高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质学业分层测评苏教版.pdf

《高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质学业分层测评苏教版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质学业分层测评苏教版.pdf（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品教案可编辑学业分层测评(十一)抛物线的几何性质(建议用时：45 分钟)学业达标 一、填空题1.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为_.【解析】由定义知POPF，所以xP18，yP1824.【答案】18，242.抛物线yax21 与直线yx相切，则a等于 _.【解析】由yax21，yx，消y得ax2x10.直线yx与抛物线yax21 相切，方程ax2x 10 有两相等实根.判别式(1)24a0，a14.【答案】143.(2016济南高二检测)已知过抛物线y2 4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，AF2，则BF _.【解析】y24x，p2，F(1,0)，又A

2、F2，xAp2 2，xA12，xA1.即ABx轴，F为AB的中点，BFAF2.【答案】2精品教案可编辑4.边长为 1 的等边三角形OAB，O为原点，ABx轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程为_.【解析】由题意可知，抛物线的对称轴为x轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y22px(p0)，且A为x轴上方的点，则易求A32，12，所以143p，所以p312，所以抛物线方程为y236x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为y236x.【答案】y236x5.设抛物线y22x与过焦点的直线交于A，B两点，则OAOB的值是 _.【导学号：24830051】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)

3、，可知p1，则OAOB(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2p24p234.【答案】346.设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0).直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为 _.【解析】抛物线的方程为y24x，设直线l与抛物线C的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，y214x1，y224x2.两式相减得，y21y224(x1x2)，y1y2x1x24y1y2 1，直线l的方程为y2x2，即yx.精品教案可编辑【答案】yx7.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处.已知灯口直径是60 cm，灯深 40 c

4、m，则光源到反光镜顶点的距离是_.【解析】建立直角坐标系(图略)，设抛物线方程是y2 2px(p0).A(40,30)在抛物线上，3022p 40，p454，光源到反光镜顶点的距离为p245424585.625(cm).【答案】5.625 cm 8.设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是 _.【解析】圆心到抛物线准线的距离为p4，根据已知只要FM4 即可.根据抛物线定义，FMy02.由y024，解得y02，故y0的取值范围是(2，).【答案】(2，)二、解答题9.直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两

5、个顶点在抛物线y22px(p0)上，且一直角边的方程是y2x，斜边长是5，求此抛物线的方程.【导学号：24830052】【解】如图，设直角三角形为AOB，直角顶点为O，AO边的方程为y2x，则OB边的方程为y12x.由y2x，y22px，得A点坐标为p2，p.精品教案可编辑由y12x，y22px，得B点坐标为(8p，4p).AB5，p 4p2p28p25.p0，解得p21313，所求抛物线方程为y241313x.10.一辆卡车高3 m，宽 1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的 4 倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值.【解】以隧道顶点为原点，拱高所在直线

6、为y轴建立直角坐标系，如图所示.则点B的坐标为a2，a4，设隧道所在抛物线方程为x2my(m 0)，则a22m a4，ma，即抛物线方程为x2ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82ay，即y0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y a43，即a40.82a3.解得a12.21或a0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m、n，则1m1n_.【解析】由焦点弦性质知1PF1FQ2p，抛物线的标准方程为x21ay(a0)，2p1a，p12a，1PF1FQ 4a，即1m1n4a.【答案】4a3.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，A

7、B12，P为C的准线上的一点，则ABP的面积为 _.【解析】不妨设抛物线方程为y22px(p0)，依题意，lx轴，且焦点Fp2，0，当xp2时，yp，AB2p12，p6，又点P到直线AB的距离为p2p2p6，故SABP12ABp12 12 636.【答案】364.如图 2-4-4，已知AOB的一个顶点为抛物线y22x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且AOB 90.精品教案可编辑图 2-4-4(1)证明直线AB必过一定点；(2)求AOB面积的最小值.【解】(1)证明设OA所在直线的方程为ykx(k 0)，则直线OB的方程为y1kx，由ykx，y2 2x，解得A点的坐标为2k2，2k.同理由y1kx，y22x，解得B点的坐标为(2k2，2k).AB所在直线的方程为y2k2k2k2k22k2(x2k2)，化简并整理，得1kk yx2.不论实数k取任何不等于0 的实数，当x2 时，恒有y0.故直线过定点P(2,0).(2)由于AB所在直线过定点P(2,0)，所以可设AB所在直线的方程为xmy2.由xmy2，y2 2x，消去x并整理得y2 2my40.y1y22m，y1y2 4.于是|y1y2|y1y22y1y22 4y1y22m216 2m24.SAOB12OP(|y1|y2|)12OP|y1y2|12 22m242m24.精品教案可编辑当m0 时，AOB的面积取得最小值为4.