2020年黑龙江省哈尔滨市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(解析版).pdf

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1、2020 年黑龙江省哈尔滨市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共12 小题）.1已知 A x|（2x2）（2x8）0，Bx|x2，则 A（?RB）（）A（1，2）B（1，2C（0，2）D（0，22已知复数z 满足 z（1 i）2+ti（t R）若|z|2，则 t 的值为（）A 1B 2C 1D 23 向量，在正方形网格中的位置如图所示若向量 与共线，则实数 （）A 2B 1C1D24设 x，y 满足约束条件，则的最大值为（）A0BCD25已知函数f（x）sin4xcos4x，则下列说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为2B f（x）的最大值为2Cf（x）的图象关于y 轴对称Df（x）在区间

2、，上单调递减6算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完（开始善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的S值为 0，则开始输入的S值为（）ABCD7设 alog3，b log2，clog3，则（）AabcBacbCbacDbc a8我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在律学新说中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个c1键的 8 个白键与5 个黑键（如图）的音频恰成一个公比

3、为的等比数列的原理，也即高音c1的频率正好是中音c 的2 倍已知标准音a1的频率为440Hz，那么频率为220Hz 的音名是（）AdBfCeD#d9在正四棱锥PABCD 中，已知异面直线PB 与 AD 所成的角为60，给出下面三个命题，p1：若 AB2，则此四棱锥的侧面积为；p2：若 E，F 分别为 PC，AD 的中点，则EF平面 PAB；p3：若 P，A，B，C，D 都在球 O 的表面上，则球O 的表面积是四边形ABCD 面积的 2倍在下列命题中，为真命题的是（）Ap2p3Bp1（p2）Cp1p3Dp2（p3）10把方程表示的曲线作为函数yf（x）的图象，则下列结论正确的是（）f（x）在 R

4、 上单调递减 yf（x）的图象关于原点对称 yf（x）的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3 函数 g（x）4f（x）+3x 不存在零点ABCD11 设实数 m0，若对任意的正实数x，不等式恒成立，则 m 的最小值为（）ABCD12已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过 F1的直线l 与双曲线C 的左支交于A、B 两点若|AB|AF2|，BAF2120，则双曲线C 的渐近线方程为（）Ay（1）xByxCy（）xDy二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13已知，则14等差数列 an，bn的前 n 项和分别为Sn，Tn，若，则15若 a，则（）6的展开式中的常数项的最小值

5、为16已知抛物线C：y24x 的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线C 上的两个动点，若 x1+x2+22|MN|，则 MFN 的最大值为三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足sin，?6（1）求 ABC 的面积；（2）若 c+a8，求 b 的值18为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查已知该校共有学生960 人，其中男生560 人，从全校

6、学生中抽取了容量为n 的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：超过 1 小时不超过 1 小时男208女12m（1）求 m，n；（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1 小时与性别有关？（3）从该校学生中随机调查60 名学生，一周参加社区服务时间超过1 小时的人数记为X，以样本中学生参加社区服务时间超过1 小时的频率作为该事件发生的概率，求X 的分布列和数学期望附：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K219如图，在四棱台ABCD ABCD 中，OO1平面 ABCD，O1O1，A1B11，底面 ABCD是边长为2 的菱形，

7、且 ABC 60（1）证明：AC平面 BB1D1D（2）若 M 为棱 A1B1的中点，求平面MAC 与底面 ABCD 所成锐二面角的余弦值20记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”已知椭圆，以椭圆 E 的焦点为顶点作相似椭圆M（）求椭圆M 的方程；（）设直线l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，且与椭圆M 仅有一个公共点，试判断ABO的面积是否为定值（O 为坐标原点）？若是，求出该定值；若不是，请说明理由21已知函数（1）试讨论 f（x）的单调性；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）5？（二）选考题：共10 分.请考生在第22

8、、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为2 的圆的一个交点为B（2，），曲线M1是劣弧，曲线 M2是优弧（）求曲线M1的极坐标方程；（）设点 P（1，）为曲线 M1上任意一点，点 Q（2，）在曲线 M2上，若|OP|+|OQ|6，求 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|+|x+b|（a 0，b0）（1）当 ab1 时，证明：f（x）2；（2）若 f（x）的值域为 2，+），且f（3）5，解不等式f（x）4参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题

9、5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知 A x|（2x2）（2x8）0，Bx|x2，则 A（?RB）（）A（1，2）B（1，2C（0，2）D（0，2【分析】求出集合A 和?RB，由此能求出A（?RB）解：Ax|（2x2）（2x8）0（1，3），B x|x2，?RB（，2），A（?RB）（1，2）故选：A2已知复数z 满足 z（1 i）2+ti（t R）若|z|2，则 t 的值为（）A 1B 2C 1D 2【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商列式求解t 的值解：由 z（1i）2+ti，得，由，解得 t 2故选：D3 向量，在正方形网格中的位置如图

10、所示若向量 与共线，则实数 （）A 2B 1C1D2【分析】根据图形便可看出，这样即可得出的值解：根据图形可看出；满足与共线；2故选：D4设 x，y 满足约束条件，则的最大值为（）A0BCD2【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值解：约束条件对应的区域如图：表示可行域中一点（x，y）与坐标原点连线的斜率，由解得 A（1，2），由图形可知OA 的斜率取得最大值，即当 x1，y 2 时取得最大值2故选：D5已知函数f（x）sin4xcos4x，则下列说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为2B f（x）的最大值为2Cf（x）的图象关于y 轴对称Df（x）在区间，上单调递减【分析】先

11、利用同角平方关系及二倍角余弦个公式对已知函数进行化简可得f（x）cos2x，结合余弦函数的性质对选项进行判断即可解：f（x）sin4x cos4xsin2xcos2x cos2x，函数的最小正周期T，f（x）cos（2x）cos2xf（x），f（x）为偶函数，其图象关于y 轴对称，f（x）cos2x 在，上单调递减，故f（x）cos2x 在，上单调递增故选：C6算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完（开始善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒借问此壶中，原有多少

12、酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的S值为 0，则开始输入的S值为（）ABCD【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解：模拟程序的运行，可得当 i1 时，S 2S1，i1，满足条件i3，执行循环体；当 i2 时，S 2（2S1）1，i2，满足条件i3，执行循环体；当 i3 时，S 22（2S 1）11，i 3，不满足条件i3，退出循环体，输出S 0，所以 22（2S1）110，故选：B7设 alog3，b log2，clog3，则（）AabcBacbCbacDbc a【分析】利用对数函数y

13、logax的单调性进行求解当a1 时函数为增函数当0a1时函数为减函数，如果底 a不相同时可利用1 做为中介值解：log3bclog2ababc，故选：A8我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在律学新说中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个c1键的 8 个白键与5 个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c1的频率正好是中音c 的2 倍已知标准音a1的频率为440Hz，那么频率为220Hz 的音名是（）AdBfCeD#d【分析】220Hz 的音比 a1的频率低，故可将a1的频率记为第一项，220Hz 的音设为第 n 项，则这个数列是以

14、440Hz 为第一项，以 q为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式可得解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比故从g起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为q由 220440，解得 n 7，频率为 220Hz 的音名是（#d），故选：D9在正四棱锥PABCD 中，已知异面直线PB 与 AD 所成的角为60，给出下面三个命题，p1：若 AB2，则此四棱锥的侧面积为；p2：若 E，F 分别为 PC，AD 的中点，则EF平面 PAB；p3：若 P，A，B，C，D 都在球 O 的表面上，则球O 的表面积是四边形ABCD 面积的 2倍在下列命题中，为真命题的是（）Ap2p3

15、Bp1（p2）Cp1p3Dp2（p3）【分析】根据正四棱锥PABCD 的性质，判定p1，p2、p3真假即可解：在正四棱锥PABCD 中，已知异面直线PB 与 AD 所成的角为60，PBC60，PB BCPC，正四棱锥PABCD 中各棱相等对于p1：若AB 2，则此四棱锥的侧面都是边长为2 的等边三角形其侧面积为4，故为假命题；对于 p2：若 E，F 分别为PC，AD 的中点，取BC 中点 H，可得面EFH 面 PAB，则EF平面 PAB，故为真命题；对于 p3：若 P，A，B，C，D 都在球 O 的表面上，设正四棱锥PABCD 中各棱为2，则球 O 的半径R，满足R2 OA2+（POR）2，球

16、的表面积 S 4 R2 8球的表面积是四边形ABCD 面积的 2倍故为真命题p1p2为真命题，故选：A10把方程表示的曲线作为函数yf（x）的图象，则下列结论正确的是（）f（x）在 R 上单调递减 yf（x）的图象关于原点对称 yf（x）的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3 函数 g（x）4f（x）+3x 不存在零点ABCD【分析】画出函数的图象判断函数的单调性判断；通过两点间距离公式判断；函数的零点判断；解：去绝对值分四个象限讨论，方程当 x0，y0 时，方程，不成立；当 x0，y0 时，方程为：，是双曲线的一部分；当 x0，y0 时，方程为：，是双曲线的一部分；当 x0，y0 时，方程

17、为：，是椭圆的一部分；函数图象如右图示，由图判断函数在R 上单调递减，故 正确，错误由图判断yf（x）图象上的点到原点距离的最小值点应在x0，y 0 的图象上，即满足，设图象上的点P（x，y），当 x0 时取最小值3，故 正确；当 4f（x）+3x0，即，函数 g（x）4f（x）+3x 的零点，就是函数yf（x）和 y的交点，而是曲线，x0，y0 和，x0，y 0 的渐近线，所以没有交点由图象可知，和，x0，y0 没有交点，所以函数g（x）4f（x）+3x 不存在零点，故 正确故选：C11 设实数 m0，若对任意的正实数x，不等式恒成立，则 m 的最小值为（）ABCD【分析】对任意的xe，不等

18、式x2lnx0 恒成立，令f（x）x2lnx，转化为f（x）min在 xe时恒成立；即可求解解：m0，memxlnx，即 mxemxxlnx elnx?lnx，构造函数g（x）xex，g（x）ex+xex（x+1）ex，当 x0，g（x）0，当 x0 时，g（x）递增，则不等式恒成立等价于g（mx）g（lnx）恒成立，即 mxlnx，恒成立，设，G（x）在（0，1）递增，（1，+）递减，故选：A12已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过 F1的直线l 与双曲线C 的左支交于A、B 两点若|AB|AF2|，BAF2120，则双曲线C 的渐近线方程为（）Ay（1）xByxCy（）xDy【分析】

19、设|AB|AF2|m，|AF1|n，则m n2a，结合|BF2|BF1|2a 求得|BF1|2a，|BF2|4a，进一步求得|AF2|a，|AF1|，在三角形AF1F2中由余弦定理列式求解双曲线C 的渐近线方程解：如图，设|AB|AF2|m，|AF1|n，mn2a，|BF2|BF1|2a，|BF2|BF1|+2a2a+|AB|AF1|2a+mn4a，|BF1|2a，则|BF2|4a，BAF2120，解得 ma，即|AF2|a，则|AF1|由 cosF1AF2，整理可得c2（5 2）a2，即双曲线C 的渐近线方程为y（1）x故选：A二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13已知

20、，则【分析】由已知结合二倍角公式及同角基本关系即可求解解：因为，则故答案为：14等差数列 an，bn的前 n 项和分别为Sn，Tn，若，则【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解解：由 an为等差数列可得，同理可得T99a5，所以故答案为：15若 a，则（）6的展开式中的常数项的最小值为【分析】利用二项式展开式的通项公式求出常数项，再求常数项的最小值解：（）6展开式的通项公式为Tr+1?（a）r?x123r?y3r12，令 12 3r0，解得 r 4；（）6展开式中的常数项为a4?15a415，该二项式展开式中的常数项最小值为故答案为：16已知抛物线C：y24x 的焦点为F，M（x1

21、，y1），N（x2，y2）是抛物线C 上的两个动点，若 x1+x2+22|MN|，则 MFN 的最大值为【分析】依抛物线的定义，可得|MF|x1+1，|NF|x2+1，|可得|MF|+|NF|2|MN|，由余弦定理得cos MFN 的范围，即可求解解：如图，依抛物线的定义，可得|MF|x1+1，|NF|x2+1，x1+x2+22|MN|?|MF|+|NF|2|MN|，由余弦定理得cosMFN 0MFN，故答案为：三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

22、17在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足sin，?6（1）求 ABC 的面积；（2）若 c+a8，求 b 的值【分析】（1）根据二倍角公式求出cosB，再求出sinB，根据向量的数量积和三角形的面积公式即可求出答案；（2）根据余弦定理即可求出答案【解答】解；（1）sin，cosB12sin21，sinB，?6，?|?|?cosB6，|?|10，SABC|?|?sinB10 4；（2）由（1）可知 ac 10，又 c+a8，又余弦定理可得，b2a2+c22accosB（a+c）22ac2ac641032，b418为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方

23、法进行调查已知该校共有学生960 人，其中男生560 人，从全校学生中抽取了容量为n 的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：超过 1 小时不超过 1 小时男208女12m（1）求 m，n；（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1 小时与性别有关？（3）从该校学生中随机调查60 名学生，一周参加社区服务时间超过1 小时的人数记为X，以样本中学生参加社区服务时间超过1 小时的频率作为该事件发生的概率，求X 的分布列和数学期望附：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2【分析】（1）根据分层抽样比例列方程求出n 的值，再计算

24、m 的值；（2）根据题意完善2 2 列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（3）计算参加社区服务时间超过1 小时的频率，用频率估计概率，计算所求的分布列与数学期望解：（1）根据分层抽样法，抽样比例为，n48；m4820 8128；（2）根据题意完善2 2 列联表，如下；超过 1 小时不超过 1 小时合计男生20828女生12820合计321648计算 K20.6857 3.841，所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1 小时与性别有关；（3）参加社区服务时间超过1 小时的频率为，用频率估计概率，从该校学生中随机调査60 名学生，则XB（60，），所以 P（Xk）?，k

25、0，1，2，3，60；E（X）604019如图，在四棱台ABCD ABCD 中，OO1平面 ABCD，O1O1，A1B11，底面 ABCD是边长为2 的菱形，且 ABC 60（1）证明：AC平面 BB1D1D（2）若 M 为棱 A1B1的中点，求平面MAC 与底面 ABCD 所成锐二面角的余弦值【分析】（1）推导出ACOO1，AC BD，由此能证明AC平面 BB1D1D（2）以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OO1为 z 轴，建立空间直角系，利用向量法能求出平面MAC 与底面 ABCD 所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）在四棱台ABCD ABCD 中，OO1平面 ABC

26、D，AC?平面 ABCD，AC OO1，底面 ABCD 是边长为2 的菱形，AC BD，BD OO1O，AC平面 BB1D1D解：（2）以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OO1为 z轴，建立空间直角系，A（0，1，0），C（0，1，0），A1（0，1），B1（，0，1），M（，1），（0，2，0），（，1），设平面 ACM 的法向量（x，y，z），则，取 x1，得（1，0，），平面 ABCD 的法向量（0，0，1），设平面 MAC 与底面 ABCD 所成锐二面角为，则 cos 平面 MAC 与底面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为20记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相

27、似椭圆”已知椭圆，以椭圆 E 的焦点为顶点作相似椭圆M（）求椭圆M 的方程；（）设直线l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，且与椭圆M 仅有一个公共点，试判断ABO的面积是否为定值（O 为坐标原点）？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【分析】（）由条件知，椭圆 M 的离心率，且长轴的顶点为（2，0），（2，0），即可求出椭圆方程，（）当直线l 的斜率存在时，设直线l：ykx+b，根据韦达定理和弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出三角形的面积，当直线 l 的斜率不存在时，可求出三角形的面积解：（）由条件知，椭圆M 的离心率，且长轴的顶点为（2，0），（2，0），椭圆 M 的方程为，（）当直线l

28、 的斜率存在时，设直线l：y kx+b由得，（3+4k2）x2+8kbx+4b2120令 64k2b24（3+4k2）（4b212）0 得，b2 3+4k2联立 ykx+b 与，化简得（3+4k2）x2+8kbx+4b2 480设 A（x1，y1），B（x2，y2），则，而原点O 到直线 l 的距离当直线 l 的斜率不存在时，l：x2 或 x 2，则|AB|6，原点 O 到直线 l 的距离 d 2，SABO6综上所述，ABO 的面积为定值621已知函数（1）试讨论 f（x）的单调性；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）5？【分析】（1）

29、依题意，f（x），令 x2+（2 a）x+1+a0，通过对 a2 8a0 与，a28a 0 的讨论，即可求得f（x）的单调区间；（2）由题意可知：函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f（x）0 在（1，+）上由两个不同的实根，根据二次函数性质求得a 的取值范围，利用韦达定理，求得x1+x2和 x1?x2表达式，写出f（x1）+f（x2），根据对数的运算性质求得a 的值，判断是否满足a 的取值范围即可解：（1）由函数 f（x）的定义域为（1，+），f（x），令 h（x）x2+（2a）x+1+a，由于（2a）2 4（1+a）a28a，当 a28a0，即 0a 8 时，h（x）0 恒成立，即

30、f（x）0 恒成立，f（x）在（1，+）单调递增；当 a28a0，即 a0 或 a8 时，x2+（2a）x+1+a0 有两个根，设其二根为x1x2，先分析 a8时，x1110，x11，f（x）在（1，），（，+）单调递增，在（，）单调递减；再分析 a0 时，由于 h（x）x2+（2 a）x+1+a 的开口向上，对称轴方程为x0，且 h（1）40，x1x20，当 x1 时，h（x）0 恒成立，即f（x）0 恒成立，f（x）在（1，+）单调递增；综上所述，a8 时，f（x）在（1，+）单调递增；a 8 时，f（x）在（1，），（，+）单调递增，在（，）单调递减；（2）f（x），函数在定义域上有两个

31、极值点x1，x2，即方程f（x）0 在（1，+）上由两个不同的实根，即方程 x2+（2a）x+（1+a）0，在（1，+）上由两个不同的实根，解得：a8，由韦达定理：x1+x2a2，x1?x21+a，于是，f（x1）+f（x2）+ln（?）+a（+）ln+aln（）+a（）ln1+5，解得 a10，满足 a8，所以存在实数a10，使得 f（x1）+f（x2）5（二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为2 的圆的一个交点为B（2，），

32、曲线M1是劣弧，曲线 M2是优弧（）求曲线M1的极坐标方程；（）设点 P（1，）为曲线 M1上任意一点，点 Q（2，）在曲线 M2上，若|OP|+|OQ|6，求 的值【分析】（）利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果（）利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果解：（）过极点的直线l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为 2 的圆上任意一点（，），整理得 4cos 由于的圆的一个交点为B（2，），曲线M1是劣弧，所以 M1的方程为（）点P（1，）为曲线M1上任意一点，所以，点 Q（2，）在曲线M2上，所以（）整理得由于|OP|+|OQ|6，所以 1+26，整理得6，即：，由于

33、且解得选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|+|x+b|（a 0，b0）（1）当 ab1 时，证明：f（x）2；（2）若 f（x）的值域为 2，+），且f（3）5，解不等式f（x）4【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得f（x）|a+b|，然后结合ab1，利用基本不等式即可证明f（x）2；（2）根据 f（x）的值域为 2，+），且f（3）5，求出 a，b 的值，然后利用零点分段法解出不等式f（x）4 即可解：（1）证明：ab1，f（x）|xa|+|x b|x+b（xa）|a+b|，当且仅当ab1 时，取等号，f（x）2；（2）f（x）|xa|+|x b|a+b|a+b，a+b2，又 f（3）|3 a|+|3+b|3a|+3+b5，f（x）4，或或，故原不等式的解集为x|x或 x