、函数单调性的定义；2、判定函数单调性：（1）方法：图象法，定义法；（2）定义法步骤：取值，作差变形，定号，下结论。六、课后作业：1、必做题：课后练习1，4，6，2、选做题:课后练习 7 七、板书设计函数单调性一、函数单调性概念1、单调递增函数2、单调递减函数3、单调区间(主板书)二、例题及解答例 1 例 2(副板书)议练活动(辅助性板书)